2023-2024學年江蘇省南通市高一下學期5月質量監(jiān)測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2江蘇省南通市2023-2024學年高一下學期5月質量監(jiān)測數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.如果兩條直線與沒有公共點，那么與（）A.共面 B.平行C.是異面直線 D.可能平行，也可能是異面直線〖答案〗D〖解析〗根據(jù)空間中兩條直線的位置關系，可得如果兩條直線與沒有公共點，那么與可能平行，也可能是異面直線.故選：D.2.若，是兩個單位向量，則下列結論中正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，是兩個單位向量，則，但，方向不能確定，故選項AB錯誤；，只有，同向共線時，才有，故選項C錯誤；，，，選項D正確.故選：D.3.已知空間3條不同的直線m，n，l和平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗C〖解析〗A選項，若，，則或相交或異面，A錯誤；B選項，若，，則或，B錯誤；C選項，若，不妨設，則，又，，則，所以，C正確；D選項，若，，則，或相交，D錯誤.故選：C.4.一艘船以32nmile/h的速度向正北方向航行．從A處看燈塔S位于船北偏東的方向上，30分鐘后船航行到B處，從B處看燈塔S位于船北偏東的方向上，則燈塔S與B之間的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意知，，，由正弦定理得，，解得.故選：B.5.若用斜二測畫法畫出某△ABC水平放置直觀圖，得到邊長為2的等邊三角形，則原的面積為（）A. B. C.4 D.〖答案〗B〖解析〗直觀圖是邊長為2的等邊三角形，且的面積為，所以原的面積為.故選：B.6.在矩形ABCD中，已知，，點P在CD邊上，滿足，則（）A. B.0 C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖建立平面直角坐標系，，設，則，所以，得，所以，所以.故選：C.7.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意，，則，所以.故選：A.8.在圓錐PO中，軸截面PAB為等腰直角三角形，M為底面圓O上一點，，則異面直線OM與AP所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，過點A作，交圓O于點N，連接ON，PN，則即異面直線OM與AP所成角或其補角，設，可知，則，因為軸截面PAB為等腰直角三角形，所以，在中，由余弦定理得，，所以異面直線OM與AP所成角的余弦值為.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量，，則下列說法中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則，的夾角為鈍角D.若，則在上的投影向量的坐標為〖答案〗ABD〖解析〗向量，，對于A，由，得，解得，A正確；對于B，由，得，則，B正確；對于C，當時，，反向共線，夾角為，此時，的夾角不為鈍角，C錯誤；對于D，當時，，因此在上的投影向量為，在上的投影向量的坐標為，D正確.故選：ABD.10.下列條件中能推導出一定是銳角三角形的有（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，因為，即，又，故角為銳角，但無法確定另兩個角的范圍，故不一定是銳角三角形，故A錯誤；對于B：因為，若，則或，又，則除了角為鈍角外，還有一角為鈍角，矛盾；同理都不可能，故，，，即三個角均為銳角，故B正確：對于C，因為，由正弦定理得，令，則，顯然最大角為，且，所以最大角為銳角，所以一定是銳角三角形，故C正確；對于D，因為，又且不能同時為鈍角，所以，，即均為銳角，又，所以也為銳角，所以一定為銳角三角形，故D正確．故選：BCD．11.在棱長為2的正方體中，分別是，，的中點，則下列正確的是（）A.平面B.平面C.多面體是棱臺D.平面截正方體所得截面的面積為〖答案〗AC〖解析〗對于A，取中點，連接，由正方體得四邊形為平行四邊形，所以，因為點為的中點，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，因為平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，取中點，連接，則，所以，所以，所以，由正方體得，平面，又平面，所以，因為，，平面，，所以平面，又，所以與平面不垂直，故B錯誤；對于C，由正方體得，平面平面，即平面平面，由棱臺的定義可知，多面體是棱臺，故C正確；對于D，設直線與直線交于點，連接與交于點，與直線交于點，連接交于點，連接，則五邊形即為平面截正方體所得截面，因為，所以，，因為，所以，所以，因為，所以，因為，所以，所以，，所以，所以，所以，因為，，所以，故D錯誤.故選：AC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.一個圓臺的母線長為5，上、下底面圓直徑長分別為2，8，則圓臺的高為________．〖答案〗4〖解析〗由題意得，圓臺的軸截面為等腰梯形，其中上底長為2，下底長為8，腰長為5，如圖所示：作CD⊥AB與E，則CE為圓臺的高h，∴高h＝.故〖答案〗：4.13.若，則________．〖答案〗1〖解析〗由題意可知，.故〖答案〗為：1.14.在△ABC中，，P是MC的中點，延長AP交BC于點D．若，則________；若，，則△ABC面積的最大值為________．〖答案〗〖解析〗第一空：因為P是MC的中點，所以，又因為，所以，所以，即，所以；第二空：設，則，因為點D在BC上，所以，即，所以，所以，因為，即，設分別為所對邊，所以，即，因為，當且僅當時取等號，所以，即，所以，因此△ABC面積的最大值為為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，滿足，，求：（1）；（2）向量與的夾角的余弦值．解：（1）由已知有，故，所以.（2）由已知有，及，故.16.已知四棱錐中，底面ABCD是梯形，，，，，，M，N分別是PD，BC的中點．求證：（1）平面PBC；（2）．解：（1）如圖，取的中點，連接，因為M是PD的中點，所以，，又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為平面PBC，平面PBC，所以平面PBC.（2）連接，因為，N是BC的中點，所以，在中，，，，所以，由條件，所以，又N是BC的中點，所以，因為DN，平面PDN，，所以平面PDN，因為平面PDN，所以．17.已知，，且，，求：（1）的值；（2）的值．解：（1）由，解得，所以.（2），由，，得，所以，因為，，所以，所以，又，，所以，所以，所以，所以．18.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下列問題中，并完成解答．記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，面積為，外接圓的半徑為，且滿足________，點在邊上．（1）求的值；（2）若，，求當取最小值時的值；（3）若，，求．解：（1）若選①：在中，由正弦定理，得，，，因為，所以，即（*），因為，所以，所以（*）式可化為．因為，所以，所以，若選②：由，可得，所以，又，所以，則，所以，所以，所以，若選③：在中，由余弦定理，面積，又，所以，所以，又，，則，所以（正值已舍去）.（2）由，得，由條件，，所以面積，所以，又由余弦定理，得，當且僅當時取等號，所以或（舍去），所以當且僅當時取最小值，此時取得最小值且，由，即，所以.（3）由條件，所以，，又，分別在和中，有，所以，即，化簡得，又，所以，，所以.19.費馬點是在三角形中到三個頂點距離之和最小的點．具體位置取決于三角形的形狀，如果三角形的三個內(nèi)角均小于，費馬點是三角形內(nèi)部對三邊張角均為的點；如果三角形有一個內(nèi)角大于或等于，費馬點就是該內(nèi)角所在的頂點．已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，O為費馬點．（1）若，，，求的值；（2）若，，求的最大值．解：（1）在△ABC中，，，，所以C是最大角．由．因為，所以，所以△ABC的費馬點O是三角形內(nèi)部對三邊張角均為的點．設△ABC的面積為S，則，又由，得，所以．所以，即，所以.（2）在△ABC中，因為，，所以△ABC的費馬點O是三角形內(nèi)部對三邊張角均為的點，設，則，，所以，設，，，在△AOB與△AOC中，由正弦定理可得，，所以，在△BOC中，由余弦定理可得，，所以，即．當且僅當時，mn取得最大值，所以取得最大值.江蘇省南通市2023-2024學年高一下學期5月質量監(jiān)測數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.如果兩條直線與沒有公共點，那么與（）A.共面 B.平行C.是異面直線 D.可能平行，也可能是異面直線〖答案〗D〖解析〗根據(jù)空間中兩條直線的位置關系，可得如果兩條直線與沒有公共點，那么與可能平行，也可能是異面直線.故選：D.2.若，是兩個單位向量，則下列結論中正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，是兩個單位向量，則，但，方向不能確定，故選項AB錯誤；，只有，同向共線時，才有，故選項C錯誤；，，，選項D正確.故選：D.3.已知空間3條不同的直線m，n，l和平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗C〖解析〗A選項，若，，則或相交或異面，A錯誤；B選項，若，，則或，B錯誤；C選項，若，不妨設，則，又，，則，所以，C正確；D選項，若，，則，或相交，D錯誤.故選：C.4.一艘船以32nmile/h的速度向正北方向航行．從A處看燈塔S位于船北偏東的方向上，30分鐘后船航行到B處，從B處看燈塔S位于船北偏東的方向上，則燈塔S與B之間的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意知，，，由正弦定理得，，解得.故選：B.5.若用斜二測畫法畫出某△ABC水平放置直觀圖，得到邊長為2的等邊三角形，則原的面積為（）A. B. C.4 D.〖答案〗B〖解析〗直觀圖是邊長為2的等邊三角形，且的面積為，所以原的面積為.故選：B.6.在矩形ABCD中，已知，，點P在CD邊上，滿足，則（）A. B.0 C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖建立平面直角坐標系，，設，則，所以，得，所以，所以.故選：C.7.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意，，則，所以.故選：A.8.在圓錐PO中，軸截面PAB為等腰直角三角形，M為底面圓O上一點，，則異面直線OM與AP所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，過點A作，交圓O于點N，連接ON，PN，則即異面直線OM與AP所成角或其補角，設，可知，則，因為軸截面PAB為等腰直角三角形，所以，在中，由余弦定理得，，所以異面直線OM與AP所成角的余弦值為.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量，，則下列說法中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則，的夾角為鈍角D.若，則在上的投影向量的坐標為〖答案〗ABD〖解析〗向量，，對于A，由，得，解得，A正確；對于B，由，得，則，B正確；對于C，當時，，反向共線，夾角為，此時，的夾角不為鈍角，C錯誤；對于D，當時，，因此在上的投影向量為，在上的投影向量的坐標為，D正確.故選：ABD.10.下列條件中能推導出一定是銳角三角形的有（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，因為，即，又，故角為銳角，但無法確定另兩個角的范圍，故不一定是銳角三角形，故A錯誤；對于B：因為，若，則或，又，則除了角為鈍角外，還有一角為鈍角，矛盾；同理都不可能，故，，，即三個角均為銳角，故B正確：對于C，因為，由正弦定理得，令，則，顯然最大角為，且，所以最大角為銳角，所以一定是銳角三角形，故C正確；對于D，因為，又且不能同時為鈍角，所以，，即均為銳角，又，所以也為銳角，所以一定為銳角三角形，故D正確．故選：BCD．11.在棱長為2的正方體中，分別是，，的中點，則下列正確的是（）A.平面B.平面C.多面體是棱臺D.平面截正方體所得截面的面積為〖答案〗AC〖解析〗對于A，取中點，連接，由正方體得四邊形為平行四邊形，所以，因為點為的中點，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，因為平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，取中點，連接，則，所以，所以，所以，由正方體得，平面，又平面，所以，因為，，平面，，所以平面，又，所以與平面不垂直，故B錯誤；對于C，由正方體得，平面平面，即平面平面，由棱臺的定義可知，多面體是棱臺，故C正確；對于D，設直線與直線交于點，連接與交于點，與直線交于點，連接交于點，連接，則五邊形即為平面截正方體所得截面，因為，所以，，因為，所以，所以，因為，所以，因為，所以，所以，，所以，所以，所以，因為，，所以，故D錯誤.故選：AC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.一個圓臺的母線長為5，上、下底面圓直徑長分別為2，8，則圓臺的高為________．〖答案〗4〖解析〗由題意得，圓臺的軸截面為等腰梯形，其中上底長為2，下底長為8，腰長為5，如圖所示：作CD⊥AB與E，則CE為圓臺的高h，∴高h＝.故〖答案〗：4.13.若，則________．〖答案〗1〖解析〗由題意可知，.故〖答案〗為：1.14.在△ABC中，，P是MC的中點，延長AP交BC于點D．若，則________；若，，則△ABC面積的最大值為________．〖答案〗〖解析〗第一空：因為P是MC的中點，所以，又因為，所以，所以，即，所以；第二空：設，則，因為點D在BC上，所以，即，所以，所以，因為，即，設分別為所對邊，所以，即，因為，當且僅當時取等號，所以，即，所以，因此△ABC面積的最大值為為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，滿足，，求：（1）；（2）向量與的夾角的余弦值．解：（1）由已知有，故，所以.（2）由已知有，及，故.16.已知四棱錐中，底面ABCD是梯形，，，，，，M，N分別是PD，BC的中點．求證：（1）平面PBC；（2）．解：（1）如圖，取的中點，連接，因為M是PD的中點，所以，，又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為平面PBC，平面PBC，所以平面PBC.（2）連接，因為，N是BC的中點，所以，在中，，，，所以，由條件，所以，又N是BC的中點，所以，因為DN，平面PDN，，所以平面PDN，因為平面PDN，所以．17.已知，，且，，求：（1）的值；（2）的值．解：（1）由，解得，所以.（2），由，，得，所以，因為，，所以，所以，又，，所以，所以，所以，所以．18.在①，②，③這三個條