北師大版2019選擇性必修第一冊專題2.2雙曲線(4類必考點)(原卷版+解析)

專題2.2雙曲線TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考點1：雙曲線的定義與標準方程】 1【考點2：雙曲線的焦點三角形問題】 3【考點3：雙曲線的幾何性質】 4【考點4：與雙曲線有關的最值或范圍問題】 8【考點1：雙曲線的定義與標準方程】【知識點：雙曲線的定義】平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.(1)當2a<|F1F2|時，P點的軌跡是雙曲線；(2)當2a＝|F1F2|時，P點的軌跡是兩條射線；(3)當2a>|F1F2|時，P點不存在．【知識點：雙曲線的標準方程】(1)中心在坐標原點，焦點在x軸上的雙曲線的標準方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)；(2)中心在坐標原點，焦點在y軸上的雙曲線的標準方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．待定系數(shù)法求雙曲線方程的五種類型類型一與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有公共漸近線的雙曲線方程可設為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)類型二若已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x或y＝－eq\f(b,a)x，則可設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)類型三與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共焦點的雙曲線方程可設為eq\f(x2,a2－k)－eq\f(y2,b2＋k)＝1(－b2<k<a2)類型四過兩個已知點的雙曲線的標準方程可設為eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)或者eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn<0)類型五與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)有共同焦點的雙曲線方程可設為eq\f(x2,a2－λ)－eq\f(y2,λ－b2)＝1(b2<λ<a2)1．（2021·全國·高二課時練習）若雙曲線mx2＋ny2＝1的焦點在y軸上，則（

）A．m<0，n<0 B．m>0，n>0 C．m<0<n D．n<0<m2．（2022·全國·高二單元測試）已知A0,7，B0,?7，C12,2，以C為一個焦點作過A，B的橢圓，則橢圓的另一個焦點FA．y2?xC．x2?y3．（2022·全國·高二課時練習）過點3,2且與橢圓3x2+8A．x25?y25=1 B．4．（2022·全國·高二課時練習）雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0過焦點F1的弦AB，AA．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m5．（2022·全國·高二課時練習）設雙曲線C：x2?y224=1的左焦點和右焦點分別是F1，F(xiàn)2，點A．5 B．6 C．7 D．86．（2022·全國·高二課時練習）已知F是雙曲線x24?y212=1的左焦點，A(1,4)A．9 B．8 C．7 D．67．（2022·全國·高三專題練習）若方程x23?t+y2A．若C為橢圓，則1<t<3 B．若C為雙曲線，則t>3或t<1C．曲線C可能是圓 D．若C為橢圓，且長軸在y軸上，則1<t<28．（2021·全國·高二專題練習）(多選)已知F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)，滿足條件|PF1|－|PF2|＝2m－1的動點P的軌跡是雙曲線的一支，則m可以是（

）A．2 B．－1 C．4 D．－39．（2022·全國·高二課時練習）與雙曲線x216?10．（2022·全國·高二課時練習）雙曲線C1:x2a11．（2022·全國·高三專題練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)a=3，c=4，焦點在x軸上；(2)焦點為(0,?6)?(0,6)，經過點A(?5,6).12．（2022·全國·高三專題練習）如圖雙曲線C:x2?y23=1的焦點為F1?F2(1)求弦長AB的值；(2)求△ABF【考點2：雙曲線的焦點三角形問題】【知識點：雙曲線的焦點三角形問題】(1)雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形稱為焦點三角形．解決焦點三角形問題常利用雙曲線的定義和正弦定理、余弦定理．(2)以雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一點P(x0，y0)(y0≠0)和焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為頂點的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，則①||PF1|－|PF2||＝2a.②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.③S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ.1．（2022·全國·高二課時練習）已知雙曲線x24?y2b2=1(b>0)的左右焦點分別為F1、F2，過點F2的直線交雙曲線右支于AA．1633+8 B．42?1 2．（2023·全國·高三專題練習）設F1，F(xiàn)2是雙曲線C:x2?y23=1的左，右焦點，點PA．43 B．37 C．45523．（2022·全國·高二課時練習）已知雙曲線y2m?x22=1m>0，直線l過其上焦點F2，交雙曲線上支于A，B兩點，且ABA．8 B．9 C．10 D．254．（2022·全國·高三專題練習）已知點P是雙曲線E：x216?y29=1的右支上一點，A．點P的橫坐標為203 B．ΔPFC．∠F1PF2大于π【考點3：雙曲線的幾何性質】【知識點：雙曲線的幾何性質】標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質范圍x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸：坐標軸，對稱中心：(0,0)頂點A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)a，b，c的關系c2＝a2＋b2實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長[方法技巧]1．求雙曲線離心率或其范圍的方法(1)求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e.(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉化成關于e的方程(或不等式)求解．2．雙曲線的形狀與e的關系k＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1)，e越大，即漸近線的斜率的絕對值就越大，這時雙曲線的形狀就從狹窄逐漸變得開闊．由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊．[提醒]求雙曲線的離心率及其范圍時，不要忽略了雙曲線的離心率的取值范圍是(1，＋∞)這個前提條件，否則很容易產生增解或擴大所求離心率的取值范圍．1．（2021·全國·高考真題（文））點3,0到雙曲線x216?A．95 B．85 C．652．（2023·全國·高三專題練習）設F1，F(xiàn)2是雙曲線C:x2?y23=1的左，右焦點，點PA．43 B．37 C．45523．（2022·全國·高二課時練習）已知雙曲線x24?y2b2=1(b>0)的左右焦點分別為F1、F2，過點F2的直線交雙曲線右支于AA．1633+8 B．42?1 4．（2022·全國·高三專題練習）雙曲線E:x2a2?y2b2=1a>0,b>0A．2 B．3 C．2 D．55．（2022·全國·高二課時練習）已知雙曲線y2m?x22=1m>0，直線l過其上焦點F2，交雙曲線上支于A，B兩點，且ABA．8 B．9 C．10 D．256．（2021·全國·高三專題練習（理））設F1、F2分別為雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點，若在雙曲線右支上存在點A．45 B．54 C．357．（2019·全國·高考真題（文））設F為雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于PA．2 B．3C．2 D．58．（2021·全國·高考真題（理））已知F1,F2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠FA．72 B．132 C．7 9．（2022·全國·高二課時練習）（多選）已知雙曲線C:x2?A．雙曲線C的焦距為7B．雙曲線C的虛軸長是實軸長的6倍C．雙曲線y26?D．雙曲線的頂點坐標為(±10．（2022·全國·高二單元測試）已知雙曲線C:x2a2?y23=1(a>0)A．雙曲線C的實軸長為2B．雙曲線C的一條漸近線方程為y=C．PD．雙曲線C的焦距為411．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高一期末）已知雙曲線C的標準方程為x2?yA．雙曲線C的離心率等于半焦距B．雙曲線y2?xC．雙曲線C的一條漸近線被圓x?12+D．直線y=kx+b與雙曲線C的公共點個數(shù)只可能為0，1，212．（2022·全國·高二課時練習）與雙曲線x29?13．（2021·全國·高考真題（理））已知雙曲線C:x2m?y14．（2021·四川·攀枝花七中高二階段練習（文））已知F為雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，點A是以OF為直徑的圓與雙曲線C15．（2021·全國·高二課時練習）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左.右焦點分別為F1、F2，過點F1作直線16．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線x2(1)過點M1，1的直線交雙曲線于A，B兩點，若M(2)是否存在直線l，使得1，12為l17．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線C:x①離心率為2；②漸近線為y=±3x；③過點(1)求雙曲線C的標準方程；(2)在（1）的條件下，若直線l過點Q(0,?1)，且與雙曲線右支交于A、B兩點，求直線l的傾斜角的取值范圍；(3)在（2）的條件下，是否存在以AB為直徑的圓經過坐標原點O？若存在，請求出此時的直線l，若不存在，請說明理由．【考點4：與雙曲線有關的最值或范圍問題】【知識點：與雙曲線有關的最值或范圍問題的求解方法】(1)利用數(shù)形結合、幾何意義，尤其是雙曲線的性質，求最值或取值范圍．(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值或取值范圍．(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍．(4)利用一元二次方程的判別式求最值或取值范圍．[提醒]求解與雙曲線幾何性質有關的參數(shù)問題時，要結合圖形進行分析，當涉及頂點、焦點、實軸、虛軸等雙曲線的基本量時，要理清它們之間的關系1．（2020·全國·高考真題（理））設O為坐標原點，直線x=a與雙曲線C:x2a2?y2b2A．4 B．8 C．16 D．322．（2021·江蘇·高二單元測試）過雙曲線x29?y216=1的右支上的一點P分別向圓C1：(x+5)2+y2=4和圓C2：(x?5)2A．2 B．3 C．2 D．33．（2022·全國·高二課時練習）已知點A(1,1)，點P是雙曲線C:x29?y27A．C的實軸長為6B．C的漸近線為y=±C．|PQ|的最小值為1D．|PA|?|PD|的最小值為6?4．（2022·全國·高二單元測試）若直線y=kx+2與雙曲線x2?y5．（2022·全國·高二課時練習）若直線l:y=3x3（1）求雙曲線的方程；（2）若過點B(0，b)且與x軸不平行的直線和雙曲線相交于不同的兩點M，N，MN的垂直平分線為m，求直線m與y軸上的截距的取值范圍.6．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的右焦點為F3,0，過點F(1)求C的方程；(2)過點A0,?1的直線l2與雙曲線C的左?右兩支分別交于D，E兩點，與雙曲線C的兩條漸近線分別交于G，H兩點，若GH=λDE專題2.2雙曲線TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考點1：雙曲線的定義與標準方程】 1【考點2：雙曲線的焦點三角形問題】 8【考點3：雙曲線的幾何性質】 11【考點4：與雙曲線有關的最值或范圍問題】 23【考點1：雙曲線的定義與標準方程】【知識點：雙曲線的定義】平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.(1)當2a<|F1F2|時，P點的軌跡是雙曲線；(2)當2a＝|F1F2|時，P點的軌跡是兩條射線；(3)當2a>|F1F2|時，P點不存在．【知識點：雙曲線的標準方程】(1)中心在坐標原點，焦點在x軸上的雙曲線的標準方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)；(2)中心在坐標原點，焦點在y軸上的雙曲線的標準方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．待定系數(shù)法求雙曲線方程的五種類型類型一與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有公共漸近線的雙曲線方程可設為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)類型二若已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x或y＝－eq\f(b,a)x，則可設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)類型三與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共焦點的雙曲線方程可設為eq\f(x2,a2－k)－eq\f(y2,b2＋k)＝1(－b2<k<a2)類型四過兩個已知點的雙曲線的標準方程可設為eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)或者eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn<0)類型五與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)有共同焦點的雙曲線方程可設為eq\f(x2,a2－λ)－eq\f(y2,λ－b2)＝1(b2<λ<a2)1．（2021·全國·高二課時練習）若雙曲線mx2＋ny2＝1的焦點在y軸上，則（

）A．m<0，n<0 B．m>0，n>0 C．m<0<n D．n<0<m【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的標準方程，即可得出結論.【詳解】雙曲線mx2+n因為雙曲線的焦點在y軸上，所以1m<0,1故選：C.2．（2022·全國·高二單元測試）已知A0,7，B0,?7，C12,2，以C為一個焦點作過A，B的橢圓，則橢圓的另一個焦點FA．y2?xC．x2?y【答案】A【分析】根據(jù)橢圓定義得到AF+AC=BF+BC，轉化為AF?【詳解】由題意得AC=122+2?7因為A，B都在橢圓上，所以AF+所以AF?故F的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的下支，又因為2c=AB=14，即c=7，a=1，所以b2因此F的軌跡方程是y2故選：A．3．（2022·全國·高二課時練習）過點3,2且與橢圓3x2+8A．x25?y25=1 B．【答案】D【分析】設雙曲線的方程為x2a2【詳解】解：由3x2+8所以橢圓的焦點為(5設雙曲線的方程為x2因為雙曲線過點3,2，所以9a所以雙曲線的方程為x2故選：D4．（2022·全國·高二課時練習）雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0過焦點F1的弦AB，AA．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m【答案】C【分析】由雙曲線定義得到BF2?BF【詳解】由雙曲線的定義得：BF2?B兩式相加得：BF即BF所以BF故△ABF2的周長為故選：C5．（2022·全國·高二課時練習）設雙曲線C：x2?y224=1的左焦點和右焦點分別是F1，F(xiàn)2，點A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的方程求出a,b,c的值，由雙曲線的定義可得AF1+【詳解】由雙曲線C：x2a2=1，b2所以a=1，c=5，由雙曲線的定義可得AF1?所以AF由雙曲線的性質可知：AF2≥c?a=4，令A所以AF1+所以當t=4時，取得最小值4+44+2=7，此時點A即AF1+故選：C.6．（2022·全國·高二課時練習）已知F是雙曲線x24?y212=1的左焦點，A(1,4)A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【分析】由雙曲線方程求出a，再根據(jù)點A在雙曲線的兩支之間，結合PA+【詳解】由x24?y2所以左焦點為F(?4,0)，右焦點F'則由雙曲線的定義得PF?因為點A(1,4)在雙曲線的兩支之間，所以PA+所以PF+PA≥9所以|PF|+|PA|的最小值為9，故選：A7．（2022·全國·高三專題練習）若方程x23?t+y2A．若C為橢圓，則1<t<3 B．若C為雙曲線，則t>3或t<1C．曲線C可能是圓 D．若C為橢圓，且長軸在y軸上，則1<t<2【答案】BC【分析】分別根據(jù)選項曲線的類型列出對應的不等式，解不等式判斷即可【詳解】若C為橢圓，則3?t>0t?1>03?t≠t?1，∴1<t<3且若C為雙曲線，則(3?t)(t?1)<0，∴t>3或若C為圓，則3?t=t?1，∴t=2，故C正確若C為橢圓，且長軸在y軸上，則3?t>0t?1>0t?1>3?t，故選：BC8．（2021·全國·高二專題練習）(多選)已知F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)，滿足條件|PF1|－|PF2|＝2m－1的動點P的軌跡是雙曲線的一支，則m可以是（

）A．2 B．－1 C．4 D．－3【答案】AB【分析】設雙曲線方程為x2a2?y2b2=1【詳解】設雙曲線的方程為x2a2∵2a<2c＝6，∴|2m－1|<6，且|2m－1|≠0，∴?52<m<故選：AB9．（2022·全國·高二課時練習）與雙曲線x216?【答案】x【分析】由已知雙曲線可得焦點坐標±25,0，設所求雙曲線方程為x2a2?y2b2=1【詳解】由雙曲線x216?設所求雙曲線的方程為x2a2由題意可得：18a2?所以雙曲線的標準方程為：x2故答案為：x210．（2022·全國·高二課時練習）雙曲線C1:x2a【答案】x【分析】根據(jù)焦距，可求得c值，根據(jù)漸近線與圓C2相切，可得圓心到直線的距離等于半徑1，根據(jù)a，b，c的關系，即可求得a，b【詳解】因為雙曲線C1:x由雙曲線C1的兩條漸近線y=±bax與圓又a2+b2=4所以雙曲線C1的標準方程為x故答案為：x11．（2022·全國·高三專題練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)a=3，c=4，焦點在x軸上；(2)焦點為(0,?6)?(0,6)，經過點A(?5,6).【答案】(1)x(2)y【分析】（1）待定系數(shù)法去求滿足條件的雙曲線的標準方程；（2）待定系數(shù)法去求滿足條件的雙曲線的標準方程.（1）由題設知，a=3，c=4，由c2=a因為雙曲線的焦點在x軸上，所以所求雙曲線的標準方程為x2（2）由已知得c=6，且焦點在y軸上.因為點A(?5,6)在雙曲線上，所以點A與兩焦點的距離的差的絕對值是常數(shù)2a，即2a=?5?0則a=4，b2因此，所求雙曲線的標準方程是y212．（2022·全國·高三專題練習）如圖雙曲線C:x2?y23=1的焦點為F1?F2(1)求弦長AB的值；(2)求△ABF【答案】(1)3；(2)3【分析】（1）聯(lián)立直線l與橢圓的方程，消元整理得8x（2）根據(jù)雙曲線的定義可求得三角形的周長.（1）解：因為雙曲線C:x2?y2設Ax聯(lián)立y=33x+2∴AB（2）解：記△ABF2的周長為C△AB∵BF2=x∴BF2=2同理：點A在左支，∴A∴∴【考點2：雙曲線的焦點三角形問題】【知識點：雙曲線的焦點三角形問題】(1)雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形稱為焦點三角形．解決焦點三角形問題常利用雙曲線的定義和正弦定理、余弦定理．(2)以雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一點P(x0，y0)(y0≠0)和焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為頂點的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，則①||PF1|－|PF2||＝2a.②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.③S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ.1．（2022·全國·高二課時練習）已知雙曲線x24?y2b2=1(b>0)的左右焦點分別為F1、F2，過點F2的直線交雙曲線右支于AA．1633+8 B．42?1 【答案】A【解析】設AF2=m，BF2=n．根據(jù)雙曲線的定義和等腰三角形可得【詳解】由雙曲線x24?設AF2=m，BF2所以AF1=4+m因為△ABF1是等腰三角形，且所以AF1=AB，即所以BF1=8在△ABF1中，由余弦定理得即82所以34+m2=64∴△ABF1=8+2m+n故選：A．【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)雙曲線的定義求解是解題關鍵.2．（2023·全國·高三專題練習）設F1，F(xiàn)2是雙曲線C:x2?y23=1的左，右焦點，點PA．43 B．37 C．4552【答案】B【分析】利用雙曲線的定義可得PF2=4【詳解】∵雙曲線C:x∴a=1,b=3,c=2，又點P在雙曲線C的右支上，所以PF1?PF又F1∴△PF1F故選：B.3．（2022·全國·高二課時練習）已知雙曲線y2m?x22=1m>0，直線l過其上焦點F2，交雙曲線上支于A，B兩點，且ABA．8 B．9 C．10 D．25【答案】D【分析】根據(jù)△ABF1的周長為18，可得|AF1|+|B【詳解】由題意知|AB|+|AF又|AB|=4，所以|AF根據(jù)雙曲線的定義可知2m所以4m解得m=52故選：D4．（2022·全國·高三專題練習）已知點P是雙曲線E：x216?y29=1的右支上一點，A．點P的橫坐標為203 B．ΔPFC．∠F1PF2大于π【答案】ABD【分析】設ΔF1PF2的內心為I，連接IP、IF2、IF2，設Pm，n，利用ΔPF1F2的面積為20，可求得P點坐標；ΔPF1【詳解】設ΔF1PF2雙曲線E：x216?y29=1不妨設Pm，n，m>0，n>0由ΔPF1F2的面積為20，可得由m216?169由P203，4，且F則PF則ΔPF1F可得kPF1則tanF則∠F設ΔPF1F2的內切圓半徑為可得803r=40，解得故選：ABD．【點睛】本題關鍵借助P點坐標利用弦長公式求得周長，利用斜率求得夾角，用等積法求得內切圓半徑.【考點3：雙曲線的幾何性質】【知識點：雙曲線的幾何性質】標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質范圍x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸：坐標軸，對稱中心：(0,0)頂點A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)a，b，c的關系c2＝a2＋b2實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長[方法技巧]1．求雙曲線離心率或其范圍的方法(1)求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e.(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉化成關于e的方程(或不等式)求解．2．雙曲線的形狀與e的關系k＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1)，e越大，即漸近線的斜率的絕對值就越大，這時雙曲線的形狀就從狹窄逐漸變得開闊．由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊．[提醒]求雙曲線的離心率及其范圍時，不要忽略了雙曲線的離心率的取值范圍是(1，＋∞)這個前提條件，否則很容易產生增解或擴大所求離心率的取值范圍．1．（2021·全國·高考真題（文））點3,0到雙曲線x216?A．95 B．85 C．65【答案】A【分析】首先確定漸近線方程，然后利用點到直線距離公式求得點到一條漸近線的距離即可.【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：x216?結合對稱性，不妨考慮點3,0到直線3x+4y=0的距離：d=9+0故選：A.2．（2023·全國·高三專題練習）設F1，F(xiàn)2是雙曲線C:x2?y23=1的左，右焦點，點PA．43 B．37 C．4552【答案】B【分析】利用雙曲線的定義可得PF2=4【詳解】∵雙曲線C:x∴a=1,b=3,c=2，又點P在雙曲線C的右支上，所以PF1?PF又F1∴△PF1F故選：B.3．（2022·全國·高二課時練習）已知雙曲線x24?y2b2=1(b>0)的左右焦點分別為F1、F2，過點F2的直線交雙曲線右支于AA．1633+8 B．42?1 【答案】A【解析】設AF2=m，BF2=n．根據(jù)雙曲線的定義和等腰三角形可得【詳解】由雙曲線x24?設AF2=m，BF2所以AF1=4+m因為△ABF1是等腰三角形，且所以AF1=AB，即所以BF1=8在△ABF1中，由余弦定理得即82所以34+m2=64∴△ABF1=8+2m+n故選：A．【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)雙曲線的定義求解是解題關鍵.4．（2022·全國·高三專題練習）雙曲線E:x2a2?y2b2=1a>0,b>0A．2 B．3 C．2 D．5【答案】B【解析】根據(jù)點差法，設出交點坐標，代入作差即可得解.【詳解】設Axx1有b2所以c2a2故選：B．【點睛】本題考查了解析幾何中的點差法，點差法主要描述直線和圓錐曲線相交中斜率和中點的關系，在解題中往往大大簡化計算，本題屬于基礎題.5．（2022·全國·高二課時練習）已知雙曲線y2m?x22=1m>0，直線l過其上焦點F2，交雙曲線上支于A，B兩點，且ABA．8 B．9 C．10 D．25【答案】D【分析】根據(jù)△ABF1的周長為18，可得|AF1|+|B【詳解】由題意知|AB|+|AF又|AB|=4，所以|AF根據(jù)雙曲線的定義可知2m所以4m解得m=52故選：D6．（2021·全國·高三專題練習（理））設F1、F2分別為雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點，若在雙曲線右支上存在點A．45 B．54 C．35【答案】D【分析】根據(jù)題設條件和雙曲線的性質，在三角形值尋找等量關系，得到a,b之間的等量關系，進而求出離心率.【詳解】依題意PF2＝F1F2，可知三角形PF2根據(jù)雙曲定義可知4b?2c=2a，整理得c=2b?a，代入c2=a2+∴e=c故選：D．【點睛】關鍵點點睛：該題考查的是有關雙曲線的離心率問題，正確解題的關鍵是熟練掌握雙曲線的性質，以及尋找判斷三角形中邊的關系.7．（2019·全國·高考真題（文））設F為雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于PA．2 B．3C．2 D．5【答案】A【分析】準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關系，可求雙曲線的離心率．【詳解】設PQ與x軸交于點A，由對稱性可知PQ⊥x軸，又∵PQ=|OF|=c，∴|PA|=c∴A為圓心|OA|=c∴Pc2,c2∴c24∴e=2【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來．8．（2021·全國·高考真題（理））已知F1,F2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠FA．72 B．132 C．7 【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出PF【詳解】因為PF1=3所以PF2=a因為∠F1P整理可得4c2=7a2故選：A【點睛】關鍵點睛：雙曲線的定義是入手點，利用余弦定理建立a,c間的等量關系是求解的關鍵.9．（2022·全國·高二課時練習）（多選）已知雙曲線C:x2?A．雙曲線C的焦距為7B．雙曲線C的虛軸長是實軸長的6倍C．雙曲線y26?D．雙曲線的頂點坐標為(±【答案】BC【分析】由題知a2=1，【詳解】因為a2=1，所以c2=1+6=7，c=7因為2b2a雙曲線y26?x2令y=0，得x=±1，所以雙曲線的頂點坐標為(±1,0)，所以D錯誤．故選:BC．10．（2022·全國·高二單元測試）已知雙曲線C:x2a2?y23=1(a>0)A．雙曲線C的實軸長為2B．雙曲線C的一條漸近線方程為y=C．PD．雙曲線C的焦距為4【答案】ABD【分析】根據(jù)雙曲線的定義與方程，結合雙曲線的性質運算求解.【詳解】由雙曲線方程知：b=3，離心率為e=ca=a實半軸長為1，實軸長為2a=2，A正確；因為可求得雙曲線漸近線方程為y=±3x，故一條漸近線方程為由于P可能在C的不同分支上，則有||PF焦距為2c=2a故選：ABD.11．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高一期末）已知雙曲線C的標準方程為x2?yA．雙曲線C的離心率等于半焦距B．雙曲線y2?xC．雙曲線C的一條漸近線被圓x?12+D．直線y=kx+b與雙曲線C的公共點個數(shù)只可能為0，1，2【答案】AD【分析】求出雙曲線C的離心率及漸近線方程，計算直線被圓所截弦長，對選項A，B，C逐一驗證并判斷，再由直線與雙曲線C的位置關系判斷D得解.【詳解】因雙曲線C的標準方程為x2?y雙曲線C的離心率e=c雙曲線C的漸近線方程為y=±2x，而雙曲線y2?x因雙曲線C的漸近線和圓x?12+y2=1都關于x軸對稱，不妨選漸近線2x+y=0漸近線2x+y=0被該圓所截弦長為21由y=kx+b4x2k=±2,b=0時，方程組無解，直線與雙曲線交點個數(shù)為0，k=±2,b≠0，方程組有一解，直線與雙曲線交點個數(shù)為1，k2≠4時，Δ=16(b若Δ=0，則方程組有一解，直線與雙曲線交點個數(shù)為1，若Δ>0，則方程組有兩解，直線與雙曲線交點個數(shù)為2，綜上得直線y=kx+b與雙曲線C的公共點個數(shù)只可能為0，1，2，即D正確.故選：AD【點睛】思路點睛：直線l:mx+ny+t=0與曲線C:f(x,y)=0的公共點個數(shù)轉化為聯(lián)立直線l與曲線C的方程組的解的個數(shù)解決.12．（2022·全國·高二課時練習）與雙曲線x29?【答案】2【分析】由題意首先求得雙曲線方程，據(jù)此可確定焦點坐標，然后利用點到直線距離公式可得雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離.【詳解】解：根據(jù)題意，設雙曲線方程為x2將點(?3,23)代入雙曲線方程，解得所以，經過點A?3,23的雙曲線方程為：故4x29?y24所以，焦點到一條漸近線的距離是109+16故答案為：213．（2021·全國·高考真題（理））已知雙曲線C:x2m?y【答案】4【分析】將漸近線方程化成斜截式，得出a,b的關系，再結合雙曲線中a2,b2對應關系，聯(lián)立求解【詳解】由漸近線方程3x+my=0化簡得y=?3mx，即ba=3m，同時平方得b2a2故答案為：4.【點睛】本題為基礎題，考查由漸近線求解雙曲線中參數(shù)，焦距，正確計算并聯(lián)立關系式求解是關鍵.14．（2021·四川·攀枝花七中高二階段練習（文））已知F為雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，點A是以OF為直徑的圓與雙曲線C【答案】±2【分析】由題設探求出△BF'F與△BF'A都是以B為直角頂點的直角三角形，令【詳解】因點A是以OF為直徑的圓與雙曲線C的一個公共點，則OA⊥AF，設點F關于點A的對稱點為B，雙曲線C的左焦點為F'，則OA//F'令AF=m，則AF'=m+2a，BF=2m在Rt△BF'F中，|B在Rt△BF'A中，于是得2m?2a2+4m2=4所以雙曲線C的漸近線的斜率為±23故答案為：±215．（2021·全國·高二課時練習）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左.右焦點分別為F1、F2，過點F1作直線【答案】5【分析】依題意畫出草圖，可得PF1⊥PF2，QF1⊥OQ，求出F1【詳解】解：依題意可得PF1⊥PF2，QF1⊥OQ，所以PF2//OQ，因為O為F1F2的中點，所以又PF1?PF2故答案為：516．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線x2(1)過點M1，1的直線交雙曲線于A，B兩點，若M(2)是否存在直線l，使得1，12為l【答案】(1)x?2y+1=0(2)不存在，理由見解析【分析】（1）設A(x1,（2）同（1）利用點差法求得直線方程，把直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，整理得到一元二次方程，其判別式小于0，說明符合題意的直線不存在.（1）設A(x1,兩式相減得x1所以y1又因為M為弦AB的中點,故x1+x所以直線AB的方程為y?1=12x?1由方程組x?2y+1=0x24?y說明所求直線存在，故直線AB的方程為x?2y+1=0.（2）假設存在直線l，使得1，12設該直線與雙曲線交于C,D兩點，設C(x3,兩式相減得x3所以y3又因為1，12為弦CD的中點,故x所以直線CD的方程為y?12=x?1由方程組2x?2y?1=0x24根據(jù)Δ'故假設不成立，即不存在直線l，使得1，1217．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線C:x①離心率為2；②漸近線為y=±3x；③過點(1)求雙曲線C的標準方程；(2)在（1）的條件下，若直線l過點Q(0,?1)，且與雙曲線右支交于A、B兩點，求直線l的傾斜角的取值范圍；(3)在（2）的條件下，是否存在以AB為直徑的圓經過坐標原點O？若存在，請求出此時的直線l，若不存在，請說明理由．【答案】(1)選①③或②③，C:x(2)3<k<2(3)不存在，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)所選條件求出雙曲線參數(shù)a、b，即可得雙曲線C的標準方程；（2）令直線l為y=kx?1，聯(lián)立雙曲線，根據(jù)交點的個數(shù)及分布有{3?k2≠0Δ（3）由題設，假設條件成立則OA?OB=0，應用韋達定理及向量數(shù)量積的坐標表示列方程判斷是否存在這樣k使以AB(1)選①③：{ca=24a2?選②③：{ba=34a2選①②：無法確定雙曲線C的方程.(2)由題設，令直線l為y=kx?1，聯(lián)立雙曲線可得：(3?k要使直線與雙曲線右支交于兩點，則{3?k2所以{3<k2(3)由（2）知：yAyB要使|AB|為直徑的圓過原點，則OA?顯然OA?OB=0不成立，故不存在以AB【考點4：與雙曲線有關的最值或范圍問題】【知識點：與雙曲線有關的最值或范圍問題的求解方法】(1)利用數(shù)形結合、幾何意義，尤其是雙曲線的性質，求最值或取值范圍．(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值或取值范圍．(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍．(4)利用一元二次方程的判別式求最值或取值范圍．[提醒]求解與雙曲線幾何性質有關的參數(shù)問題時，要結合圖形進行分析，當涉及頂點、焦點、實軸、虛軸等雙曲線的基本量時，要理清它們之間的關系1．（2020·全國·高考真題（理））設O為坐標原點，直線x=a與雙曲線C:x2a2?y2b2A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【分析】因為C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，可得雙曲線的漸近線方程是y=±bax，與直線x=a聯(lián)立方程求得D【詳解】∵C:∴雙曲線的漸近線方程是y=±∵直線x=a與雙曲線C:x2a2?不妨設D為在第一象限，E在第四象限聯(lián)立{x=ay=故D(a,b)聯(lián)立{x=ay=?故E(a,?b)∴|ED|=2b∴△ODE面積為：S∵雙曲線C:∴其焦距為2c=2當且僅當a=b=22∴C的焦距的最小值：8故選：B.【點睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時，要檢驗等號是否成立，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.2．（2021·江蘇·高二單元測試）過雙曲線x