模型2020年中考數(shù)學(xué)33個(gè)模型全梳理7

專題一角平分線相關(guān)問題模型解題

解題模型一

針對(duì)訓(xùn)練

1.（2016?棗莊）如圖，在AABC中，AB=AC,/A=30。，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，/ABC與NACE的平分

線相交于點(diǎn)D,則ND的度數(shù)為（

A.15°B.17.5°

【分析】由解題模型一中的（3）可知，/D=4/A,把/A的度數(shù)代入計(jì)算即可.

2

【詳解】ZD=1-ZA=1X300=150.

22

故選：A.

【小結(jié)】本題若不套用模型，則需要通過三角形的外角性質(zhì)證明得到NA、ND的數(shù)量關(guān)系.

2.（2018?巴中）如圖，在aABC中，BO、CO分別平分NABC、ZACB.若/BOC=110。，則NA=

【分析】由解題模型一中的⑴可知，ZBOC=90°+1ZA,把NBOC=110。代入計(jì)算可得到/A的度數(shù).

2

【詳解】VZBOC=90°+AZA,ZBOC=110°,90°+^ZA=110°.ZA=40°.

22

【小結(jié)】本題若不套用模型，需要利用三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義得到/BOC、ZA的數(shù)量關(guān)

系.

3.（2018?深圳）在RtZ\ABC中，ZC=90°,AD平分/CAB,BE平分/ABC,AD、BE相交于點(diǎn)F,且AF=4,

EF=&,貝ijAC=.

【分析】先求出NEFG=45。，進(jìn)而利用勾股定理即可得出FG=EG=1,進(jìn)而求出AE,最后判斷出△AER”kAFC,

即可得出結(jié)論.

【詳解】?/AD,BE是分別是/BAC和/ABC的平分線，

/.ZAFB=90°+ZACB=135O.

過點(diǎn)E作EG1AD于點(diǎn)G,則NEFG=45。.

在RtZkEFG中，EF=V2,/.FG=EG=1.

\'AF=4,；.AG=AF-FG=3.

根據(jù)勾股定理，得AEWAG2+EG

連接CF.

：AD平分NCAB,BE平分NABC,，CF是/ACB的平分線.NACF=45°=NAFE.

；NCAF=NFAE,二AAF.FSAAF,，趣=與.二A「=AF、=[6=Wi。故答案為_§￡^.

AF-ACAEV1055

【小結(jié)】此題主要考查了角平分線定義，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，求出AE是解本題的關(guān)鍵.

4.（2018?濟(jì)南歷城區(qū)模擬）如圖，BAI和CAi分別是4ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，BA?是NA|BD

的角平分線，CA2是NA|CD的角平分線，BA3是NA?BD的角平分線，CA3是/A?CD的角平分線，若

NA?=a,則NA2018=____________

【分析】根據(jù)角平分線的定義可得NA|BC=￡/ABC,ZAtCD=lZACD,再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它

不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得NACD=/A+/ABC,ZA,CD=ZA1BC+ZA1,整理即可得解，同理求出/A2,

可以發(fā)現(xiàn)后T角等于前一個(gè)角嗎，根據(jù)此規(guī)律即可得解.

【詳解】：A|B是NABC的平分線，AIC是NACD的平分線,

NA|BC」NABC,/A|CD=1-/ACD,

22

XVZACD=ZA+ZABC,ZA,CD=ZAIBC+ZA,,

.'A(ZA+ZABC)=^ZABC-ZA,,

22

.*.NAT/A,

2

?「NAi=a,

同理理可得NA2=5/A產(chǎn)梟，

22

則4刈產(chǎn)請(qǐng)?zhí)?/p>

故答案為：請(qǐng)?zhí)?/p>

【小結(jié)】本題主要考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，以及角平分線的定義,

熟記性質(zhì)然后推出后一個(gè)角是前一個(gè)角的一半是解題的關(guān)鍵。

解題模型二

1.角平分線+平行線一等腰三角形

如圖1,BD是/ABC的平分線，點(diǎn)0是BD上一點(diǎn)，OE〃BC交AB于點(diǎn)E,則4BOE是等腰三角形.

2.與角平分線有關(guān)的輔助線

(1)過角平分線上的點(diǎn)作角兩邊的垂線

如圖2,B0是NABC的平分線，過點(diǎn)0作OEJ_AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)0作0FLBC于點(diǎn)F,則OE=OF,△

(2)角平分線的兩端過角的頂點(diǎn)取相等的兩條線段構(gòu)造全等三角形

如圖3,B0是/ABC的平分線，在BA,BC上取線段BE=BF,則△BEOg/XBFO.

(3)過角平分線上一點(diǎn)作角平分線的垂線，從而得到等腰三角形.

如圖4,BD是NABC的平分線，點(diǎn)E是BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作BD的垂線，則△BGH是等腰三角形且

BD垂直平分GH.

針對(duì)訓(xùn)練

5.（2018?長(zhǎng)春）如圖，在AABC中，CD平分NACB交AB于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE〃BC交AC于點(diǎn)E.若

ZA=54°,NB=48。，則NCDE的大小為（

B

A.44°B.40°C.39°D.38°

t分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和得出NACB,利用角平分線得出NDCB,再利用平行線的性質(zhì)詳解即可.

t詳解】?."ZA=54%NB=48°,

.\ZACB=180°-54°-480=78°.

,.,CD平分/ACB交AB于點(diǎn)D,

/.ZDCB=-^x78e=39°.

2

'/DE//BC,

.,.ZCDE=ZDCB=39°.

【小結(jié)】此題考查三角形內(nèi)角和問題，關(guān)鍵是根據(jù)三角形內(nèi)角和、角平分線的定義和平行線的性質(zhì)詳解.

6.（2016?湖州）如圖，AB〃CD,BP和CP分別平分/ABC和/DCB,AD過點(diǎn)P,且與AB垂直.若AD=8,

則點(diǎn)P到BC的距離是（）

A.8B.6C.

【分析】過點(diǎn)P作PEJ_BC于E,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得PA=PE,PD=PE,那么

PE=PA=PD,又AD=8,進(jìn)而求出PE=4

【詳解】過點(diǎn)P作PEJ_BC于點(diǎn)E.

：AB〃CD,PA1AB,.".PD1CD.

：BP和CP分別平分/ABC和/DCB,，PA=PE,PD=PE.,；.PE=PA=PD.

VPA+PD=AD=8,，PA=PD=4.，PE=4.故選：C.

【小結(jié)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線是解題的關(guān)鍵.

7.（2018?常德）如圖，已知BD是AABC的角平分線，ED是BC的垂直平分線，ZBA,C=9O°,AD=3,則

CE的長(zhǎng)為（）

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DB=DC,根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理求出NC=/DBC=

NABD=30。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)詳解.

【詳解】是BC的垂直平分線，.?.DB=DC.

.".ZC=ZDBC.

,/BD是aABC的角平分線,

.\ZABD=ZDBC.

.?.ZC=ZDBC=ZABD=30S.

/.BD=2AD=6.

.?.CE=CDXcos/C=3近

故選：D.

【小結(jié)】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、直角三.角形的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩

端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.

8.（2018?淄博）如圖，在RtZXABC中，CM平分NACB交AB于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN〃BC交AC于點(diǎn)N,

且MN平分NAMC,若AN=1,則BC的長(zhǎng)為（）

A.4B.6C.45/3D.8

【分析】根據(jù)題意，可以求得NB的度數(shù)，然后根據(jù)解直角三角形的知識(shí)可以求得NC的長(zhǎng)，從而可以求得

BC的長(zhǎng).

【詳解】.在RtAABC中，CM平分NACB交AB于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN”BC交AC于點(diǎn)N,且MN平分/

AMC,

.?./AMN=/NMC=NB,ZNCM=ZBCM=ZNMC.

/.ZACB=2ZB,NM=NC.

.".ZB=30O.

".'AN=1,.\MN=2.

/.AC=AN+NC=3.

/.BC=6.

故選：B.

【小結(jié)】本題考查30。角的直角三角形、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，詳解本題的關(guān)鍵是明確

題意，找出所求問題需要的條件,，利用數(shù)形結(jié)合的思想詳解.

9.（2018?大慶）如圖，NB=NC=90。，M是BC的中點(diǎn)，DM平分/ADC,且/ADC=110。，則NMAB=（)

A.30°B.35°C.45°D.60°

【分析1作MN_LAD于N,根據(jù)平行線的性質(zhì)求出NDAB,根據(jù)角平分線的判定定理得到/MAB=L/DAB,

2

計(jì)算即可

【詳解】作MN_LAD于點(diǎn)N,

"."ZB=ZC=900,/.ABIICD.

.,.ZDAB=180°-ZADC=7O°.

「DM平分NADC,MN1AD,MC_LCD,

.,.MN=MC.

,「M是BC的中點(diǎn)，

/.MC=MB.

又MN1AD,MB1AB,

.\ZMAB=—ZDAB=35°.

2

故選：B.

L小結(jié)】本題考查的是角平分線的判定和性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

10.（2018?河北）如圖，點(diǎn)I為AABC的內(nèi)心，AB=4,AC=3,BC=2,將NACB平移使其頂點(diǎn)與I重合,

則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為（）

【分析】連接AI、BI,因?yàn)槿切蔚膬?nèi)心是角平分線的交點(diǎn)，所以AI是NCAB的平分線,由平行的性質(zhì)

和等角對(duì)等邊可得：AD=DL同理BE=EI,所以圖中陰影部分的周長(zhǎng)就是邊AB的長(zhǎng).

【詳解】連接Al、BI.

?..點(diǎn)I為Z1ABC的內(nèi)心，:Al平分/CAB.

/.ZCAI=ZBAI.

由平移得：AC"DI,

/.ZCAI=ZAID.

.\ZBAI=ZAID.

.,.AD=DI.

同理可得：BE=EI.

「.△DIE的周長(zhǎng)=DE+DI+EI=DE+AD-BE=AB=4.

即圖中陰影部分的周長(zhǎng)為4.

故選：B.

【小結(jié)】本題考查了三角形內(nèi)心的定義、平移的性質(zhì)及角平分線的定義等知識(shí)，熟練掌握三角形的內(nèi)心是

角平分線的交點(diǎn)是關(guān)鍵.

11.（2018?棗莊）如圖，在Rt/XABC中，ZACB=90°,CD」AB,垂足為D,AF平分/CAB,交CD于點(diǎn)

E,交CB于點(diǎn)F.若AC=3,AB=5,則CE的長(zhǎng)為（）

8

A,2

5

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出NCAF+NCFA=90。，NFAD+NAED=90。，根據(jù)角平分線和對(duì)頂角相

等得出NCEF=NCFE,即可得出EC=FC,再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案.

【詳解】過點(diǎn)F作FGLAB于點(diǎn)G,如圖所示.

/ZACB=900,CD1AB,/.ZCDA=9O,,.

,.ZCAF+ZCFA=90°,ZFAD*ZAED=90°.

.'AF平分NCAB,

\ZCAF=ZFAD.

\ZCFA=ZAED=ZCEF.

\CE=CF.

「AF平分/CAB,ZACF=ZAGF=908,

\FC=FG.

/ZB=ZB,ZFGB=ZACB=90°,

,.△BFGOOABAC.

.BFFG

'ABAC'

/AC=3,AB=5,ZACB=90°,

ABCM,,-.1ZECFG

53

：FC=FG,/.±±CFC解得FC=3,

53,2

即CE的長(zhǎng)為W.故選：A.

2

【小結(jié)】本題考查了直角三角形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理以及相似三角形的

判定與性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵是推出/CEF=/CFE.

12.（2017?濱州）如圖，點(diǎn)P為定角/AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且NMPN與NAOB互補(bǔ)，若NMPN

在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：（1）PM=PN恒成立；（2）

OM+ON的值不變；（3）四邊形PMON的面積不變：1r（4）MN的長(zhǎng)不變，其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

【分析】如圖作PE1OA于E,PF1OB于F.只要證明aPOE絲APOF,△PEM絲△PFN,即可——判斷.

【詳解】如圖，作PE1OA于點(diǎn)E,PF1OB于點(diǎn)F.

,.,ZPEO=ZPFO=90°,

.,.ZEPF+ZAOB=180O.

,.■ZMPN-ZAOB=180%

.,.ZEPF=ZMPN.

.,.ZEPM=ZFPN.

；0P平分NAOB,PEj_OA于點(diǎn)E,PFj_OB于點(diǎn)F,...PEXPF.

在APOE和△POF中，J0P=0P,.,.△POE^APOF(HL)..?.OE=OF.

lPE=PF

，ZMPE=ZNPF

在APEM和△PFN中，.PE=PF，.，.△PEM^APFN(ASA)..*.EM=NF,PM=PN,故(1)正確.

.ZPEM=ZPFN

.".SAPEM-SAPNF，m?PMON=SrwepEO產(chǎn)定值，故(3)正確.?；OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故

(2)正確，MN的長(zhǎng)度是變化的，故(4)錯(cuò)誤.，故選：B.

【小結(jié)】本題考查全等三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、四邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添

加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型.

13.（2018?德州）如圖，OC為NAOB的平分線，CM1OB,OC=5,OM=4,則點(diǎn)C到射線OA的距離為3

【分析】過點(diǎn)C作CF1AO,根據(jù)勾股定理可得CM的長(zhǎng)，再根據(jù)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等

可得CF=CM,進(jìn)而可得答案.

【詳解】過C作CF1AO,

；OC為/AOB的平分線，CM1OB,/.CM=CE

■/OC=5,OM=4,.-.CM=3.

；.CF=3.

故答案為：3.

【小結(jié)】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

14.（2018?廣安）如圖，ZAOE=ZBOE=15°,EF〃OB,EC_LOB于C,若EC=1,則OF=2

【分析】作EHLOA于點(diǎn)H,根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出EH,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出EF,根據(jù)等腰三

角形的性質(zhì)詳解.

【詳解】作EHLOA于點(diǎn)H,如圖所示.

,.-ZAOE=ZBOE=15°,EClOB,EH±OA,

/.EH=EC=1,ZAOB=300.

■/EF//OB,

.\ZEFH=ZAOB=300,ZFEO=ZBOE.

/.EF=2EH=2,ZFEO=ZFOE.

/.0F=EF=2.

故答案為：2.

【小結(jié)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌.握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是

解題的關(guān)鍵.

15.（2018?桂林）如圖，在4ABC中，/A=36。，AB=AC,BD平分NABC,則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是3

【答案】3

【分析】首先根據(jù)已知條件分別計(jì)算圖中每一個(gè)三角形每個(gè)角的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形的判定：等角

對(duì)等邊詳解，做題時(shí)要注意.，從最明顯的找起，由易到難，不重不漏

【詳解】'.-AB=AC,NA=36Y.ZkABC是等腰三角形，

NABC-NACB-180°-36°=72°,

2

BD平分/ABC,.,.ZEBD=ZDBC=36O.

.,.在AABD中，ZA=ZABD=36",AD=BD,4ABD是等腰三角形，

在AABC中，/C=/ABC=72。，AB=AC,4ABC是等腰三角形，

在ABDC中，ZC=ZBDC=72°,BD=BC,ABDC是等腰三角形.

???共有3個(gè)等腰三角形.

故答案為：3

【小結(jié)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及等腰三角形的判定，角的平分線的性質(zhì)；求得各個(gè)角的度數(shù)是正

確詳解本題的關(guān)鍵.

16.（2016?長(zhǎng)春）感知：如圖1,AD平分/BAC.NB+/C=180。，ZB=90°,易知：DB=DC.

探究：如圖2,AD平分NBAC,ZABD+ZACD=180°,ZABD<90°,求證：DB=DC

應(yīng)用：如圖3,四邊形ABCD中，ZB=45°,NC=135。，DB=DC=a,則AB-AC=（用含a的代數(shù)式表

示）

圖①圖②圖③

【分析】探究：欲證明DB=DC,只要證明ADFC絲Z\DEB即可.

應(yīng)用：先證明aDFC絲ADEB,再證明4ADFg4ADE,結(jié)合BD=&EB即可解決問題.

【詳解】探究：證明：如圖。②中，DEJ_AB于E,DFJ_AC于F,

：DA平分NBAC,DE1AB,DF±AC,.\DE=DF.

VZB+ZACD=180°,ZACD+ZFCD=180°,/.ZB=ZFCD.

，ZF=ZDEB

在ADFC和ADEB中，?/FCD=/B，.,.ADFC^ADEB(AAS)..,.DC=DB.

DF=DE

B

圖②圖③

應(yīng)用：如圖③連接AD,過點(diǎn)D作DE1AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DF±AC于點(diǎn)F.

■/ZB+ZACD=1800,ZACD+ZFCD=180O,

/.ZB=ZFCD.

在ADFC和ADEB中，

2F=NDEB

，NFCD=NB,

,DC=DB

/.△DFC^ADEB(AAS).

/.DF=DE,CF=BE.

在RtAADF和RtAADE中,

(AD=AD

IDE=DF'

/.△ADI^AADE(HL)..\AF=AE.

/.AB-AC=(AE+BE)-(AF-CF)=2BE.

在RTZkDEB中，,.*ZDEB=90O,ZB=ZEDB=45°,BD=a,

.■,BE=^-a.

2

/.AB-AC=5/sa.故答案為

【小結(jié)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí),

解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考?？碱}型.

專題二全等三角形模型解題

解題模型一平移模型

針對(duì)訓(xùn)練

1.(2018?桂林)如圖，點(diǎn)A、D、C、F在同一條直線上，AD=CF,AB=DE,BC=EF.

(1)求證：△ABC04DEF；

(2)若NA=55。，/B=88。，求NF的度數(shù).

【分析】(1)求出AC=DF,根據(jù)SSS推出aABC之ADEF.

(2)由(1)中全等三角形的性質(zhì)得到：/A=/EDF,進(jìn)而得出結(jié)論即可.

【解答】證明：(D'..AC=AD-DC,DF=DC+CF,且AD=CF,

.\AC=DF.

融DE

在4ABC和ADEF中，＜BC=EF

.AC=DF

/.△ABC^ADEF(SSS).

(2)由(1)可知，ZF=ZACB.

,.,ZA=55°,ZB=88°,

.".ZACB=180--(ZA+ZB)=180°-(55。+88°)=37°.

/.ZF=ZACB=37O.

【小結(jié)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.

解題模型二對(duì)稱模型

針對(duì)訓(xùn)練

2.（2018?南充）如圖，已知AB=AD,AC=AE,ZBAE=ZDAC.

求證：ZC=ZE.

【分析】由NBAE=NDAC可得到/BAC=NDAE,再根據(jù)“SAS”可判斷aBAC絲4DAE,根據(jù)全等的性質(zhì)

即可得到/C=/E.

【解答】證明：,/ZBAEXZDAC,

二./BAE-ZCAE=ZDAC-ZCAE,即NBAC=/DAE.

在AABC和AADE中，

'AB=AD

V-ZBAC=ZDAE,

,AC=AE

/.△ABC^AADE(SAS).

；.NC=NE.

【小結(jié)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判斷三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；

全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等.

3.（2018?廣州）如圖，AB與CD相交于點(diǎn)E,AE=CE,DE=BE.求證：ZA=ZC.

【分析】根據(jù)AE=EC,DE=BE,/AED和NCEB是對(duì)頂角，利用SAS證明4ADE絲Z\CBE即可.

【解答】證明：在4AED和4CEB中,

'AE=CE

<ZAED=ZCEB-

DE=BE

/.△AED^ACEB(SAS).

/.ZA=ZC（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）.

【小結(jié)】此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定與性質(zhì)這一知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題難度不大，要求學(xué)

生應(yīng)熟練掌握.

4.（2018?樂山）如圖，己知/1=/2,/3=/4,求證：BC=BD.

【分析】由/3=/4可以得出/ABD=/ABC,再利用ASA就可以得出4ADB絲Z^ACB,就可以得出結(jié)論.

【解答】證明：..?NABD-N3=18O2ABC+N4=18O°,且N3=N4,

/.ZABD=ZABC.

在AADB和4ACB中，

'N1=N2

<AB=AB,

LZABD=ZABC

.,.△AD^AACB(ASA).

.■.BD=BC.

【小結(jié)】本題考查了等角的補(bǔ)角相等的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形

全等是關(guān)鍵.

5.(2017?郴州)已知aABC中，NABC=NACB,點(diǎn)D,E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，求證：BE=CD.

【分析】由NABC=NACB可得AB=AC,又點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn).得至ljAD=AE,通過4ABE

^△ACD,即可得到結(jié)果

【解答】證明：.../ABC=NACB,

.,.AB=AC.

...點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn).

二.AD=AE.

在AABE與4ACD中，

'AD=AE

<ZA=ZA,

心AB

.?.△ABE^AACD(SAS).

/.BE=CD.

【小結(jié)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記定理是解題的關(guān)鍵.

6.（2018?武漢）如圖，點(diǎn)E、F在BC上，BE=CF,AB=DC,ZB=ZC,AF與DE交于點(diǎn)G,求證：GE=GF.

【分析】求出BF=CE,根據(jù)SAS推出4ABF絲Z\DCE,得對(duì)應(yīng)角相等，由等腰三角形的判定可得結(jié)論.

【解答】證明：VBE=CF,??.BE+EF=(CF+EF.，BF=CE.

'AB=DC

在4ABF和4DCE中，，ZB=ZC-△ABF^ADCE(SAS).AZGEF=ZGFE.,，EG=FG.

,BF=CE

【小結(jié)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法是解

題的關(guān)鍵.

7.（2018?泰州）如圖，ZA=ZD=90°,AC=DB,AC、DB相交于點(diǎn)O.求證：OB=OC.

【分析】因?yàn)镹A=ND=90。，AC=BD,BC=BC,知RtZ\BAC絲RtaCDB(HL),所以AB=CD,證明△ABO

與△?口€)全等，所以有OB=OC.

【解答】證明：在RSABC和RtADCB中，

fBD=AC

1CB=BC?

.".RtAABC^RtADCB(HL).

.'.ZOBC=ZOCB.

.\BO=CO.

【小結(jié)】此題主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相

等的重要工具.

8.（2018?鎮(zhèn)江）如圖，ZXABC中，AB=AC,點(diǎn)E,F在邊BC上，BE=CF,點(diǎn)D在AF的延長(zhǎng)線上，AD=AC.

(1)求證：△ABEg^ACF；

(2)若NBAE=30。，則NADC=75°

【分析】（1）要證明△ABEW/SACF,由題意可得AB=AC,ZB=ZACF,BE=CF,從而可以證明結(jié)論成立;

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論和等腰三角形的性質(zhì)可以求得NADC的度數(shù).

【解答】(1)證明：［AB=AC,

.,.ZB=ZACF.

在AABE和AACF中，

'AB=AC

<NB=NACF,

,BE=CF

.'.△ABE^AACF(SAS).

(2)?/△ABE^AACF,ZBAE=3O°,

.".ZBAE=ZCAF=30°.

?/AD=AC,

/.ZADC=ZACD.

.?.NADC」80。-30。=75。.

2

故答案為：75.

【小結(jié)】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利

用數(shù)形結(jié)合的思想解答

解題模型三旋轉(zhuǎn)模型

針對(duì)訓(xùn)練

9.（2018?柳州）如圖，AE和BD相交于點(diǎn)C,ZA=ZE,AC=EC.求證：AABC^AEDC.

【分析】依據(jù)兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等進(jìn)行判斷.

【解答】證明：?.?在AABC和AEDC中，

rZA=ZE

<AC=EC，

,ZACB=ZECD

/.△ABC^AEDC(ASA).

【小結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定，兩角.及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

10.（2018?昆明）如圖，在aABC和4ADE中，AB=AD,ZB=ZD,Z1=Z2.求證：BC=DE.

【分析】根據(jù)ASA證明△ADEg21ABC：

【解答】證明：（D

/.ZDAC+Z1=Z2+ZDAC.

/.ZBAC=ZDAE.

在AABC和AADE中，

'/B=ND

,AB=AD,

,ZBAC=ZDAE

/.△ADE^AABC（ASA）.

/.BC=DE.

【小結(jié)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等.

11.(2017?常州)如圖，已知在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上,ZBCE=ZACD=9O°,ZBAC=ZD,BC=CE.

(1)求證：AC=CD；

(2)若AC=AE,求NDEC的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)同角的余角相等可得到/3=N5,結(jié)合條件可得到Nl=/D,再加上BC=CE,可證得結(jié)論;

(2)根據(jù)NACD=90。，AC=CD,得到N2=ND=45。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到N4=N6=67.5。，由平角

的定義得到/DEC=18O。-Z6=112.5°.

【解答】解：,.?/BCE=NACD=9O。，

/.Z3+Z4=Z4-Z5..\Z3=Z5.

'Z1=ZD

在AABC和ADEC中，＜N3=N5,

BC=CE

.".△ABC^ADEC(AAS).

.,.AC=CD.

(2)?/ZACD=90o,AC=CD,

/.Z2=ZD=45°.

?/AE=AC,

/.Z4=Z6=67.5°.

.,.ZDEC=18O°-Z6=H2.5°.

【小結(jié)】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，即SSS、SAS、ASA、

AAS和HL

12.(2017?恩施州)如圖，AABC>4CDE均為等邊三角形，連接BD、AE交于點(diǎn)O,BC與AE交于點(diǎn)P.求

證：ZAOB=60°.

【分析】利用“邊角邊”證明4ACD和4BCE全等，可得可得NCAE=/CBD,根據(jù)“八字型”證明NAOP=/

PCB=60唧可.

【解答】證明：...△ABC和AECD都是等邊三角形，

.\AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=6O°.

/.ZACB+ZBCE=ZDCE+ZBCE,

即NACE=NBCD.

'AC=BC

在AACE和ABCD中，，ZACE=ZBCD,

CE=CD

.'.△ACE^ABCD(SAS).

.,.ZCAE=ZCBD.

,/ZAPC=ZBPO,

.■.ZBOP=ZACP=60°,即NAOB=60°.

【小結(jié)】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角

形解決問題，屬于中考常考題型.

解題模型四平移+旋轉(zhuǎn)模型

針對(duì)訓(xùn)練

13.（2018?莉澤）如圖，AB〃CD,AB=CD,CE=BF.請(qǐng)寫出DF與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【分析】結(jié)論：DF=AE.只要證明△CDFgZXBAE即可;

【解答】解：結(jié)論：DF=AE.

理由：：AB〃CD,

.\ZC=ZB.

VCE=BF,

r.CF=BE.

又；CD=AB,

/.△CDF^ABAE(SAS).

.\DF=AE.

【小結(jié)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等的條件，屬于中考常

考題型

14.(2017?孝感)如圖，已知AB=CD,AE_LBD,CF±BD,垂足分別為E,F,BF=DE,求證：AB/7CD

【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得NB=ND,根據(jù)平行線的判定，可得答案.

【解答】證明：:AE1BD,CF1BD,

.".ZAEB=ZCFD=90°.

\'BF=DE,

.\BF+EF=DE+EF.

/.BE=DF.

在RtAAEB和RtACFD中，

(AB=CD

1BE=DF'

.?.RtAAEB&RtACFD(HL).

/.ZB=ZD,

二.ABIICD.

【小結(jié)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用等式的性質(zhì)得出BE=DF是解題關(guān)鍵，又利用了全等三

角形的判定與性質(zhì).

15.(2018?銅仁)已知：如圖，點(diǎn)A、D、C、B在同一一條直線上，AD=BC,AE=BF,CE=DF,求證：AE

【分析】可證明4ACE絲△BDF,得出NA=NB,即可得出AE〃BF；

【解答】證明：：AD=BC,，AC=BD,

'AC=BD

在^ACE5faABDF中,<AE=BF,

CE=DF

/.△AC^ABDF(SSS).

/.ZA=ZB.

/.AEIIBF.

【小結(jié)】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及平行線的判定問題，關(guān)鍵是SSS證明△ACEgABDF.

16.(2018?懷化)已知：如圖，點(diǎn)A,F,E,C在同一直線上，AB〃DC,AB=CD,ZB=ZD.

(1)求證：ZXABEgZXCDF；

(2)若點(diǎn)E,G分別為線段FC,FD的中點(diǎn)，連接EG,且EG=5,求AB的長(zhǎng).

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NA=NC,進(jìn)而利用全等三角形的判定證明即可;

(2)利用全等三角形的性質(zhì)和中點(diǎn)的性質(zhì)解答即可.

【解答】證明：(1)VAB/7DC,AZA=ZC.

'NA=NC

在4ABE與4CDF中，，AB=CD，.'.AABE^ACDF(ASA).

,ZB=ZD

(2);點(diǎn)E,G分別為線段FC,FD的中點(diǎn)，..田口二攵口.

2

：EG=5,.\CD=10.

VAABE^ACDF,.*.AB=CD=10.

【小結(jié)】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NA=NC.

解題模型五角平分線模型

針對(duì)訓(xùn)練

17.（2016?咸寧）證明命題“角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等“，要根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號(hào)

表示已知和求證，寫出證明過程，下面是小明同學(xué)根據(jù)題意畫出的圖形，并寫出了不完整的已知和求證.

己知：如圖，ZAOC=ZBOC,點(diǎn)P在OC上，.

求證：.

請(qǐng)你補(bǔ)全已知和求證，并寫出證明過程.

【分析】根據(jù)圖形寫出已知條件和求證，利用全等三角形的判定得出△PDO絲△PEO,由全等三角形的性質(zhì)

可得結(jié)論.

【解答】解：已知：PD1OA,PE1OB,垂足分別為D、E;求證：PD=PE.

故答案為：PD=PE.

,/PDlOA,PE1OB,

.,.ZPDO=ZPEO=90°.

在△PDO和△PEO中，

rZPD0=ZPE0

<ZA0C=ZB0C,

,0P=0P

.\APD(^APEO(AAS).

.,.PD=PE.

【小結(jié)】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)及判定，利用圖形寫出已知條件和求證是解

答此題的關(guān)鍵.

解題模型六三垂直模型

針對(duì)訓(xùn)練

18在aABC中，/ACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,且AD_LMN于D,BE_LMN于E,求證:DE=AD+BE.

【分析】先證明NBCE=NCAD,再證明△ADC9ZXCEB,可得到AD=CE,DC=EB,等量代換，可得出

DE=AD+BE.

【解答】證明：..,NACB=90。，AC=BC,

.,.ZACD+ZBCE=90°.

X'/ADlMN,BE1MN,

.".ZADC=ZCEB=90°.

又：/ACD+/DAC=90。,

.\ZBCE=ZCAD.

在AADC和ACEB中

rZBCE=ZDAC

ZADC=ZCEB,

AC=BC

/.△ADC^ACEB(AAS).

/.AD=CE,DC=EB.

又：DE=DC+CE,.\DE=EB+AD.

【小結(jié)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、

HL.證明兩線段的和等于一條線段常常借助三角形全等來證明，要注意運(yùn)用這種方法

19.如圖，將等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)置于直線1上，且過A,B兩點(diǎn)分別作直線1的垂線，垂足分

別為D,E,請(qǐng)你在圖中找出一對(duì)全等三角形,并寫出證明它們?nèi)鹊倪^程.

.二

【分析】分析圖可知，全等三角形為：4ACD絲4CBE.根據(jù)這兩個(gè)三角形中的數(shù)量關(guān)系選擇ASA證明全

等.

【解答】解：全等三角形為：AACE^ACBE.

證明如下:

由題意知/CAD-/ACD=90°,ZACD-ZBCE=90°,

/.ZCAD=ZBCE.

在AACD與ACBE中，

，ZADC=ZCEB=90°

,ZCAD=ZBCE

.AC=BC

.".△ACD^ACBE(AAS).

【小結(jié)】本題考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性質(zhì)，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、

SAS、ASA、AAS,HL.注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊

的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角.

專題三相似三角形模型解題

解題模型一A字型

針對(duì)訓(xùn)練

1.(2015?湘潭)如圖，在RtaABC中，ZC=90°,4ACD沿AD折疊，使得點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E

處.

(1)求證：△BDES/\BAC；

(2),已知AC=6,BC=8,求線段AD的長(zhǎng)度.

【分析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)得出NC=NAED=90。，利用NDEB=/C,NB=/B證明三角形相似即可；

(2)由折疊的性質(zhì)知CD=DE,AC=AE.根據(jù)題意在RlABDE中運(yùn)用勾股定理求DE,進(jìn)而得出AD即可.

【解答】證明：(1)VZC=9O0,4ACD沿AD折疊，

.\ZC=ZAED=90°.

.,.ZDEB=ZC=909.

又：NB=NB,

/.△BDEOOABAC.

（2）由勾股定理得，AB=10.

由折巍的性質(zhì)知，AE=AC=6,DE=CD,ZAED=ZC=90",

/.BE=AB-AE=10-6=4,

在RtABDE中，由勾股定理，得

DE2+BE2=BD2,

即0+4?=（8-CD）3

解得CD=3.

在RtAACD中，由勾股定理，得AC2+CD2=AD）,即3?+62=AD2.

解得AD=%.

【小結(jié)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)1、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于

軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等；2、勾股

定理求解.

2.（2018?黃石）在AABC中，E、F分別為線段AB、AC上的點(diǎn)（不與A、B、C重合）.

（1）如圖1,若EF〃BC,求證：池蛙■二色加

S/kABC研,AC

（2）如圖2,若EF不與BC平行，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由;

（3）如圖3,若EF上一點(diǎn)G恰為AABC的重心，~3,求也延已的值.

AB4SAABC

【分析】（1）由EF〃BC知△AEFs^ABC,據(jù)此得雙至1,根據(jù)$4亞=（坐）2即可得證;

ABAC,△ABCAB

（2）分別過點(diǎn)F、C作AB的垂線，垂足分別為N、H,據(jù)此知△AFNS/XACH,得里迪,

CHAC

SyAE-FN

根據(jù)△燉艮=4----即可得證：

SAABCyAB'CH

（3）連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M,連接BG并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)N,連接MN,

由重心性質(zhì)知SAABM=SAACM'空=2,設(shè)上El=a,

AM3AC

AF

利用（2）中結(jié)論知..”國(guó)二虹唳。J、,△G.=AG?AF=2a,

^AABMAB'AM2SAACMAM*AC3

從而得$△項(xiàng).=S/kAEG+S^AFGLUL,

SAABC2SAACM43

結(jié)合s&延g.=AE'AF=^可關(guān)于a的方程，解之求得a的值即可得出答案.

^AABCAB'AC4

【解答】?:(1)VEF//BC,

.'.△AEFOOAABC.

.AE_AF

''AB-AC-

■江碼:zAE,2_AE.AF_AE?AF

SAABC-ABABACAB-AC,

（2）若EF不與BC平行，（D中的結(jié)論仍然成立，

如圖1,分別過點(diǎn)F、C作AB的垂線，垂足分別為N、H.

-.'FN±ABXCH±AB,

：.fNllCH.

/.△AFN^AACH.

.FN-AF

"CITAC"

o

...bAAEFT2_-A_E__-F_N__AE?AF

^AABC—AB-CH梯"AC

(3)如圖2,連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M,連接BG并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)N,連接MN,則MN分別是BC、

AC的中點(diǎn)，

A

BMC

圖2

」.MN〃AB,且MN」AB.

2

?GM_GN_1曰,_s

CM-

GAGB2

■AG.2

'AM3'

設(shè)史4a,

AC

由⑵知：一處6_杷46_3y2_1SaAFG-AG^AF-Z3

,△ABMAB'AM432SAACM蝴，AC3

則S/kAEF二S21AEG+S/kAFG_二S/kAEG_S^G_l」a

SAABC2SAACM2SAABM2SAACM43

而SAAEF=AE?AF芻,

^AABCAB'AC4

?1+U區(qū)

434

解得a3.

5

S

.AAEF_3y3_9

SAABC4520

【小結(jié)】本題，主要考查相似形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)和三角形重心

的定義及其性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)

3.（2017?衢州）如圖，AB為半圓O的直徑，C為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD切半圓O于點(diǎn)D,連接OD.作

BEJ_CD于點(diǎn)E,交半圓O于點(diǎn)F.已知CE=12,BE=9.

（1）求證：△CODs/\CBE；

（2）求半圓O的半徑r的長(zhǎng).

【分析】（1）由切線的性質(zhì)和垂直的定義得出/E=9（r=/CDC）,再由/C=NC,得出△CODs/\CBE.

（2）由勾股定理求出BC=J^NQ=15,由相似三角形的性質(zhì)得出比例式，即可得出答案.

【解答】（D證明：「CD切半圓。于點(diǎn)D,

,.CD10D.

.".ZCDO=90°.

,/BE1CD,

.".ZE=90°=ZCDO.

又；Nc=Nc,

/.ACODcoACBE.

（2）解：在RtZkBEC中，CE=12,BE=9,

,,BC=A/CE2+BE2=15,

,/△CODcoACBE.

??--O-D=-0-C，F(xiàn)日nJ-r=-1-5-r-r，

BEBC915

解得r嚕.

【小結(jié)】本題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握相似三角形的判定與

性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

4.（2017?杭州）如圖，在銳角三角形ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊AC,AB上，AGLBC于點(diǎn)G,AF1DE

于點(diǎn)F,ZEAF=ZGAC.

(1)求證：AADE^AABC；(2)若AD=3,AB=5,求處的值.

AG

【分析】(1)由于AGJ_BC,AF1DE,所以NAFE=/AGC=9O。，可證明/AED=/ACB,進(jìn)而可證4ADE

^△ABC；

(2)AADE^AABC,包1口，又易證△EAFs^CAG,所以迎4,從而可知空J(rèn)R.

AB-ACAGACAG-AB

【解答】解：⑴,/AG1BC,AF1DE,

.,.ZAFE=ZAGC=90",

".'ZEAF=ZGAC,

/.ZAED=ZACB.

,.'ZEAD=ZBAC,

/.AADECOAABC.

(2)由(1)可知：AADESAABC,

-AD_AE_3

■'AB'AC5.

由(1)可知：ZAFE=ZAGC=90#,

.'.ZEAF=ZGAC.

/.△EAF^ACAG.

.AFAE

■'AG^AC-

.AF_3

"AG5.

另解：:AGlBC,AF1DE,

△ADECOAABC,

-AF-AD-3

''AG-AB-5.

【小結(jié)】本題考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的判定，本題屬于中等題型

解題模型二8字型

針對(duì)訓(xùn)練

5.（2018?江西）如圖，在aABC中，AB=8,BC=4,CA=6,CD〃AB,BD是/ABC的平分線，BD交AC

于點(diǎn)E,求AE的長(zhǎng).

【分析】根據(jù)角平分線定義和平行線的性質(zhì)求出ND=NCBD,求出BC=CD=4,證△AEBs^CED,得出

比例式，求出AE=2CE,即可得出答案.

【解答】解：:BD為/ABC的平分線，

/.ZABD=ZCBD.

,/AB//CD,