2024年湖南省初中學(xué)業(yè)水平考試模擬數(shù)學(xué)試題（三）（解析版）

湖南省2024年初中學(xué)業(yè)水平考試模擬試卷數(shù)學(xué)溫馨提示：1．答題前，請考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，并認(rèn)真核對條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號、考室和座位號；2．必須答題卡上答題，在草稿紙、試題卷上答題無效；3．答題時，請考生注意各大題題號后面的答題提示；4．請勿折疊答題卡，保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔；5．答題卡上不得使用涂改液、涂改膠和貼紙；6．本試卷共26個小題，考試時量120分鐘，滿分120分．一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的．請在答題卡中填涂符合題意的選項．本大題共10個小題，每小題3分，共30分）1.2024的相反數(shù)是（）A.2024 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了相反數(shù)，掌握符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)即可求解．【詳解】解：2024的相反數(shù)是．故選：B．2.“中國天眼”是世界上最大的單口徑球面射電望遠鏡，它發(fā)現(xiàn)的一個脈沖星是至今世界上發(fā)現(xiàn)的射電流量最弱的高能亳秒脈沖星．其自轉(zhuǎn)周期為0.00519秒．將0.00519用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面0的個數(shù)所決定．【詳解】解：．故選：C．3.下列計算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查同底數(shù)冪的乘除法，積的乘方運算，合并同類項．根據(jù)題意逐一對選項進行判斷即可得到本題答案．【詳解】解：∵不是同類項，不能作加法運算，故A選項錯誤；∵，故B選項錯誤；∵，故C選項錯誤；∵，故D選項正確，故選：D．4.如圖是一個正方體的平面展開圖，則原正方體中與“?！弊忠幻嫦鄬γ嫔系淖质牵ǎ〢.祝 B.試 C.順 D.利【答案】D【解析】【分析】本題考查了正方體相對兩個面上的文字，熟練掌握根據(jù)正方體的表面展開圖找相對面的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正方體的表面展開圖找相對面的方法：一線隔一個，“Z”字兩端是對面，即可解答．【詳解】解：原正方體中與“祝”字一面相對面上的字是“利”．故選：D．5.如圖，在中，，，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點和點，作直線，交于點，連接，則的度數(shù)為（）A.23° B.25° C.27° D.29°【答案】C【解析】【分析】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)．先根據(jù)三角形內(nèi)角和，等邊對等角得出，再利用基本作圖得垂直平分，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到，進而可求出答案．【詳解】解：∵，，∴，由作法得垂直平分，∴，∴，∴．故選：C．6.下列命題中，是真命題的是（）A.同旁內(nèi)角互補B.兩直線被第三條直線所截，截得的內(nèi)錯角相等C.三角形的外角大于三角形的內(nèi)角D.對頂角相等【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了判斷命題真假，根據(jù)平行線性質(zhì)即可判斷A、B；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可判斷C；根據(jù)對頂角相等即可判斷D．【詳解】解：A、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，原命題是假命題，不符合題意；B、兩平行直線被第三條直線所截，截得的內(nèi)錯角相等，原命題是假命題，不符合題意；C、三角形的外角大于與其不相鄰的三角形的內(nèi)角，原命題是假命題，不符合題意；D、對頂角相等，原命題真命題，符合題意；故選：D．7.如圖，是的直徑，弦于點E，，，則的長為（）A.5cm B.3cm C.2cm D.1．5cm【答案】C【解析】【分析】由垂徑定理可得的長度，再由勾股定理可得的長度，然后由即可得出答案．【詳解】解：∵弦于點E，，∴，∵，∴，在中，，∴，故選：C．【點睛】本題考查了垂徑定理以及勾股定理，利用垂徑定理結(jié)合勾股定理求出的長度是解題的關(guān)鍵．8.為更好地學(xué)習(xí)貫徹“第十四屆全國人大會議”精神，牢記使命擔(dān)當(dāng)，奮進新時代，筑夢新征程．某校舉辦了“第十四屆全國人大會議”知識競賽，某班參賽的6名同學(xué)的成績（單位：分）分別為：，，，，，．則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查中位數(shù)，把這組數(shù)據(jù)從小到大進行排列，然后根據(jù)中位數(shù)的定義，即可求解．【詳解】解：將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：，，，，，，處于中間位置的那兩個數(shù)是和，∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，故選：C．9.如圖，將矩形直線折疊，使得點落在點處，交于點，若，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)題意證明出，得到，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)正切概念求解即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形∴，，由折疊可得，，∴，又∵∴，∴，設(shè)，則在中，解得：．故選C．【點睛】此題考查了勾股定理、矩形的折疊問題、全等三角形的性質(zhì)和判定、正切的定義等知識，熟練掌握折疊的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．10.已知拋物線（a，b，c為常數(shù)，）的對稱軸為直線，與x軸交于，兩點，，下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意知，，即，當(dāng)時，，由題意可得，，進而可判斷B、C的正誤；由與關(guān)于直線對稱，，可得，則，可判斷A的正誤；由圖象開口向上，可知當(dāng)時，，可判斷D的正誤．【詳解】解：由題意知，，即，又∵拋物線與x軸交于，兩點，∴，，∴，B、C錯誤，故不符合要求；∵與關(guān)于直線對稱，，∴，∴，∴，A錯誤，故不符合要求；∵，圖象開口向上，當(dāng)時，y隨著x的增大而減小，，∴當(dāng)時，，D正確，故符合要求；故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與軸的交點坐標(biāo)，一元二次方程的判別式，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系等知識．熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與軸的交點坐標(biāo)，一元二次方程的判別式，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）11.若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)題意列出不等式成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式求解即可．【詳解】解：∵式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，解得：．故答案為：．12.如圖，，將的直角三角板與的內(nèi)角頂點分別放在直線、上，若，則________．

【答案】【解析】【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)，根據(jù)，則，再根據(jù)，等量代換，即可．【詳解】∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．13.因式分解：______．【答案】【解析】【分析】先提公因式然后再用平方差公式分解因式即可．【詳解】解：故答案為：．【點睛】本題主要考查了分解因式，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．14.國慶期間，某超市開展“有獎促銷”活動，凡購物不少于50元的顧客均有一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會．如圖，轉(zhuǎn)盤被平均分為8等份，指針固定不動，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，當(dāng)指針指向數(shù)字8時，該顧客獲一等獎；當(dāng)指針指向3或5時，該顧客獲二等獎；若指針指向分界線則重轉(zhuǎn)．顧客轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤，獲一等獎或二等獎的可能性大小為______．【答案】【解析】【分析】此題考查了概率的計算方法，如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率．用獲一等獎或二等獎的機會數(shù)除以所有等可能發(fā)生的機會總數(shù)即可．【詳解】解：∵轉(zhuǎn)盤被平均分為8等份，當(dāng)指針指向數(shù)字8時，該顧客獲一等獎；當(dāng)指針指向3或5時，該顧客獲二等獎，∴獲一等獎或二等獎的可能性大小為．故答案為：．15.《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學(xué)專著之一，其中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件送到900里（1里千米）外的城市，如果用慢馬送，需要的時間比規(guī)定的時間多1天；如果用快馬送，需要的時間比規(guī)定的時間少3天．已知快馬的速度是慢馬速度的2倍，求規(guī)定的時間．設(shè)規(guī)定的時間為天，則可列方程為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，先得到慢馬和快馬送的時間，再根據(jù)快馬的速度是慢馬速度的2倍列方程即可．【詳解】解：設(shè)規(guī)定的時間為天，則慢馬送的時間為天，快馬送的時間為天，根據(jù)題意，得，故答案為：．【點睛】本題考查列分式方程，理解題意，找到等量關(guān)系是解答的關(guān)鍵．16.如圖，已知圓心角的度數(shù)為，則圓周角的度數(shù)是_______．【答案】【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，應(yīng)在優(yōu)弧上取D點，連接，再進行解答即可．【詳解】解：如圖，在優(yōu)弧上取D點，連接，∵點C在的圓周上，∵的度數(shù)為，∴．∴．故答案為：．17.在平面直角坐標(biāo)系中，直線過點，則的值為_________．【答案】【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，牢記直線上任意一點的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．把代入即可得到，代入即可求解．【詳解】解：∵直線過點，，，，故答案為：2020．18.圖1是某收納盒實物圖，圖2是盒子打開時部分側(cè)面示意圖，兩平行的支撐桿，與收納盒相連．當(dāng)支撐桿繞點A或B旋轉(zhuǎn)時，收納盒沿斜上方平移，且，始終保持與平行．點A位于的中垂線上，其到的距離是到距離的倍，已知，，．轉(zhuǎn)動，當(dāng)點E在點B的正上方時，E到的距離為，盒子關(guān)閉時，支撐桿繞點B旋轉(zhuǎn)，點E恰好與點M重合，則支撐桿的長為______；將盒子完全打開如圖3所示，支撐桿經(jīng)過點N，則與的距離為______．【答案】①.②.【解析】【分析】①令與交點為K，與交點為H，連接，連接并延長，交于點R，先求出長，再設(shè)長為x，根據(jù)勾股定理列出方程解出即可；②過E點作，交延長線于點W，連接并延長，交于點R，交于點T，先證明，再根據(jù)①可得長，根據(jù)題意可知長，根據(jù)勾股定理可求得長，長可求．【詳解】令與交點為K，與交點為H，連接，連接并延長，交于點R∵，點E在點B的正上方∴、∵點A位于的中垂線上，∴為中垂線∴，∵、∴四邊形為矩形、四邊形為矩形∴，∴設(shè)長為x，則根據(jù)題意可知∴∴在中根據(jù)勾股定理有：即解得故答案為；過E點作，交延長線于點W，連接并延長，交于點R，交于點T則有、、∴∵∴由①可知∵∴∴∴∵∴在中根據(jù)勾股定理有：∴∴∵點A到的距離是到距離的倍∴點R到的距離是到距離的倍∴∵、、∴四邊形為矩形∴∴故答案為．【點睛】本題考查了矩形的判定及性質(zhì)、三角形相似的判定及性質(zhì)、勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點，熟練掌握上述知識點是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8小題，第19—20題每小題6分，第21—22題每小題8分，第23—24題每小題9分，第25—26題每小題10分，共66分）19.計算：【答案】【解析】【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，涉及了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪以及絕對值的求解，注意計算的準(zhǔn)確性．【詳解】解：原式20.先化簡，再求值：，其中．【答案】，值為．【解析】【分析】本題考查分式的化簡求值，先算括號內(nèi)的式子，再算括號外的除法，然后將的值代入化簡后的式子計算即可．【詳解】解：，當(dāng)時，原式．21.為弘揚向善、為善優(yōu)秀品質(zhì)，助力愛心公益事業(yè)，我校組織“人間自有真情在，愛心助力暖人心”慈善捐款活動，八年級全體同學(xué)參加了此次活動.隨機抽查了部分同學(xué)捐款的情況，統(tǒng)計結(jié)果如圖①和圖②所示.（1）本次共抽查了________人；并補全上面條形統(tǒng)計圖；（2）本次抽查學(xué)生捐款的中位數(shù)為________；眾數(shù)為________；（3）全校有八年級學(xué)生1100人，估計捐款金額超過15元（不含15元）的有多少人？【答案】（1）50，補圖見解析（2）15，15（3）220人【解析】【分析】本題考查扇形統(tǒng)計圖，條形統(tǒng)計圖，中位數(shù)、眾數(shù)以及樣本估計總體，（1）從兩個統(tǒng)計圖中可知，樣本中“捐款為5元”的學(xué)生有8人，占調(diào)查人數(shù)的，根據(jù)頻率可求出答案；（2）根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的定義進行計算即可；（3）求出樣本捐款金額超過15元（不含15元）的所占百分比，估計總體中捐款金額超過15元（不含15元）人數(shù)．【小問1詳解】解：（人，“捐款為15元”的學(xué)生有（人，補全條形統(tǒng)計圖如下：【小問2詳解】學(xué)生捐款金額出現(xiàn)次數(shù)最多的是15元，共出現(xiàn)18次，因此捐款金額的眾數(shù)是15元，將這50名學(xué)生捐款金額從小到大排列處在中間位置的兩個數(shù)都是15元，因此中位數(shù)是15元，故答案為：15，15；【小問3詳解】捐款金額超過15元（不含15元）的人數(shù)（人），所以全校八年級學(xué)生為1100名，捐款金額超過15元（不含15元）的人數(shù)為220人，22.如圖，，，，點D在邊上．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角的性質(zhì)：（1）由可得，進而利用即可求證；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可求解．【小問1詳解】解：∵，∴，∴，在和中∴.【小問2詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．23.在我?！皵?shù)學(xué)項目化學(xué)習(xí)”中，學(xué)生使用甲、乙兩種原料配制奶茶．兩種原料的蛋白質(zhì)含量及價格如下表：原料甲乙蛋白質(zhì)的含量/（單位/kg）600100原料價格/（元/kg）84（1）現(xiàn)配制這種奶茶10kg，要求至少含有4200單位的蛋白質(zhì)，求出所需甲種原料的質(zhì)量x（kg）的取值范圍．（2）如果僅要求購買甲、乙兩種原料的費用不超過72元，求所需甲種原料的質(zhì)量x（kg）的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)需要甲種原料，則需要乙種原料，然后根據(jù)要求至少含有4200單位的蛋白質(zhì)列出不等式求解即可；（2）根據(jù)購買甲、乙兩種原料的費用不超過72元結(jié)合（1）所求，建立關(guān)于x的不等式組進行求解即可．【小問1詳解】解：設(shè)需要甲種原料，則需要乙種原料，由題意得，∴，解得；【小問2詳解】解：由題意得，解得．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式的實際應(yīng)用，一元一次不等式組的實際應(yīng)用，正確理解題意找到不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．24.2024年1月17日，長征七號運載火箭在文昌航天發(fā)射場托舉天舟七號貨運飛船點火升空，隨后將飛船精準(zhǔn)送入預(yù)定軌道，中國載人航天工程2024年發(fā)射任務(wù)首戰(zhàn)告捷．運載火箭從發(fā)射點處發(fā)射，當(dāng)火箭到達處時、在地面雷達站處測得點的仰角為，在地面雷達站處測得點的仰角為．已知，三點在同一條直線上，求兩個雷達站之間的距離（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)）．【答案】．【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角與俯角，正確地識別圖形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論．【詳解】解：，．，，又，則，則，答：兩個雷達站之間的距離為．25.如圖，是的直徑，點是弧上一點，且，與交于點．(1)求證：是的切線；(2)若平分，求證：；(3)在(2)的條件下，延長，交于點，若，，求的長和的半徑．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）已知，，得到根據(jù)是的直徑，得到，所以，即可證明是的切線．（2）利用同弧所對的圓周角相等和角平分線的定義可得到∠DEA=∠DBE，通過證得△DEF∽△DBE即可求解；（3）根據(jù)題意畫出圖形，連接DA、DO，不難得到OD∥BE，進而有，由PA=AO可得到，結(jié)合ED的長即可得到PD的長；由圓內(nèi)接四邊形的對角互補可得到∠ABE+∠ADE=180°，結(jié)合平角和平行線的性質(zhì)可得到∠PDA=∠AOD，進一步可得到△PDA∽△POD，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)即可得到OA的長．【詳解】（1）∵，∴∵是的直徑∴∴∴即又∵是的直徑∴是切線（2）∵∠DEA和∠ABD都是所對的圓周角，∴∠DEA=∠ABD∵BD平分∠ABE∴∠ABD=∠DBE∴∠DEA=∠DBE∵∠EDB=∠BDE，∠DEA=∠DBE，∴△DEF∽△DBE，∴∴（3）根據(jù)題意畫出圖形，連接DA、DO∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD∵∠EBD=∠OBD∴∠EBD=∠ODB∴OD∥BE∴∵PA=AO∴PA=AO=OB，∴∴∴∵DE=2，∴PD=4∵∠PDA+∠ADE=180°，∠ABE+∠ADE=180°，∴∠PDA=∠ABE∵OD∥BE∴∠AOD=∠ABE，∴∠PDA=∠AOD∵∠P=∠P，∠PDA=∠AOD∴△PDA∽△POD∴設(shè)OA=x，則PA=x，PO=2x∵PD=4，，PA=x，PO=2x∴∴x=∴OA=故答案為：【點睛】本題考查了切線的判定定理，同弧所對的圓周角相等，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，圓內(nèi)接四邊形的對角互補．26.定義：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點坐標(biāo)為，那么我們把經(jīng)過點且平行于軸的直線稱為這條拋物線的極限分割線．【特例感知】（1）拋物線的極限分割線與這條拋物線的交點坐標(biāo)為______．【深入探究】（2）經(jīng)過點和的拋物線與軸交于點，它的極限分割線與該拋物線另一個交點為，請用含的