第01講集合的概念與集合間的基本關系(原卷版+解析)

第01講集合的概念與集合間的基本關系【學習目標】1.通過實例,了解集合的含義,體會元素與集合的“屬于”關系.2.能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題,感受集合語言的意義和作用.3.理解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集.4.在具體情境中,了解空集的含義.【基礎知識】一、集合的概念1.元素與集合：我們把研究對象稱為元素,把一些元素組成的總體叫集合.集合通常用大寫字母表示.集合的元素通常用小寫字母表示.二、集合與元素的關系如果a是集合A的元素,記作,讀作“a屬于A”；如果a不是集合A的元素,記作,讀作“a不屬于A”.三、集合中元素的特點1.確定性：集合的元素必須是確定的.2.互異性：對于一個給定的集合,集合中的元素一定是不相同的.3.無序性：集合中的元素可以任意排列.四、常用數(shù)集及其記法所有非負整數(shù)組成的集合稱為非負整數(shù)集（或自然數(shù)集）,記作N;所有正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集,記作N+或N*；所有整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集,記作Z；所有有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集,記作Q；所有實數(shù)組成的集合稱為實數(shù)集,記作R.五、集合的表示1.列舉法:把集合中的元素一一列舉出來（相鄰元素之間用逗號分隔）,放在大括號內(nèi),依此表示集合的方法稱為列舉法,如,等.2.描述法:一般地,如果屬于集合A的任意一個元素x都具有性質,而不屬于集合A的元素都不具有這個性質,則性質為集合A的一個特征性質,此時集合A可以表示為,這種表示集合的方法稱為特征性質描述法,簡稱描述法.3.解決集合問題首先要弄清構成集合的元素是什么(即元素的意義),如表示方程x2－x=0的解集；表示函數(shù)y=x2-x的自變量組成的集合；表示函數(shù)y=x2－x的函數(shù)值組成的集合；表示拋物線y=x2－x上的點組成的集合.六、子集1.一般地如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素,那么集合A為集合B的子集.,記作A?B（或B?A）,讀作“A包含于B”（或“B包含A”）.2.規(guī)定：空集是任何集合的子集,即.3.子集的性質：（1）任何一個子集都是它本身的子集,即.（2）若,且,則.七、韋恩圖韋恩（Venn）圖：為了直觀地表示集合間的關系,我們常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合,這種圖稱為韋恩圖.A是B的子集,可用下圖表示：BBA 八、真子集1.如果集合A是集合B的子集,并且集合B中至少有一個元素不屬于A,那么集合A稱為集合B的真子集,記作AB（或BA）,讀作：A真包含于B（或B真包含A）.2.真子集的性質（1）空集是任何非空集合的子集.（2）若AB,BC,則AC.九、集合的相等與子集的關系1.如果A?B且B?A,則A=B.2.如果A=B,則A?B且B?A.十、有限集合的子集個數(shù)若集合A中有n個元素,則集合A的所有子集的個數(shù)為2n,真子集個數(shù)為2n－1,非空子集個數(shù)2n－1,非空真子集個數(shù)為2n－2.【基礎知識】考點一：集合的判斷例1．（2021-2022學年湖南省懷化市第五中學高一上學期期中）下面給出的四類對象中,構成集合的是（

）A．某班視力較好的同學 B．長壽的人 C．的近似值 D．倒數(shù)等于它本身的數(shù)【答案】D【解析】對于A,視力較好不是一個明確的定義,故不能構成集合；對于B,長壽也不是一個明確的定義,故不能構成集合；對于C,的近似值沒有明確近似到小數(shù)點后面幾位,不是明確的定義,故不能構成集合；對于D,倒數(shù)等于自身的數(shù)很明確,只有1和-1,故可以構成集合；故選D.考點二：元素與集合的關系例2．（2021-2022學年】浙江省金華市曙光學校高一上學期10月月考）給出下列關系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N,其中正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】是實數(shù),①正確；是無理數(shù),②錯誤；－3是整數(shù),③錯誤；－是無理數(shù),④正確.所以正確的個數(shù)為2.故選B.考點三：集合中元素互異性的應用例3．（2021-2022學年湖北省十堰市車城高中高一上學期9月月考）由,,可組成含個元素的集合,則實數(shù)的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由元素的互異性可得,解得且且.故選C.考點四：集合的表示例4．（多選）集合用描述法可表示為（

）A．是不大于9的非負奇數(shù) B．且C． D．【答案】AB【解析】對A,是不大于9的非負奇數(shù)表示的集合是,故A正確；對B,且表示的集合是,故B正確；對C,表示的集合是,故C錯誤；對D,表示的集合是,故D錯誤.故選AB.考點五：集合關系的判斷例5．（多選）（2021-2022學年黑龍江省齊齊哈爾市第一中學高一上學期9月月考）下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】由子集的定義易知B正確；對A,,錯誤；對C,表示有2個元素的數(shù)集,表示有一個元素的點集,錯誤；對D,空集是任何集合的子集,正確.故選BD.考點六：由集合包含關系求參數(shù)的值或范圍例6．（2021-2022學年湖南省永州市第二中學高一上學期10月月考）已知(1)若求實數(shù)a的取值范圍(2)若,求實數(shù)的取值范圍【解析】(1)∵,∴,即,∴實數(shù)a的取值范圍為；(2)∵,,∴,解得,故實數(shù)的取值范圍為.考點七：子集個問題例7．（2021-2022學年湖南省長沙市師大附中梅溪湖中學高一上學期階段性評估）集合,,則集合的真子集的個數(shù)為（

）A．8 B．6 C．7 D．15【答案】C【解析】,集合的真子集的個數(shù)為個.故選C.【真題演練】1．(2018年高考全國卷Ⅱ卷)已知集合,則中元素的個數(shù)為 ()A．9 B．8 C．5 D．42.（2020-2021學年云南省北大附中云南實驗學校高一3月月考）下列各對象可以組成集合的是（

）A．與非常接近的全體實數(shù)B．北大附中云南實驗學校學年度第二學期全體高一學生C．高一年級視力比較好的同學D．高一年級很有才華的老師3.（2021-2022學年河南省焦作市縣級重點中學高一上學期期中）給出下列四個關系：π∈R,0?Q,0.7∈N,0∈?,其中正確的關系個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．14.（2020-2021學年湖北省襄陽市第二十四中學高一上學期9月月考）下面五個式子中：①；②；③{a}{a,b}；④；⑤a{b,c,a}；正確的有（

）A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤5.（2021-2022學年江西省重點名校高一3月聯(lián)考）設集合,且,則滿足條件的集合的個數(shù)為（

）A． B． C． D．6.（2020-2021學年甘肅省金昌市永昌縣第一高級中學高一上學期第一次月考）集合,則的值為（

）A．0 B．1 C．－1 D．±17.（多選）（2021-2022學年廣東省茂名市第五中學高一上學期期中）下列集合中,可以表示為的是（

）A．方程的解集B．最小的兩個質數(shù)C．大于1小于4的整數(shù)D．不等式組的整數(shù)解8.（2020-2021學年云南省德宏州高一上學期期末統(tǒng)一監(jiān)測）若一個集合是另一個集合的子集,則稱兩個集合構成“鯨吞”；對于集合,,若這兩個集合構成“鯨吞”,則的取值為____________．【過關檢測】1．（2021-2022學年甘肅省靜寧縣第一中學高一上學期第一次月考）若以集合的四個元素為邊長構成一個四邊形,則這個四邊形可能是（

）A．矩形 B．平行四邊形C．梯形 D．菱形2．（2021-2022學年湖南省懷化市第五中學高一上學期期中）①,②,③,④,其中正確的個數(shù)為(

)A．1 B．2 C．3 D．43.（2021-2022學年黑龍江省七臺河市勃利縣高級中學高一上學期9月月考）已知集合,且,則實數(shù)m的值為（

）A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或34.（2021-2022學年安徽省宣城八校高一上學期期中聯(lián)考）已知集合,,若,則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5.（2021-2022學年重慶市渝北中學校高一上學期階段一質量檢測）當一個非空數(shù)集滿足：如果,則,且時,時,我們稱就是一個數(shù)域,以下關于數(shù)域的說法：①是任何數(shù)域的元素；②若數(shù)域有非零元素,則；③集合是一個數(shù)域；④有理數(shù)集是一個數(shù)域；⑤任何一個有限數(shù)域的元素個數(shù)必為奇數(shù),其中正確的選項是（

）A．①②④ B．②③④⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤6.（多選）（2021-2022學年甘肅省張掖市高一上學期期末）下列關系式錯誤的是（

）A． B． C． D．7.（多選）（2020-2021學年湖南省A佳大聯(lián)考高一下學期3月考試）已知集合,,若,則實數(shù)a的值可能是（

）A．?1 B．1 C．?2 D．28.（2021-2022學年四川省攀枝花市第七高級中學校高一上學期第一次月考）已知集合,,若,求實數(shù)的取值范圍_______.9.用描述法表示被4除余3的自然數(shù)全體組成的集合______．10.判斷下列每對集合之間的關系：(1),；(2),{是的約數(shù)}；(3),.第01講集合的概念與集合間的基本關系【學習目標】1.通過實例,了解集合的含義,體會元素與集合的“屬于”關系.2.能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題,感受集合語言的意義和作用.3.理解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集.4.在具體情境中,了解空集的含義.【基礎知識】一、集合的概念1.元素與集合：我們把研究對象稱為元素,把一些元素組成的總體叫集合.集合通常用大寫字母表示.集合的元素通常用小寫字母表示.二、集合與元素的關系如果a是集合A的元素,記作,讀作“a屬于A”；如果a不是集合A的元素,記作,讀作“a不屬于A”.三、集合中元素的特點1.確定性：集合的元素必須是確定的.2.互異性：對于一個給定的集合,集合中的元素一定是不相同的.3.無序性：集合中的元素可以任意排列.四、常用數(shù)集及其記法所有非負整數(shù)組成的集合稱為非負整數(shù)集（或自然數(shù)集）,記作N;所有正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集,記作N+或N*；所有整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集,記作Z；所有有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集,記作Q；所有實數(shù)組成的集合稱為實數(shù)集,記作R.五、集合的表示1.列舉法:把集合中的元素一一列舉出來（相鄰元素之間用逗號分隔）,放在大括號內(nèi),依此表示集合的方法稱為列舉法,如,等.2.描述法:一般地,如果屬于集合A的任意一個元素x都具有性質,而不屬于集合A的元素都不具有這個性質,則性質為集合A的一個特征性質,此時集合A可以表示為,這種表示集合的方法稱為特征性質描述法,簡稱描述法.3.解決集合問題首先要弄清構成集合的元素是什么(即元素的意義),如表示方程x2－x=0的解集；表示函數(shù)y=x2-x的自變量組成的集合；表示函數(shù)y=x2－x的函數(shù)值組成的集合；表示拋物線y=x2－x上的點組成的集合.六、子集1.一般地如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素,那么集合A為集合B的子集.,記作A?B（或B?A）,讀作“A包含于B”（或“B包含A”）.2.規(guī)定：空集是任何集合的子集,即.3.子集的性質：（1）任何一個子集都是它本身的子集,即.（2）若,且,則.七、韋恩圖韋恩（Venn）圖：為了直觀地表示集合間的關系,我們常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合,這種圖稱為韋恩圖.A是B的子集,可用下圖表示：BBA 八、真子集1.如果集合A是集合B的子集,并且集合B中至少有一個元素不屬于A,那么集合A稱為集合B的真子集,記作AB（或BA）,讀作：A真包含于B（或B真包含A）.2.真子集的性質（1）空集是任何非空集合的子集.（2）若AB,BC,則AC.九、集合的相等與子集的關系1.如果A?B且B?A,則A=B.2.如果A=B,則A?B且B?A.十、有限集合的子集個數(shù)若集合A中有n個元素,則集合A的所有子集的個數(shù)為2n,真子集個數(shù)為2n－1,非空子集個數(shù)2n－1,非空真子集個數(shù)為2n－2.【基礎知識】考點一：集合的判斷例1．（2021-2022學年湖南省懷化市第五中學高一上學期期中）下面給出的四類對象中,構成集合的是（

）A．某班視力較好的同學 B．長壽的人 C．的近似值 D．倒數(shù)等于它本身的數(shù)【答案】D【解析】對于A,視力較好不是一個明確的定義,故不能構成集合；對于B,長壽也不是一個明確的定義,故不能構成集合；對于C,的近似值沒有明確近似到小數(shù)點后面幾位,不是明確的定義,故不能構成集合；對于D,倒數(shù)等于自身的數(shù)很明確,只有1和-1,故可以構成集合；故選D.考點二：元素與集合的關系例2．（2021-2022學年】浙江省金華市曙光學校高一上學期10月月考）給出下列關系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N,其中正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】是實數(shù),①正確；是無理數(shù),②錯誤；－3是整數(shù),③錯誤；－是無理數(shù),④正確.所以正確的個數(shù)為2.故選B.考點三：集合中元素互異性的應用例3．（2021-2022學年湖北省十堰市車城高中高一上學期9月月考）由,,可組成含個元素的集合,則實數(shù)的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由元素的互異性可得,解得且且.故選C.考點四：集合的表示例4．（多選）集合用描述法可表示為（

）A．是不大于9的非負奇數(shù) B．且C． D．【答案】AB【解析】對A,是不大于9的非負奇數(shù)表示的集合是,故A正確；對B,且表示的集合是,故B正確；對C,表示的集合是,故C錯誤；對D,表示的集合是,故D錯誤.故選AB.考點五：集合關系的判斷例5．（多選）（2021-2022學年黑龍江省齊齊哈爾市第一中學高一上學期9月月考）下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】由子集的定義易知B正確；對A,,錯誤；對C,表示有2個元素的數(shù)集,表示有一個元素的點集,錯誤；對D,空集是任何集合的子集,正確.故選BD.考點六：由集合包含關系求參數(shù)的值或范圍例6．（2021-2022學年湖南省永州市第二中學高一上學期10月月考）已知(1)若求實數(shù)a的取值范圍(2)若,求實數(shù)的取值范圍【解析】(1)∵,∴,即,∴實數(shù)a的取值范圍為；(2)∵,,∴,解得,故實數(shù)的取值范圍為.考點七：子集個問題例7．（2021-2022學年湖南省長沙市師大附中梅溪湖中學高一上學期階段性評估）集合,,則集合的真子集的個數(shù)為（

）A．8 B．6 C．7 D．15【答案】C【解析】,集合的真子集的個數(shù)為個.故選C.【真題演練】1．(2018年高考全國卷Ⅱ卷)已知集合,則中元素的個數(shù)為 ()A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【解析】,故選A．2.（2020-2021學年云南省北大附中云南實驗學校高一3月月考）下列各對象可以組成集合的是（

）A．與非常接近的全體實數(shù)B．北大附中云南實驗學校學年度第二學期全體高一學生C．高一年級視力比較好的同學D．高一年級很有才華的老師【答案】B【解析】對于ACD,集合中的元素具有確定性,但ACD中的元素不確定,故不能構成集合,ACD錯誤；B中的元素滿足集合中元素的特點,可以構成集合,B正確.故選B.3.（2021-2022學年河南省焦作市縣級重點中學高一上學期期中）給出下列四個關系：π∈R,0?Q,0.7∈N,0∈?,其中正確的關系個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】∵R表示實數(shù)集,Q表示有理數(shù)集,N表示自然數(shù)集,?表示空集,∴π∈R,0∈Q,0.7?N,0??,∴正確的個數(shù)為1.故選D.4.（2020-2021學年湖北省襄陽市第二十四中學高一上學期9月月考）下面五個式子中：①；②；③{a}{a,b}；④；⑤a{b,c,a}；正確的有（

）A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤【答案】A【解析】中,是集合{a}中的一個元素,,所以錯誤；空集是任一集合的子集,所以正確；是的子集,所以錯誤；任何集合是其本身的子集,所以正確；a是的元素,所以正確.故選A.5.（2021-2022學年江西省重點名校高一3月聯(lián)考）設集合,且,則滿足條件的集合的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為,由題意可知,集合為的子集,則滿足條件的集合的個數(shù)為.故選B.6.（2020-2021學年甘肅省金昌市永昌縣第一高級中學高一上學期第一次月考）集合,則的值為（

）A．0 B．1 C．－1 D．±1【答案】B【解析】因為,且,所以,即,所以,,又因為,所以,所以,故選B.7.（多選）（2021-2022學年廣東省茂名市第五中學高一上學期期中）下列集合中,可以表示為的是（

）A．方程的解集B．最小的兩個質數(shù)C．大于1小于4的整數(shù)D．不等式組的整數(shù)解【答案】BCD【解析】對于A,方程的解集為,不符合；對于B,最小的兩個質數(shù)構成的集合,符合；對于C,大于1小于4的整數(shù)構成的集合,符合；對于D,由,可得,即,故整數(shù)解集為,符合.故選BCD8.（2020-2021學年云南省德宏州高一上學期期末統(tǒng)一監(jiān)測）若一個集合是另一個集合的子集,則稱兩個集合構成“鯨吞”；對于集合,,若這兩個集合構成“鯨吞”,則的取值為____________．【答案】0【解析】當時,,顯然,符合題意；當時,顯然集合中元素是兩個互為相反數(shù)的實數(shù),而集合中的兩個元素不互為相反數(shù),所以集合、之間不存在子集關系,不符合題意,故答案為【過關檢測】1．（2021-2022學年甘肅省靜寧縣第一中學高一上學期第一次月考）若以集合的四個元素為邊長構成一個四邊形,則這個四邊形可能是（

）A．矩形 B．平行四邊形C．梯形 D．菱形【答案】C【解析】由題意,集合的四個元素為邊長構成一個四邊形,根據(jù)集合中元素的互異性,可得四個元素互不相等,以四個元素為邊長構成一個四邊形,結合選項,只能為梯形.故選C.2．（2021-2022學年湖南省懷化市第五中學高一上學期期中）①,②,③,④,其中正確的個數(shù)為(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】正確；正確；不正確,左邊是數(shù)集,右邊是點集；不正確,左邊是點集,右邊是點集,但點不相同.故正確的有①②,共2個.故選B.3.（2021-2022學年黑龍江省七臺河市勃利縣高級中學高一上學期9月月考）已知集合,且,則實數(shù)m的值為（

）A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3【答案】A【解析】因為,且,所以或,解得或或,當時,即集合不滿足集合元素的互異性,故,當時集合不滿足集合元素的互異性,故,當時滿足條件；故選A4.（2021-2022學年安徽省宣城八校高一上學期期中聯(lián)考）已知集合,,若,則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．