2024屆湖南省懷化市高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3湖南省懷化市2024屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗解不等式，得，解得，因此，而，所以.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，變形得到，故，所以，故選：A.3.已知均為單位向量，若，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，均為單位向量，得，所以，故與的夾角為.故選：B.4.祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.它是中國古代一個(gè)涉及幾何體體積的問題，意思是兩個(gè)同高的幾何體，如在等高處的截面面積恒相等，則體積相等.設(shè)A，B為兩個(gè)同高的幾何體，p：A，B的體積相等，q：A，B在等高處的截面面積恒相等，根據(jù)祖暅原理可知，p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗由，反之不成立．是的必要不充分條件．故選：B.5.已知函數(shù)，則的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，函數(shù)在上遞減，因此函數(shù)在上遞增，BD錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得：在上遞增，，，而，即有，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，C選項(xiàng)不滿足，A選項(xiàng)符合要求.故選：A6.給定整數(shù)，有個(gè)實(shí)數(shù)元素的集合，定義其相伴數(shù)集，如果，則稱集合為一個(gè)元規(guī)范數(shù)集．（注：表示數(shù)集中的最小數(shù)）．對于集合，則（）A.是規(guī)范數(shù)集，不是規(guī)范數(shù)集 B.是規(guī)范數(shù)集，是規(guī)范數(shù)集C.不是規(guī)范數(shù)集，是規(guī)范數(shù)集 D.不是規(guī)范數(shù)集，不是規(guī)范數(shù)集〖答案〗C〖解析〗集合中，，則，即的相伴數(shù)集中的最小數(shù)不是1，因此不是規(guī)范數(shù)集；集合，，，即的相伴數(shù)集中的最小數(shù)是1，因此是規(guī)范數(shù)集.故選：C.7.已知，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由當(dāng)時(shí)，由三角函數(shù)線知識可得，所以，又令，，，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故而，所以.故選：A.8.為等差數(shù)列，公差為，且，,，函數(shù)在上單調(diào)且存在，使得關(guān)于對稱，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵{an}為等差數(shù)列，公差為d，且0＜d＜1，a5（k∈Z），sin2a3+2sina5?cosa5＝sin2a7，∴2sina5cosa5＝sin2a7﹣sin2a3＝2sincos?2cossin2sina5cos2d?2cosa5sin2d，∴sin4d＝1，∴d．∴f（x）cosωx，∵在上單調(diào)∴，∴ω；又存在，所以f（x）在（0，）上存在零點(diǎn)，即，得到ω．故〖答案〗為故選D.二、選擇題9.下列說法正確的是（）A.某校高一年級共有男女學(xué)生500人，現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法抽取容量為50人的樣本，若樣本中男生有30人，則該校高一年級女生人數(shù)是200B.數(shù)據(jù)1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位數(shù)為10C.線性回歸方程中，若線性相關(guān)系數(shù)越大，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)D.根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05〖答案〗ABD〖解析〗對于A，該校高一年級女生人數(shù)是，A正確；對于B，由，得第75百分位數(shù)為，B正確；對于C，線性回歸方程中，線性相關(guān)系數(shù)絕對值越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，C錯(cuò)誤；對于D，由，可判斷與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05，D正確.故選：ABD10.已知函數(shù)的零點(diǎn)為的零點(diǎn)為，則（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗依題意，，，則分別是直線與函數(shù)，圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而函數(shù)與互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對稱，又直線垂直于直線，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則，于是，，，AC正確，B錯(cuò)誤；，即，D錯(cuò)誤.故選：AC11.在三棱錐中，平面，點(diǎn)是三角形內(nèi)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），，則下列結(jié)論正確的是（）A.與平面所成角的大小為B.三棱錐的體積最大值是2C.點(diǎn)的軌跡長度是D.異面直線與所成角的余弦值范圍是〖答案〗ACD〖解析〗如圖，把三棱錐補(bǔ)形成正四棱柱并建立空間直角坐標(biāo)系，對于A，由平面，得是與平面所成的角，，因此，A正確；對于C，由，得點(diǎn)的軌跡是以線段為直徑的球面與相交的一段圓弧及點(diǎn)，令的中點(diǎn)分別為，則平面，，于是，顯然點(diǎn)所在圓弧所對圓心角大小為，長度是，C正確；對于B，由選項(xiàng)C知，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面距離最大，最大距離為1，因此三棱錐的體積，B錯(cuò)誤；對于D，設(shè)，則點(diǎn)，而，于是，又，令異面直線與所成的角大小為，則，令，在上單調(diào)遞增，因此，D正確.故選：ACD三、填空題12.已知，則的單調(diào)增區(qū)間為_______．〖答案〗〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，由，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為.故〖答案〗為：13.根據(jù)國家“鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略”提出的“推動(dòng)城鄉(xiāng)義務(wù)教育一體化發(fā)展，高度重視農(nóng)村義務(wù)教育”，某師范大學(xué)4名畢業(yè)生主動(dòng)申請到某貧困山區(qū)的鄉(xiāng)村小學(xué)工作，若將這4名畢業(yè)生分配到該山區(qū)的3所鄉(xiāng)村小學(xué)，每所學(xué)校至少分配1人，則不同分配方案的種數(shù)為_______．〖答案〗36〖解析〗依題意，有2人去同一所學(xué)校，所以不同分配方案的種數(shù)為.故〖答案〗為：3614.已知雙曲線，過點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)（點(diǎn)與雙曲線的頂點(diǎn)不重合），若，則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為_______．〖答案〗〖解析〗顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，則，由消去y并整理得，，則且，設(shè)，于是，，由，得，則，，而，因此，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.故〖答案〗為：四、解答題15.如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，是邊的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，平面平面，求直線與平面所成角余弦值．（1）證明：在三棱錐中，是等邊三角形，是的中點(diǎn)，則，由，得≌，則，，而平面，因此平面，平面，所以.（2）解：由（1）知，，平面平面，平面平面，平面，則平面，則直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，因此，所以直線與平面所成角的余弦值是.16.在中，角，，所對的邊分別為,,,滿足.（1）求角的大??；（2）若，求的取值范圍.解：（1）由得：，∴∴所以，∴，∵，∴.（2）∵，，∴（當(dāng)且僅時(shí)取等號）又，∴.17.現(xiàn)有甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員爭奪某項(xiàng)比賽的獎(jiǎng)金，規(guī)定兩名運(yùn)動(dòng)員誰先贏局，誰便贏得全部獎(jiǎng)金a元.假設(shè)每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每場比賽相互獨(dú)立.在甲贏了局，乙贏了局時(shí)，比賽意外終止，獎(jiǎng)金如何分配才合理？評委給出的方案是：甲、乙按照比賽再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比分配獎(jiǎng)金.（1）若，求；（2）記事件A為“比賽繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部獎(jiǎng)金”，試求當(dāng)時(shí)，比賽繼續(xù)進(jìn)行下去甲贏得全部獎(jiǎng)金概率，并判斷當(dāng)時(shí)，事件A是否為小概率事件，并說明理由.規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.06，則稱該隨機(jī)事件為小概率事件.解：（1）設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行局甲贏得全部獎(jiǎng)金，則最后一局必然是甲贏，依題意，最多再進(jìn)行2局，當(dāng)時(shí)，甲以贏，，當(dāng)時(shí)，甲以贏，，因此甲贏的概率為，則乙贏的概率為，所以.（2）設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行局乙贏得全部獎(jiǎng)金，則最后一局必然是乙贏，當(dāng)時(shí)，乙以贏，，當(dāng)時(shí)，乙以贏，，于是得乙贏得全部獎(jiǎng)金的概率，甲贏得全部獎(jiǎng)金的概率，，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，因此乙贏的概率最大值為，所以事件A是小概率事件.18.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，且.（1）求橢圓的離心率；（2）橢圓的上頂點(diǎn)為，不過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，若，試問直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過定點(diǎn)，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.解：（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，根據(jù)橢圓的對稱性可知，四邊形為平行四邊形.又，所以而，所以，在四邊形中，，所以，在中，根據(jù)余弦定理得即，化簡得.所以橢圓的離心率；（2）因?yàn)闄E圓的上頂點(diǎn)為，所以，所以，又由（1）知，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.在中，，，所以，從而，又為線段的中點(diǎn)，即，所以，因此，從而，根據(jù)題意可知直線的斜率一定存在，設(shè)它的方程為，，，聯(lián)立消去得①，，根據(jù)韋達(dá)定理可得，，所以所以，整理得，解得或.又直線不經(jīng)過點(diǎn)，所以舍去，于是直線的方程為，恒過定點(diǎn)，該點(diǎn)在橢圓內(nèi)，滿足關(guān)于的方程①有兩個(gè)不相等的解，所以直線恒過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.19.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求和的值，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：；（3）設(shè)，求的值（其中表示不超過的最大整數(shù)）.（1）解：由題意知當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，有.兩式相減，得：，又因?yàn)椋?故，，兩式相減，得.因?yàn)?，所?又因?yàn)?，，所以對，有，故等差?shù)列，因此.（2）證明：設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，則，從而.令，得，即，分別取，則，……，，累加得.（3）解：由（2）知.由知.故，，，，所以.又由知，故，，，，所以.故，即.湖南省懷化市2024屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗解不等式，得，解得，因此，而，所以.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，變形得到，故，所以，故選：A.3.已知均為單位向量，若，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，均為單位向量，得，所以，故與的夾角為.故選：B.4.祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.它是中國古代一個(gè)涉及幾何體體積的問題，意思是兩個(gè)同高的幾何體，如在等高處的截面面積恒相等，則體積相等.設(shè)A，B為兩個(gè)同高的幾何體，p：A，B的體積相等，q：A，B在等高處的截面面積恒相等，根據(jù)祖暅原理可知，p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗由，反之不成立．是的必要不充分條件．故選：B.5.已知函數(shù)，則的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，函數(shù)在上遞減，因此函數(shù)在上遞增，BD錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得：在上遞增，，，而，即有，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，C選項(xiàng)不滿足，A選項(xiàng)符合要求.故選：A6.給定整數(shù)，有個(gè)實(shí)數(shù)元素的集合，定義其相伴數(shù)集，如果，則稱集合為一個(gè)元規(guī)范數(shù)集．（注：表示數(shù)集中的最小數(shù)）．對于集合，則（）A.是規(guī)范數(shù)集，不是規(guī)范數(shù)集 B.是規(guī)范數(shù)集，是規(guī)范數(shù)集C.不是規(guī)范數(shù)集，是規(guī)范數(shù)集 D.不是規(guī)范數(shù)集，不是規(guī)范數(shù)集〖答案〗C〖解析〗集合中，，則，即的相伴數(shù)集中的最小數(shù)不是1，因此不是規(guī)范數(shù)集；集合，，，即的相伴數(shù)集中的最小數(shù)是1，因此是規(guī)范數(shù)集.故選：C.7.已知，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由當(dāng)時(shí)，由三角函數(shù)線知識可得，所以，又令，，，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故而，所以.故選：A.8.為等差數(shù)列，公差為，且，,，函數(shù)在上單調(diào)且存在，使得關(guān)于對稱，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵{an}為等差數(shù)列，公差為d，且0＜d＜1，a5（k∈Z），sin2a3+2sina5?cosa5＝sin2a7，∴2sina5cosa5＝sin2a7﹣sin2a3＝2sincos?2cossin2sina5cos2d?2cosa5sin2d，∴sin4d＝1，∴d．∴f（x）cosωx，∵在上單調(diào)∴，∴ω；又存在，所以f（x）在（0，）上存在零點(diǎn)，即，得到ω．故〖答案〗為故選D.二、選擇題9.下列說法正確的是（）A.某校高一年級共有男女學(xué)生500人，現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法抽取容量為50人的樣本，若樣本中男生有30人，則該校高一年級女生人數(shù)是200B.數(shù)據(jù)1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位數(shù)為10C.線性回歸方程中，若線性相關(guān)系數(shù)越大，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)D.根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05〖答案〗ABD〖解析〗對于A，該校高一年級女生人數(shù)是，A正確；對于B，由，得第75百分位數(shù)為，B正確；對于C，線性回歸方程中，線性相關(guān)系數(shù)絕對值越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，C錯(cuò)誤；對于D，由，可判斷與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05，D正確.故選：ABD10.已知函數(shù)的零點(diǎn)為的零點(diǎn)為，則（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗依題意，，，則分別是直線與函數(shù)，圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而函數(shù)與互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對稱，又直線垂直于直線，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則，于是，，，AC正確，B錯(cuò)誤；，即，D錯(cuò)誤.故選：AC11.在三棱錐中，平面，點(diǎn)是三角形內(nèi)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），，則下列結(jié)論正確的是（）A.與平面所成角的大小為B.三棱錐的體積最大值是2C.點(diǎn)的軌跡長度是D.異面直線與所成角的余弦值范圍是〖答案〗ACD〖解析〗如圖，把三棱錐補(bǔ)形成正四棱柱并建立空間直角坐標(biāo)系，對于A，由平面，得是與平面所成的角，，因此，A正確；對于C，由，得點(diǎn)的軌跡是以線段為直徑的球面與相交的一段圓弧及點(diǎn)，令的中點(diǎn)分別為，則平面，，于是，顯然點(diǎn)所在圓弧所對圓心角大小為，長度是，C正確；對于B，由選項(xiàng)C知，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面距離最大，最大距離為1，因此三棱錐的體積，B錯(cuò)誤；對于D，設(shè)，則點(diǎn)，而，于是，又，令異面直線與所成的角大小為，則，令，在上單調(diào)遞增，因此，D正確.故選：ACD三、填空題12.已知，則的單調(diào)增區(qū)間為_______．〖答案〗〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，由，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為.故〖答案〗為：13.根據(jù)國家“鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略”提出的“推動(dòng)城鄉(xiāng)義務(wù)教育一體化發(fā)展，高度重視農(nóng)村義務(wù)教育”，某師范大學(xué)4名畢業(yè)生主動(dòng)申請到某貧困山區(qū)的鄉(xiāng)村小學(xué)工作，若將這4名畢業(yè)生分配到該山區(qū)的3所鄉(xiāng)村小學(xué)，每所學(xué)校至少分配1人，則不同分配方案的種數(shù)為_______．〖答案〗36〖解析〗依題意，有2人去同一所學(xué)校，所以不同分配方案的種數(shù)為.故〖答案〗為：3614.已知雙曲線，過點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)（點(diǎn)與雙曲線的頂點(diǎn)不重合），若，則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為_______．〖答案〗〖解析〗顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，則，由消去y并整理得，，則且，設(shè)，于是，，由，得，則，，而，因此，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.故〖答案〗為：四、解答題15.如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，是邊的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，平面平面，求直線與平面所成角余弦值．（1）證明：在三棱錐中，是等邊三角形，是的中點(diǎn)，則，由，得≌，則，，而平面，因此平面，平面，所以.（2）解：由（1）知，，平面平面，平面平面，平面，則平面，則直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，因此，所以直線與平面所成角的余弦值是.16.在中，角，，所對的邊分別為,,,滿足.（1）求角的大?。唬?）若，求的取值范圍.解：（1）由得：，∴∴所以，∴，∵，∴.（2）∵，，∴（當(dāng)且僅時(shí)取等號）又，∴.17.現(xiàn)有甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員爭奪某項(xiàng)比賽的獎(jiǎng)金，規(guī)定兩名運(yùn)動(dòng)員誰先贏局，誰便贏得全部獎(jiǎng)金a元.假設(shè)每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每場比賽相互獨(dú)立.在甲贏了局，乙贏了局時(shí)，比賽意外終止，獎(jiǎng)金如何分配才合理？評委給出的方案是：甲、乙按照比賽再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比分配獎(jiǎng)金.（1）若，求；（2）記事件A為“比賽繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部獎(jiǎng)金”，試求當(dāng)時(shí)，比賽繼續(xù)進(jìn)行下去甲贏得全部獎(jiǎng)金概率，并判斷當(dāng)時(shí)，事件A是否為小概率事件，并說明理由.規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.06，則稱該隨機(jī)事件為小概率事件.解：（1）設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行局甲贏得全部獎(jiǎng)金，則最后一局必然是甲贏，依題意，最多再進(jìn)行2局，當(dāng)時(shí)，甲以贏，