2022-2023學(xué)年新疆維吾爾自治區(qū)高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3新疆維吾爾自治區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.設(shè)集合，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由集合，集合，可得.故選：B.2.設(shè)函數(shù)f(x)＝則f(f(3))＝()A. B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗,,故選D.3.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得解得，即，故定義域?yàn)楣蔬x：B.4.如圖，是水平放置的的斜二測(cè)直觀圖，為等腰直角三角形，其中與重合，，則的面積是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，，，則如圖所示，其中，，，.故選：B.5.O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則P的軌跡一定通過(guò)的（）A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心〖答案〗B〖解析〗，令，則是以為始點(diǎn)，向量與為鄰邊的菱形的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量，即在的平分線上，，共線，故點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的內(nèi)心，故選：B6.某教師組織本班學(xué)生開展課外實(shí)地測(cè)量活動(dòng)，如圖是要測(cè)山高M(jìn)N，現(xiàn)選擇點(diǎn)A和另一座山的山頂（點(diǎn)）C作為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，從A測(cè)得點(diǎn)M的仰角∠MAN=45°，點(diǎn)C的仰角∠CAB=30°，測(cè)得∠MAC=75°，∠MCA=60°，已知另一座山高米，則山高M(jìn)N等于（）A. B. C.200 D.〖答案〗A〖解析〗在△ABC中，BC⊥AB，∠CAB＝30°，BC＝100，所以可得AC＝＝＝200，在△MAC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，所以∠AMC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，由正弦定理可得：＝，即＝，所以可得AM＝100，在Rt△AMN中，∠MAN＝45°，所以MN＝AM?sin∠MAN＝100×＝100；故選：A．7.已知棱長(zhǎng)為的正四面體的外接球表面積為，內(nèi)切球表面積為，則（）A.9 B.3 C.4 D.〖答案〗A〖解析〗如圖所示，設(shè)點(diǎn)是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長(zhǎng)為，由圖形的對(duì)稱性知，點(diǎn)也是外接球的球心．設(shè)內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為．在Rt△中，，即，又，可得，.故選：A．8.若奇函數(shù)的定義域?yàn)?，且時(shí)，則時(shí)，（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，則，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，即時(shí).故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說(shuō)法正確的是（）A.用分層抽樣法從1000名學(xué)生（男、女分別占60%、40%）中抽取100人，則每位男生被抽中的概率為；B.將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以3后，平均數(shù)也變?yōu)樵瓉?lái)的3倍；C.將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以3后，方差也變?yōu)樵瓉?lái)的3倍；D.一組數(shù)據(jù)，，……，的平均數(shù)是5，方差為1，現(xiàn)將其中一個(gè)值為5的數(shù)據(jù)剔除后，余下99個(gè)數(shù)據(jù)的方差是．〖答案〗ABD〖解析〗選項(xiàng)A：因?yàn)?000名學(xué)生中男、女分別占60%和40%，根據(jù)分層抽樣的計(jì)算規(guī)則，抽取的100人中男生占人，所以每位男生被抽中的概率.A正確；選項(xiàng)B：平均數(shù)，將這組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以3后.B正確；選項(xiàng)C：方差，每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以3后平均數(shù)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，方差.C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：，因?yàn)榈钠骄鶖?shù)是5，所以，新平均數(shù)，又因?yàn)榈姆讲钍?，所以，提出一個(gè)值為5的數(shù)據(jù)后，余下99個(gè)數(shù)的方差.D正確.故選：ABD.10.拋一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次.記事件兩次的點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)兩次的點(diǎn)數(shù)之和小于7，則（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗由題可得基本事件有：，共有36個(gè)，記事件兩次的點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)，共包含9個(gè)樣本點(diǎn)，則A正確；兩次的點(diǎn)數(shù)之和小于7，事件包含的基本事件有：，，共15個(gè)，，B正確，D錯(cuò)誤，；對(duì)于，事件包含的基本事件有：，共3個(gè)，C錯(cuò)誤.故選:.11.下列四個(gè)命題中假命題是（）A.， B.，C.，使 D.，〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A中，由，，所以A為假命題；對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，，所以B為假命題；對(duì)于C中，當(dāng)時(shí)，，所以C為真命題；對(duì)于D中，由，解得，其中都為無(wú)理數(shù)，所以D為假命題.故選：ABD.12.函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減間為（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗由已知可得原函數(shù)可化為.要求原函數(shù)的單調(diào)遞減間，只需令，解得：,∴原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.依次給k賦值可得原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)，只有B、C正確故選：BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，是與向量方向相同的單位向量，向量在向量上的投影向量為，則與的夾角為_________〖答案〗〖解析〗因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛?，所以，即，因?yàn)?，所以，故〖答案〗為?4.函數(shù)的零點(diǎn)為_________．〖答案〗3〖解析〗令，得，解得，所以函數(shù)的零點(diǎn)為3.故〖答案〗為：315.已知α為第三象限的角，且，則_________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)闉榈谌笙薜慕?，，所以，所以故〖答案〗為：?6.在△中，，點(diǎn)滿足，且對(duì)任意，恒成立，則____________．〖答案〗〖解析〗在△中，設(shè)，則，又，且表示起點(diǎn)為A，終點(diǎn)在平行于AC且過(guò)B點(diǎn)的直線上的向量，如下圖中的，且隨變化在直線上運(yùn)動(dòng)，所以對(duì)，恒成立，即恒成立，只需即可，所以，即，又，則，，.所以.故〖答案〗為：.四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17.已知向量，求：（1）若，且，求的坐標(biāo)；（2）若﹐求；（3）若，求k的值．解：（1）設(shè)，由，且，得，解得或或（2），，解得（3）由已知，又，，解得18.近年來(lái)，“直播帶貨”受到越來(lái)越多人的喜愛，目前已經(jīng)成為推動(dòng)消費(fèi)的一種流行的營(yíng)銷形式．某直播平臺(tái)800個(gè)直播商家，對(duì)其進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖1所示．（1）該直播平臺(tái)為了更好地服務(wù)買賣雙方，打算隨機(jī)抽取40個(gè)直播商家進(jìn)行問詢交流．如果按照分層抽樣的方式抽取，則應(yīng)抽取小吃類、玩具類商家各多少家？（2）在問詢了解直播商家的利潤(rùn)狀況時(shí)，工作人員對(duì)抽取的40個(gè)商家的平均日利潤(rùn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)（單位：元），所得頻率分布直方圖如圖2所示．請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算下面的問題；（?。┕烙?jì)該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的中位數(shù)與平均數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)，求平均數(shù)時(shí)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)値作代表）；（ⅱ）若將平均日利潤(rùn)超過(guò)420元的商家成為“優(yōu)秀商家”，估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)．解：（1），，所以應(yīng)抽取小吃類16家，玩具類4家（2）（i）根據(jù)題意可得，解得，設(shè)中位數(shù)為，因?yàn)椋?，所以，解得，平均?shù)，所以該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的中位數(shù)為342.9，平均數(shù)為352.5.（ii）,所以估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)為128.19.已知不等式的解集為M.（1）若2∈M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)M為空集時(shí)，求不等式＜2的解集.解：（1）由已知2∈M可得，4－2(a＋1)＋a＜0，解得a＞2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為；（2）當(dāng)M為空集，則，即；所以，即∴＜2，即＜2，∴＞0，解得x＞或x＜1.∴此不等式的解集為(－∞，1)∪.20.已知、、是三角形的內(nèi)角，、是方程的兩根.（1）求角.（2）若，求.解：（1）因?yàn)椤⑹欠匠痰膬筛?，因?yàn)?，所以，即，解得（舍去）或，或，將或代入中易知?dāng)時(shí)不成立，故.（2），即，，，解得或，因?yàn)?，所以，?21.如圖，在三棱錐中，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.（1）證明：平面；（2）證明：平面平面BEF；（3）求二面角的正弦值.解：（1）連接，設(shè)，則，，，則，解得，則為的中點(diǎn)，由分別為的中點(diǎn)，于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.（2）法一：由（1）可知，則，得，因此，則，有，又，平面，則有平面，又平面，所以平面平面.法二：因?yàn)?，過(guò)點(diǎn)作軸平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，在中，，在中，設(shè)，所以由可得：，可得：，所以，則，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，則，所以，，所以平面平面BEF；（3）法一：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)，由，得，且，又由（2）知，，則為二面角的平面角，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，因此為的重心，即有，又，即有，，解得，同理得，于是，即有，則，從而，，在中，，于是，，所以二面角的正弦值為.法二：平面的法向量為，平面的法向量為，所以，因?yàn)?，所以，故二面角的正弦值?22.若函數(shù)的最小值為，且它的圖象經(jīng)點(diǎn)和，且函數(shù)在上單調(diào)遞增．（1）求的〖解析〗式；（2）若，求的值域．解：（1）根據(jù)題意，可得，即，因?yàn)?，所以，所以，又由函?shù)的圖經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得，所以，解得由，可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則，解得，所以所以函數(shù)〖解析〗式為.（2）由函數(shù)〖解析〗式為.因?yàn)?，可得，?dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值；所以函數(shù)值域?yàn)?新疆維吾爾自治區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.設(shè)集合，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由集合，集合，可得.故選：B.2.設(shè)函數(shù)f(x)＝則f(f(3))＝()A. B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗,,故選D.3.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得解得，即，故定義域?yàn)楣蔬x：B.4.如圖，是水平放置的的斜二測(cè)直觀圖，為等腰直角三角形，其中與重合，，則的面積是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，，，則如圖所示，其中，，，.故選：B.5.O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則P的軌跡一定通過(guò)的（）A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心〖答案〗B〖解析〗，令，則是以為始點(diǎn)，向量與為鄰邊的菱形的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量，即在的平分線上，，共線，故點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的內(nèi)心，故選：B6.某教師組織本班學(xué)生開展課外實(shí)地測(cè)量活動(dòng)，如圖是要測(cè)山高M(jìn)N，現(xiàn)選擇點(diǎn)A和另一座山的山頂（點(diǎn)）C作為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，從A測(cè)得點(diǎn)M的仰角∠MAN=45°，點(diǎn)C的仰角∠CAB=30°，測(cè)得∠MAC=75°，∠MCA=60°，已知另一座山高米，則山高M(jìn)N等于（）A. B. C.200 D.〖答案〗A〖解析〗在△ABC中，BC⊥AB，∠CAB＝30°，BC＝100，所以可得AC＝＝＝200，在△MAC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，所以∠AMC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，由正弦定理可得：＝，即＝，所以可得AM＝100，在Rt△AMN中，∠MAN＝45°，所以MN＝AM?sin∠MAN＝100×＝100；故選：A．7.已知棱長(zhǎng)為的正四面體的外接球表面積為，內(nèi)切球表面積為，則（）A.9 B.3 C.4 D.〖答案〗A〖解析〗如圖所示，設(shè)點(diǎn)是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長(zhǎng)為，由圖形的對(duì)稱性知，點(diǎn)也是外接球的球心．設(shè)內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為．在Rt△中，，即，又，可得，.故選：A．8.若奇函數(shù)的定義域?yàn)?，且時(shí)，則時(shí)，（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，則，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，即時(shí).故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說(shuō)法正確的是（）A.用分層抽樣法從1000名學(xué)生（男、女分別占60%、40%）中抽取100人，則每位男生被抽中的概率為；B.將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以3后，平均數(shù)也變?yōu)樵瓉?lái)的3倍；C.將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以3后，方差也變?yōu)樵瓉?lái)的3倍；D.一組數(shù)據(jù)，，……，的平均數(shù)是5，方差為1，現(xiàn)將其中一個(gè)值為5的數(shù)據(jù)剔除后，余下99個(gè)數(shù)據(jù)的方差是．〖答案〗ABD〖解析〗選項(xiàng)A：因?yàn)?000名學(xué)生中男、女分別占60%和40%，根據(jù)分層抽樣的計(jì)算規(guī)則，抽取的100人中男生占人，所以每位男生被抽中的概率.A正確；選項(xiàng)B：平均數(shù)，將這組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以3后.B正確；選項(xiàng)C：方差，每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以3后平均數(shù)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，方差.C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：，因?yàn)榈钠骄鶖?shù)是5，所以，新平均數(shù)，又因?yàn)榈姆讲钍?，所以，提出一個(gè)值為5的數(shù)據(jù)后，余下99個(gè)數(shù)的方差.D正確.故選：ABD.10.拋一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次.記事件兩次的點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)兩次的點(diǎn)數(shù)之和小于7，則（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗由題可得基本事件有：，共有36個(gè)，記事件兩次的點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)，共包含9個(gè)樣本點(diǎn)，則A正確；兩次的點(diǎn)數(shù)之和小于7，事件包含的基本事件有：，，共15個(gè)，，B正確，D錯(cuò)誤，；對(duì)于，事件包含的基本事件有：，共3個(gè)，C錯(cuò)誤.故選:.11.下列四個(gè)命題中假命題是（）A.， B.，C.，使 D.，〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A中，由，，所以A為假命題；對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，，所以B為假命題；對(duì)于C中，當(dāng)時(shí)，，所以C為真命題；對(duì)于D中，由，解得，其中都為無(wú)理數(shù)，所以D為假命題.故選：ABD.12.函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減間為（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗由已知可得原函數(shù)可化為.要求原函數(shù)的單調(diào)遞減間，只需令，解得：,∴原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.依次給k賦值可得原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)，只有B、C正確故選：BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，是與向量方向相同的單位向量，向量在向量上的投影向量為，則與的夾角為_________〖答案〗〖解析〗因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛?，所以，即，因?yàn)?，所以，故〖答案〗為?4.函數(shù)的零點(diǎn)為_________．〖答案〗3〖解析〗令，得，解得，所以函數(shù)的零點(diǎn)為3.故〖答案〗為：315.已知α為第三象限的角，且，則_________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)闉榈谌笙薜慕牵?，所以故〖答案〗為：?6.在△中，，點(diǎn)滿足，且對(duì)任意，恒成立，則____________．〖答案〗〖解析〗在△中，設(shè)，則，又，且表示起點(diǎn)為A，終點(diǎn)在平行于AC且過(guò)B點(diǎn)的直線上的向量，如下圖中的，且隨變化在直線上運(yùn)動(dòng)，所以對(duì)，恒成立，即恒成立，只需即可，所以，即，又，則，，.所以.故〖答案〗為：.四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17.已知向量，求：（1）若，且，求的坐標(biāo)；（2）若﹐求；（3）若，求k的值．解：（1）設(shè)，由，且，得，解得或或（2），，解得（3）由已知，又，，解得18.近年來(lái)，“直播帶貨”受到越來(lái)越多人的喜愛，目前已經(jīng)成為推動(dòng)消費(fèi)的一種流行的營(yíng)銷形式．某直播平臺(tái)800個(gè)直播商家，對(duì)其進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖1所示．（1）該直播平臺(tái)為了更好地服務(wù)買賣雙方，打算隨機(jī)抽取40個(gè)直播商家進(jìn)行問詢交流．如果按照分層抽樣的方式抽取，則應(yīng)抽取小吃類、玩具類商家各多少家？（2）在問詢了解直播商家的利潤(rùn)狀況時(shí)，工作人員對(duì)抽取的40個(gè)商家的平均日利潤(rùn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)（單位：元），所得頻率分布直方圖如圖2所示．請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算下面的問題；（?。┕烙?jì)該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的中位數(shù)與平均數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)，求平均數(shù)時(shí)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)値作代表）；（ⅱ）若將平均日利潤(rùn)超過(guò)420元的商家成為“優(yōu)秀商家”，估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)．解：（1），，所以應(yīng)抽取小吃類16家，玩具類4家（2）（i）根據(jù)題意可得，解得，設(shè)中位數(shù)為，因?yàn)?，，所以，解得，平均?shù)，所以該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的中位數(shù)為342.9，平均數(shù)為352.5.（ii）,所以估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)為128.19.已知不等式的解集為M.（1）若2∈M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)M為空集時(shí)，求不等式＜2的解集.解：（1）由已知2∈M可得，4－2(a＋1)＋a＜0，解得a＞2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為；（2）當(dāng)M為空集，則，即；所以，即∴