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文檔簡介
向量概念
1.向量與數(shù)量的概念
(1)既有大小又有方向的量叫作向量.
(2)只有大小沒有方囪的量叫作數(shù)量.
2.有向線段
(1)定義:具有方向的線段叫作有向線段.
(2)表示方法:以A為起點、B為終點的有向線段記作誦.
(3)長度:線段AB的長度也叫作有向線段而的長度,記作|醺j].
(4)三個要素:起直、方向、長度.
3.向量的表示方法
(1)用有向線段表示:用有向線段晶表示的向量記作AEi.有向線段的長度
ABI表示向量的大小,有向線段的方向表示向量的包包.
(2)字母表示法:在印刷時,用黑體小寫字母a,b,c,…表示向量,手寫時,可寫成帶箭
頭的小寫字母a,b,c….
4.向量的模及兩個特殊向量
(1)向量的模:向量靠的大小稱為向量而的長度(或稱模),記作|Am|.
(2)零向量:長度為重的向量叫作零向量,記作。.
(3)單位向量:長度等于L個單位長度的向量,叫作單位向量.
5.相等向量
(D定義:長度相等且方向相同的向量叫作相等向量.
(2)表示方法:向量a與b相等,記作a=b.
6.平行向量(或共線向量)
(D定義和表示方法
方向相同或相反的非零向量叫作平行向量.規(guī)定:零向量與任一向量平行.任一組平行向
定義
量都可以平移到同一條直線上,因此,平行向量也叫作共線向量.
向量a與b平行,記作a〃b
表示方法
對于任意向量a,都有0〃a.
(2)本質(zhì):平行向量反映的是兩個向量的方向關(guān)系,表示兩個共線向量的有向線段所在直線
可以平行,也可以重合.
7.向量的夾角
(1)定義:已知兩個非零向量a,b,0是平面上的任意一點,作6X=a,OB=b,則/AOB
=0(OW0<n)叫作向量a與b的夾角(如圖所示).
(2)三種特殊情況:
a與b的夾角ea與b的關(guān)系
0a與b同向
na與b反向
JI
Ta與b垂直,記作a_Lb
8.相反向量
定義與向量a長度相等,方向相反的向量,叫作a的相反向量,記作二2
規(guī)定零向量的相反向量仍是零向量
a和一a互為相反向量,于是一(一a)=@
結(jié)論a+(—a)=(—a)+a=。
如果a,b互為相反向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0
1.在。0中,以0點為始點,圓周上任一點為終點作向量,則該向量可以確定的要素是()
A.方向B.大小
C.大小和方向D.以上均不對
【解析】選B.由于。。半徑的確定性,因此該向量的長度(大小)是確定的.
2.下列各命題中,正確命題的個數(shù)為()
①若a=|b|,則a=b;
②若磕=DC,則A,B,C,D是一個平行四邊形的四個頂點;
③若a=b,b=c,則a=c;
④若0〃a,0〃b,則2〃1).
A.4B.3C.2D.1
【解析】選D.①|(zhì)a|=|b]只說明兩向量大小相等,不能得出兩向量同向,故此命題不正確;
②由磕-DC可得牖|=|應(yīng)|且磕//DC,由于謙//DC,A,B,C,D可能在同一條直
線上,故此命題不正確;③正確;④0與任意向量平行,命題不正確.
3.如圖所示,在AABC中,點D,E分別是AB和AC邊的中點,則下列結(jié)論正確的是()
A.CB和和共線B.CB和疝共線
C.BA和仄共線D.CB和公共線
【解析】選A.因為點D,E分別是AB和AC邊的中點,
所以DE〃BC,所以通和書共線;選項B,C,D中的向量不共線.
4.給出下列幾種說法:
①若A,B,C三點共線,則誦〃說;
②任一非零向量都可以平行移動;
③長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量.其中說法正確的是.(填序
號)
【解析】①正確.由A,B,C三點共線可知,AB與立方向相同或相反,所以而〃立;
②正確.方向相同且長度相等的兩個向量是相等向量,這說明任一非零向量都可以平行移動;
③錯誤.方向相反的兩個向量是共線向量.
答案:①②
5.在如圖所示的坐標紙(每個方格的邊長均為1)中,用直尺和圓規(guī)畫出下列向量.
(1)0A|=3,點A在點。正西方向;
(2)0B1=372,點B在點0北偏西45°方向;
(3)0C|=2,點C在點0南偏東60°方向.
【解析】如圖所示:
一、單選題
1.給出下列命題:
①物理學中的作用力與反作用力是一對共線向量;
②溫度有零上溫度和零下溫度,因此溫度也是向量;
③方向為南偏西60°的向量與北偏東60°的向量是共線向量;
④坐標平面上的x軸和y軸都是向量.
其中正確的有()
A.1個B.2個C.3個D.4個
【解析】選B.①根據(jù)作用力與反作用力的概念可知作用力與反作用力是一對共線向量;②
溫度只有大小沒有方向,所以不是向量;③如圖可知,是共線向量;④x軸和y軸只有方向,
沒有大小,所以不是向量.所以只有①③正確.
2.如圖,在圓0中,向量而,詼,而是()
A.有相同起點的向量B.單位向量
C.模相等的向量D.相等的向量
【解析】選C.由圖可知三向量方向不同,但長度相等.
3.如圖,四邊形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,則下列結(jié)論中一定不成立的是()
A.AB|=|EFB.AB與西共線
C.BD與麗共線D.CD=FG
【解析】選C.對于A,因為四邊形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,因此1醯|=|前|-
定成立,故A不符合題意;對于B,根據(jù)菱形的性質(zhì),AB與前共線一定成立,故B不符合
題意;對于D,根據(jù)菱形的性質(zhì),CD與俞方向相同且模相等,因此而-FG一定成立,
故D不符合題意;選C.
二、填空題
4.設(shè)在平面上給定了一個四邊形ABCD,點K,L,M,N分別是AB,BC,CD,DA的中點,在
以已知各點為起點和終點的向量中,與向量正相等的向量是.
【解析】因為K,L分別是AB,BC的中點,連接AC,所以KL〃AC,KL=|AC,
同理MN〃AC,MN=;AC,
所以KL〃MN,KL=MN,所以Rt=NM.
答案:NM
5.給出下列說法:
①零向量是沒有方向的;
②零向量的長度為0;
③零向量的方向是任意的;
④單位向量的模都相等.
其中正確的是(填序號).
【解析】由零向量的方向是任意的,知①錯誤,③正確;由零向量的定義知②正確;由單位
向量的模是1,知④正確.
答案:②③④
三、解答題
6.如圖,在AABC中,D,E分別是邊AB,AC的中點,F(xiàn),G分別是DB,EC的中點,求證:
向量和與詼共線.
【證明】因為D,E分別是邊AB,AC的中點,
所以DE是AABC的中位線,
所以DE〃BC,
所以四邊形DBCE是梯形.
又因為F,G分別是DB,EC的中點,
所以FG是梯形DBCE的中位線,
所以FG〃DE.
所以向量施與詼共線.
畿【加固訓練】
如圖是中國象棋的半個棋盤,“馬走日”是象棋中馬的走法.此圖中,馬可以從A處跳到
Ai處,用向量入%"表示馬走了“一步”,也可以跳到A2處,用向量瓦C表示.請在圖中
畫出馬在B,C處走了“一步”的所有情況.
【解析】如圖,馬在B處只有3步可走,馬在C處有8步可走,人們常說的馬有“八面威風”
就是指馬在中心處威力最大.
一、選擇題
1.下列命題中,正確命題的個數(shù)有()
①單位向量都共線;②長度相等的向量都相等;
③共線的單位向量必相等;④與非零向量a共線的單位向量是5.
7|a|T
A.3B.2C.1D.0
【解析】選D.根據(jù)單位向量的定義,可知①②③明顯是錯誤的;對于④,與非零向量a共
線的單位向量是多或一」一,故④也是錯誤的.
aa
2.(2021?東莞高一檢測)兩列火車從同一站臺沿相反方向開去,走了相同的路程,設(shè)兩列
火車的位移向量分別為a和b(假定兩列火車始終沿同一直線行駛),則下列說法中錯誤的是
()
A.a與b為平行向量
B.a與b為模相等的向量
C.a與b為共線向量
D.a與b為相等的向量
【解析】選D.根據(jù)題意,依次分析選項可知A,B,C均成立,對于D,a與b為反向的共線
向量,則a和b不相等,D錯誤.
3.已知D為平行四邊形ABPC兩條對角線的交點,則皿的值為()
|AD|
11
A.5B.-C.1D.2
【解析】選c.因為四邊形ABPC是平行四邊形,D為對角線BC與AP的交點,
所以D為PA的中點,
所以用的值為1.如圖.
AD|
4.(多選)在下列結(jié)論中,正確的結(jié)論為()
A.a〃b且a1=b是a=b的必要不充分條件
B.a〃b且|a|=b是a=b的既不充分也不必要條件
C.a與b方向相同且a=|b|是a=b的充要條件
D.a與b方向相反或a#|b|是arb的充分不必要條件
【解析】選人。).若2=1),則a與b方向相同,模相等,所以A對,B錯,C對,D對.
二、填空題
5.下列說法正確的有.
①終點相同的兩個向量不共線
②若|a|>|b|,則a>b
③單位向量的長度為1
【解析】①中,兩向量終點相同,若夾角是0°或180°,則共線.②中,向量是既有大小,
又有方向的量,不可以比較大小.③正確.
答案:③
6.如圖所示,每個小正方形的邊長都是1,在其中標出了6個向量,在這6個向量中:
(1)有兩個向量的模相等,這兩個向量是.,它們的模都等于—.
(2)存在著共線向量,這些共線的向量是,它們的模的和等于.
【解析】⑴模相
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