2024屆廣東省廣州市普通高中畢業(yè)班沖刺訓練題（一）數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE3廣東省廣州市2024屆普通高中畢業(yè)班沖刺訓練題（一）數(shù)學試題一、選擇題1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，因此，.故選：C.2.若冪函數(shù)在上單調遞增，則實數(shù)的值為（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗因為冪函數(shù)在上增函數(shù)，所以，解得.故選：A.3.下列說法正確的是（）A.數(shù)據，1，2，4，5，6，8，9的下四分位數(shù)是7B.已知隨機變量，若，則C.若隨機變量滿足，則D.若隨機事件，滿足，則〖答案〗D〖解析〗對于A，8個數(shù)據從小到大排列，所以下四分位數(shù)即第25百分位數(shù)，，所以應該是第二個與第三個的平均數(shù)，故A不正確；對于B，因為，則，則，故B不正確；對于C，隨機變量滿足，則，故C不正確；對于D，若，則，獨立，從而，獨立，所以，故D正確.故選：D.4.記為等差數(shù)列前項和，若，則使成立的最大正整數(shù)的值為（）A.17 B.18 C.19 D.20〖答案〗B〖解析〗由知，，故當時均有.故，且當時有.故選：B.5.已知球內切于圓臺（即球與該圓臺的上、下底面以及側面均相切），且圓臺的上、下底面半徑分別為，，且，則圓臺的體積與球的體積之比為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖：為該幾何體的軸截面，其中圓是等腰梯形的內切圓，設圓與梯形的腰相切于點，與上、下底的分別切于點，，設球的半徑為，圓臺上下底面的半徑為，.注意到與均為角平分線，因此，從而，故.設圓臺的體積為，球的體積為，則.故選：B.6.一個盒子里裝有3個黑球，2個白球，它們除顏色外完全相同.現(xiàn)每次從袋中不放回地隨機取出一個球，記事件表示“第次取出的球是黑球”，，則下列結論不正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗依次一個一個地往外取球（不放回）的試驗，基本事件總數(shù)是，它們等可能，對于A，表示第1次、第2次取出的球都是黑球，，A正確；對于В，，，В正確；對于C，有，C錯誤；對于D，有，D正確.故選：C7.已知為銳角，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為為銳角，所以，，又，所以，而，所以，所以，因此.故選：D．8.已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且.對于任意的實數(shù)，均有成立，若，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，令，則，則在上單調遞增.由，為奇函數(shù)，得，則，從而原不等式可化為，即，此即為.由于在上單調遞增，故這等價于，所以不等式的解集為.故選：D.二、選擇題9.已知復數(shù)，，下列結論正確的有（）A. B.若，則C.若，則 D.若，，則為純虛數(shù)〖答案〗AD〖解析〗對于A，設，對應的向量分別為，，則由向量三角不等式得，所以恒成立，故A正確；對于B，取，，但，，故B錯誤；對于C，當，時，，而，故C錯誤；對于D，，故D正確；故選：AD.10.已知，且，則下列結論成立的是（）A. B.C.存在，使得 D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由及，得，所以，A正確.對于B，由及，得，所以.同理可得.又，所以，所以，B正確.對于C，由及，得，所以，得，所以，得，C錯誤.對于D，由，得，所以.因為，，所以，所以，D正確.故選：ABD.11.在棱長為1的正方體中，若點為四邊形內（包括邊界）的動點，為平面內的動點，則下列說法正確的是（）A.若，則平面截正方體所得截面的面積為B.若直線與所成的角為，則點的軌跡為雙曲線C.若，則點的軌跡長度為D.若正方體以直線為軸，旋轉后與其自身重合，則的最小值是120〖答案〗ABD〖解析〗對于A，若，顯然平面截正方體所得截面為，所以，截面面積為，所以A正確；對于B，因為，若與所成的角為，則點在以為旋轉軸的圓錐（無底）的表面上，而平面，所以則點的軌跡為雙曲線，所以B正確；對于C，若，則在以、為焦點的橢球上且，，所以，又因為點為四邊形內，該橢球被平面截得的在四邊形內的部分為半圓，且半徑為，所以點的軌跡長度為，所以C錯誤，對于D，平面，且為正三角形，若正方體繞旋轉后與其自身重合，只需要旋轉后能和自身重合即可，所以D正確.故選：ABD.三、填空題12.若向量在向量上的投影為，且，則______.〖答案〗〖解析〗在上的投影為，，則，即又，平方得，則即．故〖答案〗為：．13.如圖，畫一個正三角形，不畫第三邊；接著畫正方形，對這個正方形，不畫第四邊；接著畫正五邊形，對這個正五邊形，不畫第五邊；接著畫正六邊形，……，這樣無限畫下去，形成一條無窮伸展的等邊折線.設線段與線段所夾的角為，則______，滿足的最小值為______.〖答案〗1712〖解析〗由題意得，，由此類推，，，，，，，，，，…，觀察規(guī)律，三角形會有1個相等的角，并且角的度數(shù)恰好是其內角的度數(shù)，正方形有2個，正五邊形有3個，正六邊形有4個，…，所以正多邊形有個.令，解得，所以的最小值為61，即滿足條件的角至少要在正61邊形中，所以，即的最小值為1712.故〖答案〗為：，1712.14.在中，是邊上一點，，若，且的面積為，則______.〖答案〗〖解析〗作的角平分線,由得,故是的角平分線，根據等面積法可得,由于,所以，又，所以，，所以，所以，因此，故為等邊三角形，所以，，故〖答案〗為：四、解答題15.已知函數(shù).（1）若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）將函數(shù)的圖象的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，再將其向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象.若，函數(shù)有且僅有4個零點，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為，當時，可得，當，即時，取得最小值，因為時，恒成立，所以，即實數(shù)的取值范圍為.（2）由圖象的橫坐標縮小為原來的，可得：，再將其向右平移，可得：，即函數(shù)，因為，所以，在給定區(qū)間的正弦函數(shù)的零點是，再由函數(shù)有且僅有4個零點，則滿足，解得，所以實數(shù)的取值范圍.16.已知四棱錐的底面是正方形，給出下列三個條件：①；②；③平面.（1）從①②③中選取兩個作條件，證明另一個成立；（2）在（1）的條件下，若，當四棱錐體積最大時，求二面角的余弦值.解：（1）①②③，連接，相交于，連接，由于底面是正方形，所以，又，，，平面，故平面，平面，故，由于，，，故，因此，，，平面，故平面，（可得四棱錐是正四棱錐）平面，故，又，，，平面，故平面.②③①連接，相交于，連接，由于底面是正方形，所以，又，，，平面，故平面，平面，故，又平面，平面，故，，，平面，故平面，結合底面是正方形，是正方形的中心，所以四棱錐是正四棱錐，故，①③②連接，相交于，連接，平面，平面，故，由于，，故，又，，，故，故，因此，，，，平面，故平面，故四棱錐是正四棱錐，由于，又，，，平面，故平面，平面，故，（2）無論選擇哪兩個條件，都可以推出四棱錐是正四棱錐，設四棱錐的底邊邊長為，則四，所以，故，由于，當且僅當，即時取等號，故當四棱錐的底邊邊長為時，四棱錐體積的最大值為.（法一）因為底面，由點向作垂線，垂足為，連接，又因為底面，，所以為二面角的平面角，，，，即二面角的余弦值為.（法二）以點為坐標原點建立如圖空間直角坐標系，則，，，所以，，設面的法向量為，則即，不妨取，則，，所以，易得平面的法向量，設二面角的平面角為，即二面角的余弦值為.17.已知，，平面上有動點，且直線的斜率與直線的斜率之積為1.（1）求動點的軌跡的方程.（2）過點A的直線與交于點（在第一象限），過點的直線與交于點（在第三象限），記直線，的斜率分別為，，且.試判斷與的面積之比是否為定值，若為定值，請求出該定值；若不為定值，請說明理由.解：（1）設，，由題意可得：，整理得，故求動點的軌跡方程為.（2）由題意可知：，且，可得，顯然直線MN的斜率不為0，設直線的方程為，，，聯(lián)立方程，消去x得，則，，可得，則，整理可得，則，因為，則，可得，整理可得，所以直線方程為，即直線過定點，則，此時，，所以為定值.18.甲、乙、丙三人進行傳球游戲，每次投擲一枚質地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當球在甲手中時，若骰子點數(shù)大于3，則甲將球傳給乙，若點數(shù)不大于3，則甲將球保留繼續(xù)投擲骰子；當球在乙手中時，若骰子點數(shù)大于4，則乙將球傳給甲，若點數(shù)不大于4，則乙將球傳給丙；當球在丙手中時，若骰子點數(shù)大于3，則丙將球傳給甲，若骰子點數(shù)不大于3，則丙將球傳給乙.初始時，球在甲手中.（1）求三次投擲骰子后球在甲手中的概率；（2）投擲次骰子后，記球在乙手中的概率為，求數(shù)列的通項公式；（3）設，求證：.（1）解：依題意，球在甲手中時，保留在自己手中的概率為，傳給乙的概率為；球在乙手中時，傳給甲的概率為，傳給丙的概率為；球在丙手中時，傳給甲和丙的概率都是.則三次投擲骰子后球在甲手中包括四類的情況，第一類情況：甲→甲→甲→甲，概率為；第二類情況：甲→乙→甲→甲，概率為；第三類情況：甲→乙→丙→甲，概率為；第四類情況：甲→甲→乙→甲，概率為由互斥事件的概率加法公式，三次投擲骰子后球在甲手中的概率為.（2）解：由于投擲次骰子后球不在乙手中的概率為，此時無論球在甲手中還是球在丙手中，均有的概率傳給乙，故有，變形為.又，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.所以.所以數(shù)列的通項公式.（3）證明：由（2）可得，則①當是奇數(shù)時，因是單調增函數(shù)，故，則，于是，，故；②當是偶數(shù)時，因是單調減函數(shù)，故，則，于是，，故.綜上，.19.若集合的非空子集滿足：對任意給定的，若，有，則稱子集是的“好子集”.記為的好子集的個數(shù).例如：的7個非空子集中只有不是好子集，即.記表示集合的元素個數(shù).（1）求的值；（2）若是的好子集，且.證明：中元素可以排成一個等差數(shù)列；（3）求的值.解：（1）的全部非空子集為，，，，，，，，，，，，，，，其中好子集有，，，，，，，，，，，共有11個.所以.（2）將的元素從小到大排列，即，，其中.首先對任意的，若和奇偶性相同，則，所以，而，集合中和中間沒有項，故產生矛盾!即對任意的，和奇偶性相反，則對任意的，和奇偶性必相同，于是由題意，因，則，而且，所以.即對任意的，，即.由的任意性知，是一個等差數(shù)列.（3）記.首先證明中包含1的好子集個數(shù)為.的好子集分為兩類：包含1的和不包含1的.因為中不包含1的好子集每個元素均減去1即為的好子集，的每個好子集每個元素均加上1即為的好子集，所以的不包含1的好子集與的好子集一一對應，其個數(shù)為.故包含1的好子集個數(shù)為.同理可證：中包含1的好子集個數(shù)為，這也恰是中包含1但不包含的好子集個數(shù).于是中包含1且包含的好子集的個數(shù)為故題目所求的為的包含1，2024的所有好子集的個數(shù).顯然，是好子集.若好子集中除了1，2024外至少還有一個元素，則由（2）可知，中元素從小到大排列可以構成一個等差數(shù)列，設為.設公差為，因為，而，所以為的小于的正約數(shù)，故.而每一個都唯一對應一個的包含1，2024的好子集，這樣的子集有5個.因此.廣東省廣州市2024屆普通高中畢業(yè)班沖刺訓練題（一）數(shù)學試題一、選擇題1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，因此，.故選：C.2.若冪函數(shù)在上單調遞增，則實數(shù)的值為（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗因為冪函數(shù)在上增函數(shù)，所以，解得.故選：A.3.下列說法正確的是（）A.數(shù)據，1，2，4，5，6，8，9的下四分位數(shù)是7B.已知隨機變量，若，則C.若隨機變量滿足，則D.若隨機事件，滿足，則〖答案〗D〖解析〗對于A，8個數(shù)據從小到大排列，所以下四分位數(shù)即第25百分位數(shù)，，所以應該是第二個與第三個的平均數(shù)，故A不正確；對于B，因為，則，則，故B不正確；對于C，隨機變量滿足，則，故C不正確；對于D，若，則，獨立，從而，獨立，所以，故D正確.故選：D.4.記為等差數(shù)列前項和，若，則使成立的最大正整數(shù)的值為（）A.17 B.18 C.19 D.20〖答案〗B〖解析〗由知，，故當時均有.故，且當時有.故選：B.5.已知球內切于圓臺（即球與該圓臺的上、下底面以及側面均相切），且圓臺的上、下底面半徑分別為，，且，則圓臺的體積與球的體積之比為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖：為該幾何體的軸截面，其中圓是等腰梯形的內切圓，設圓與梯形的腰相切于點，與上、下底的分別切于點，，設球的半徑為，圓臺上下底面的半徑為，.注意到與均為角平分線，因此，從而，故.設圓臺的體積為，球的體積為，則.故選：B.6.一個盒子里裝有3個黑球，2個白球，它們除顏色外完全相同.現(xiàn)每次從袋中不放回地隨機取出一個球，記事件表示“第次取出的球是黑球”，，則下列結論不正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗依次一個一個地往外取球（不放回）的試驗，基本事件總數(shù)是，它們等可能，對于A，表示第1次、第2次取出的球都是黑球，，A正確；對于В，，，В正確；對于C，有，C錯誤；對于D，有，D正確.故選：C7.已知為銳角，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為為銳角，所以，，又，所以，而，所以，所以，因此.故選：D．8.已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且.對于任意的實數(shù)，均有成立，若，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，令，則，則在上單調遞增.由，為奇函數(shù)，得，則，從而原不等式可化為，即，此即為.由于在上單調遞增，故這等價于，所以不等式的解集為.故選：D.二、選擇題9.已知復數(shù)，，下列結論正確的有（）A. B.若，則C.若，則 D.若，，則為純虛數(shù)〖答案〗AD〖解析〗對于A，設，對應的向量分別為，，則由向量三角不等式得，所以恒成立，故A正確；對于B，取，，但，，故B錯誤；對于C，當，時，，而，故C錯誤；對于D，，故D正確；故選：AD.10.已知，且，則下列結論成立的是（）A. B.C.存在，使得 D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由及，得，所以，A正確.對于B，由及，得，所以.同理可得.又，所以，所以，B正確.對于C，由及，得，所以，得，所以，得，C錯誤.對于D，由，得，所以.因為，，所以，所以，D正確.故選：ABD.11.在棱長為1的正方體中，若點為四邊形內（包括邊界）的動點，為平面內的動點，則下列說法正確的是（）A.若，則平面截正方體所得截面的面積為B.若直線與所成的角為，則點的軌跡為雙曲線C.若，則點的軌跡長度為D.若正方體以直線為軸，旋轉后與其自身重合，則的最小值是120〖答案〗ABD〖解析〗對于A，若，顯然平面截正方體所得截面為，所以，截面面積為，所以A正確；對于B，因為，若與所成的角為，則點在以為旋轉軸的圓錐（無底）的表面上，而平面，所以則點的軌跡為雙曲線，所以B正確；對于C，若，則在以、為焦點的橢球上且，，所以，又因為點為四邊形內，該橢球被平面截得的在四邊形內的部分為半圓，且半徑為，所以點的軌跡長度為，所以C錯誤，對于D，平面，且為正三角形，若正方體繞旋轉后與其自身重合，只需要旋轉后能和自身重合即可，所以D正確.故選：ABD.三、填空題12.若向量在向量上的投影為，且，則______.〖答案〗〖解析〗在上的投影為，，則，即又，平方得，則即．故〖答案〗為：．13.如圖，畫一個正三角形，不畫第三邊；接著畫正方形，對這個正方形，不畫第四邊；接著畫正五邊形，對這個正五邊形，不畫第五邊；接著畫正六邊形，……，這樣無限畫下去，形成一條無窮伸展的等邊折線.設線段與線段所夾的角為，則______，滿足的最小值為______.〖答案〗1712〖解析〗由題意得，，由此類推，，，，，，，，，，…，觀察規(guī)律，三角形會有1個相等的角，并且角的度數(shù)恰好是其內角的度數(shù)，正方形有2個，正五邊形有3個，正六邊形有4個，…，所以正多邊形有個.令，解得，所以的最小值為61，即滿足條件的角至少要在正61邊形中，所以，即的最小值為1712.故〖答案〗為：，1712.14.在中，是邊上一點，，若，且的面積為，則______.〖答案〗〖解析〗作的角平分線,由得,故是的角平分線，根據等面積法可得,由于,所以，又，所以，，所以，所以，因此，故為等邊三角形，所以，，故〖答案〗為：四、解答題15.已知函數(shù).（1）若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）將函數(shù)的圖象的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，再將其向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象.若，函數(shù)有且僅有4個零點，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為，當時，可得，當，即時，取得最小值，因為時，恒成立，所以，即實數(shù)的取值范圍為.（2）由圖象的橫坐標縮小為原來的，可得：，再將其向右平移，可得：，即函數(shù)，因為，所以，在給定區(qū)間的正弦函數(shù)的零點是，再由函數(shù)有且僅有4個零點，則滿足，解得，所以實數(shù)的取值范圍.16.已知四棱錐的底面是正方形，給出下列三個條件：①；②；③平面.（1）從①②③中選取兩個作條件，證明另一個成立；（2）在（1）的條件下，若，當四棱錐體積最大時，求二面角的余弦值.解：（1）①②③，連接，相交于，連接，由于底面是正方形，所以，又，，，平面，故平面，平面，故，由于，，，故，因此，，，平面，故平面，（可得四棱錐是正四棱錐）平面，故，又，，，平面，故平面.②③①連接，相交于，連接，由于底面是正方形，所以，又，，，平面，故平面，平面，故，又平面，平面，故，，，平面，故平面，結合底面是正方形，是正方形的中心，所以四棱錐是正四棱錐，故，①③②連接，相交于，連接，平面，平面，故，由于，，故，又，，，故，故，因此，，，，平面，故平面，故四棱錐是正四棱錐，由于，又，，，平面，故平面，平面，故，（2）無論選擇哪兩個條件，都可以推出四棱錐是正四棱錐，設四棱錐的底邊邊長為，則四，所以，故，由于，當且僅當，即時取等號，故當四棱錐的底邊邊長為時，四棱錐體積的最大值為.（法一）因為底面，由點向作垂線，垂足為，連接，又因為底面，，所以為二面角的平面角，，，，即二面角的余弦值為.（法二）以點為坐標原點建立如圖空間直角坐標系，則，，，所以，，設面的法向量為，則即，不妨取，則，，所以，易得平面的法向量，設二面角的平面角為，即二面角的余弦值為.17.已知，，平面上有動點，且直線的斜率與直線的斜率之積為1.（1）求動點的軌跡的方程.（2）過點A的直線與交于點（在第一象限），過點的直線與交于點（在第三象限），記直線，的斜率分別為，，且.試判斷與的面積之比是否為定值，若為定值，請求出該定值；若不為定值，請說明理由.解：（1）設，，由題意可得：，整理得，故求動點的軌跡方程為.（2）由題意可知：，且，可得，顯然直線MN的斜率不為0，設直線的方程為，，，聯(lián)立方程，消去x得，則，，可得，則，整理可得，則，因為，則，可得，整理可得，所以直線方程為，即直線過定點，則，此時，，所以為定值.18.甲、乙、丙三人進行傳球游戲，每次投擲一枚質地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當球在甲手中時，若骰子點數(shù)大于3，則甲將球傳給乙，若點數(shù)不大于3，則甲將球保留繼續(xù)投擲骰子；當球在乙手中時，若骰子點數(shù)大于4，則乙將球傳給甲，若點數(shù)不大于4，則乙將球傳給丙；當球在丙手中時，若骰子點數(shù)大于3，則丙將球傳給甲，若骰子點數(shù)不大于3，則丙將球傳給乙.初始時，球在甲手中.（1）求三次投擲骰子后球在甲手中的概率；（2）投擲次骰子后，記球在乙手中的概率為，求數(shù)列的通項公式；（3）設，求證：.（1）解：依題意，球在甲手中時，保留在自己手中的概率為，傳給乙的概率為；球在乙手中時，傳給甲的概率為，傳給丙的概率為；球在丙手中時，傳給甲和丙的