江蘇省常州市奔牛高級中學2025屆高三上學期第一次質檢測數學試題

江蘇省奔牛高級中學2025屆第一學期期初檢測卷高三數學一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據據余弦函數符號的分布情況結合充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】若，則成立，故充分性成立；若，則，不一定為，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.2.已知，，若，則實數m的取值范圍（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式可得集合A，根據可得在上恒成立，結合二次函數的單調性即可求得答案.【詳解】解不等式，即，即，又，，故在上恒成立，即在上恒成立，而在上單調遞減，故，故，即實數m的取值范圍為，故選：B3.已知函數在區(qū)間上單調遞減，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用換元法和復合函數單調性的判斷方法，換元后可知只要滿足即可，從而可求出實數的取值范圍.【詳解】令，則，因為函數在區(qū)間上單調遞減，且在定義域內遞增，所以，解得，故選：B4.若，則（

）A. B. C.45 D.【答案】B【解析】【分析】根據兩角差的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式化簡求得答案.【詳解】由，得，.故選：B.5.若函數既有極大值也有極小值，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將函數既有極大值也有極小值轉化為導函數對應的方程有兩個不等正根即可解決問題.【詳解】因為，所以函數定義域為，，由題意，方程，即有兩個不相等的正根，設為，則，解得，即的取值范圍為，故選：A.6.已知函數在有且僅有2個極值點，且在上單調遞增，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由在有且僅有2個極值點，可得，解得，又在上單調遞增，可得，解得，則可得的取值范圍.【詳解】因在有且僅有2個極值點，所以，解得，因為在上單調遞增，又，所以，解得，所以．故選：A．7.已知函數，對于有四個結論：①為偶函數；②的最小正周期是π：③在上單調遞增；④的最小值為．則四個結論正確的是（）A.①② B.②③ C.①③ D.①④【答案】D【解析】【分析】由偶函數的定義可得①正確；由周期函數的定義可得②錯誤；由正弦函數的取值范圍化簡原函數后再結合輔助角公式可得③錯誤；先求出函數的周期，再結合輔助角公式和正余弦函數的取值可得④正確；【詳解】對于①，因為，所以，故①正確；對于②，，所以不是的周期，故②錯誤；對于③，當時，，所以，又，所以，所以由正弦函數的單調性可得在上不是單調的，故③錯誤；對于④，由于，所以是的一個周期，又時，，則，又，所以，；當時，，則，又，所以，；綜上可得，所以的最小值為，故④正確；故選：D.8.已知，其中e是自然對數的底數，則的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據的特點構造函數，然后利用導數研究函數的單調性，從而比較出大小.【詳解】對兩邊取對數得，令，則，設，則在上恒成立，所以在上單調遞減，所以，所以，所以在上單調遞減.又，且，所以，所以，故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．9已知函數則（）A.函數的圖象關于點對稱B.將函數的圖象向左平移個單位長度后所得到的圖象關于軸對稱C.函數在區(qū)間上有2個零點D.函數區(qū)間上單調遞增【答案】ACD【解析】【分析】利用三角恒等變換易得，采用代入檢驗法即可判斷A項，利用平移變換，求得函數解析式，易得其為奇函數，，故而排除B項，將看成整體角，求出其范圍，利用余弦函數的圖象觀察分析，易對C,D兩項進行判斷.【詳解】對于當時，而，故A正確；對于將向左平移個單位后可得，奇函數，關于原點對稱，故B錯；對于當時，，因在上僅有2個零點，故在上也僅有2個零點，故C正確；對于當時，因在上單調遞增，故在上單調遞增，故D正確.故選：ACD．10.已知則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由，可判定A不正確；由對于的運算性質，可判定B正確；由對數的運算性質，可判定C正確；結合基本不等式和對數的運算性質，可判定D正確.【詳解】對于A中，由，可得，所以A不正確；對于B中，由，可得，所以，所以B正確；對于C中，由，因為，所以，所以C正確；對于D中，由，可得，因為，所以等號不成立，所以，又因為，所以，所以D正確.故選：BCD.11.已知正實數滿足（是自然對數的底數，），則（）A. B.C.的最大值為 D.方程無實數解【答案】ACD【解析】【分析】對于A：由已知可得，代入原方程可判斷A；于B：由已知可得，代入原方程可判斷B；令，求導，可判斷其單調性，進而可求其最大值與值域，可判斷CD.【詳解】對于A：由，可得，將代入原方程，可得，故A正確；對于B：若，可得，將代入原方程，得，則，而右邊恒大于0，則等式不成立，故B錯誤；對于C：令，則，令，可得，當時，，所以單調遞增，即，當時，，所以單調遞減，即，所以當時，，在區(qū)間上的值域為，故C正確；對于D：由上可知在區(qū)間上的值域為，所以無實數解，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數，則關于x的不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】根據分段函數的性質及對數函數的單調性解不等式可得結果.【詳解】當時，得，當時，，得，所以，綜上：的解集為，故答案為：.13.設，則的最小值為______________.【答案】##【解析】【分析】先將化簡為，再利用基本不等式即可.【詳解】因為，為正數，由，當且僅當，即時，等號成立.故答案為：.14.已知函數的零點為，且，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】將已知條件中零點轉化成方程的根，從而求出的范圍及關系，然后構造函數求出最值即可.【詳解】，顯然，所以0是函數的零點；當時，由得，由題意方程有兩個根，設，由于，所以是偶函數，所以需要在上只有一個根，當時，由于，則，設，則，設，則，所以單調遞增，所以，所以，所以單調遞增，所以，即，所以在上單調遞增，所以上只有一個根，即，則，設，則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以當時，取得最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．15.在平面四邊形中，，，．（1）求的值；（2）若，求的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據條件，利用余弦定理，即可求出結果；（2）根據（1）中結果及條件，求得，，再利用正弦定理即可求出結果.【小問1詳解】在中，由余弦定理可得：，又，，，所以.【小問2詳解】由（1）知，所以，又，所以，所以，又，所以，在中，由正弦定理可得：，得到，所以.16.已知函數.（1）求的最大值;（2）證明：【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用多次求導的方法求得的單調區(qū)間，進而求得的最大值.（2）利用導數，首先將要證明的不等式轉化為證明，然后利用構造函數法，結合導數證得不等式成立.【小問1詳解】，定義域為，則，令，因為恒成立，所以在上單調遞增，所以，即當時，，令，可得，得在上單調遞增，在上單調遞減，所以.【小問2詳解】要證，即證，

令

令得，即在上單調遞減，在上單調遞增，，即，即欲證，只需證也就是證明

設，則，令，得

當時，；當時，

當時，取到最小值故式成立，從而成立.【點睛】利用導數研究函數的單調性、極值、最值時，當一次求導無法解決，可考慮利用多次求導的方法來進行求解.利用導數證明不等式，可先將不等式進行轉化，轉化為容易證明的形式，然后利用構造函數法，結合導數進行證明.17.已知函數的最小正周期為.（1）求在上的單調遞增區(qū)間；（2）在銳角三角形中，內角的對邊分別為且求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據二倍角公式及輔助角公式化簡函數解析式，根據周期求得的值，從而得到函數的解析式，整體代入法求解單調區(qū)間即可；（2）利用正弦定理即兩角和的正弦公式化簡條件，從而求得繼而得到整體代入求函數值的范圍即可.【小問1詳解】.因為所以故.由解得當時又所以在上的單調遞增區(qū)間為.【小問2詳解】由得（所以.因為所以又所以又三角形為銳角三角形，則，則，所以，又，，則，所以的取值范圍為.18.設為實數，函數（1）若，求的取值范圍；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）不等式可轉化為，解不等式即可得解；（2）分類討論，去掉絕對值，轉化為二次函數的最小值問題，從而利用二次函數的對稱軸及單調性即可得解．【小問1詳解】若，則，顯然，則，即，解得，所以的取值范圍為.【小問2詳解】當時，，此時開口向上，對稱軸為，當，即時，在上單調遞增，此時；當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，此時；當時，，此時開口向上，對稱軸為，當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，此時；當，即時，在上單調遞減，此時；綜上：當時，因為，所以；當時，因為，所以；故.19.已知函數.（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍；（3）若對任意恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）函數求導，根據參數進行分類，討論函數的單調性即得；（2）將函數有兩個零點，轉化為與有兩個交點問題，利用導數研究并作出函數的圖象，即得的取值范圍；（3）由原不等式恒成立轉化為恒成立，設，就參數分類討論，找到使恒成立時的情況，即得的取值范圍.【小問1詳解】的定義域為，當時，時，時，；當時，時，；當時，時，；時；當時，時；時；綜上，時，的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是；時，的遞增區(qū)間是，無遞減區(qū)間；時，的遞增區(qū)間是和，遞減區(qū)間是；時，的遞增區(qū)間是和，遞減區(qū)間是.【小問2詳解】令得，設，則，當時，在上遞減；當時，在上遞增，則.又因時，時，作出函數的圖象，由圖可得，要使直線與函數的圖象有兩個交點，須使，即，故的取值范圍是.【小問3詳解】由得，因，即得，（*），易得時，不等式成立，設，，則，當時，，函數在上單調遞增，