2024屆湖南省高三“一起考”大聯(lián)考下學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)試題（四）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2湖南省2024屆高三“一起考”大聯(lián)考下學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)試題（四）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，可得，所以集合，由，可得，所以，所以.故選:C.2.已知復(fù)數(shù)滿足，且是純虛數(shù)，則（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗設(shè)，其中，是實(shí)數(shù)，則由，得，所以，則，又因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，解得，即，所以.故選：B.3.已知，平面向量，，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗易知,故，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)由二次函數(shù)性質(zhì)得，故，故的最小值為，故A正確.故選：A4.已知點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則線段長(zhǎng)度的最小值為（）A. B. C. D.1〖答案〗D〖解析〗圓的圓心，半徑，由題意可得，則，則當(dāng)取得最小值時(shí)，線段長(zhǎng)度的最小，，所以.故選：D.5.趙佶所作《瑞鶴圖》中房殿頂?shù)脑O(shè)計(jì)體現(xiàn)了古人的智慧，如下圖，分別以，為軸、軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，屋頂剖面的曲線與軸、軸均相切，，兩點(diǎn)間的曲線可近似看成函數(shù)的圖象，有導(dǎo)函數(shù)，為了讓雨水最快排出，需要滿足螺旋線方程，其中，為常數(shù)，則（）A.， B.， C.， D.，〖答案〗D〖解析〗觀察圖象知，函數(shù)單調(diào)遞減，即，于是，而函數(shù)圖象與軸相切，則從大于0的方向趨于0時(shí)，趨于負(fù)無窮大，也即趨于0，又，因此，所以，.故選：D6.一種動(dòng)物的后代數(shù)（單位：只）在一定范圍內(nèi)與溫度（單位：℃）有關(guān)，測(cè)得一組數(shù)據(jù)（）可用模型擬合.利用變換得到的線性回歸方程為，若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗經(jīng)過變換得到.由題意，，，所以回歸方程的圖象經(jīng)過，從而，所以，.故選：B7.已知，，，則的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，因?yàn)椋?，所以，且，，?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).故選：C.8.已知八面體由兩個(gè)正四棱錐和組成.若該八面體的外接球半徑為3，且平面平面，則該八面體的體積為（）A.28 B.32 C.36 D.40〖答案〗B〖解析〗如圖，取的中點(diǎn)，作，垂足分別為，，連接，，，，，平面平面，所以是直角，易知為外接球直徑，點(diǎn)在球上，所以為直角，.在中，，在中，，聯(lián)立可得，所以，，，八面體的體積.故選：B.二、選擇題9.若隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，B,因?yàn)椋?，A正確，B錯(cuò)誤對(duì)于C,D由對(duì)稱性有，所以，C錯(cuò)誤，D正確,,故選：AD.10.已知，，則函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗因?yàn)椋?，所?的單調(diào)區(qū)間為，.對(duì)于A，，錯(cuò)誤.對(duì)于B，，正確對(duì)于C，，正確.對(duì)于D，，錯(cuò)誤故選：BC11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋膱D象關(guān)于對(duì)稱，且為奇函數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是，因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱，該點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，故A正確.對(duì)于B，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，將替換為有，則.又的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以，則，故B正確.對(duì)于C，在中將替換為有，由B知，，兩式相減得到，故C錯(cuò)誤.因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，又圖象關(guān)于對(duì)稱，從而，故由C得，故D正確.故選：ABD.三、填空題12.已知橢圓（）的上頂點(diǎn)、下頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正方形，則該橢圓的離心率為______.〖答案〗〖解析〗易知，所以，離心率為.故〖答案〗為：13.在中，，，，則的面積為______.〖答案〗〖解析〗由余弦定理可知，即，解得；所以的面積為.故〖答案〗為：14.已知數(shù)列滿足，在和之間插入個(gè)1，構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列的前20項(xiàng)的和為__________.〖答案〗77〖解析〗在之間插入個(gè)1，構(gòu)成數(shù)列，所以共有個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由于，所以.故〖答案〗為：.四、解答題15.已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足：，且是的等差中項(xiàng)，（1）求的值，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）若，求使成立的正整數(shù)n的最小值．解：（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，依題意有，代入，可得，代入得，，解之得或（舍去）數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2），，①②，由②①得，，由得，，則，易知：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故使成立的正整數(shù)的最小值為．16.如圖，在三棱錐中，，，為中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，，且，求二面角的大?。?）證明：因?yàn)?，且為中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，且為中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，且為中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，，，所以，所以，，所以平?（2）解：因?yàn)?，且為中點(diǎn)，所以，從而，，兩兩垂直，如圖，建立以為原點(diǎn)，以，，分別為，，軸的空間直角坐標(biāo)系，易知，，，，設(shè)，由，即，可求得，所以，，不妨設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，所以，取平面的一個(gè)法向量為，所以，所以二面角的大小為．17.已知雙曲線：（）與雙曲線有相同的漸近線.（1）求雙曲線的方程；（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)，在雙曲線的左支上，滿足，證明：直線過定點(diǎn)；（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)到直線距離的最大值.（1）解：雙曲線與雙曲線有相同的漸近線方程，所以，即，又，從而，所以雙曲線的方程為；（2）證明：顯然直線不與軸平行，可設(shè)其方程為，由，得，設(shè)，，則由韋達(dá)定理可得，，因?yàn)椋?，即，整理得，即，而顯然直線不經(jīng)過點(diǎn)，所以，，故直線經(jīng)過定點(diǎn)，得證.（3）解：設(shè)點(diǎn)在直線上的投影為，由（2）知直線經(jīng)過定點(diǎn)，所以當(dāng)與點(diǎn)重合，即直線直線時(shí)，點(diǎn)到直線距離的最大值，此時(shí)，所以點(diǎn)到直線距離的最大值為.18.已知函數(shù)，，函數(shù)，有兩條不同的公切線（與，均相切的直線），.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）記，在軸上的截距分別為，，證明：.（1）解：設(shè)直線：同時(shí)與，的圖象相切，切點(diǎn)分別為，，由，知，，，且，，則可同時(shí)表示為在的切線方程和在的切線方程，即和，兩條直線相同，故它們具有相同的斜率和截距，所以①，②，結(jié)合①②有（）.設(shè)，則由有.從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，最大值為.可作出的大致圖象如下，它與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）證明：設(shè)，與的切點(diǎn)坐標(biāo)分別為，不妨設(shè)，則由（1）知，且，要證明，即證明.（方法一）因?yàn)?，所以，設(shè)，，則，所以（），只需要證明，即.設(shè)（），則，所以在上單調(diào)遞增，，則成立，從而.故成立，證畢.（方法二）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.要證明即，注意到，均在區(qū)間，故由的單調(diào)性，只要證明，即，整理得.設(shè)（），則.從而在時(shí)單調(diào)遞增，所以，從而成立、故成立，證畢.19.五一小長(zhǎng)假到來，多地迎來旅游高峰期，各大旅游景點(diǎn)都推出了種種新奇活動(dòng)以吸引游客，小明去成都某熊貓基地游玩時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)趣味游戲，游戲規(guī)則為：在一個(gè)足夠長(zhǎng)的直線軌道的中心處有一個(gè)會(huì)走路的機(jī)器人，游客可以設(shè)定機(jī)器人總共行走的步數(shù)，機(jī)器人每一步會(huì)隨機(jī)選擇向前行走或向后行走，且每一步的距離均相等，若機(jī)器人走完這些步數(shù)后，恰好回到初始位置，則視為勝利.（1）若小明設(shè)定機(jī)器人一共行走4步，記機(jī)器人的最終位置與初始位置的距離為步，求的分布列和期望；（2）記為設(shè)定機(jī)器人一共行走步時(shí)游戲勝利的概率，求，并判斷當(dāng)為何值時(shí)，游戲勝利的概率最大；（3）該基地臨時(shí)修改了游戲規(guī)則，要求機(jī)器人走完設(shè)定的步數(shù)后，恰好第一次回到初始位置，才視為勝利.小明發(fā)現(xiàn)，利用現(xiàn)有的知識(shí)無法推斷設(shè)定多少步時(shí)獲得勝利的概率最大，于是求助正在讀大學(xué)的哥哥，哥哥告訴他，“卡特蘭數(shù)”可以幫助他解決上面的疑惑：將個(gè)0和個(gè)1排成一排，若對(duì)任意的，在前個(gè)數(shù)中，0的個(gè)數(shù)都不少于1的個(gè)數(shù)，則滿足條件的排列方式共有種，其中，的結(jié)果被稱為卡特蘭數(shù).若記為設(shè)定機(jī)器人行走步時(shí)恰好第一次回到初始位置的概率，證明：對(duì)（2）中的，有（1）解：依題可知，的可能取值為.，，，所以，的分布列如下：024所以，．（2）解：依題可知，時(shí)，，所以時(shí)勝利概率最大.（3）證明：記事件“機(jī)器人行走步時(shí)恰好第一次回到初始位置”，“機(jī)器人第一步向前行走”，則“機(jī)器人第一步向后行走”.下面我們對(duì)事件進(jìn)行分析.發(fā)生時(shí)，假設(shè)機(jī)器人第步是向前行走，則之前的步機(jī)器人向前走的步數(shù)比向后走少一步，而因?yàn)闄C(jī)器人第一步為向前行走，這說明存在使得機(jī)器人走了步時(shí)回到了初始位置，這與的發(fā)生矛盾，所以假設(shè)不成立.即機(jī)器人第步為向后行走，從而機(jī)器人第2步到第步向前和向后行走步數(shù)均為，且從第2步開始，到第步的這步，任意時(shí)刻機(jī)器人向前走的步數(shù)均不少于向后走的步數(shù)(否則在這過程中機(jī)器人會(huì)回到初始位置).根據(jù)卡特蘭數(shù)，從第2步到第步共有種行走方式.通過上述分析知，，所以．由于，，故等式成立．湖南省2024屆高三“一起考”大聯(lián)考下學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)試題（四）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，可得，所以集合，由，可得，所以，所以.故選:C.2.已知復(fù)數(shù)滿足，且是純虛數(shù)，則（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗設(shè)，其中，是實(shí)數(shù)，則由，得，所以，則，又因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，解得，即，所以.故選：B.3.已知，平面向量，，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗易知,故，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)由二次函數(shù)性質(zhì)得，故，故的最小值為，故A正確.故選：A4.已知點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則線段長(zhǎng)度的最小值為（）A. B. C. D.1〖答案〗D〖解析〗圓的圓心，半徑，由題意可得，則，則當(dāng)取得最小值時(shí)，線段長(zhǎng)度的最小，，所以.故選：D.5.趙佶所作《瑞鶴圖》中房殿頂?shù)脑O(shè)計(jì)體現(xiàn)了古人的智慧，如下圖，分別以，為軸、軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，屋頂剖面的曲線與軸、軸均相切，，兩點(diǎn)間的曲線可近似看成函數(shù)的圖象，有導(dǎo)函數(shù)，為了讓雨水最快排出，需要滿足螺旋線方程，其中，為常數(shù)，則（）A.， B.， C.， D.，〖答案〗D〖解析〗觀察圖象知，函數(shù)單調(diào)遞減，即，于是，而函數(shù)圖象與軸相切，則從大于0的方向趨于0時(shí)，趨于負(fù)無窮大，也即趨于0，又，因此，所以，.故選：D6.一種動(dòng)物的后代數(shù)（單位：只）在一定范圍內(nèi)與溫度（單位：℃）有關(guān)，測(cè)得一組數(shù)據(jù)（）可用模型擬合.利用變換得到的線性回歸方程為，若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗經(jīng)過變換得到.由題意，，，所以回歸方程的圖象經(jīng)過，從而，所以，.故選：B7.已知，，，則的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，因?yàn)椋?，所以，且，，?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).故選：C.8.已知八面體由兩個(gè)正四棱錐和組成.若該八面體的外接球半徑為3，且平面平面，則該八面體的體積為（）A.28 B.32 C.36 D.40〖答案〗B〖解析〗如圖，取的中點(diǎn)，作，垂足分別為，，連接，，，，，平面平面，所以是直角，易知為外接球直徑，點(diǎn)在球上，所以為直角，.在中，，在中，，聯(lián)立可得，所以，，，八面體的體積.故選：B.二、選擇題9.若隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，B,因?yàn)椋?，A正確，B錯(cuò)誤對(duì)于C,D由對(duì)稱性有，所以，C錯(cuò)誤，D正確,,故選：AD.10.已知，，則函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗因?yàn)椋?，所?的單調(diào)區(qū)間為，.對(duì)于A，，錯(cuò)誤.對(duì)于B，，正確對(duì)于C，，正確.對(duì)于D，，錯(cuò)誤故選：BC11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，的圖象關(guān)于對(duì)稱，且為奇函數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是，因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱，該點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，故A正確.對(duì)于B，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，將替換為有，則.又的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以，則，故B正確.對(duì)于C，在中將替換為有，由B知，，兩式相減得到，故C錯(cuò)誤.因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，又圖象關(guān)于對(duì)稱，從而，故由C得，故D正確.故選：ABD.三、填空題12.已知橢圓（）的上頂點(diǎn)、下頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正方形，則該橢圓的離心率為______.〖答案〗〖解析〗易知，所以，離心率為.故〖答案〗為：13.在中，，，，則的面積為______.〖答案〗〖解析〗由余弦定理可知，即，解得；所以的面積為.故〖答案〗為：14.已知數(shù)列滿足，在和之間插入個(gè)1，構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列的前20項(xiàng)的和為__________.〖答案〗77〖解析〗在之間插入個(gè)1，構(gòu)成數(shù)列，所以共有個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由于，所以.故〖答案〗為：.四、解答題15.已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足：，且是的等差中項(xiàng)，（1）求的值，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）若，求使成立的正整數(shù)n的最小值．解：（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，依題意有，代入，可得，代入得，，解之得或（舍去）數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2），，①②，由②①得，，由得，，則，易知：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故使成立的正整數(shù)的最小值為．16.如圖，在三棱錐中，，，為中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，，且，求二面角的大?。?）證明：因?yàn)椋覟橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，且為中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋覟橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，，，所以，所以，，所以平?（2）解：因?yàn)?，且為中點(diǎn)，所以，從而，，兩兩垂直，如圖，建立以為原點(diǎn)，以，，分別為，，軸的空間直角坐標(biāo)系，易知，，，，設(shè)，由，即，可求得，所以，，不妨設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，所以，取平面的一個(gè)法向量為，所以，所以二面角的大小為．17.已知雙曲線：（）與雙曲線有相同的漸近線.（1）求雙曲線的方程；（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)，在雙曲線的左支上，滿足，證明：直線過定點(diǎn)；（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)到直線距離的最大值.（1）解：雙曲線與雙曲線有相同的漸近線方程，所以，即，又，從而，所以雙曲線的方程為；（2）證明：顯然直線不與軸平行，可設(shè)其方程為，由，得，設(shè)，，則由韋達(dá)定理可得，，因?yàn)椋裕?，整理得，即，而顯然直線不經(jīng)過點(diǎn)，所以，，故直線經(jīng)過定點(diǎn)，得證.（3）解：設(shè)點(diǎn)在直線上的投影為，由（2）知直線經(jīng)過定點(diǎn)，所以當(dāng)與點(diǎn)重合，即直線直線時(shí)，點(diǎn)到直線距離的最大值，此時(shí)，所以點(diǎn)到直線距離的最大值為.18.已知函數(shù)，，函數(shù)，有兩條不同的公切線（與，均相切的直線），.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）記，在軸上的截距分別為，，證明：.（1）解：設(shè)直線：同時(shí)與，的圖象相切，切點(diǎn)分別為，，由，知，，，且，，則可同時(shí)表示為在的切線方程和在的切線方程，即和，兩條直線相同，故它們具有相同的斜率和截距，所以①，②，結(jié)合①②有（）.設(shè)，則由有.從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，最大值為.可作出的大致圖象如下，它與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）證明：設(shè)，與的切點(diǎn)坐標(biāo)分別為，不妨設(shè)，則由（1）知，且，要證明，即證明.（方法一）因?yàn)?，所以，設(shè)，，則，所以（），只需要證明，即.設(shè)（），則，所以在上單調(diào)遞增，，則成立，從而.故成立，證畢.（方法二）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.要證明即，注意到，均在區(qū)間，故由的單調(diào)性，只要證明，即，整理得.設(shè)（），則.從而在時(shí)單調(diào)遞增，所以，從而成立、故成立，證畢.19.五一小長(zhǎng)假到來，多地迎來旅游高峰期，各大旅游景點(diǎn)都推出了種種新奇活動(dòng)以吸引游客，小明去成都某熊貓基地游玩時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)趣味游戲，游戲規(guī)則為：在一個(gè)足夠長(zhǎng)的直線軌道的中心處有一個(gè)會(huì)走路的機(jī)器人，游客可以設(shè)定機(jī)器人總共行走的步數(shù)，機(jī)器人每一步會(huì)隨機(jī)