2024屆安徽省安慶市示范高中高三聯(lián)考（三模）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3安徽省安慶市示范高中2024屆高三聯(lián)考（三模）數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知線段是圓的一條長為4的弦，則（）A.4 B.6 C.8 D.16〖答案〗C〖解析〗取中點，連接，易知，所以.故選：C．2.復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由條件知，所以.故選：D．3.已知圓錐的軸截面是等邊三角形，則其外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，等邊三角形的內(nèi)切圓和外接圓的半徑即為內(nèi)切球和外接球的半徑，記內(nèi)切球和外接球的半徑分別為和，則所以其外接球與內(nèi)切球的表面積之比為.故選：A．4.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.若數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為，其中，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.的大小關(guān)系不確定〖答案〗B〖解析〗由題意可知，，，于是，又，所以，所以，兩式相減得，所以.故選：B.5.已知拋物線的焦點到其準線的距離為2，點是拋物線上兩個不同點，且，則（）A. B. C. D.3〖答案〗A〖解析〗因為拋物線的焦點到其準線的距離為2，所以，所以,即,由得，即，則，由焦半徑公式可得.故選：A.6.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知，解得，所以，其在上單調(diào)遞增，又因，所以函數(shù)為奇函數(shù)，，所以不等式可化為，于是，即，解得或.故選：C．7.在正方體中，點分別為棱的中點，過點三點作該正方體的截面，則（）A.該截面多邊形是四邊形B.該截面多邊形與棱的交點是棱的一個三等分點C.平面D.平面平面〖答案〗B〖解析〗對于A，將線段向兩邊延長，分別與棱的延長線，棱的延長線交于，連分別與棱交于，得到截面多邊形是五邊形，A錯誤；對于B，易知和全等且都是等腰直角三角形，所以，所以，即，點是棱的一個三等分點，B正確；對于C，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面，因為平面，所以，同理可證，因為平面，所以平面，因為平面與平面相交，所以與平面不垂直，C錯誤；對于D，易知，所以，又，所以平面，結(jié)合C結(jié)論，所以平面與平面不平行，D錯誤.故選：B．8.若項數(shù)均為的兩個數(shù)列滿足，且集合，則稱數(shù)列是一對“項緊密數(shù)列”．設(shè)數(shù)列是一對“4項緊密數(shù)列”，則這樣的“4項緊密數(shù)列”有（）對．A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗B〖解析〗由條件知，于是，又，所以，于是“4項緊密數(shù)列”有；共有6對.故選：B．二、多選題9.已知集合，集合，若有且僅有3個不同元素，則實數(shù)的值可以為（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗AB〖解析〗由，解得，故，由，可得，，要使有且僅有3個不同元素，則，解得，故選：AB．10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)的最大值為D.若方程在上有且僅有8個不同的實根，則〖答案〗ACD〖解析〗由條件可知，因，又函數(shù)與的最小正周期均為，所以函數(shù)最小正周期為，A選項正確；時，，，，，則函數(shù)在上不可能單調(diào)遞增，B選項錯誤；，當時，函數(shù)取最大值，C選項正確；，所以函數(shù)為偶函數(shù)，方程在上有且僅有8個不同的實根，則在上有四個根，此時，則，設(shè)令，得，令，得則在上和單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，又，，，如圖所示，若想方程在上有四個根，則，即，因此選項D正確.故選：ACD．11.直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，與的兩條漸近線分別交于兩點，從左到右依次排列，則（）A.線段與線段的中點必重合 B.C.線段的長度不可能成等差數(shù)列 D.線段的長度可能成等比數(shù)列〖答案〗ABD〖解析〗設(shè)直線，聯(lián)立得，于是，聯(lián)立得，于是，所以，因此線段與線段的中點必重合，A正確；設(shè)中點為，則，所以，B正確；假設(shè)線段的長度成等差數(shù)列，則，所以，于是，兩邊同時平方并整理得，于是，展開整理得，該方程有解，所以存在直線，使得線段的長度成等差數(shù)列，C錯誤；同上推理，當線段的長度相等時，線段，的長度成等比數(shù)列，D正確.故選：ABD．三、填空題12.在的展開式中，不含字母的項為_________．〖答案〗〖解析〗由條件可知不含字母的項為．故〖答案〗為：.13.一個不透明的袋子裝有5個完全相同的小球，球上分別標有數(shù)字1，2，3，4，4．現(xiàn)甲從中隨機摸出一個球記下所標數(shù)字后放回，乙再從中隨機摸出一個球記下所標數(shù)字，若摸出的球上所標數(shù)字大即獲勝（若所標數(shù)字相同則為平局），則在甲獲勝的條件下，乙摸到2號球的概率為_________．〖答案〗〖解析〗設(shè)事件“甲獲勝”為事件，事件“乙摸到2號球”為事件，則，，所以，故〖答案〗為：．14.由函數(shù)圖象上一點向圓引兩條切線，切點分別為點，連接，當直線的橫截距最大時，直線的方程為_________，此時_________．〖答案〗〖解析〗設(shè)點，圓的圓心為，如圖所示，則以線段為直徑的圓的方程為，整理得，與圓相交，兩個圓相減得：直線，令，則，構(gòu)造函數(shù)，，對其求導(dǎo)得，令，則，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)最大值為，此時直線的方程為，且,于是．故〖答案〗為：，.四、解答題15.隨著生活水平的不斷提高，老百姓對身體健康越來越重視，特別認識到“肥胖是禍不是福”．某校生物學(xué)社團在對人體的脂肪含量和年齡之間的相關(guān)關(guān)系研究中，利用簡單隨機抽樣的方法得到40組樣本數(shù)據(jù)，其中表示年齡，表示脂肪含量，并計算得到，作出散點圖，發(fā)現(xiàn)脂肪含量與年齡具有線性相關(guān)關(guān)系，并得到其線性回歸方程為．（1）請求出的值，并估計35歲的小趙的脂肪含量約為多少？（2）小趙將自己實際的脂肪含量與（1）中脂肪含量的估計值進行比較，發(fā)現(xiàn)自己的脂肪含量嚴重超標，于是他打算進行科學(xué)健身來降低自己的脂肪含量，來到健身器材銷售商場，看中了甲、乙兩款健身器材，并通過售貨員得到這兩款健身器材的使用年限（整年），如下表所示：甲款使用年限統(tǒng)計表使用年限5年6年7年8年合計臺數(shù)10403020100乙款使用年限統(tǒng)計表使用年限5年6年7年8年合計臺數(shù)30402010100如果小趙以使用年限的頻率估計概率，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計，小趙應(yīng)選擇購買哪一款健身器材，才能使用更長久？解：（1）因線性回歸直線方程經(jīng)過樣本中心，所以將代入，得到．于是，當時，．所以的值為，估計35歲的小趙的脂肪含量約為19.317．（2）以頻率估計概率，設(shè)甲款健身器材使用年限為（單位：年），則的分布列為56780.10.40.30.2于是．設(shè)乙款健身器材使用年限為（單位：年），則的分布列為56780.3040.20.1于是．因，所以小趙應(yīng)購買甲款健身器材才能使用更長久．16.如圖，在四棱錐中，，，連接．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角正弦值的大?。?）證明：因，所以，又，所以，根據(jù)余弦定理知，直角梯形中，，，，，，則，過點作，垂足為，則，,得，則有，得，，得，因，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）解：如圖，以點為原點，分別以所在直線為軸，軸建立空間直角坐標系．則，于是，又，設(shè)平面的一個法向量為，于是，令，則，即，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．17.已知函數(shù)在點處的切線平行于直線．（1）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是函數(shù)的極值點，求證：．（1）解：的定義域為，，由題知，解得．由題意可知對任意的恒成立，即對任意的恒成立，只需，令，則，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增．所以，于是，因此實數(shù)的取值范圍是．（2）證明：由條件知，對其求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以存在，使，即，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，于是是函數(shù)的極值點，所以，即得證．18.已知數(shù)列的首項等于3，從第二項起是一個公差為2的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的前項的和；（2）設(shè)數(shù)列滿足且，若數(shù)列的前項的和為，求.解：（1）因成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以當時，，又不符合上式，所以數(shù)列的通項公式為，因此，當時，，又符合上式，所以當時，；（2）由（1）知，令，所以，又，所以，因此，所以，于是.19.已知橢圓，圓．（1）點是橢圓的下頂點，點在橢圓上，點在圓上（點異于點），連，直線與直線的斜率分別記作，若，試判斷直線是否過定點？若過定點，請求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．（2）橢圓的左、右頂點分別為點，點（異于頂點）在橢圓上且位于軸上方，連分別交軸于點，點在圓上，求證：的充要條件為軸．（1）解：設(shè)，則，于是，因點，所以，于是，整理得，又直線的方程為，即，所以直線過定點，定點坐標為．（2）證明：設(shè)，則，設(shè)，因，所以直線，所以，因，所以直線，所以，于是．先證充分性：當軸時，，所以，即，于是，設(shè)直線交軸于點，因軸，所以，又，所以，于是，不妨設(shè)點在第一象限，點在第二象限，則，即，所以直線的方程為，聯(lián)立，得，解得或，所以，于是，所以充分性成立．再證必要性：當時，即，整理得，又，所以，又三點共線，所以直線的方程為，三分共線，所以直線的方程為，聯(lián)立，消去，得，即，所以軸，即必要性得證．安徽省安慶市示范高中2024屆高三聯(lián)考（三模）數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知線段是圓的一條長為4的弦，則（）A.4 B.6 C.8 D.16〖答案〗C〖解析〗取中點，連接，易知，所以.故選：C．2.復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由條件知，所以.故選：D．3.已知圓錐的軸截面是等邊三角形，則其外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，等邊三角形的內(nèi)切圓和外接圓的半徑即為內(nèi)切球和外接球的半徑，記內(nèi)切球和外接球的半徑分別為和，則所以其外接球與內(nèi)切球的表面積之比為.故選：A．4.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.若數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為，其中，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.的大小關(guān)系不確定〖答案〗B〖解析〗由題意可知，，，于是，又，所以，所以，兩式相減得，所以.故選：B.5.已知拋物線的焦點到其準線的距離為2，點是拋物線上兩個不同點，且，則（）A. B. C. D.3〖答案〗A〖解析〗因為拋物線的焦點到其準線的距離為2，所以，所以,即,由得，即，則，由焦半徑公式可得.故選：A.6.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知，解得，所以，其在上單調(diào)遞增，又因，所以函數(shù)為奇函數(shù)，，所以不等式可化為，于是，即，解得或.故選：C．7.在正方體中，點分別為棱的中點，過點三點作該正方體的截面，則（）A.該截面多邊形是四邊形B.該截面多邊形與棱的交點是棱的一個三等分點C.平面D.平面平面〖答案〗B〖解析〗對于A，將線段向兩邊延長，分別與棱的延長線，棱的延長線交于，連分別與棱交于，得到截面多邊形是五邊形，A錯誤；對于B，易知和全等且都是等腰直角三角形，所以，所以，即，點是棱的一個三等分點，B正確；對于C，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面，因為平面，所以，同理可證，因為平面，所以平面，因為平面與平面相交，所以與平面不垂直，C錯誤；對于D，易知，所以，又，所以平面，結(jié)合C結(jié)論，所以平面與平面不平行，D錯誤.故選：B．8.若項數(shù)均為的兩個數(shù)列滿足，且集合，則稱數(shù)列是一對“項緊密數(shù)列”．設(shè)數(shù)列是一對“4項緊密數(shù)列”，則這樣的“4項緊密數(shù)列”有（）對．A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗B〖解析〗由條件知，于是，又，所以，于是“4項緊密數(shù)列”有；共有6對.故選：B．二、多選題9.已知集合，集合，若有且僅有3個不同元素，則實數(shù)的值可以為（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗AB〖解析〗由，解得，故，由，可得，，要使有且僅有3個不同元素，則，解得，故選：AB．10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)的最大值為D.若方程在上有且僅有8個不同的實根，則〖答案〗ACD〖解析〗由條件可知，因，又函數(shù)與的最小正周期均為，所以函數(shù)最小正周期為，A選項正確；時，，，，，則函數(shù)在上不可能單調(diào)遞增，B選項錯誤；，當時，函數(shù)取最大值，C選項正確；，所以函數(shù)為偶函數(shù)，方程在上有且僅有8個不同的實根，則在上有四個根，此時，則，設(shè)令，得，令，得則在上和單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，又，，，如圖所示，若想方程在上有四個根，則，即，因此選項D正確.故選：ACD．11.直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，與的兩條漸近線分別交于兩點，從左到右依次排列，則（）A.線段與線段的中點必重合 B.C.線段的長度不可能成等差數(shù)列 D.線段的長度可能成等比數(shù)列〖答案〗ABD〖解析〗設(shè)直線，聯(lián)立得，于是，聯(lián)立得，于是，所以，因此線段與線段的中點必重合，A正確；設(shè)中點為，則，所以，B正確；假設(shè)線段的長度成等差數(shù)列，則，所以，于是，兩邊同時平方并整理得，于是，展開整理得，該方程有解，所以存在直線，使得線段的長度成等差數(shù)列，C錯誤；同上推理，當線段的長度相等時，線段，的長度成等比數(shù)列，D正確.故選：ABD．三、填空題12.在的展開式中，不含字母的項為_________．〖答案〗〖解析〗由條件可知不含字母的項為．故〖答案〗為：.13.一個不透明的袋子裝有5個完全相同的小球，球上分別標有數(shù)字1，2，3，4，4．現(xiàn)甲從中隨機摸出一個球記下所標數(shù)字后放回，乙再從中隨機摸出一個球記下所標數(shù)字，若摸出的球上所標數(shù)字大即獲勝（若所標數(shù)字相同則為平局），則在甲獲勝的條件下，乙摸到2號球的概率為_________．〖答案〗〖解析〗設(shè)事件“甲獲勝”為事件，事件“乙摸到2號球”為事件，則，，所以，故〖答案〗為：．14.由函數(shù)圖象上一點向圓引兩條切線，切點分別為點，連接，當直線的橫截距最大時，直線的方程為_________，此時_________．〖答案〗〖解析〗設(shè)點，圓的圓心為，如圖所示，則以線段為直徑的圓的方程為，整理得，與圓相交，兩個圓相減得：直線，令，則，構(gòu)造函數(shù)，，對其求導(dǎo)得，令，則，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)最大值為，此時直線的方程為，且,于是．故〖答案〗為：，.四、解答題15.隨著生活水平的不斷提高，老百姓對身體健康越來越重視，特別認識到“肥胖是禍不是福”．某校生物學(xué)社團在對人體的脂肪含量和年齡之間的相關(guān)關(guān)系研究中，利用簡單隨機抽樣的方法得到40組樣本數(shù)據(jù)，其中表示年齡，表示脂肪含量，并計算得到，作出散點圖，發(fā)現(xiàn)脂肪含量與年齡具有線性相關(guān)關(guān)系，并得到其線性回歸方程為．（1）請求出的值，并估計35歲的小趙的脂肪含量約為多少？（2）小趙將自己實際的脂肪含量與（1）中脂肪含量的估計值進行比較，發(fā)現(xiàn)自己的脂肪含量嚴重超標，于是他打算進行科學(xué)健身來降低自己的脂肪含量，來到健身器材銷售商場，看中了甲、乙兩款健身器材，并通過售貨員得到這兩款健身器材的使用年限（整年），如下表所示：甲款使用年限統(tǒng)計表使用年限5年6年7年8年合計臺數(shù)10403020100乙款使用年限統(tǒng)計表使用年限5年6年7年8年合計臺數(shù)30402010100如果小趙以使用年限的頻率估計概率，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計，小趙應(yīng)選擇購買哪一款健身器材，才能使用更長久？解：（1）因線性回歸直線方程經(jīng)過樣本中心，所以將代入，得到．于是，當時，．所以的值為，估計35歲的小趙的脂肪含量約為19.317．（2）以頻率估計概率，設(shè)甲款健身器材使用年限為（單位：年），則的分布列為56780.10.40.30.2于是．設(shè)乙款健身器材使用年限為（單位：年），則的分布列為56780.3040.20.1于是．因，所以小趙應(yīng)購買甲款健身器材才能使用更長久．16.如圖，在四棱錐中，，，連接．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角正弦值的大?。?）證明：因，所以，又，所以，根據(jù)余弦定理知，直角梯形中，，，，，，則，過點作，垂足為，則，,得，則有，得，，得，因，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）解：如圖，以點為原點，分別以所在直線為軸，軸建立空間直角坐標系．則，于是，又，設(shè)平面的一個法向量為，于是，令，則，即，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．17.已知函數(shù)在點處的切線平行于直線