蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三專題5.6確定二次函數(shù)解析式的方法【八大題型】同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題5.6確定二次函數(shù)解析式的方法【八大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1已知一點(diǎn)、兩點(diǎn)或三點(diǎn)坐標(biāo)確定二次函數(shù)解析式】 1【題型2利用頂點(diǎn)式確定二次函數(shù)解析式】 2【題型3利用交點(diǎn)式確定二次函數(shù)解析式】 2【題型4利用平移確定二次函數(shù)解析式】 3【題型5利用對(duì)稱變換或旋轉(zhuǎn)變換確定二次函數(shù)解析式】 4【題型6根據(jù)圖象信息確定二次函數(shù)解析式】 4【題型7根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)確定二次函數(shù)解析式】 6【題型8根據(jù)數(shù)量關(guān)系確定二次函數(shù)解析式】 8【題型1已知一點(diǎn)、兩點(diǎn)或三點(diǎn)坐標(biāo)確定二次函數(shù)解析式】【例1】（2023·陜西西安·西安市慶安初級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0中的自變量x與函數(shù)值y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x…?2?1013…y…?16?9?4?1?1…下列選項(xiàng)中，正確的是（

）A．這個(gè)函數(shù)的最大值為?1B．這個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=3C．這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)D．若點(diǎn)P?32,【變式1-1】（2023春·浙江杭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若二次函數(shù)y=ax2a≠0A．?2,?3 B．2,3 C．2,?3 D．?2,3【變式1-2】（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）已知拋物線y=ax2+bx+ca≠0經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（A．2 B．3 C．4 D．t【變式1-3】（2023春·廣東廣州·九年級(jí)校考期中）已知拋物線y=13x2+bx+c過(guò)點(diǎn)C(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求拋物線的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)．【題型2利用頂點(diǎn)式確定二次函數(shù)解析式】【例2】（2023春·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于O、A兩點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)B2,?2，直線l:y=mx+n與拋物線交于點(diǎn)

(1)分別求出拋物線的解析式和直線l的解析式；(2)根據(jù)圖象，直接寫出ax【變式2-1】（2023春·廣東廣州·九年級(jí)廣州市第十三中學(xué)?？计谥校┮阎獟佄锞€經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,?1，并且當(dāng)x=3時(shí)，y有最大值為5，求拋物線的函數(shù)關(guān)系式．【變式2-2】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=3對(duì)稱，最大值是0，在y軸上的截距是－1，這個(gè)二次函數(shù)解析式為．【變式2-3】（2023·青海海東·統(tǒng)考二模）拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為?3,0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,?3，對(duì)稱軸為直線x=(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P在拋物線上，且S△POC=4(3)設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，作QD∥y軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段QD長(zhǎng)度的最大值．【題型3利用交點(diǎn)式確定二次函數(shù)解析式】【例3】（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的公共點(diǎn)是?4,0，2,0，將該拋物線向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為0,?5，則a+b+cA．5 B．?5 C．4 D．?9【變式3-1】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B，C分別為坐標(biāo)軸上的三個(gè)點(diǎn)，且OA＝1，OB＝3，OC＝4，則經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式為．【變式3-2】（2023春·安徽合肥·九年級(jí)合肥市第四十五中學(xué)?？计谥校┒魏瘮?shù)圖象經(jīng)過(guò)（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三點(diǎn)，求此函數(shù)的解析式．【變式3-3】（2023·山東菏澤·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸的交點(diǎn)為A(?3,0)，B(1,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,?3)，頂點(diǎn)為D，其對(duì)稱軸與x(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，△APC的面積記為S，求S的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【題型4利用平移確定二次函數(shù)解析式】【例4】（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）已知二次函數(shù)y=ax2?4ax+5aa≠0的圖象先向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，所得新拋物線的頂點(diǎn)恰好落在原拋物線圖象上，則A．?34 B．?12 C．【變式4-1】（2023春·陜西榆林·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知拋物線：y=a(x?1)2?4【變式4-2】（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）把拋物線y=ax2+bx+c先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得的拋物線解析式為y=x?22【變式4-3】（2023春·黑龍江大慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線y1=?x

(1)拋物線y2(2)陰影部分的面積S=__________；(3)若再將拋物線y2繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線y3，求拋物線【題型5利用對(duì)稱變換或旋轉(zhuǎn)變換確定二次函數(shù)解析式】【例5】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線y=?ax2+3x?c與y=2x2?3x?c+a關(guān)于A．0 B．?4 C．4 D．?1【變式5-1】（2023·陜西·九年級(jí)專題練習(xí)）將拋物線y＝x2﹣2x﹣3沿x軸折疊得到的新拋物線的解析式為（）A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2﹣2x+3【變式5-2】（2023春·山東威?！ぞ拍昙?jí)?？计谀佄锞€y=2xA．y=?2x2?12x+16C．y=?2x2+12x?19【變式5-3】（2023春·陜西安康·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線C1:y=x2+2x+3繞著它與y軸的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，得到拋物線CA．拋物線C2的開(kāi)口向下 B．拋物線C2C．拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,4 D．拋物線C2與【題型6根據(jù)圖象信息確定二次函數(shù)解析式】【例6】（2023春·福建龍巖·九年級(jí)校考階段練習(xí)）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸是直線x＝﹣1．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)求該圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)觀察圖象，當(dāng)y＞0時(shí)，求自變量x的取值范圍．【變式6-1】（2023春·廣東河源·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）若二次函數(shù)y=ax2+bx+a2?2（

A．?2 B．±2 C．?2 【變式6-2】（2023春·廣東廣州·九年級(jí)廣州市第八十九中學(xué)校考期中）如圖，拋物線y=ax2+6x+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線y=x?5經(jīng)過(guò)點(diǎn)B

(1)求拋物線的解析式；(2)過(guò)點(diǎn)A的直線交直線BC于點(diǎn)M．當(dāng)AM⊥x軸時(shí)，過(guò)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P（不與點(diǎn)B，C重合），作直線AM的平行線交直線BC于點(diǎn)Q，若以點(diǎn)A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；【變式6-3】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2）．若拋物線y=?32(x??)2+k（h、k為常數(shù)）與線段AB交于C、D兩點(diǎn)，A、B也關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，且【題型7根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)確定二次函數(shù)解析式】【例7】（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)O0,0，E10,0，矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），點(diǎn)C，D在拋物線上，設(shè)Bt,0，當(dāng)t=2

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)有最大值？最大值是多少？(3)保持t=2時(shí)的矩形ABCD不動(dòng)，向右平移拋物線，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G，H，且直線GH平分矩形ABCD的面積時(shí)，求拋物線平移的距離．【變式7-1】（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖①，一塊金屬板的兩邊為線段OA，OB，OB⊥OA，另一邊曲線ACB為拋物線的一部分，在這塊金屬板中截取四邊形OACB，其中C點(diǎn)在曲線ACB上，且BC∥OA．以O(shè)A邊所在直線為x軸，OB邊所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，規(guī)定一個(gè)單位代表1m．已知：OA=8

(1)求曲線ACB所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖②，點(diǎn)P為線段AC上任意一點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，△OAP的面積為S，求S隨m的變化情況【變式7-2】（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)O0,0，E10,0，矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），點(diǎn)C，D在拋物線上，設(shè)Bt,0，當(dāng)t=2

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)有最大值？最大值是多少？(3)保持t=2時(shí)的矩形ABCD不動(dòng)，向右平移拋物線，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G，H，且直線GH平分矩形ABCD的面積時(shí)，求拋物線平移的距離．【變式7-3】（2023春·廣東惠州·九年級(jí)惠州一中?？茧A段練習(xí)）如圖，拋物線y=ax2?2ax?3a與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別位于原點(diǎn)的左、右兩側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C，D為拋物線的頂點(diǎn)，已知△ABC(1)求拋物線的解析式．(2)P為拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，當(dāng)PA?PC取最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【變式8-2】（2023·廣東珠?！ば？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為?1,0，且OA=OC=4OB，拋物線y=ax2+bx+ca≠0圖像經(jīng)過(guò)A，

(1)求A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求拋物線的解析式；(3)若點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥AC于點(diǎn)D，當(dāng)PD的值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及PD的最大值．【變式8-3】（2023春·上海青浦·九年級(jí)校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，頂點(diǎn)為M的拋物線y=ax2+bxa>0經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(?1,3)和

(1)求這條拋物線的表達(dá)式；(2)聯(lián)結(jié)OM，求∠AOM的度數(shù)；(3)聯(lián)結(jié)AM、BM、AB，若在坐標(biāo)軸上存在一點(diǎn)P，使∠OAP=∠ABM，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

專題5.6確定二次函數(shù)解析式的方法【八大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1已知一點(diǎn)、兩點(diǎn)或三點(diǎn)坐標(biāo)確定二次函數(shù)解析式】 1【題型2利用頂點(diǎn)式確定二次函數(shù)解析式】 4【題型3利用交點(diǎn)式確定二次函數(shù)解析式】 8【題型4利用平移確定二次函數(shù)解析式】 11【題型5利用對(duì)稱變換或旋轉(zhuǎn)變換確定二次函數(shù)解析式】 14【題型6根據(jù)圖象信息確定二次函數(shù)解析式】 16【題型7根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)確定二次函數(shù)解析式】 21【題型8根據(jù)數(shù)量關(guān)系確定二次函數(shù)解析式】 29【題型1已知一點(diǎn)、兩點(diǎn)或三點(diǎn)坐標(biāo)確定二次函數(shù)解析式】【例1】（2023·陜西西安·西安市慶安初級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0中的自變量x…?2?1013…y…?16?9?4?1?1…下列選項(xiàng)中，正確的是（

）A．這個(gè)函數(shù)的最大值為?1B．這個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=3C．這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)D．若點(diǎn)P?32,【答案】D【分析】先求二次函數(shù)的解析式，再判斷．【詳解】由題意，得a?b+c=?9a+b+c=?1c=?4，解得∴該二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=?x?2A.由函數(shù)解析式y(tǒng)=?x?22可知，這個(gè)函數(shù)的最大值為B.函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=?bC.該函數(shù)圖象與x軸只有2,0一個(gè)交點(diǎn)，故選項(xiàng)不符合題意；D.當(dāng)x=?32時(shí)，y1=??32?22故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，求出二次函數(shù)的解析式是求解本題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·浙江杭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若二次函數(shù)y=ax2a≠0A．?2,?3 B．2,3 C．2,?3 D．?2,3【答案】C【分析】把?2,?3代入y=ax【詳解】解：把?2,?3代入y=ax?3=a?解得：a=?所以二次函數(shù)解析式：y=?3A.當(dāng)x=?2時(shí)，y=?34×B.當(dāng)x=2時(shí)，y=?34×C.當(dāng)x=2時(shí)，y=?34×D.當(dāng)x=?2時(shí)，y=?34×故選C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)解析式的求法，以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．【變式1-2】（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）已知拋物線y=ax2+bx+ca≠0經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（A．2 B．3 C．4 D．t【答案】A【分析】把點(diǎn)A（【詳解】解：∵拋物線y=ax2+bx+c∴4a+2b+c=t9a+3b+c=t16a+4b+c=2，解得，∴a+b+c=1?1故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與三元一次方程組的綜合，掌握二次函數(shù)的代入法，解三元一次方程組的方法是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·廣東廣州·九年級(jí)校考期中）已知拋物線y=13x2+bx+c過(guò)點(diǎn)C(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求拋物線的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)．【答案】(1)y=(2)B【分析】（1）先求出函數(shù)的對(duì)稱軸，得到?b2×13=2，從而得到b=?（2）把函數(shù)解析式化成頂點(diǎn)式，再得出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：∵拋物線y=13x2+bx+c∴對(duì)稱軸是直線x=?1+52=2解得：b=?4∴y=1∵拋物線過(guò)點(diǎn)A4∴1解得：c=?1，∴拋物線的解析式為：y=1（2）解：y=1∴頂點(diǎn)坐標(biāo)B2【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，把二次函數(shù)解析式化成頂點(diǎn)式，根據(jù)題意求出b的值是解題的關(guān)鍵．【題型2利用頂點(diǎn)式確定二次函數(shù)解析式】【例2】（2023春·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于O、A兩點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)B2,?2，直線l:y=mx+n與拋物線交于點(diǎn)

(1)分別求出拋物線的解析式和直線l的解析式；(2)根據(jù)圖象，直接寫出ax【答案】(1)拋物線y=12x(2)2<x<4．【分析】（1）先根據(jù)點(diǎn)O,B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式，再利用拋物線求得A點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得直線l的解析式；（2）找出二次函數(shù)的圖象位于一次函數(shù)的圖象的下方時(shí)，x的取值范圍即可得．【詳解】（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+c∴y=ax?2∵y=ax?22?2∴0=a0?2解得a=1∴y=12x?2令y=0，則0=1解得x=0或x=4，∴A4∵直線l:y=mx+n與拋物線交于點(diǎn)A4，0∴0=4m+n解得m=1n=?4∴直線l:y=x?4；（2）解：不等式ax2+bx+c<mx+n表示的是二次函數(shù)y=a∵直線l:y=mx+n與拋物線交于點(diǎn)A4，0∴由函數(shù)圖象得：2<x<4，即不等式ax2+bx+c<mx+n【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，熟練掌握待定系數(shù)法和函數(shù)圖象法是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·廣東廣州·九年級(jí)廣州市第十三中學(xué)校考期中）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,?1，并且當(dāng)x=3時(shí)，y有最大值為5，求拋物線的函數(shù)關(guān)系式．【答案】y=【分析】根據(jù)當(dāng)x=3時(shí)，y取得最大值是5，可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,5)，設(shè)拋物線頂點(diǎn)式解析式y(tǒng)=a(x?3)2+5，然后把點(diǎn)1,?1【詳解】解：由題意，可得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)(3,5)，∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x?3)∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,?1，∴?1=a(1?3)解得a=?3所以，該拋物線解析式為y=3【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．【變式2-2】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=3對(duì)稱，最大值是0，在y軸上的截距是－1，這個(gè)二次函數(shù)解析式為．【答案】y=－19(x－3)【分析】根據(jù)已知可知：該二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)是（3，0）、該函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-1）；所以設(shè)該函數(shù)解析式為y=a（x-3）2（a為常數(shù)，且a≠0），將點(diǎn)（0，-1）代入求解即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸是x=3，函數(shù)的最大值是0，∴該二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)是（3，0），故設(shè)該二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-3）2（a為常數(shù)，且a≠0），∵該函數(shù)在y軸上的截距是-1，∴該函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-1），∴把x=0，y=-1代入上式，得9a=-1，即a=-19∴這個(gè)二次函數(shù)解析式為y=-19（x-3）2故答案為y=-19（x-3）2【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)解析式的求法．在解答時(shí)，要認(rèn)真挖掘隱含在題干中的已知條件，根據(jù)已知條件來(lái)解答．【變式2-3】（2023·青海海東·統(tǒng)考二模）拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為?3,0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,?3，對(duì)稱軸為直線x=(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P在拋物線上，且S△POC=4(3)設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，作QD∥y軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段QD長(zhǎng)度的最大值．【答案】(1)y=(2)P14,21(3)9【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)拋物線的解析式得出OB=1，OC=3，從而求得三角形BOC的面積，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為m,m2+2m?3，根據(jù)S△POC（3）利用待定系數(shù)法可求得直線AC的解析式為y=?x?3，設(shè)點(diǎn)Qn,?n?3，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離可表示DQ【詳解】（1）已知拋物線的對(duì)稱軸為直線x=可設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax+1將點(diǎn)A?3,0，點(diǎn)C得4a+k=0a+k=?3解得a=1k=?4∴拋物線的表達(dá)式為y=x+1（2）由（1）知拋物線表達(dá)式為y=x令y=0，解得x=?3或x=1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為1,0，∵點(diǎn)C坐標(biāo)為0,?3，∴OB=1，OC=3，∴S△∵點(diǎn)P在拋物線上，∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為m,m∴S∵S△∴32解得m=4或m=?4，∴當(dāng)m=4時(shí)，m2當(dāng)m=?4時(shí)，m2∴滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別為P14,21，（3）如解圖，設(shè)直線AC的解析式為y=bx+c，

將點(diǎn)A?3,0，C得?3b+c=0c=?3解得b=?1c=?3∴直線AC的解析式為y=?x?3，由于點(diǎn)Q在AC上，可設(shè)點(diǎn)Qn,?n?3則點(diǎn)Dn,n2∴DQ=?n?3?=?n2∴當(dāng)n=?32時(shí)，DQ長(zhǎng)度有最大值【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)及最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型3利用交點(diǎn)式確定二次函數(shù)解析式】【例3】（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的公共點(diǎn)是?4,0，2,0，將該拋物線向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為0,?5，則a+b+cA．5 B．?5 C．4 D．?9【答案】B【分析】先利用點(diǎn)平移的規(guī)律得到點(diǎn)?4,0，2,0向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為?1,0，5,0，利用交點(diǎn)式，設(shè)平移后的拋物線解析式為y=ax+1x?5，接著把把0,?5代入求得a=1，于是原拋物線的解析式可設(shè)為y=x+4x?2，然后化為一般式得到a、b【詳解】解：∵點(diǎn)?4,0，2,0向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為?1,0，5,0∴設(shè)平移后的拋物線解析式為y=ax+1把0,?5代入得a×0+1解得a=1，∴原拋物線的解析式為y=x+4即y=x∴a=1，b=2，c=8，∴a+b+c=1+2?8=?5．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)與x【變式3-1】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B，C分別為坐標(biāo)軸上的三個(gè)點(diǎn)，且OA＝1，OB＝3，OC＝4，則經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式為．【答案】y＝－34【詳解】由題意可知：點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（1，0）、（0，3）、（-4，0），∴可設(shè)拋物線表達(dá)式為：y=a(x?1)(x+4)，代入點(diǎn)（0，3）可得：a(0?1)(0+4)=3，解得a=?3∴拋物線的表達(dá)式為：y=?3【變式3-2】（2023春·安徽合肥·九年級(jí)合肥市第四十五中學(xué)?？计谥校┒魏瘮?shù)圖象經(jīng)過(guò)（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三點(diǎn)，求此函數(shù)的解析式．【答案】y＝2x2﹣4x﹣6【分析】利用待定系數(shù)法求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意可設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），將點(diǎn)（1，﹣8）代入，得：﹣4a＝﹣8，解得：a＝2，∴該二次函數(shù)解析式為y＝2（x+1）（x﹣3），即y＝2x2﹣4x﹣6．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的的解析式，屬于基本題型，熟練掌握求解的方法是關(guān)鍵.【變式3-3】（2023·山東菏澤·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸的交點(diǎn)為A(?3,0)，B(1,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,?3)，頂點(diǎn)為D，其對(duì)稱軸與x(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，△APC的面積記為S，求S的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)y=(2)S的最大值是278，點(diǎn)P的坐標(biāo)是【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的交點(diǎn)為A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），可以求得該函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)題意可以得到直線AC的函數(shù)解析式，然后根據(jù)△APC的面積記為S，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以得到S的最大值，以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)過(guò)A(?3,0)，B∴設(shè)二次函數(shù)解析式為y=∵二次函數(shù)過(guò)C點(diǎn)(0,?3)，∴?3=a解得a＝1，∴y=(x+3)(x?1)=即二次函數(shù)解析式為y=x（2）解：設(shè)直線AC解析式為：y＝kx＋b，∵A(?3,0)，C∴?3k+b=0b=?3解得k=?1b=?3∴直線AC的解析式為y＝﹣x－3，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交AC于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x,x則G(∵點(diǎn)P在第三象限，∴PG=?x?3?x∴S=1∴當(dāng)x=?32時(shí)，此時(shí)x2∴點(diǎn)P?即S的最大值是278，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是?【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．【題型4利用平移確定二次函數(shù)解析式】【例4】（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）已知二次函數(shù)y=ax2?4ax+5aa≠0的圖象先向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，所得新拋物線的頂點(diǎn)恰好落在原拋物線圖象上，則A．?34 B．?12 C．【答案】D【分析】求出平移后的拋物線，進(jìn)而求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，待入原解析式，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：y=ax由題意，得，新的拋物線的解析式為：y=ax?2?2∴新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為4,a+3，∵所得新拋物線的頂點(diǎn)恰好落在原拋物線圖象上，∴a+3=16a?16a+5a，∴a=3故選D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象的平移，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．熟練掌握拋物線的平移規(guī)則：左加右減，上加下減，是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·陜西榆林·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知拋物線：y=a(x?1)2?4【答案】y=(x?2)2【分析】先利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)平移規(guī)律“上加下減，左加右減”寫出新拋物線解析式．【詳解】解：將(3,0)代入y=a(x?1)2?4解得a=1，∴該拋物線的表達(dá)式為y=(x?1)將拋物線y=(x?1)2?4向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y=【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)圖象與幾何變換，由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．【變式4-2】（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）把拋物線y=ax2+bx+c先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得的拋物線解析式為y=x?22【答案】1【分析】先將拋物線y=ax2+bx+c化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)“左加右減”的平移規(guī)律，得到新的解析式，求出a、b【詳解】∵y=ax拋物線y=ax2+bx+c∴ax+∴a=1b2a?1=?2∴a+b+c=1+故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像的平移，熟練掌握二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式，解方程組，平移規(guī)則，是解題關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·黑龍江大慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線y1=?x

(1)拋物線y2(2)陰影部分的面積S=__________；(3)若再將拋物線y2繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線y3，求拋物線【答案】(1)(1,2)(2)2(3)y【分析】（1）根據(jù)拋物線的移動(dòng)規(guī)律左加右減可直接得出拋物線y2的解析式，再根據(jù)y（2）根據(jù)平移的性質(zhì)知，陰影部分的面積等于底×高，列式計(jì)算即可；（3）先求出二次函數(shù)旋轉(zhuǎn)后的開(kāi)口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出拋物線y3【詳解】（1）解：解：∵拋物線y1=?x∴拋物線y2的解析式是y2=?故答案為：(1,2)；（2）把陰影部分進(jìn)行平移，可得到陰影部分的面積即為圖中兩個(gè)方格的面積=1×2=2；故答案為：2；（3）由題意可得：拋物線y3的頂點(diǎn)與拋物線y2的頂點(diǎn)關(guān)于原所以拋物線y3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,?2)，于是可設(shè)拋物線y3的解析式為：由對(duì)稱性或者拋物線開(kāi)口大小不變方向改變得a=1，所以y3【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖像與幾何變化，用到的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)、頂點(diǎn)坐標(biāo)，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的移動(dòng)規(guī)律和幾何變換．【題型5利用對(duì)稱變換或旋轉(zhuǎn)變換確定二次函數(shù)解析式】【例5】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線y=?ax2+3x?c與y=2x2?3x?c+a關(guān)于A．0 B．?4 C．4 D．?1【答案】C【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱，函數(shù)y是互為相反數(shù)即可解答．【詳解】解：∵y=?ax2+3x?c與y=2∴?y=2x2?3x?c+a∴a=2c=?c+a，解得：a=2∴a+2c=4．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像與幾何變換，根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的坐標(biāo)特征把拋物線y=?ax2+3x?c【變式5-1】（2023·陜西·九年級(jí)專題練習(xí)）將拋物線y＝x2﹣2x﹣3沿x軸折疊得到的新拋物線的解析式為（）A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2﹣2x+3【答案】A【分析】利用原拋物線上的關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的特點(diǎn)：橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)就可以解答．【詳解】拋物線y＝x2﹣2x﹣3關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線的解析式為：﹣y＝x2﹣2x﹣3，即y＝﹣x2+2x+3，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，解決本題的關(guān)鍵是抓住關(guān)于x軸對(duì)稱的坐標(biāo)特點(diǎn)．【變式5-2】（2023春·山東威海·九年級(jí)?？计谀佄锞€y=2xA．y=?2x2?12x+16C．y=?2x2+12x?19【答案】D【詳解】y=2x2-12x+16=2（x2-6x+8）=2（x-3）2-2，將原拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，得：y=-2（x-3）2-2=-2x2+12x-20；故選D．【變式5-3】（2023春·陜西安康·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線C1:y=x2+2x+3繞著它與y軸的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，得到拋物線CA．拋物線C2的開(kāi)口向下 B．拋物線C2C．拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,4 D．拋物線C2與【答案】D【分析】先根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)求出旋轉(zhuǎn)后拋物線C2解析式為y=?【詳解】解：原拋物線C1解析式變形：y=∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為?1,2，與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為0,3，又由拋物線繞著它與y軸的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，∴新的拋物線開(kāi)口向下，新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)與原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于點(diǎn)0,3中心對(duì)稱，∴新的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,4，∴新的拋物線C2解析式為：y=?

∴拋物線C2拋物線C2的對(duì)稱軸為直線x=1拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,4∵拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,4∴拋物線C2與x故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的幾何變換，拋物線的圖象性質(zhì)，根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)求出旋轉(zhuǎn)后拋物線解析式是解題的關(guān)鍵．【題型6根據(jù)圖象信息確定二次函數(shù)解析式】【例6】（2023春·福建龍巖·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸是直線x＝﹣1．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)求該圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)觀察圖象，當(dāng)y＞0時(shí)，求自變量x的取值范圍．【答案】(1)y=?x(2)該圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4）；(3)﹣3＜x＜1【分析】（1）由對(duì)稱軸為直線x＝?1，可設(shè)拋物線解析式為y=ax+1（2）根據(jù)拋物線頂點(diǎn)式可直接得出答案；（3）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求出拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合函數(shù)圖象求解即可．（1）解：設(shè)拋物線解析式為y=ax+1將（﹣3，0），（0，3）代入得：0=4a+k3=a+k解得a=?1k=4∴二次函數(shù)的解析式為：y=?x+1（2）∵y=?x+1∴該圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4）；（3）∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣3，0），對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，∴拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），由函數(shù)圖象得：當(dāng)y＞0時(shí)，自變量x的取值范圍是﹣3＜x＜1．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法的應(yīng)用，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，二次函數(shù)與不等式的關(guān)系等知識(shí)，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023春·廣東河源·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）若二次函數(shù)y=ax2+bx+a2?2（

A．?2 B．±2 C．?2 【答案】D【分析】根據(jù)圖象開(kāi)口向下可知a>0，又二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式解關(guān)于a的一元二次方程即可．【詳解】解：把原點(diǎn)0,0代入拋物線解析式，得a2解得a=±2∵函數(shù)開(kāi)口向上，a>0，∴a=2故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，觀察圖象判斷出a是負(fù)數(shù)且經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·廣東廣州·九年級(jí)廣州市第八十九中學(xué)?？计谥校┤鐖D，拋物線y=ax2+6x+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線y=x?5經(jīng)過(guò)點(diǎn)B

(1)求拋物線的解析式；(2)過(guò)點(diǎn)A的直線交直線BC于點(diǎn)M．當(dāng)AM⊥x軸時(shí)，過(guò)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P（不與點(diǎn)B，C重合），作直線AM的平行線交直線BC于點(diǎn)Q，若以點(diǎn)A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；【答案】(1)y=?(2)4或5+412【分析】（1）利用一次函數(shù)解析式確定B5,0，C（2）先解方程?x2+6x?5=0得A1,0，再判斷△OCB為等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，則△AMB為等腰直角三角形，所以AM=4，接著根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到PQ=AM=4，PQ⊥x軸，如圖，設(shè)Pm,?m2+6m?5，則Qm,m?5，討論：當(dāng)P點(diǎn)在直線BC上方時(shí)，PQ=?【詳解】（1）解：∵直線y=x?5經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C，∴當(dāng)x=0時(shí)，y=0?5=?5，則C0,?5當(dāng)y=0時(shí)，x?5=0，解得x=5，則B5,0∵點(diǎn)B，C在拋物線y=ax∴25a+30+c=0c=?5解得a=?1c=?5∴拋物線解析式為y=?x（2）∵拋物線y=?x2+6x?5交x軸于A∴y=0時(shí)，?x解得：x1=1，∴A1,0∵B5,0，C0,?5，∴OB=OC=5，∴△OCB為等腰直角三角形，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵AM⊥x軸，∴△AMB為等腰直角三角形，∴AM=AB=OB?OA=5?1=4，∵以點(diǎn)A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，AM∥∴PQ=AM=4，PQ⊥x軸，設(shè)Pm,?m2當(dāng)P點(diǎn)在直線BC上方時(shí)，PQ=?m解得：m1=1（舍去），當(dāng)P點(diǎn)在直線BC下方時(shí)，PQ=m?5??解得：m3=5+綜上所述，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4或5+412或

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，運(yùn)用了分類討論的思想．運(yùn)用分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2）．若拋物線y=?32(x??)2+k（h、k為常數(shù)）與線段AB交于C、D兩點(diǎn)，A、B也關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，且【答案】y=?【分析】根據(jù)題意，可以得到點(diǎn)C的坐標(biāo)和h的值，然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，即可得到k的值，本題得以解決．【詳解】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），∴AB＝4，又A、B也關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，∴h＝2，∵拋物線y＝﹣32（x﹣h）2+k（h、k為常數(shù)）與線段AB交于C、D∴CD＝12AB∴則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2），（或點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，2）），代入解析式，∴2＝﹣32+k

解得，k＝72∴所求拋物線解析式為y=?【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．【題型7根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)確定二次函數(shù)解析式】【例7】（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)O0,0，E10,0，矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），點(diǎn)C，D在拋物線上，設(shè)Bt,0，當(dāng)t=2

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)有最大值？最大值是多少？(3)保持t=2時(shí)的矩形ABCD不動(dòng)，向右平移拋物線，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G，H，且直線GH平分矩形ABCD的面積時(shí)，求拋物線平移的距離．【答案】(1)y=(2)當(dāng)t=1時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)有最大值，最大值為41(3)4【分析】（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=axx?10a≠0，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，將點(diǎn)（2）由拋物線的對(duì)稱性得AE=OB=t，則AB=10?2t，再得出BC=?1（3）連接AC，BD相交于點(diǎn)P，連接OC，取OC的中點(diǎn)Q，連接PQ，根據(jù)矩形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)推出四邊形OCHG是平行四邊形，則PQ=CH，PQ=12OA．求出t=2時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為8,0【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=axx?10∵當(dāng)t=2時(shí)，BC=4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為2,?4．將點(diǎn)C坐標(biāo)代入表達(dá)式，得2a2?10解得a=1∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=1（2）解：由拋物線的對(duì)稱性得：AE=OB=t，∴AB=10?2t．當(dāng)x=t時(shí)，BC=?1∴矩形ABCD的周長(zhǎng)為2=?=?1∵?1∴當(dāng)t=1時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)有最大值，最大值為412（3）解：連接AC，BD相交于點(diǎn)P，連接OC，取OC的中點(diǎn)Q，連接PQ．

∵直線GH平分矩形ABCD的面積，∴直線GH過(guò)點(diǎn)P．．由平移的性質(zhì)可知，四邊形OCHG是平行四邊形，∴PQ=CH．∵四邊形ABCD是矩形，∴P是AC的中點(diǎn)．∴PQ=1當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為8,0，∴CH=1∴拋物線平移的距離是4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達(dá)式的方法和步驟，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，矩形的性質(zhì)，以及平移的性質(zhì)．【變式7-1】（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖①，一塊金屬板的兩邊為線段OA，OB，OB⊥OA，另一邊曲線ACB為拋物線的一部分，在這塊金屬板中截取四邊形OACB，其中C點(diǎn)在曲線ACB上，且BC∥OA．以O(shè)A邊所在直線為x軸，OB邊所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，規(guī)定一個(gè)單位代表1m．已知：OA=8

(1)求曲線ACB所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖②，點(diǎn)P為線段AC上任意一點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，△OAP的面積為S，求S隨m的變化情況【答案】(1)y=?(2)S隨m的增大而減小【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；（2）先用待定系數(shù)法求直線AC的解析式，可得Pm,?m+8，再利用三角形的面積公式可得S=?4m+32【詳解】（1）解：∵BC=2m，BC∴曲線ACB所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式可設(shè)為y=ax?1∵OA=8m，OB=6∴a8?1解得a=?1∴曲線ACB所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=?1（2）解：∵OA=8m，OB=6m，∴A8,0，C設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+bk≠0∴8k+b=02k+b=6解得：k=?1b=8∴AC所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=?x+8，∴Pm,?m+8∴S=1即S=?4m+32，∴S隨m的增大而減小【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)最值、一次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)O0,0，E10,0，矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），點(diǎn)C，D在拋物線上，設(shè)Bt,0，當(dāng)t=2

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)有最大值？最大值是多少？(3)保持t=2時(shí)的矩形ABCD不動(dòng)，向右平移拋物線，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G，H，且直線GH平分矩形ABCD的面積時(shí)，求拋物線平移的距離．【答案】(1)y=(2)當(dāng)t=1時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)有最大值，最大值為41(3)4【分析】（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=axx?10a≠0，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，將點(diǎn)（2）由拋物線的對(duì)稱性得AE=OB=t，則AB=10?2t，再得出BC=?1（3）連接AC，BD相交于點(diǎn)P，連接OC，取OC的中點(diǎn)Q，連接PQ，根據(jù)矩形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)推出四邊形OCHG是平行四邊形，則PQ=CH，PQ=12OA．求出t=2時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為8,0【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=axx?10∵當(dāng)t=2時(shí)，BC=4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為2,?4．將點(diǎn)C坐標(biāo)代入表達(dá)式，得2a2?10解得a=1∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=1（2）解：由拋物線的對(duì)稱性得：AE=OB=t，∴AB=10?2t．當(dāng)x=t時(shí)，BC=?1∴矩形ABCD的周長(zhǎng)為2=?=?1∵?1∴當(dāng)t=1時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)有最大值，最大值為412（3）解：連接AC，BD相交于點(diǎn)P，連接OC，取OC的中點(diǎn)Q，連接PQ．

∵直線GH平分矩形ABCD的面積，∴直線GH過(guò)點(diǎn)P．．由平移的性質(zhì)可知，四邊形OCHG是平行四邊形，∴PQ=CH．∵四邊形ABCD是矩形，∴P是AC的中點(diǎn)．∴PQ=1當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為8,0，∴CH=1∴拋物線平移的距離是4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達(dá)式的方法和步驟，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，矩形的性質(zhì)，以及平移的性質(zhì)．【變式7-3】（2023春·廣東惠州·九年級(jí)惠州一中?？茧A段練習(xí)）如圖，拋物線y=ax2?2ax?3a與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別位于原點(diǎn)的左、右兩側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C，D為拋物線的頂點(diǎn)，已知△ABC(1)求拋物線的解析式．(2)P為拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，當(dāng)PA?PC取最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，E為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若S△BDE:S【答案】(1)y=(2)P(3)2+2,23【分析】（1）令y=0，求出x的值即可；（2）根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，所以當(dāng)點(diǎn)P在直線AC延長(zhǎng)線上時(shí)，PA?PC最大，最大值為AC，求出直線AC的解析式，代入x=1即可求得P的坐標(biāo)；（3）連接BP，BD，過(guò)點(diǎn)E作EF∥y軸交BD于點(diǎn)F，連接BE，DE，先求出S△BDP=233，S△BDE=33；設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為：【詳解】（1）對(duì)于y=ax2?2ax?3a，當(dāng)y=0∵a≠0,∴x解得，x∵點(diǎn)A，B分別位于原點(diǎn)的左、右兩側(cè)，∴A?1,0∴AB=3?令x=0,則y=?3a，∴OC=?3a∵S△ABC∴a=3∴OC=3∴拋物線的解析式為y=3（2）如圖所示，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，所以，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上時(shí)，PA?PC最大，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，把?1,0,0,?3解得，k=?3∴直線AC的解析式為y=?3∵y=∴拋物線的對(duì)稱軸直線為x=1，∴y=?∴P（（3）如圖，連接BP，BD，過(guò)點(diǎn)E作EF∥y軸交BD于點(diǎn)連接BE，DE，當(dāng)x=1時(shí)，y=?4∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為1∵P1∴PD=?4∴S△BDP=12又S∴S△BDE設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為：t,設(shè)直線BD的解析式為y=k代入B3,0，D1,?4解得：k1∴直線BD的解析式為：y=2∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為t∴EF=3∵S==∴|3整理得，t2?4t+2=0或解得，t1=2+2，t代入可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為：2+2,23【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及解析式的確定以及面積問(wèn)題等知識(shí)，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能力，題目的綜合性很強(qiáng)．【題型8根據(jù)數(shù)量關(guān)系確定二次函數(shù)解析式】【例8】（2023·廣東珠?！ば？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為?1,0，且OA=OC=4OB，拋物線y=ax2+bx+ca≠0圖像經(jīng)過(guò)A，

(1)求A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求拋物線的解析式；(3)若點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥AC于點(diǎn)D，當(dāng)PD的值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及PD的最大值．【答案】(1)A(2)y=(3)P【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)得出OB=1，則OA=OC=4，即可得出點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）設(shè)該拋物線的表達(dá)式為y=ax?x1x?x2，將點(diǎn)A4,0（3）先求出直線AC的解析式，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交AC于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)Px,x2?3x?4，則點(diǎn)【詳解】（1）解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為?1,0，∴OB=1，∵OA=OC=4OB，∴OA=OC=4，∴A4,0（2）解：設(shè)該拋物線的表達(dá)式為y=ax?把點(diǎn)A4,0,B?1,0把點(diǎn)C0,?4代入得：?4=a解得：a=1，∴該拋物線的解析式為：y=x?4（3）解：設(shè)直線AC函數(shù)表達(dá)式為：y=kx+b，將點(diǎn)A4,0，C?4=b0=4k+b，解得：k=1∴直線AC的表達(dá)式為：y=x?4，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交AC于點(diǎn)H，

∵OA=OC=4，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵PH∥∴∠PHD=∠OCA=45°，設(shè)點(diǎn)Px,x2∴PD=2∵?2∴當(dāng)x=2時(shí)，PD有最大值，其最大值為22此時(shí)點(diǎn)P2,【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、解直角三角形等知識(shí)，用二次函數(shù)關(guān)系表示PD是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023春·福建福州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)稱軸為直線x=