工程力學課件(第三版)全書整本書電子教案教學教程

工程力學

目錄第1章靜力學基本概念與物體受力分析1.1靜力學基本概念1.2靜力學公理1.3約束和約束反力的概念及類型1.4物體的受力分析與受力圖第2章平面力系的合成與平衡2.1平面匯交力系的簡化與平衡方程2.2力對點之矩與合力矩定理2.3平面力偶系的合成與平衡2.4平面一般力系的簡化與平衡方程2.5平面平行力系的平衡方程第3章物體系統(tǒng)的平衡問題3.1靜定與靜不定問題的概念3.2物系平衡問題分析3.3考慮摩擦時物體的平衡問題第4章材料力學基本概念4.1材料力學的任務4.2材料力學的基本假設4.3外力與內(nèi)力4.4應力與應變4.5桿件的基本受力與變形形式第5章軸向拉伸或壓縮5.1軸向拉伸或壓縮時的內(nèi)力分析5.2軸向拉伸或壓縮時的應力分析5.3軸向拉伸或壓縮時的變形·胡克定律5.4材料在軸向拉伸或壓縮時的力學性能5.5軸向拉伸或壓縮時的強度計算5.6拉壓靜不定問題簡介5.7應力集中的概念第6章剪切與擠壓6.1剪切的概念6.2剪切的計算6.3擠壓的計算第7章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.1圓軸扭轉(zhuǎn)時的內(nèi)力7.2圓軸扭轉(zhuǎn)時的應力分布規(guī)律與強度條件7.3圓軸扭轉(zhuǎn)的變形與剛度計算第8章彎曲變形8.1梁彎曲時的內(nèi)力8.2彎曲強度8.3彎曲變形的計算8.4提高梁彎曲強度與剛度的措施第9章組合變形9.1拉伸或壓縮與彎曲的組合9.2彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合第10章壓桿穩(wěn)定10.1壓桿穩(wěn)定的概念10.2臨界力的確定10.3壓桿穩(wěn)定的計算10.4提高壓桿穩(wěn)定性的措施第1章靜力學基本概念與物體受力分析力學是研究物體機械運動規(guī)律的科學，靜力學是力學的一個分支，它主要研究物體在力的作用下處于平衡的規(guī)律，以及如何建立各種力系的平衡條件。靜力學還研究力系的簡化和物體受力分析。1.1靜力學基本概念靜力學理論是從生產(chǎn)實踐中總結(jié)出來的，是對工程結(jié)構(gòu)構(gòu)件進行受力分析和計算的基礎，在工程技術中有著廣泛的應用。靜力學主要研究以下3個問題：(1)物體的受力分析；(2)力系的等效替換與簡化；(3)力系的平衡條件及其應用。1.1.1剛體的概念靜力學的研究對象是剛體。所謂剛體，是指在力的作用下不變形的物體，即在力的作用下其內(nèi)部任意兩點的距離永遠保持不變的物體。這是一種理想化的力學模型，事實上，在受力狀態(tài)下不變形的物體是不存在的，不過，當物體的變形很小或變形對問題的研究沒有本質(zhì)的影響時，該物體就可近似抽象成剛體。剛體是在一定條件下研究物體受力和運動規(guī)律時的科學抽象，這種抽象不僅使問題大大簡化，也能得出足夠精確的結(jié)果，因此，靜力學又稱為剛體靜力學。1.1.2力與力系的概念(1)力的定義人們在生產(chǎn)實踐中逐步建立起力的科學概念，力是物體之間相互的機械作用。這種作用使物體的機械運動狀態(tài)發(fā)生變化或使物體的形狀發(fā)生改變，前者稱為力的外效應或運動效應，后者稱為力的內(nèi)效應或變形效應。在理論力學中研究力的外效應，在材料力學中研究力的內(nèi)效應。(2)力的三要素實踐表明，力對物體的作用效果取決于力的三個要素——力的大小、力的方向和力的作用點，因此力是矢量，且為定位矢量。如圖1-7所示，用有向線段AB表示一個力矢量，其中線段的長度表示力的大小，線段的指向表示力的方向，線段的起點A(或終點B)表示力的作用點，線段所在的直線稱為力的作用線。在靜力學中，用黑斜體大寫字母F表示力矢量，用白斜體大寫字母F表示力的大小。在國際單位制中，力的單位是牛頓(N)或千牛(kN)。(3)力的分布力的作用點是物體相互作用位置的抽象化。實際上，兩個物體接觸處總占有一定的面積，力總是分布作用在一定面積上的，如果這個面積很小，則可將其抽象為一個點，即為力的作用點，這時的作用力稱為集中力；反之，若兩物體接觸面積比較大，力分布作用在接觸面上，這時的作用力稱為分布力。除面分布力外，還有作用在物體整體或某一長度上的體分布力或線分布力，分布力的大小用符號q表示，代表分布力作用的強度，稱為荷載集度。如果力的分布是均勻的，則稱為均勻載荷。(4)力系力系是指作用在物體上的一組力。若對于同一物體，有兩組不同力系對該物體的作用效果完全相同，則這兩組力系稱為等效力系。一個力系用其等效力系來代替，稱為力系的等效替換。用一個最簡單的力系等效替換一個復雜力系，稱為力系的簡化。若某力系與一個力等效，則此力稱為該力系的合力，而該力系的各力稱為此力的分力。1.1.3平衡的概念在工程中，把物體相對于地面靜止或做勻速直線運動的狀態(tài)稱為平衡。根據(jù)牛頓第一定律，物體如不受到力的作用則必然保持平衡。但客觀世界中任何物體都不可避免地受到力的作用，物體上作用的力系只要滿足一定的條件，即可使物體保持平衡，這種條件稱為力系的平衡條件。滿足平衡條件的力系稱為平衡力系。1.2靜力學公理公理1二力平衡公理作用在剛體上的兩個力使剛體處于平衡的充要條件是：這兩個力大小相等，方向相反，且作用在同一直線上，如圖1-8所示。這兩個力的關系可用如下矢量式表示只在兩個力作用下而平衡的剛體稱為二力構(gòu)件，若構(gòu)件為桿件則稱為二力桿，根據(jù)二力平衡條件，二力桿兩端所受兩個力大小相等、方向相反，作用線沿兩個力的作用點的連線，如圖1-9所示。公理2加減平衡力系公理在已知力系上加上或減去任意的平衡力系，并不改變原力系對剛體的作用。這一公理是研究力系等效替換與簡化的重要依據(jù)。根據(jù)上述公理可以導出推論1和推論2這兩個重要推論。推論1力的可傳性原理作用于剛體上某點的力，可以沿著它的作用線滑移到剛體內(nèi)任意一點，并不改變該力對剛體的作用效果。公理3力的平行四邊形法則作用在物體上同一點的兩個力，可以合成為一個合力。合力的作用點也在該點，合力的大小和方向，由以這兩個力為鄰邊構(gòu)成的平行四邊形的對角線確定，如圖1-12所示?；蛘哒f，合力矢等于這兩個力矢的矢量和，即

圖1-12推論2三力平衡匯交定理若剛體受三個力作用而平衡，且其中兩個力的作用線相交于一點，則此三個力必共面且匯交于同一點。公理4作用與反作用定律兩個物體間的作用力與反作用力總是同時存在，且大小相等，方向相反，沿著同一條直線，分別作用在兩個物體上。若用F表示作用力，F(xiàn)′表示反作用力，則F＝－F′公理5剛化原理變形體在某一力系作用下處于平衡，如果將此變形體剛化為剛體，其平衡狀態(tài)保持不變。1.3約束和約束反力的概念及類型對非自由體的位移起限制作用的周圍物體稱為約束，如鐵軌對于機車、軸承對于電機轉(zhuǎn)軸、吊車鋼索對于重物等，都是約束。約束對非自由體的運動的限制，是通過與非自由體接觸相互產(chǎn)生了作用力，約束作用于非自由體上的力稱為約束反力，簡稱反力。約束反力以外的力統(tǒng)稱為主動力，如電磁力、切削力、流體的壓力、萬有引力等，它們往往是給定或可以測定的。1.3.1柔索約束繩索、膠帶、鏈條等形成的約束稱為柔索約束，這種約束的特點是柔軟易變形，它給物體的約束反力只能是拉力。因此，柔索對物體的約束反力作用在接觸點，方向沿柔索中心線且背離物體。常用符號為FT，如圖1-14、圖1-15所示。1.3.2光滑面約束物體受到光滑平面或曲面的約束稱作光滑面約束。此類約束只能限制物體在接觸點沿接觸面的公法線方向的運動，不能限制物體沿接觸面切線方向的運動，故約束反力作用在接觸點，方向沿接觸表面的公法線，并指向被約束物體，簡稱法向壓力，通常用FN表示。如圖1-16中（a）、（b）所示分別為光滑曲面對剛體球的約束和齒輪傳動機構(gòu)中齒輪輪齒的約束。圖1-17為直桿與方槽在A、B、C三點接觸，三處的約束反力沿二者接觸點的公法線方向，指向物體。1.3.3光滑圓柱鉸鏈約束鉸鏈是工程上常見的一種約束。如圖1-18（a）、（b）所示，在兩個構(gòu)件A、B上分別有直徑相同的圓孔，再將一直徑略小于孔徑的圓柱體銷釘C插入兩構(gòu)件的圓孔中，將兩構(gòu)件連接在一起，這種連接稱為鉸鏈連接，兩個構(gòu)件受到的約束稱為光滑圓柱鉸鏈約束。受這種約束的物體，只可繞銷釘?shù)闹行妮S線轉(zhuǎn)動，而不能相對銷釘沿任意徑向方向運動。這種約束實質(zhì)是兩個光滑圓柱面的接觸，如圖1-19（a）所示，其約束反力作用線必然通過銷釘中心并垂直圓孔在接觸點K點的切線，K的位置與作用在物體上的其他力有關，所以光滑圓柱鉸鏈的約束反力的大小和方向都是未知的，這種約束反力通常是用兩個通過鉸鏈中心的大小和方向未知的正交分力Fx、Fy來表示，如圖1-19（b）所示。通常在兩個構(gòu)件連接處用一個小圓圈表示鉸鏈，如圖1-19（c）所示。1.3.4軸承約束軸承是機械中常見的一種約束，常見的軸承有兩種形式。一種是徑向軸承，如圖1-23（a）所示，它限制轉(zhuǎn)軸的徑向位移，并不限制沿其軸向運動和繞軸轉(zhuǎn)動，其性質(zhì)和圓柱鉸鏈類似，圖1-23（b）為其示意簡圖，徑向軸承的約束反力用兩個垂直于軸長方向的正交分力Fx、Fy表示，如圖1-23（c）所示。另一種是徑向止推軸承，它既限制轉(zhuǎn)軸的徑向位移，又限制它的軸向運動，只允許繞軸轉(zhuǎn)動，其約束反力用3個大小未知的正交分力Fx、Fy、Fz表示，如圖1-24所示。1.4物體的受力分析與受力圖分析力學問題時，必須首先根據(jù)問題的性質(zhì)、已知量和所要求的未知量，將所研究的物體或物體系統(tǒng)解除它受到的全部約束，從與其聯(lián)系的周圍物體或約束中分離出來，使對象成為自由體，解除約束后的自由物體稱為分離體，并分析它受幾個力作用，確定每個力的作用位置和力的作用方向，這一過程稱為物體受力分析。物體受力分析過程包括如下3個主要步驟：(1)確定研究對象，取出分離體；(2)在分離體上畫出它所受的全部主動力；(3)在分離體上所有約束處畫出所有約束反力，即作出受力圖。畫受力圖是解決力學問題的第一步驟，正確地畫出受力圖是分析、解決力學問題的前提。如果沒有特別說明，則物體的重力一般不計，并認為接觸面都是光滑的。第2章平面力系的合成與平衡根據(jù)力系中諸力的作用線在空間的分布情況，可將力系進行分類。力的作用線均在同一平面內(nèi)的力系稱為平面力系，力的作用線為空間分布的力系稱為空間力系；力的作用線均匯交于同一點的力系稱為匯交力系，力的作用線互相平行的力系稱為平行力系;若組成力系的元素都是力偶，這樣的力系稱為力偶系；若力的作用線的分布是任意的，既不相交于一點，也不都相互平行，這樣的力系稱為任意力系。此外，若諸力的作用線均在同一平面內(nèi)且匯交于同一點的力系稱為平面匯交力系，照此類推，還有平面力偶系、平面任意力系、平面平行力系以及空間匯交力系、空間力偶系、空間任意力系、空間平行力系等。平面力系分為平面匯交力系、平面平行力系、平面任意力系，如圖2-1所示2.1平面匯交力系的簡化與平衡方程2.1.1平面匯交力系的簡化設剛體上作用有一個平面匯交力系F1、F2、F3、F4，各力匯交于A點，如圖2-2（a）所示。為合成此力系，可根據(jù)力的三角形規(guī)則，逐步兩兩合成各力，最后求得一個通過匯交點A的合力FR。任取一點a，先作力三角形求出F1與F2的合力大小與方向FR1，再作力三角形合成FR1與F3得FR2，最后合成FR2與F4得FR，如圖2-2（b）所示。多邊形abcde稱為此平面匯交力系的力多邊形，矢量ae稱此力多邊形的封閉邊。封閉邊矢量ae即表示此平面匯交力系合力FR的大小與方向（即合力矢），而合力的作用線仍應通過原匯交點A，如圖2-2(a)所示的FR。必須注意，任意變換各分力矢的作圖次序，可得形狀不同的力多邊形，但其合力矢仍然不變，如圖2-2（c）所示?？傊?，平面匯交力系的合成結(jié)果是一個合力，合力的作用線通過匯交點，其大小和方向由力系中各力的矢量和確定。設平面匯交力系包含n個力，以FR表示它們的合力矢，則有合力FR對剛體的作用與原力系對該剛體的作用等效。2.1.2平面匯交力系平衡的幾何條件由于平面匯交力系可用其合力來代替，顯然，平面匯交力系平衡的另一充要條件是：該力系的合力等于零。如用矢量等式表示，即在平衡情形下，若力多邊形中最后一力的終點與第一力的起點重合，此時的力多邊形稱為封閉的力多邊形，即平面匯交力系平衡的另一充要條件是：該力系的力多邊形自行封閉，該條件稱為平面匯交力系平衡的幾何條件。求解平面匯交力系的平衡問題時可用圖解法，即按比例先畫出封閉的力多邊形，然后，用尺和量角器在圖上量得所要求的未知量；也可根據(jù)圖形的幾何關系，用三角公式計算出所要求的未知量，這種解題方法稱為幾何法。2.1.3平面匯交力系合成與平衡的解析法解析法是通過力矢在坐標軸上的投影來分析力系的合成及其平衡條件。如圖2-4所示，過F兩端向坐標軸引垂線得垂足a、b和a′、b′。線段ab和a′b′分別為F在x軸和y軸上投影的大小，投影的正負號規(guī)定為：從a到b（或從a′到b′）的指向與坐標軸正向相同為正，相反為負。已知力F與平面內(nèi)正交軸x、y的夾角為α、β，則力F在x、y軸上的投影分別為即力在某軸的投影，等于力的模乘以力與投影軸正向間夾角的余弦。力在軸上的投影為代數(shù)量，當力與軸間夾角為銳角時，其值為正；當夾角為鈍角時，其值為負。由圖2-4可知，力F沿正交軸Ox、Oy可分解為兩個分力Fx和Fy時，其分力與力的投影之間有下列關系由此，力的解析表達式為其中i、j分別為x、y軸的單位矢量。顯然，已知力F在平面內(nèi)兩個正交軸上的投影X和Y時，該力矢的大小和方向余弦分別為必須注意，力在軸上的投影X、Y為代數(shù)量，而力沿軸的分量Fx＝Xi和Fy＝Y(jié)j為矢量，二者不可混淆。當Ox、Oy兩軸不相垂直時，力沿兩軸的分力Fx、Fy在數(shù)值上也不等于力在兩軸上的投影X、Y，如圖2-5所示。2.1.4平面匯交力系合成的解析法設剛體上作用有一個平面匯交力系F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n，據(jù)式（2-1）有將上式兩邊分別向x軸和y軸投影，即有式（2-6）即為合力投影定理：力系的合力在某軸上的投影，等于力系中各力在同一軸上投影的代數(shù)和。若進一步按式（2-6）運算，即可求得合力的大小及方向，即2.1.5平面匯交力系的平衡方程及其應用平面匯交力系平衡的充要條件是：該力系的合力FR等于零。由式（2-7）應有欲使上式成立，必須同時滿足：于是，平面匯交力系平衡的充要條件是：各力在兩個坐標軸上投影的代數(shù)和分別等于零。式（2-8）稱為平面匯交力系的平衡方程。這是兩個獨立的方程，可以求解兩個未知量。2.2力對點之矩與合力矩定理2.2.1力對點之矩力對剛體的作用效應使剛體的運動狀態(tài)發(fā)生改變（包括移動與轉(zhuǎn)動），其中力對剛體的移動效應可用力矢來度量；而力對剛體的轉(zhuǎn)動效應可用力對點的矩（簡稱力矩）來度量，即力矩是度量力對剛體轉(zhuǎn)動效應的物理量。由經(jīng)驗知道，力使物體轉(zhuǎn)動的效果不僅與力的大小有關，還與力的作用點（或作用線）的位置有關。如圖2-11所示，用扳手擰螺母時，螺母的轉(zhuǎn)動效應除與力F的大小有關外，還與點O到力作用線的距離h有關。距離h越大，轉(zhuǎn)動的效果就越好，且越省力，反之則越差。顯然，當力的作用線通過螺母的轉(zhuǎn)動中心時，則無法使螺母轉(zhuǎn)動。若平面上作用一力F，在同平面內(nèi)任取一點O，點O稱為矩心，點O到力的作用線的垂直距離h稱為力臂，則在平面問題中力對點的矩的定義如下：力F對某點O的矩等于力的大小與點O到力的作用線距離h的乘積。記作力對點之矩是一個代數(shù)量，它的絕對值等于力的大小與力臂的乘積，它的正負可按下法確定：力使物體繞矩心逆時針轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動時為正，反之為負。由圖2-12容易看出，力F對點O的矩的大小也可用△OAB面積的兩倍表示，即顯然，當力的作用線通過矩心，即力臂等于零時，它對矩心的力矩等于零。力矩的單位常用N·m或kN·m。2.2.2合力矩定理在計算力系的合力對某點的矩時，除根據(jù)力矩的定義計算外，還常用到合力矩定理，即：平面匯交力系的合力對平面上任一點之矩，等于所有各分力對同一點力矩的代數(shù)和。2.2.3力矩與合力矩的解析表達式如圖2-14所示，已知力F，作用點A（x，y）及其夾角α。欲求力F對坐標原點O之矩，可按式（2-11），通過其分力Fx與Fy對點O之矩而得到，即或式（2-12）為平面內(nèi)力矩的解析表達式。其中x、y為力F作用點的坐標；X、Y為力F在x、y軸的投影。計算時應注意它們的代數(shù)量代入。若將式（2-12）代入式（2-11），即可得合力FR對坐標原點之矩的解析表達式，即

2.3平面力偶系的合成與平衡2.3.1力偶的概念由兩個大小相等、方向相反且不共線的平行力組成的力系，稱為力偶，如圖2-19所示，記作（F，F(xiàn)′）。力偶的兩力之間的垂直距離d稱為力偶臂，力偶所在的平面稱為力偶的作用面。2.3.2力偶的三要素力偶是由兩個力組成的特殊力系，它的作用只改變物體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)。因此，力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應，可用力偶矩來度量，即用力偶的兩個力對其作用面內(nèi)某點的矩的代數(shù)和來度量。以F與力偶臂d的乘積作為度量力偶在其作用面內(nèi)對物體轉(zhuǎn)動效應的物理量，稱為力偶矩，并記作M（F,F′）或M。即力偶矩的大小也可以通過力與力偶臂組成的三角形面積的二倍來表示，如圖2-21所示，即一般規(guī)定，逆時針轉(zhuǎn)動的力偶取正值，順時針時取負值。力偶矩的單位為N·m或N·mm。力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應取決于下列三要素：(1)力偶矩的大??；(2)力偶的轉(zhuǎn)向；(3)力偶作用面的方位。2.3.3力偶的性質(zhì)性質(zhì)1力偶對其作用面內(nèi)任意點的力矩恒等于此力偶的力偶矩，而與矩心的位置無關。性質(zhì)2力偶在任意坐標軸上的投影之和為零，故力偶無合力，力偶不能與一個力等效，也不能用一個力來平衡。力偶無合力，故力偶對物體的平移運動不會產(chǎn)生任何影響，力與力偶相互不能代替，不能構(gòu)成平衡。因此，力與力偶是力系的兩個基本元素。由于上述性質(zhì)，所以對力偶可作如下處理：(1)任一力偶可以在它的作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，而不改變它對剛體的作用。因此，力偶對剛體的作用與力偶在其作用面內(nèi)的位置無關。(2)只要保持力偶矩的大小和力偶的轉(zhuǎn)向不變，可以同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不改變力偶對剛體的作用。2.3.4平面力偶系的合成作用在物體上同一平面內(nèi)的若干力偶，總稱為平面力偶系。設在剛體某平面上有力偶M1、M2的作用，如圖2-25（a）所示，現(xiàn)求其合成的結(jié)果。在平面上任取一線段AB＝d作為公共力偶臂，并把每個力偶化為一組作用在A、B兩點的反向平行力，如圖2-25（b）所示，根據(jù)力系等效條件，有于是在A、B兩點各得一組共線力系，其合力為FR，如圖2-25（c）所示，且有FR

與F′R為一對等值、反向、不共線的平行力，它們組成的力偶即為合力偶，所以有若在剛體上有若干個力偶作用，采用上述方法疊加，可得合力偶矩為上式表明：平面力偶系合成的結(jié)果為一合力偶，合力偶矩為各分力偶矩的代數(shù)和。2.3.5平面力偶系的平衡條件由合成結(jié)果可知，要使力偶系平衡，則合力偶的矩必須等于零，因此平面力偶系平衡的充要條件是：力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零，即平面力偶系的獨立平衡方程只有一個，故只能求解一個未知數(shù)。2.4平面一般力系的簡化與平衡方程2.4.1力的平移定理作用在剛體上A點處的力F，可以平移到剛體內(nèi)任意點O，但必須同時附加一個力偶，其力偶矩等于原來的力F對新作用點O的矩，這就是力的平移定理，如圖2-29所示。力的平移定理表明了力對繞力作用線外的中心轉(zhuǎn)動的物體有兩種作用，一是平移力的作用，二是附加力偶對物體產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)作用。2.4.2平面一般力系的簡化1.平面一般力系向面內(nèi)任一點的主矢和主矩設剛體上作用有一平面一般力系F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n，如圖2-32（a）所示，在平面內(nèi)任意取一點O，稱為簡化中心。根據(jù)力的平移定理，將各力都向O點平移，得到一個匯交于O點的平面匯交力系F′1，F(xiàn)′2，…，F(xiàn)′n，以及平面力偶系M1，M2，…，Mn，如圖2-32（b）所示。(1)平面匯交力系F′1，F(xiàn)′2，…，F(xiàn)′n，可以合成為一個作用于O點的合矢量F′R，如圖2-32（c）所示。它等于力系中各力的矢量和。顯然，單獨的F′R不能和原力系等效，它被稱為原力系的主矢。將式（2-17）寫成直角坐標系下的投影形式：因此，主矢F′R的大小及其與x軸正向的夾角分別為：(2)附加平面力偶系M1，M2，…，Mn可以合成為一個合力偶矩MO，即顯然，單獨的MO也不能與原力系等效，因此它被稱為原力系對簡化中心O的主矩。綜上所述，得到如下結(jié)論：平面一般力系向平面內(nèi)任一點簡化可以得到一個力和一個力偶，這個力等于力系中各力的矢量和，作用于簡化中心，稱為原力系的主矢；這個力偶的矩等于原力系中各力對簡化中心之矩的代數(shù)和，稱為原力系的主矩。應當注意，作用于簡化中心的力F′R一般并不是原力系的合力，力偶矩MO也不是原力系的合力偶，只有F′R與MO兩者相結(jié)合才與原力系等效。由于主矢等于原力系各力的矢量和，因此主矢F′R的大小和方向與簡化中心的位置無關。而主矩等于原力系各力對簡化中心的力矩的代數(shù)和，取不同的點作為簡化中心，各力的力臂都要發(fā)生變化，則各力對簡化中心的力矩也會改變，因而，主矩一般隨著簡化中心的位置不同而改變。2.平面一般力系的合成結(jié)果由前述可知，平面一般力系向一點O簡化后，一般來說得到主矢F′R和主矩MO，但這并不是簡化的最終結(jié)果，進一步分析可能出現(xiàn)以下四種情況：(1)F′R＝0，MO≠0說明該力系無主矢，而最終簡化為一個力偶，其力偶矩就等于力系的主矩，此時主矩與簡化中心無關。(2)F′R≠0，MO＝0說明原力系的簡化結(jié)果是一個力，而且這個力的作用線恰好通過簡化中心，此時F′R就是原力系的合力FR。(3)F′R≠0，MO≠0這種情況還可以進一步簡化，根據(jù)力的平移定理逆過程，可以把F′R和MO合成一個合力FR。合成過程如圖2-35所示，合力FR的作用線到簡化中心O′的距離d為(4)F′R＝0，MO＝0這表明：該力系對剛體總的作用效果為零，即物體處于平衡狀態(tài)。2.4.3平面一般力系的平衡方程及其應用1.平面一般力系的平衡方程(1)基本形式由上述討論知，若平面一般力系的主矢和對任一點的主矩都為零，則物體處于平衡；反之，若力系是平衡力系，則其主矢、主矩必同時為零。因此，平面一般力系平衡的充要條件是故得平面一般力系的平衡方程為式（2-22）滿足平面一般力系平衡的充分和必要條件，所以平面一般力系有三個獨立的平衡方程，可求解最多三個未知量。用解析表達式表示平衡條件的方式不是唯一的。平衡方程式的形式還有二矩式和三矩式兩種形式。(2)二矩式要求AB連線不得與x軸相垂直。(3)三矩式要求A、B、C三點不在同一直線上。2.平面一般力系平衡方程的解題步驟(1)確定研究對象，畫出受力圖。應取有已知力和未知力作用的物體，畫出其分離體的受力圖。(2)列平衡方程并求解。適當選取坐標軸和矩心。若受力圖上有兩個未知力互相平行，可選垂直于此二力的坐標軸，列出投影方程。如不存在兩未知力平行，則選任意兩未知力的交點為矩心列出力矩方程，先行求解。一般水平和垂直的坐標軸可畫可不畫，但傾斜的坐標軸必須畫。2.5平面平行力系的平衡方程平面平行力系是平面任意力系的一種特殊情形。如圖2-40所示，設物體受平面平行力系F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n的作用。如選取x軸與各力垂直，則不論力系是否平衡，每一個力在x軸上的投影恒等于零，即是，平行力系的獨立平衡方程的數(shù)目只有兩個，即平面平行力系的平衡方程，也可用兩個力矩方程的形式，即第3章物體系統(tǒng)的平衡問題3.1靜定與靜不定問題的概念在工程實際問題中，往往遇到由多個物體通過適當?shù)募s束相互連接而成的系統(tǒng)，這種系統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)，簡稱物系。工程實際中的結(jié)構(gòu)或機構(gòu)，如多跨梁、三鉸拱、組合構(gòu)架、曲柄滑塊機構(gòu)等都可看作物體系統(tǒng)。求解物體系統(tǒng)的平衡問題與單一剛體平衡問題步驟相同，即選擇合適的研究對象，畫出其分離體的受力圖，然后列平衡方程求解。不同之處在于單一剛體平衡問題的研究對象是唯一的，而物體系統(tǒng)不同。當物體系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時，組成該系統(tǒng)的每一個物體都處于平衡狀態(tài)，可以取每一個物體為分離體，則作用于其上的力系的獨立平衡方程數(shù)目是一定的，可求解的未知量的個數(shù)也是一定的。在靜力平衡問題中，若未知量的數(shù)目等于獨立平衡方程的數(shù)目，則全部未知量都能由靜力平衡方程求出，這類問題稱為靜定問題，顯然前面所舉各例都是靜定問題。在工程結(jié)構(gòu)中，有時為了提高結(jié)構(gòu)的剛度和可靠性，常常增加多余的約束，使得結(jié)構(gòu)中未知量的數(shù)目多于獨立平衡方程的數(shù)目，則由靜力平衡方程就不能求出全部未知量，這類問題稱為靜不定問題，在靜不定問題中，未知量的數(shù)目減去獨立平衡方程的數(shù)目稱為靜不定次數(shù)。應當指出的是，這里說的靜定與靜不定問題，是對整個系統(tǒng)而言的。當物系平衡時，組成該系統(tǒng)的每一個物體都處于平衡狀態(tài)，若從該系統(tǒng)中取出一分離體，它的未知量的數(shù)目多于它的獨立平衡方程的數(shù)目，并不能說明該系統(tǒng)就是靜不定問題，而要分析整個系統(tǒng)的未知量數(shù)目和獨立平衡方程的數(shù)目。3.2物系平衡問題分析研究物體系統(tǒng)的平衡問題時，必須綜合考察整體與局部的平衡。當物體系統(tǒng)平衡時，組成該系統(tǒng)的任何一個局部系統(tǒng)以致任何一個物體也必然處于平衡狀態(tài)，因此在求解物體系統(tǒng)的平衡問題時，不僅要研究整個系統(tǒng)的平衡，而且要研究系統(tǒng)內(nèi)某個局部或單個物體的平衡。在畫物體系統(tǒng)、局部、單個物體的受力圖時，特別要注意施力體與受力體、作用力與反作用力的關系，由于力是物體之間相互的機械作用，因此，對于受力圖上的任何一個力，必須明確它是哪個物體所施加的，絕不能憑空臆造。求解物系平衡問題時，應當根據(jù)問題的特點和待求未知量，可以選取整個系統(tǒng)為研究對象，也可以選取每個物體或其中部分物體為研究對象，有目的地列出平衡方程，適當?shù)剡x取矩心和投影軸，并使每一個平衡方程中的未知量個數(shù)盡可能少，最好是只含有一個未知量，以避免解聯(lián)立方程。3.2.1物體系統(tǒng)平衡問題根據(jù)剛體系統(tǒng)的特點，分析和處理剛體系統(tǒng)平衡問題時，應注意以下幾方面：(1)認真理解、掌握并能靈活運用“系統(tǒng)整體平衡，組成系統(tǒng)的每個局部必然平衡”的重要概念。(2)要靈活選擇研究對象。所謂研究對象包括系統(tǒng)整體、單個剛體以及由兩個或兩個以上剛體組成的子系統(tǒng)。靈活選擇其中之一或之二作為研究對象，一般應遵循的原則是：盡量使一個平衡方程中只包含一個未知約束力，不解或少解聯(lián)立方程。(3)注意區(qū)分內(nèi)約束力與外約束力、作用與反作用力。內(nèi)約束力只有在系統(tǒng)拆開時才會出現(xiàn)，故而在考察整體平衡時，無須考慮內(nèi)約束力，也無須畫出內(nèi)約束力。當同一約束處有兩個或兩個以上剛體相互連接時，為了區(qū)分作用在不同剛體上的約束力是否互為作用與反作用力，必須對相關的剛體逐個分析，分清哪一個剛體是施力體，哪一個剛體是受力體。(4)注意對主動分布載荷進行等效簡化?？疾炀植科胶鈺r，分布載荷最好在拆開之后簡化。3.2.2物系平衡在工程中的應用圖3-10（a）所示鯉魚鉗由鉗夾1、連桿2、上鉗頭3與下鉗頭4等組成。若鉗夾手握力為F，不計各桿自重與摩擦，試求鉗頭的夾緊力F1的大小。設圖中的尺寸單位是毫米（mm），連桿2與水平線夾角α＝20°。先取鉗夾1為研究對象，它所受的力有手握力F，連桿（二力桿）的作用力Fs，下鉗頭與鉗夾鉸鏈D的約束反力FDx、FDy。受力圖如圖3-10（b）所示。列出平衡方程解得再取上鉗頭3為研究對象，它所受的力有手握力F，連桿的作用力F′s，上、下鉗夾頭鉸鏈B的約束反力FBx、FBy，鉗頭夾緊力F1。受力圖如圖3-10（c）所示。列出平衡方程得考慮到Fs＝F′s，將①式代入②式，得3.3考慮摩擦時物體的平衡問題摩擦可分為滑動摩擦和滾動摩擦，滑動摩擦又可分為靜滑動摩擦和動滑動摩擦。3.3.1滑動摩擦兩個相互接觸的物體，如有相對滑動或滑動趨勢，這時在接觸面間彼此會產(chǎn)生阻礙相對滑動的切向阻力，這種阻力稱為滑動摩擦力。將重為G的物體放在表面粗糙的固定水平面上，這時物體在重力G與法向反力FN作用下處于平衡，如圖3-11（a）所示。若給物體一水平拉力FP，并由零逐漸增大，物體將發(fā)生相對滑動或有滑動趨勢，摩擦力的性質(zhì)也隨之改變。在拉力FP值由零逐漸增大至某一臨界值的過程中，物體雖有向右滑動的趨勢但仍保持靜止狀態(tài)，在兩接觸面之間存在一阻礙物體滑動的靜滑動摩擦力，簡稱靜摩擦力，如圖3-11（b）所示。靜摩擦力F的大小隨主動力FP而改變，其方向與物體滑動趨勢方向相反，由平衡條件確定。當拉力FP達到某一臨界值時，物體處于將要滑動而未滑動的臨界狀態(tài)，這時，靜摩擦力達到最大值，稱為最大靜滑動摩擦力，簡稱最大靜摩擦力，以Fmax表示。式中，F(xiàn)max為最大靜摩擦力；FN為兩物體間的正壓力（法向反力）；fs為靜摩擦因數(shù)，它的大小與兩接觸物體的材料與表面情況有關，而與接觸面的大小無關，一般可由實驗測定，其數(shù)值可在機械工程手冊中查到。當FP再增大，只要稍大于Fmax，物體就開始向右滑動，這時物體間的摩擦力稱為動滑動摩擦力，簡稱動摩擦力，以F′表示。這就是動摩擦定律。式中f稱為動摩擦因數(shù)。它主要取決于接觸面材料的表面情況。在一般情況下f略小于fs，即實際上動摩擦因數(shù)還與接觸物體間相對滑動的速度大小有關。對于不同材料的物體，動摩擦因數(shù)隨相對滑動的速度變化規(guī)律也不同。多數(shù)情況下，動摩擦因數(shù)隨相對滑動速度的增大而稍減小。但當相對滑動速度不大時，動摩擦因數(shù)可近似地認為是個常數(shù)。3.3.2摩擦角和自鎖物體受力FP作用仍靜止時，把它所受的法向反力FN和切向摩擦力F合成為一個反力FR，稱為全約束反力，或全反力。它與接觸面法線間的夾角為φ，如圖3-12（a）所示，由此得φ角將隨主動力的變化而變化，當物體處于平衡的臨界狀態(tài)時，靜摩擦力達到最大靜摩擦力Fmax，φ角也將達到相應的最大值φf

，稱為臨界摩擦角，簡稱摩擦角。如圖3-12（b）所示，此時有上式表明，靜摩擦因數(shù)等于摩擦角的正切。由于靜摩擦力不能超過其最大值Fmax，因此φ角總是小于等于摩擦角φf

：0≤φ≤φf

，即全反力的作用線不可能超出摩擦角的范圍。由此可得出以下結(jié)論：(1)當主動力的合力FQ的作用線在摩擦角φf以內(nèi)時，由二力平衡公理可知，全反力FR與之平衡，如圖3-12（c）所示。因此，只要主動力合力的作用線與接觸面法線間的夾角α不超過φf，即

α≤φf

（3-4）則不論該合力的大小如何，物體總處于平衡狀態(tài)，這種現(xiàn)象稱為摩擦自鎖。式（3-4）稱為自鎖條件。利用自鎖原理可設計某些機構(gòu)或夾具，如千斤頂、壓榨機、圓錐銷等，使之始終保持在平衡狀態(tài)下工作。(2)當主動力合力的作用線與接觸面法線間的夾角α＞φf時，全反力不可能與之平衡，因此不論這個力多么小，物體一定會滑動。例如對于傳動機構(gòu)，利用這個原理，可避免自鎖使機構(gòu)不致卡死。3.3.3考慮摩擦時的平衡問題考慮摩擦時的平衡問題與前面沒有摩擦時的平衡問題分析方法基本相同，所不同的是：(1)分析物體受力時，除了一般約束反力外，還必須考慮摩擦力，其方向與滑動的趨勢相反。(2)需分清物體是處于一般平衡狀態(tài)還是臨界狀態(tài)。在一般平衡狀態(tài)下，靜摩擦力的大小由平衡條件確定，并滿足F≤Fmax關系式；在臨界狀態(tài)下，靜摩擦力為一確定值，滿足F＝Fmax＝fsFN關系式。(3)由于靜摩擦力可在零與Fmax之間變化，所以物體平衡時的解也有一個變化范圍。為了避免解不等式，一般先假設物體處于臨界狀態(tài)，求得結(jié)果后再討論解的范圍。3.3.4摩擦問題在機械中的應用機械加工中的很多夾具是利用摩擦來夾緊工件的。此外，帶輪利用摩擦傳遞運動，制動器利用摩擦剎車，螺栓利用摩擦鎖緊等等。在檢驗工件的孔與外圓同軸度誤差時，可采用圖3-17（a）所示的楔塊4連接，它是利用摩擦自鎖原理來夾緊工件的。這種夾緊方法比使用螺紋連接方便、迅速得多。取楔塊4為研究對象，受力分析如圖3-17（b）所示。楔塊有向上滑出的趨勢，故有法向反力FN1，F(xiàn)N2及相應的摩擦力F1、F2；全約束反力FR1、FR2的方向如圖所示。由二力平衡條件，F(xiàn)R1與FR2應等值、反向、共線，它們與水平軸線的夾角應相等，故有

α－φ2＝φ1或α＝φ1+φ2但φ1與φ2都不能大于摩擦角φf，即

φ1≤φf，φ2≤φf故α≤2φf這就是楔塊能自鎖的條件。第4章材料力學基本概念零部件或工程結(jié)構(gòu)中的構(gòu)件統(tǒng)稱為構(gòu)件。如圖4-1所示橋式起重機的主梁、吊鉤、鋼絲繩；圖4-2所示懸臂吊車架的橫梁AB，斜桿CD都是構(gòu)件。這些構(gòu)件都是變形體，在工程實際中怎樣進行設計計算、如何選擇材料是經(jīng)常會遇到的問題，這些都屬于材料力學問題。4.1材料力學的任務各種機械和工程結(jié)構(gòu)都是由若干構(gòu)件構(gòu)成的，如機械的軸，房屋的梁、柱子等。構(gòu)件工作時受到力的作用，因而產(chǎn)生變形。若這種變形在外力撤除后能完全消除，則稱為彈性變形；若這種變形在外力撤除后不能消除，則稱為塑性變形（或永久變形）。為了保證機械或工程結(jié)構(gòu)能正常工作，要求每一個構(gòu)件都具有足夠的承載能力。(1)強度。構(gòu)件抵抗破壞（斷裂或產(chǎn)生顯著塑性變形）的能力稱為強度。構(gòu)件具有足夠的強度是保證其正常工作最基本的要求。例如，構(gòu)件工作時發(fā)生意外斷裂或產(chǎn)生顯著塑性變形是不允許的。(2)剛度。構(gòu)件抵抗彈性變形的能力稱為剛度。為了保證構(gòu)件在載荷作用下所產(chǎn)生的變形不超過許可的限度，必須要求構(gòu)件具有足夠的剛度。例如，如果機床主軸或床身的變形過大，將影響加工精度；齒輪軸的變形過大，將影響齒與齒間的正常嚙合等。(3)穩(wěn)定性。構(gòu)件保持原有平衡形式的能力稱為穩(wěn)定性。在一定外力作用下，構(gòu)件突然發(fā)生不能保持其原有平衡形式的現(xiàn)象，稱為失穩(wěn)。構(gòu)件工作時產(chǎn)生失穩(wěn)一般也是不容許的。例如，橋梁結(jié)構(gòu)的受壓桿件失穩(wěn)將可能導致橋梁結(jié)構(gòu)的整體或局部塌毀。因此，構(gòu)件必須具有足夠的穩(wěn)定性。構(gòu)件的設計，必須符合安全、實用和經(jīng)濟的原則。因此，材料力學的任務是在保證滿足強度、剛度和穩(wěn)定性要求（安全、實用）的前提下，以最經(jīng)濟的代價，為構(gòu)件選擇適宜的材料，確定合理的形狀和尺寸，并提供必要的理論基礎和計算方法。一般說來，強度要求是基本的，只是在某些情況下才提出剛度要求。至于穩(wěn)定性問題，只是在特定受力情況下的某些構(gòu)件中才會出現(xiàn)。材料的強度、剛度和穩(wěn)定性與所用材料的力學性能有關，而材料的力學性能主要由實驗來測定；材料力學的理論分析結(jié)果也應由實驗來檢驗；還有一些尚無理論分析結(jié)果的問題，也必須借助于實驗的手段來解決。所以，實驗研究和理論分析同樣是材料力學解決問題的重要手段。4.2材料力學的基本假設在材料力學中，為了研究構(gòu)件的強度、剛度和穩(wěn)定性問題，把構(gòu)件看作變形固體。變形固體在外力作用下所產(chǎn)生的物理現(xiàn)象是各種各樣的，為了簡化性質(zhì)復雜的變形固體，通常作出如下基本假設：(1)連續(xù)性假設。即認為材料無間隙地分布于物體所占的整個空間中。根據(jù)這一假設，物體內(nèi)因受力和變形而產(chǎn)生的內(nèi)力和位移都將是連續(xù)的，因而可以表示為各點坐標的連續(xù)函數(shù)，從而有利于建立相應的數(shù)學模型。(2)均勻性假設。即認為物體內(nèi)各點處的力學性能都是一樣的，不隨點的位置而變化。按此假設，從構(gòu)件內(nèi)部任何部位所切取的微元體，都具有與構(gòu)件完全相同的力學性能。同樣，通過試樣所測得的材料性能，也可用于構(gòu)件內(nèi)的任何部位。(3)各向同性假設。即認為材料沿各個方向上的力學性能都是相同的。把具有這種屬性的材料稱為各向同性材料，如低碳鋼、鑄鐵等。在各個方向上具有不同力學性能的材料則稱為各向異性材料，如由增強纖維（碳纖維、玻璃纖維等）與基體材料（環(huán)氧樹脂、陶瓷等）制成的復合材料。本書僅研究各向同性材料的構(gòu)件。(4)小變形假設。假設構(gòu)件在外力作用下所產(chǎn)生的變形與構(gòu)件本身的幾何尺寸相比是很小的。根據(jù)這一假設，當考慮構(gòu)件的平衡問題時，一般可略去變形。從微觀來看，以上的假設是不存在的，但從宏觀來看，按統(tǒng)計學的規(guī)則，材料的力學性能是所有組成材料的晶粒與晶間物質(zhì)的統(tǒng)計平均值，故上述假設是成立的。實驗的結(jié)果表明，按這種理想化的材料模型研究問題，所得的結(jié)論能夠很好地符合實際情況。即使對某些均勻性較差的材料（如鑄鐵、混凝土等），在工程上也可得到比較滿意的結(jié)果。4.3外力與內(nèi)力4.3.1外力作用于構(gòu)件上的載荷和約束反力統(tǒng)稱為外力。按外力的作用方式可分為表面力和體積力。表面力是作用于構(gòu)件表面的力，又可分為分布力和集中力。分布力是連續(xù)作用于構(gòu)件表面的力，如作用于船體上的水壓力。有些分布力是沿桿件的軸線作用的，如樓板對屋梁的作用力。如果分布力的作用面積遠小于構(gòu)件的表面面積，或沿桿件軸線的分布范圍遠小于桿件長度，則可將分布力簡化為作用于一點的力，稱為集中力，如列車車輪對鋼軌的壓力。體積力是連續(xù)分布于構(gòu)件內(nèi)部各質(zhì)點上的力，如重力和慣性力等。按載荷隨時間變化的情況可分為靜載荷與動載荷。隨時間變化極緩慢或不變化的載荷，稱為靜載荷。其特征是在加載過程中，構(gòu)件不產(chǎn)生加速度或產(chǎn)生的加速度極小，可以忽略不計。隨時間顯著變化或使構(gòu)件各質(zhì)點產(chǎn)生明顯加速度的載荷，稱為動載荷。動載荷又可分為交變載荷和沖擊載荷。隨時間作周期性變化的載荷稱為交變載荷，如齒輪轉(zhuǎn)動時輪齒的受力即為交變載荷。物體的運動在瞬時內(nèi)發(fā)生突變所引起的載荷稱為沖擊載荷，如急剎車時飛輪的輪軸、鍛壓時汽錘桿所受的載荷、地震載荷、物體撞擊構(gòu)件時的作用力等都是沖擊載荷。構(gòu)件在靜載荷和動載荷作用下的力學性能頗不相同，分析方法也不完全相同，但前者是后者的基礎。4.3.2內(nèi)力構(gòu)件在未受外力作用時，其內(nèi)部各質(zhì)點之間存在著相互的力作用，正是由于這種“固有的內(nèi)力”作用，才能使構(gòu)件保持一定的形狀。當構(gòu)件受到外力作用而變形時，其內(nèi)部各質(zhì)點的相對位置發(fā)生了改變，同時內(nèi)力也發(fā)生了變化，這種引起內(nèi)部質(zhì)點產(chǎn)生相對位移的內(nèi)力，即由于外力作用使構(gòu)件產(chǎn)生變形時所引起的“附加內(nèi)力”，就是材料力學所研究的內(nèi)力。這種內(nèi)力的大小以及它在構(gòu)件內(nèi)部的分布方式隨外力和變形的改變而變化，并與構(gòu)件的強度、剛度和穩(wěn)定性密切相關，內(nèi)力分析是材料力學的基礎。4.3.3截面法為了研究構(gòu)件內(nèi)力的分布及大小，通常采用截面法?？杉傧胗靡黄矫鎸?gòu)件截分為A、B兩部分，如圖4-3（a）所示，任取其中一部分為研究對象（例如A部分），并將另一部分（例如B部分）對該部分的作用以截面上的內(nèi)力代替。由于假設構(gòu)件是均勻連續(xù)的變形體，故內(nèi)力在截面上是連續(xù)分布的，如圖4-3（b）所示。應用力系簡化理論，這一連續(xù)分布的內(nèi)力系可以向截面形心C簡化為一主矢FR和一主矩M，若將它們沿三個選定的坐標軸（沿構(gòu)件軸線建立x軸，在所截橫截面內(nèi)建立y軸與z軸）分解，便可得到該截面上的3個內(nèi)力分量FN，F(xiàn)sy與Fsz，以及3個內(nèi)力偶矩分量Mx，My與Mz，如圖4-3（c）所示。由于整個構(gòu)件處于平衡狀態(tài)，其任一部分也必然處于平衡狀態(tài)，故只需考慮A部分的平衡，根據(jù)靜力學的靜力平衡條件，即可由已知的外力求得截面上各個內(nèi)力分量的大小和方向。同樣，也可取B部分作為研究對象，并求得其內(nèi)力分量。顯然，B部分在截開面上的內(nèi)力與A部分在截開面上的內(nèi)力是作用力與反作用力，它們是等值反向的。上述這種假想用一平面將構(gòu)件截分為兩部分，任取其中一部分為研究對象，根據(jù)靜力平衡條件求得截面上內(nèi)力的方法，稱為截面法。其全部過程可以歸納為如下3個步驟：(1)在需要求內(nèi)力的截面處，假想用一截面把構(gòu)件分成兩個部分，保留其中任一部分作為研究對象，稱為分離體；(2)在選取的研究對象上，除保留作用于該部分上的外力外，將棄去的另一部分對保留部分的作用力用截面上的內(nèi)力代替；(3)根據(jù)靜力平衡條件，建立保留部分（分離體）的平衡方程式，由已知外力求出截面上內(nèi)力的大小和方向。必須指出，在計算構(gòu)件內(nèi)力時，用假想的平面把構(gòu)件截開之前，靜力學中的力系等效代換及力的可傳性是不適用的。這是由于外力移動之后，內(nèi)力及變形也會隨之發(fā)生變化。4.4應力與應變4.4.1應力截面法可以求得構(gòu)件截面上的內(nèi)力，但是，一般情況下，內(nèi)力在截面上并不是均勻分布的。為了描述內(nèi)力系在截面上各點處分布的強弱程度，引入內(nèi)力集度（分布內(nèi)力集中的程度），即應力的概念。如圖4-4（a）所示，在受力構(gòu)件截面上任意一點K的周圍取一微小面積ΔA，并設作用于該面積上的內(nèi)力為ΔF，則ΔA上分布內(nèi)力的平均集度為pm稱為ΔA上的平均應力,為了更準確地描述點K的內(nèi)力分布情況，應使ΔA趨于零，由此所得平均應力pm的極限值，稱為點K處的總應力（或稱全應力），并用p表示，即顯然，總應力p的方向即ΔF的極限方向。為了分析方便，通常將總應力p分解為垂直于截面的法向分量σ和與截面相切的切向分量，如圖4-4（b）所示。法向分量σ稱為正應力，切向分量稱為切應力。顯然，總應力p與正應力σ和切應力三者之間有如下關系4.4.2應變在外力作用下，構(gòu)件內(nèi)各點的應力一般是不同的，同樣，構(gòu)件內(nèi)各點的變形程度也不相同。為了研究構(gòu)件的變形，可設想將構(gòu)件分割成許多微小的正六面體（當六面體的邊長趨于無限小時稱為單元體），構(gòu)件的變形可以看作是這些單元體變形累積的結(jié)果。而單元體的變形只表現(xiàn)為邊長的改變與直角的改變兩種。為了度量單元體的變形程度，人們定義了線應變與切應變兩個物理量。線應變是指單元體棱邊長度的相對變化量，通常用ε表示。從受力構(gòu)件內(nèi)任一點K處取出一個單元體如圖4-5（a）所示，設其沿x軸的棱邊KB原長為Δx，變形后長度為Δx＋Δu（圖4-5（b）），Δu稱為棱邊KB的伸長量，而Δu與Δx的比值，則稱為棱邊KB的平均線應變，用εmx表示，即其極限值εx則稱為點K處沿x軸方向的線應變。同樣，我們也可以定義點K處沿y、z軸方向的線應變εy、εz。線應變是一個無量綱的量。切應變是指單元體兩條互相垂直的棱邊所夾直角的改變量，也稱為剪應變或角應變，用γ表示。例如，圖4-5（c）所示的直角BKC變形以后的改變量γxy就是點K在xy平面內(nèi)的切應變。類似地，也可定義點K在yz平面及zx平面內(nèi)的切應變γyz和γzx。切應變也是一個無量綱的量，通常用弧度來度量。4.5桿件的基本受力與變形形式工程實際中的構(gòu)件是各種各樣的，但按其幾何特征大致可以簡化為桿、板、殼和塊體等。實際的工程結(jié)構(gòu)中，許多承力構(gòu)件如橋梁、汽車傳動軸、房屋的梁、柱等，其長度方向的尺寸遠遠大于橫截面尺寸，這一類的構(gòu)件在材料力學的研究中，通常稱作桿件，桿的所有橫截面形心的連線，稱為桿的軸線，若軸線為直線，則稱為直桿；軸線為曲線，則稱為曲桿。所有橫截面的形狀和尺寸都相同的桿稱為等截面桿；不同者稱為變截面桿。材料力學主要研究等截面直桿。桿件在不同的外力作用下，其產(chǎn)生的變形形式各不相同，但通?？梢詺w結(jié)為以下4種基本變形形式以及它們的組合變形形式。(1)軸向拉伸或壓縮。桿件受到與桿軸線重合的外力作用時，桿件的長度發(fā)生伸長或縮短，這種變形形式稱為軸向拉伸（如圖4-6（a））或軸向壓縮（如圖4-6（b））。如簡單桁架中的桿件通常發(fā)生軸向拉伸或壓縮變形。(2)剪切。在垂直于桿件軸線方向受到一對大小相等、方向相反、作用線相距很近的力作用時，桿件橫截面將沿外力作用方向發(fā)生錯動（或錯動趨勢），這種變形形式稱為剪切（如圖4-6（c））。機械中常用的連接件，如鍵、銷釘、螺栓等都產(chǎn)生剪切變形。(3)扭轉(zhuǎn)。在一對大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面垂直于直桿軸線的外力偶作用下，直桿的任意兩個橫截面將發(fā)生繞桿件軸線的相對轉(zhuǎn)動，這種變形形式稱為扭轉(zhuǎn)（如圖4-6（d））。工程中常將發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的桿件稱為軸。如汽車的傳動軸、電動機的主軸等的主要變形，都包含扭轉(zhuǎn)變形在內(nèi)。(4)彎曲。在垂直于桿件軸線的橫向力，或在作用于包含桿軸的縱向平面內(nèi)的一對大小相等、方向相反的力偶作用下，直桿的相鄰橫截面將繞垂直于桿軸線的軸發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，桿件軸線由直線變?yōu)榍€，這種變形形式稱為彎曲（如圖4-6（e））。如橋式起重機大梁、列車輪軸、車刀等的變形，都屬于彎曲變形。凡是以彎曲為主要變形的桿件，稱為梁。其他更為復雜的變形形式可以看成是某幾種基本變形

的組合形式，稱為組合變形。如傳動軸的變形往往是

扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合變形形式等。第5章

軸向拉伸或壓縮軸向拉伸是在軸向力作用下，桿件產(chǎn)生伸長變形，也簡稱拉伸；軸向壓縮是在軸向力作用下，桿件產(chǎn)生縮短變形，也簡稱壓縮。如圖5-1中旋臂式吊車中的AB桿、圖5-2中的固定螺栓都是受拉伸的桿件，而圖5-3所示油缸活塞桿、圖5-4所示建筑物中的支柱等則是受壓縮的桿件。工程中要求進行這些桿件的強度、剛度設計。5.1軸向拉伸或壓縮時的內(nèi)力分析一般對受軸向拉伸與壓縮桿件的形狀和受力情況進行簡化，計算簡圖如圖5-5所示。其受力特點為作用于桿件的外力合力的作用線與桿件的軸線相重合，其變形特點為變形為沿桿軸線方向的伸長或縮短。5.1.1軸力軸向拉伸與壓縮桿件的內(nèi)力隨外力增減而變化，當內(nèi)力增大到某一極限時，構(gòu)件就會發(fā)生破壞，所以內(nèi)力與強度和剛度密切相關?？梢?，研究強度就必須求出內(nèi)力。欲求某一截面m-m處的內(nèi)力時，就沿該截面假想地把桿件切開使其分為兩部分，如圖5-6（a）所示，任取其中一段為研究對象，棄去另一段，另一段對該段的作用用在截面m-m上的內(nèi)力FN來代替。因為桿件原來在外力的作用下處于平衡狀態(tài)，則選取部分仍應保持平衡，最后截面上內(nèi)力的大小可由平衡條件求出。選取左段為研究對象，其受力圖如圖5-6（b）所示，由平衡條件求得FN＝F如果選取右段為研究對象，可得同樣結(jié)果，如圖5-6（c）所示。對于受軸向拉伸或壓縮的構(gòu)件，因其內(nèi)力垂直于橫截面并與軸線重合，所以把軸向拉伸和壓縮時橫截面上的內(nèi)力稱為軸力，用FN表示。軸力的正、負由構(gòu)件的變形確定，當軸力的方向與橫截面的外法線方向一致時（即離開截面），構(gòu)件受拉伸長，軸力為正；反之，構(gòu)件受壓縮短，軸力為負。用截面法確定桿件橫截面上內(nèi)力的過程可歸納為以下幾步：(1)截：沿所求截面假想地將桿件切開；(2)?。喝〕銎渲腥我庖欢巫鳛檠芯繉ο螅?3)代：以內(nèi)力代替棄去部分對所取部分的作用；(4)平：列平衡方程求出內(nèi)力。5.1.2軸力圖當桿件上有多個軸向外力作用在不同位置時，桿件各段的軸力是不同的，為了表明橫截面上的軸力沿軸線變化的情況，可用平行于桿軸線的坐標表示橫截面所在的位置，以垂直于桿軸線的坐標按選定的比例尺表示橫截面上軸力的正負及大小，這種用圖線表示軸力沿軸線變化的圖形稱為軸力圖。5.2軸向拉伸或壓縮時的應力分析5.2.1應力的概念兩根相同材料做成的粗細不同的直桿在相同拉力作用下，用截面法求得的兩桿橫截面上的軸力是相同的。若逐漸將拉力增大，則細桿先被拉斷。這說明桿的強度不僅與內(nèi)力有關，還與內(nèi)力在截面上各點的分布集度有關。當粗細二桿軸力相同時，細桿內(nèi)力分布的密集程度較粗桿要大一些，可見，內(nèi)力的密集程度才是影響強度的主要原因。5.2.2軸向拉壓桿橫截面上的應力為了確定拉壓桿橫截面上的應力，首先必須知道橫截面上應力的分布規(guī)律。為此，如圖5-10（a）所示，取一根易變形的等直桿，先在桿的表面畫上兩條垂直于軸線的橫向線ab和cd。然后，在桿兩端施加一對大小相等、方向相反的軸向載荷Ｆ。從試驗中觀察到：橫線ab和cd仍為直線，且仍垂直于桿件軸線，只是間距增大，分別平移至a′b′和c′d′位置。根據(jù)這種現(xiàn)象，可以假設桿件變形后橫截面仍保持為平面，且仍然垂直于桿的軸線。這就是平面假設。由此可以推斷拉桿所有縱向纖維的伸長是相等的。又由于材料是均勻連續(xù)的，可以推知，橫截面上的軸力是均勻分布的，由此可得，拉壓桿橫截面上各點的應力也必然是均勻分布的，其方向與軸力一致，如圖5-10（b）所示。因此，橫截面上的應力的方向垂直于橫截面，稱為“正應力”并以“σ”表示。于是得式中，σ指正應力，F(xiàn)N指橫截面上的內(nèi)力（軸力），A指橫截面的面積。式(5-2)同樣可用于FN為壓力時的壓應力計算。這里所指的是受壓桿未被壓彎的情況。正應力的符號由軸力決定，拉應力為正，壓應力為負。導出式（5-2）時，要求外力合力與桿件軸線重合，這樣才能保證各縱向纖維變形相等，橫截面上正應力均勻分布。若軸力沿軸線變化，可作出軸力圖，再由式(5-2)求出不同橫截面上的應力。當橫截面的尺寸也沿軸線變化時（如圖5-11），只要變化緩慢，外力合力與軸線重合，式（5-2）仍適用。這時把它寫成式中A(x)、FN(x)和σ（x）表示這些量都是橫截面位置（坐標x）的函數(shù)。沿當端點處外力為集中力時，則集中力作用點附近區(qū)域內(nèi)的應力分布比較復雜，式（5-2）只能計算這個區(qū)域橫截面上的平均應力，不能描述作用點附近應力的真實情況。例如，圖5-12（a）、（b）所示的鋼索和拉伸試件上拉力的作用方式不同，對應力將有什么影響？圣維南原理指出：如果用與外力系靜力等效的合力來代替原力系，則除在原力系作用區(qū)域內(nèi)有明顯差別外，在離外力作用區(qū)域略遠處（距離約等于橫截面尺寸處），上述替代的影響就非常微小，可以不計。該原理已被實驗證實。圖5-12（a）、（b）所示的鋼索和拉伸試件上端外力的作用方式雖然不同，但可以用其合力代替，這就簡化成相同的計算簡圖（如圖5-12（c）），在距端截面略遠處都可用式（5-3）計算應力。5.3軸向拉伸或壓縮時的變形·胡克定律軸向拉伸或壓縮時，直桿在軸向拉力或壓力作用下，桿件產(chǎn)生的變形是軸向伸長或縮短，由實驗可知，當桿沿軸向伸長或縮短時，其橫向尺寸也會相應縮小或增大，即產(chǎn)生垂直于軸線方向的橫向變形。5.3.1縱向變形設一等截面直桿原長為l，橫截面面積為A。在軸向拉力F的作用下，長度由l變?yōu)閘1，如圖5-14所示。桿件沿軸線方向的伸長量為

Δl＝l1－lΔl稱為桿的縱向變形或絕對變形。拉伸時Δl為正，壓縮時Δl為負。件的伸長量與桿的原長有關，為了消除桿件長度的影響，將Δl除以l，即以單位長度的伸長量來表征桿件變形的程度，稱為線應變或相對變形，用ε表示。ε是無量綱的量，其符號與Δl的符號一致。軸向拉伸時為正值，稱為拉應變；在壓縮時為負值，稱為壓應變。5.3.2胡克定律實驗表明，當軸向拉（壓）桿件橫截面上的正應力不大于某一極限值時，桿件的伸長量Δl與軸力FN及桿原長l成正比，與橫截面面積A成反比。即引入比例常數(shù)E，則上式可寫為上式稱為胡克定律。將式（5-2）和式（5-4）代入式（5-5），可得

σ＝E·ε

（5-6）這是胡克定律的另一表達形式。它表明當應力不超過比例極限時，則正應力與縱向線應變成正比。式中的E為材料的彈性模量，與材料的性質(zhì)有關，其單位與應力相同，常用單位為吉帕（GPa）。材料的彈性模量由實驗測定。5.3.3橫向變形在軸向力作用下，桿件沿軸向伸長或縮短的同時，橫向尺寸也將縮小或增大。設橫向尺寸由b變?yōu)閎1，如圖5-14所示，有

Δb＝b1-b則橫向線應變?yōu)棣拧湟彩菬o量綱的量。5.3.4泊松比實驗表明，對于同一種材料，當應力不超過比例極限時，橫向線應變與縱向線應變之比的絕對值為常數(shù)，即μ稱為泊松比或橫向變形系數(shù)，與彈性模量E一樣，泊松比也是無量綱量，其值因材料而異，由實驗確定。由于這兩個應變的符號恒相反，故有

ε′=－με

（5-9）5.4材料在軸向拉伸或壓縮時的力學性能構(gòu)件的強度、剛度與穩(wěn)定性，不僅與構(gòu)件的形狀、尺寸及所受的外力有關，而且與材料的力學性能有關。所謂材料的力學性能是指材料受外力作用后，在強度和變形方面所表現(xiàn)出來的特性，也稱為機械性質(zhì)。材料的力學性能不僅與材料內(nèi)部的成分和組織結(jié)構(gòu)有關，還受到加載速度、溫度、受力狀態(tài)及周圍介質(zhì)的影響。5.4.1低碳鋼在拉伸時的力學性能材料在拉伸時的力學性能主要通過拉伸試驗得到。為了便于對試驗結(jié)果進行比較，國家標準《金屬拉伸試驗方法》（GB/T228—1987）規(guī)定：試件必須做成標準尺寸，稱為比例試件。一般金屬材料采用圓截面或矩形截面比例試件，如圖5-16所示。試驗時在試件等直部分的中部取長度為l的一段作為測量變形的工作段，其長度l稱為標距。對于圓截面試件，通常將標距l(xiāng)與橫截面直徑d的比例規(guī)定為l＝10d或l＝5d，前者稱為長試件，后者稱為短試件。對矩形截面試件，規(guī)定其標距l(xiāng)與橫截面面積A的關系分別為l=11.3或l=5.65。1.低碳鋼拉伸過程的四個階段低碳鋼是工程上應用最廣泛的材料。同時，低碳鋼試件在拉伸試驗中所表現(xiàn)出來的力學性能最為典型。因此，先研究這種材料在拉伸時的力學性能。將低碳鋼試件裝上試驗機后，緩慢加載，直至拉斷。試驗機的繪圖系統(tǒng)可自動繪出試件在試驗過程中載荷F與工作段的變形Δl之間的關系曲線圖。常以橫坐標代表試件工作段的伸長Δl，縱坐標代表試驗機上的載荷讀數(shù)，即試件的拉力F，此曲線稱為拉伸圖或F-Δl曲線，如圖5-17（a）所示。試件的拉伸圖不僅與試件的材料有關，而且與試件的幾何尺寸有關。用同一種材料做成粗細不同的試件，由試驗所得的拉伸圖差別很大。所以，不宜用試件的拉伸圖表示材料的拉伸性能。為了消除試件尺寸的影響，將拉力F除以試件橫截面原面積A，得到試件橫截面上的應力σ。將伸長Δl除以試件的標距l(xiāng)，得到試件的應變ε。以ε和σ分別為橫坐標與縱坐標，這樣得到的曲線則與試件的尺寸無關，稱為應力—應變圖或σ-ε曲線。低碳鋼的σ-ε曲線如圖5-17（b）所示，整個拉伸過程可分為4個階段：(1)彈性階段彈性階段可分為兩段：直線段Oa和微彎段ab。在試件拉伸的初始階段，σ與ε的關系表現(xiàn)為直線，即σ與ε成正比，σ∝ε。直線Oa的斜率為所以有σ＝E·ε這就是在上節(jié)中所述的胡克定律，式中E為彈性模量。直線Oa的最高點a所對應的應力稱為比例極限，用σp表示。即只有應力低于比例極限，胡克定律才能適用。低碳鋼的比例極限σp≈200MPa。應力超過比例極限后，應力與應變不再成比例極限，圖線ab微彎而偏離直線Oa，將ab曲線段稱為非線彈性階段。只要不超過b點，在卸去載荷后，試件的變形能夠完全消除，這說明試件的變形是彈性變形，故Ob段稱為彈性階段。彈性階段的最高點b所對應的應力是材料保持彈性變形的極限點，稱為彈性極限，用σe表示。由于a、b兩點非常接近，所以工程上對彈性極限和比例極限并不嚴格區(qū)分。常認為在彈性范圍內(nèi)，胡克定律成立。(2)屈服階段當應力超過彈性極限時，σ-ε曲線上bc段為一個近似水平的小鋸齒形線段，這表明，應力在此階段基本保持不變，而應變卻明顯增加，材料暫時失去了抵抗變形的能力，這種現(xiàn)象稱為屈服或流動，如圖5-18所示。此階段稱為屈服階段或流動階段，若試件表面光滑，可看到其表面有與軸線大約呈45°的條紋，稱為滑移線。在屈服階段中，對應于曲線最高點與最低點的應力分別稱為上屈服點應力和下屈服點應力。通常，下屈服點應力值較穩(wěn)定，故一般將下屈服點應力作為材料的屈服點應力，用σs表示。低碳鋼的屈服點應力σs≈240MPa。圖5-18當材料屈服時，將產(chǎn)生顯著的塑性變形。通常，工程中的大多數(shù)構(gòu)件一旦出現(xiàn)顯著的塑性變形，將不能正常工作（或稱失效），所以σs是衡量材料強度的重要指標。(3)強化階段經(jīng)過屈服階段后，材料又恢復了抵抗變形的能力，要使試件繼續(xù)變形必須再增加載荷。這種現(xiàn)象稱為材料的強化或稱為應變硬化。這時σ-ε曲線又逐漸上升，直到曲線的最高點e。所以ce段稱為材料的強化階段或硬化階段。e點所對應的應力σb是材料所能承受的最大應力，稱為強度極限或抗拉強度，它是衡量材料強度的另一個重要指標。低碳鋼的強度極限σb≈400MPa。在強化階段中，試件的變形絕大部分是塑性變形，此時試件的橫向尺寸有明顯的縮小。(4)局部變形階段在強化階段，試件的變形基本是均勻的。過e點后，在試件的某一局部范圍內(nèi)，橫向尺寸突然急劇縮小，形成頸縮現(xiàn)象，如圖5-19所示。由于在縮頸部分橫截面面積明顯減少，使試件繼續(xù)伸長所需要的拉力也相應減少，故在σ-ε曲線中，應力由最高點下降到f點，最后試件在縮頸段被拉斷，這一階段稱為局部變形階段。上述拉伸過程中，材料經(jīng)歷了彈性變形、屈服、強化和局部變形四個階段。對應前三個階段的三個特征點，其相應的應力值依次為比例極限σp、屈服點應力σs和強度極限σb。對低碳鋼來說，屈服點應力和強度極限是衡量材料強度的主要指標。2.延伸率和斷面收縮率試件拉斷后，材料的彈性變形消失，塑性變形則保留下來，試件長度由原長l變?yōu)閘1。試件拉斷后的塑性變形量與原長之比以百分比表示，即式中δ稱為斷后伸長率。斷后伸長率是衡量材料塑性變形程度的重要指標之一，低碳鋼的斷后伸長率δ≈20%～30%。斷后伸長率越大，表示材料的塑性性能越好。工程上將δ≥5%的材料稱為塑性材料，如低碳鋼、鋁合金、青銅等均為常見的塑性材料；δ<5%的材料稱為脆性材料，如鑄鐵、高碳鋼、混凝土等均為脆性材料。衡量材料塑性變形程度的另一個重要指標是斷面收縮率ψ。設試件拉伸前的橫截面面積為A，拉斷后斷口橫截面面積為A1，以百分比表示的比值，即式中ψ稱為斷面收縮率，斷面收縮率越大，材料的塑性越好，低碳鋼的斷面收縮率約為60%。應當指出，材料的塑性和脆性會因制造工藝、變形速度、溫度等條件的變化而變化，例如某些脆性材料在高溫下會呈現(xiàn)塑性，而某些塑性材料在低溫下呈現(xiàn)脆性，又如在鑄鐵中加入球化劑可使其變?yōu)樗苄暂^好的球墨鑄鐵。3.卸載定律及冷作硬化現(xiàn)象當應力超過屈服點應力后，在強化階段某一點d處卸載直至載荷為零。試驗結(jié)果表明，卸載時的σ-ε曲線將沿著平行于Oa直線回到零應力點d′。這說明在卸載過程中，應力和應變按直線規(guī)律變化，這就是卸載定律。由圖5-17（b）可見，與d點對應的總應變應包括Od′和d′g兩部分，其中d′g在卸載時完全消失，即為彈性變形，而Od′則為卸載后遺留下的塑性變形。如果在卸載后重新加載，則應力—應變關系基本沿卸載時的直線d′d上升直至回到卸載點d后才開始出現(xiàn)塑性變形，且以后的變形曲線與該材料的σ-ε曲線大致相同。觀察再加載的σ-ε曲線，發(fā)現(xiàn)材料的比例極限由σp提高到σ′p，而材料的塑性降低，這種現(xiàn)象稱為冷作硬化。由于冷作硬化提高了材料的比例極限，從而提高了材料在彈性范圍內(nèi)的承載能力，故工程中常利用冷作硬化來提高桿件的承載能力，如起重機械中的鋼索和建筑鋼筋，常用冷拔工藝來提高強度。5.4.2其他材料在拉伸時的力學性能其他材料拉伸時的力學性能，也可用拉伸時的σ-ε曲線來表示。圖5-20中給出了另外幾種典型的金屬材料在拉伸時的σ-ε曲線?？梢钥闯觯渲?6Mn鋼與低碳鋼的σ-ε曲線相似，有完整的彈性階段、屈服階段、強化階段和局部變形階段。但工程中大部分金屬材料都沒有明顯的屈服階段,如黃銅、鋁合金等。這些材料的共同特點是伸長率均較大，它們和低碳鋼一樣都是塑性材料。對于這類沒有明顯屈服階段的塑性材料，工程上通常以產(chǎn)生0.2%塑性應變時所對應的應力值作為衡量材料強度的指標，此應力稱為材料的條件