2023-2024學(xué)年江蘇省南通市高一下學(xué)期5月質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2江蘇省南通市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.如果兩條直線與沒有公共點(diǎn)，那么與（）A.共面 B.平行C.是異面直線 D.可能平行，也可能是異面直線〖答案〗D〖解析〗根據(jù)空間中兩條直線的位置關(guān)系，可得如果兩條直線與沒有公共點(diǎn)，那么與可能平行，也可能是異面直線.故選：D.2.若，是兩個(gè)單位向量，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，是兩個(gè)單位向量，則，但，方向不能確定，故選項(xiàng)AB錯(cuò)誤；，只有，同向共線時(shí)，才有，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，，，選項(xiàng)D正確.故選：D.3.已知空間3條不同的直線m，n，l和平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗C〖解析〗A選項(xiàng)，若，，則或相交或異面，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，若，，則或，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，若，不妨設(shè)，則，又，，則，所以，C正確；D選項(xiàng)，若，，則，或相交，D錯(cuò)誤.故選：C.4.一艘船以32nmile/h的速度向正北方向航行．從A處看燈塔S位于船北偏東的方向上，30分鐘后船航行到B處，從B處看燈塔S位于船北偏東的方向上，則燈塔S與B之間的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意知，，，由正弦定理得，，解得.故選：B.5.若用斜二測畫法畫出某△ABC水平放置直觀圖，得到邊長為2的等邊三角形，則原的面積為（）A. B. C.4 D.〖答案〗B〖解析〗直觀圖是邊長為2的等邊三角形，且的面積為，所以原的面積為.故選：B.6.在矩形ABCD中，已知，，點(diǎn)P在CD邊上，滿足，則（）A. B.0 C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖建立平面直角坐標(biāo)系，，設(shè)，則，所以，得，所以，所以.故選：C.7.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意，，則，所以.故選：A.8.在圓錐PO中，軸截面PAB為等腰直角三角形，M為底面圓O上一點(diǎn)，，則異面直線OM與AP所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，過點(diǎn)A作，交圓O于點(diǎn)N，連接ON，PN，則即異面直線OM與AP所成角或其補(bǔ)角，設(shè)，可知，則，因?yàn)檩S截面PAB為等腰直角三角形，所以，在中，由余弦定理得，，所以異面直線OM與AP所成角的余弦值為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，則下列說法中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則，的夾角為鈍角D.若，則在上的投影向量的坐標(biāo)為〖答案〗ABD〖解析〗向量，，對于A，由，得，解得，A正確；對于B，由，得，則，B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，，反向共線，夾角為，此時(shí)，的夾角不為鈍角，C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，，因此在上的投影向量為，在上的投影向量的坐標(biāo)為，D正確.故選：ABD.10.下列條件中能推導(dǎo)出一定是銳角三角形的有（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，因?yàn)椋?，又，故角為銳角，但無法確定另兩個(gè)角的范圍，故不一定是銳角三角形，故A錯(cuò)誤；對于B：因?yàn)?，若，則或，又，則除了角為鈍角外，還有一角為鈍角，矛盾；同理都不可能，故，，，即三個(gè)角均為銳角，故B正確：對于C，因?yàn)?，由正弦定理得，令，則，顯然最大角為，且，所以最大角為銳角，所以一定是銳角三角形，故C正確；對于D，因?yàn)?，又且不能同時(shí)為鈍角，所以，，即均為銳角，又，所以也為銳角，所以一定為銳角三角形，故D正確．故選：BCD．11.在棱長為2的正方體中，分別是，，的中點(diǎn)，則下列正確的是（）A.平面B.平面C.多面體是棱臺D.平面截正方體所得截面的面積為〖答案〗AC〖解析〗對于A，取中點(diǎn)，連接，由正方體得四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，故A正確；對于B，取中點(diǎn)，連接，則，所以，所以，所以，由正方體得，平面，又平面，所以，因?yàn)?，，平面，，所以平面，又，所以與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；對于C，由正方體得，平面平面，即平面平面，由棱臺的定義可知，多面體是棱臺，故C正確；對于D，設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，則五邊形即為平面截正方體所得截面，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.一個(gè)圓臺的母線長為5，上、下底面圓直徑長分別為2，8，則圓臺的高為________．〖答案〗4〖解析〗由題意得，圓臺的軸截面為等腰梯形，其中上底長為2，下底長為8，腰長為5，如圖所示：作CD⊥AB與E，則CE為圓臺的高h(yuǎn)，∴高h(yuǎn)＝.故〖答案〗：4.13.若，則________．〖答案〗1〖解析〗由題意可知，.故〖答案〗為：1.14.在△ABC中，，P是MC的中點(diǎn)，延長AP交BC于點(diǎn)D．若，則________；若，，則△ABC面積的最大值為________．〖答案〗〖解析〗第一空：因?yàn)镻是MC的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，所以，即，所以；第二空：設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)D在BC上，所以，即，所以，所以，因?yàn)?，即，設(shè)分別為所對邊，所以，即，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，即，所以，因此△ABC面積的最大值為為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，滿足，，求：（1）；（2）向量與的夾角的余弦值．解：（1）由已知有，故，所以.（2）由已知有，及，故.16.已知四棱錐中，底面ABCD是梯形，，，，，，M，N分別是PD，BC的中點(diǎn)．求證：（1）平面PBC；（2）．解：（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)镸是PD的中點(diǎn)，所以，，又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫鍼BC，平面PBC，所以平面PBC.（2）連接，因?yàn)?，N是BC的中點(diǎn)，所以，在中，，，，所以，由條件，所以，又N是BC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)镈N，平面PDN，，所以平面PDN，因?yàn)槠矫鍼DN，所以．17.已知，，且，，求：（1）的值；（2）的值．解：（1）由，解得，所以.（2），由，，得，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，又，，所以，所以，所以，所以?8.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問題中，并完成解答．記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，面積為，外接圓的半徑為，且滿足________，點(diǎn)在邊上．（1）求的值；（2）若，，求當(dāng)取最小值時(shí)的值；（3）若，，求．解：（1）若選①：在中，由正弦定理，得，，，因?yàn)?，所以，即?），因?yàn)?，所以，所以?）式可化為．因?yàn)?，所以，所以，若選②：由，可得，所以，又，所以，則，所以，所以，所以，若選③：在中，由余弦定理，面積，又，所以，所以，又，，則，所以（正值已舍去）.（2）由，得，由條件，，所以面積，所以，又由余弦定理，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以或（舍去），所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小值，此時(shí)取得最小值且，由，即，所以.（3）由條件，所以，，又，分別在和中，有，所以，即，化簡得，又，所以，，所以.19.費(fèi)馬點(diǎn)是在三角形中到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)．具體位置取決于三角形的形狀，如果三角形的三個(gè)內(nèi)角均小于，費(fèi)馬點(diǎn)是三角形內(nèi)部對三邊張角均為的點(diǎn)；如果三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于，費(fèi)馬點(diǎn)就是該內(nèi)角所在的頂點(diǎn)．已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，O為費(fèi)馬點(diǎn)．（1）若，，，求的值；（2）若，，求的最大值．解：（1）在△ABC中，，，，所以C是最大角．由．因?yàn)?，所以，所以△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)O是三角形內(nèi)部對三邊張角均為的點(diǎn)．設(shè)△ABC的面積為S，則，又由，得，所以．所以，即，所以.（2）在△ABC中，因?yàn)?，，所以△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)O是三角形內(nèi)部對三邊張角均為的點(diǎn)，設(shè)，則，，所以，設(shè)，，，在△AOB與△AOC中，由正弦定理可得，，所以，在△BOC中，由余弦定理可得，，所以，即．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，mn取得最大值，所以取得最大值.江蘇省南通市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.如果兩條直線與沒有公共點(diǎn)，那么與（）A.共面 B.平行C.是異面直線 D.可能平行，也可能是異面直線〖答案〗D〖解析〗根據(jù)空間中兩條直線的位置關(guān)系，可得如果兩條直線與沒有公共點(diǎn)，那么與可能平行，也可能是異面直線.故選：D.2.若，是兩個(gè)單位向量，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，是兩個(gè)單位向量，則，但，方向不能確定，故選項(xiàng)AB錯(cuò)誤；，只有，同向共線時(shí)，才有，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，，，選項(xiàng)D正確.故選：D.3.已知空間3條不同的直線m，n，l和平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗C〖解析〗A選項(xiàng)，若，，則或相交或異面，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，若，，則或，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，若，不妨設(shè)，則，又，，則，所以，C正確；D選項(xiàng)，若，，則，或相交，D錯(cuò)誤.故選：C.4.一艘船以32nmile/h的速度向正北方向航行．從A處看燈塔S位于船北偏東的方向上，30分鐘后船航行到B處，從B處看燈塔S位于船北偏東的方向上，則燈塔S與B之間的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意知，，，由正弦定理得，，解得.故選：B.5.若用斜二測畫法畫出某△ABC水平放置直觀圖，得到邊長為2的等邊三角形，則原的面積為（）A. B. C.4 D.〖答案〗B〖解析〗直觀圖是邊長為2的等邊三角形，且的面積為，所以原的面積為.故選：B.6.在矩形ABCD中，已知，，點(diǎn)P在CD邊上，滿足，則（）A. B.0 C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖建立平面直角坐標(biāo)系，，設(shè)，則，所以，得，所以，所以.故選：C.7.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意，，則，所以.故選：A.8.在圓錐PO中，軸截面PAB為等腰直角三角形，M為底面圓O上一點(diǎn)，，則異面直線OM與AP所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，過點(diǎn)A作，交圓O于點(diǎn)N，連接ON，PN，則即異面直線OM與AP所成角或其補(bǔ)角，設(shè)，可知，則，因?yàn)檩S截面PAB為等腰直角三角形，所以，在中，由余弦定理得，，所以異面直線OM與AP所成角的余弦值為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，則下列說法中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則，的夾角為鈍角D.若，則在上的投影向量的坐標(biāo)為〖答案〗ABD〖解析〗向量，，對于A，由，得，解得，A正確；對于B，由，得，則，B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，，反向共線，夾角為，此時(shí)，的夾角不為鈍角，C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，，因此在上的投影向量為，在上的投影向量的坐標(biāo)為，D正確.故選：ABD.10.下列條件中能推導(dǎo)出一定是銳角三角形的有（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，因?yàn)?，即，又，故角為銳角，但無法確定另兩個(gè)角的范圍，故不一定是銳角三角形，故A錯(cuò)誤；對于B：因?yàn)椋?，則或，又，則除了角為鈍角外，還有一角為鈍角，矛盾；同理都不可能，故，，，即三個(gè)角均為銳角，故B正確：對于C，因?yàn)?，由正弦定理得，令，則，顯然最大角為，且，所以最大角為銳角，所以一定是銳角三角形，故C正確；對于D，因?yàn)?，又且不能同時(shí)為鈍角，所以，，即均為銳角，又，所以也為銳角，所以一定為銳角三角形，故D正確．故選：BCD．11.在棱長為2的正方體中，分別是，，的中點(diǎn)，則下列正確的是（）A.平面B.平面C.多面體是棱臺D.平面截正方體所得截面的面積為〖答案〗AC〖解析〗對于A，取中點(diǎn)，連接，由正方體得四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故A正確；對于B，取中點(diǎn)，連接，則，所以，所以，所以，由正方體得，平面，又平面，所以，因?yàn)?，，平面，，所以平面，又，所以與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；對于C，由正方體得，平面平面，即平面平面，由棱臺的定義可知，多面體是棱臺，故C正確；對于D，設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，則五邊形即為平面截正方體所得截面，因?yàn)?，所以，，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，，所以，所以，所以，因?yàn)?，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.一個(gè)圓臺的母線長為5，上、下底面圓直徑長分別為2，8，則圓臺的高為________．〖答案〗4〖解析〗由題意得，圓臺的軸截面為等腰梯形，其中上底長為2，下底長為8，腰長為5，如圖所示：作CD⊥AB與E，則CE為圓臺的高h(yuǎn)，∴高h(yuǎn)＝.故〖答案〗：4.13.若，則________．〖答案〗1〖解析〗由題意可知，.故〖答案〗為：1.14.在△ABC中，，P是MC的中點(diǎn)，延長AP交BC于點(diǎn)D．若，則________；若，，則△ABC面積的最大值為________．〖答案〗〖解析〗第一空：因?yàn)镻是MC的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，所以，即，所以；第二空：設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)D在BC上，所以，即，所以，所以，因?yàn)?，即，設(shè)分別為所對邊，所以，即，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，即，所以，因此△ABC面積的最大值為為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，滿足，，求：（1）；（2）向量與的夾角的余弦值．解：（1）由已知有，故，所以.（2）由已知有，及，故.16.已知四棱錐中，底面ABCD是梯形，，，，，，M，N分別是PD，BC的中點(diǎn)．求證：（1）平面PBC；（2）．解：（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)镸是PD的中點(diǎn)，所以，，又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫鍼BC，平面PBC，所以平面PBC.（2）連接，因?yàn)?，N是BC的中點(diǎn)，所以，在中，，，，所以，由條件，所以，又N是BC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)镈N，平面PDN，，所以平面PDN，因?yàn)槠矫鍼DN，所以．17.已知，，且，，求：（1）的值；（2）的值．解：（1）由，解得，所以.（2），由，，得，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，又，，所以，所以，所以，所以?8.在①，②，③這三個(gè)條