專題01銳角三角函數(shù) （3個(gè)知識(shí)點(diǎn)5種題型1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)1種中考考法）（解析版）-初中數(shù)學(xué)北師大版9年級(jí)上冊(cè)

專題01銳角三角函數(shù)（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)5種題型1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)1種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.正切的概念（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)2.坡度與坡角（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)3.正弦、余弦（重點(diǎn)、難點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1.計(jì)算銳角的三角函數(shù)值題型2.構(gòu)造直角三角形求三角函數(shù)值題型3.三角函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題題型4.三角函數(shù)與旋轉(zhuǎn)問(wèn)題題型5.根據(jù)三角函數(shù)求邊長(zhǎng)【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)：沒(méi)有正確掌握三角函數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)化【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法.銳角三角函數(shù)定義【方法五】成果評(píng)定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握坡度的概念以及一個(gè)銳角的正弦、余弦及正切的概念。能夠利用三角函數(shù)來(lái)算計(jì)三角形的邊長(zhǎng)。重點(diǎn)：銳角的正弦、余弦、正切的概念。難點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用?！颈端賹W(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.正切的概念（重點(diǎn)）正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．即tanA＝∠A的對(duì)邊除以∠A的鄰邊＝．【例1】（2023秋·四川成都·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，垂直于邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，垂直于邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)當(dāng)，菱形的面積為時(shí)，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)角平分線的判定可得是的角平分線，從而得到，再由平行四邊形的性質(zhì)可得，從而得到，即，進(jìn)而得到，即可得證；（2）設(shè)，則，則，根據(jù)勾股定理求出，再由菱形的面積計(jì)算出，分別計(jì)算出的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）證明：，，，是的角平分線，，四邊形是平行四邊形，，，，，四邊形是菱形；（2）解：，設(shè)，則，，四邊形是菱形，，，，，，，菱形的面積為，，解得：或（不符合題意，舍去），，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式】．（2022秋?池州期末）如圖，△ABC在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的方格紙中，△ABC的頂點(diǎn)在小正方形頂點(diǎn)位置，那么∠ABC的正切值為．【分析】根據(jù)題意和圖形，可以求得AC、BC和AB的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷△ACB的形狀，然后即可求得∠ABC的正弦值．【解答】解：由圖可得，AC＝＝，AB＝＝，BC＝＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∴tan∠ABC＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理、解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．知識(shí)點(diǎn)2.坡度與坡角（重點(diǎn)）（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個(gè)比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫(xiě)成i＝1：m的形式．（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為：i＝h/l＝tanα．（3）在解決坡度的有關(guān)問(wèn)題中，一般通過(guò)作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實(shí)際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實(shí)質(zhì)也是解直角三角形問(wèn)題．應(yīng)用領(lǐng)域：①測(cè)量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等．【例2】．（2023春?蕭縣月考）如圖，傳送帶和地面所成斜坡的坡度i＝1：3，如果它把某物體從地面送到離地面10米高的地方，那么該物體所經(jīng)過(guò)的路程是米．【分析】根據(jù)坡度的概念求出水平距離，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵傳送帶與地面所成斜坡的坡度i＝1：3，它把物體從地面送到離地面10米高，∴水平距離為：3×10＝30（米），∴物體所經(jīng)過(guò)的路程為：＝10（米），故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度的概念是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)3.正弦、余弦（重點(diǎn)、難點(diǎn)）在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）正弦：我們把銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．即sinA＝∠A的對(duì)邊除以斜邊＝．（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．即cosA＝∠A的鄰邊除以斜邊＝．【例3】（2023秋·上海普陀·九年級(jí)?？计谥校┰谥校?，那么的值是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出的值即可．【詳解】解：∵，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，正確記憶正弦值與各邊之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式】（2023秋·河北石家莊·九年級(jí)石家莊市第二十七中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，，，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理可求出的值，再根據(jù)余弦的計(jì)算方法求解．【詳解】解：在中，，，，∴，∴，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，余弦值的計(jì)算方法，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【方法二】實(shí)例探索法題型1.計(jì)算銳角的三角函數(shù)值1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市光華中學(xué)校校考期中）在中，若，，，則．【答案】/【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理“如果三角形的三邊長(zhǎng)，，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形”，判定是直角三角形，再根據(jù)直角三角形中余弦的定義“角的鄰邊比斜邊”，計(jì)算即可．【詳解】解：∵在中，若，，，∴，∴是直角三角形，∴是斜邊，所對(duì)的角是直角，即是直角，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理、求角的余弦值，掌握勾股定理的逆定理的運(yùn)用和余弦的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·上海青浦·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，，，，則的余弦值為.【答案】/【分析】先利用勾股定理求得斜邊的長(zhǎng)，再根據(jù)余弦函數(shù)的定義求解可得．【詳解】解：如圖所示，

在中，∵，，∴，則．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理及余弦函數(shù)的定義．3．（2023秋·重慶九龍坡·九年級(jí)重慶市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，于點(diǎn)D，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理求出，通過(guò)證明，即可得出．【詳解】解：∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，求余弦，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的內(nèi)容，以及等角的三角函數(shù)值相等．題型2.構(gòu)造直角三角形求三角函數(shù)值4．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考三模）在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則的值為．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為a，首先根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)正弦的概念求解即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，如圖所示，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為a，則，∵，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題在網(wǎng)格中考查求銳角的正弦值，掌握正弦的定義以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）如圖，中，，是邊上的中線，分別過(guò)點(diǎn)C，D作的平行線交于點(diǎn)E，且交于點(diǎn)O，連接．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可；（2）過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，設(shè)，則，由面積相等求出，即可求解．【詳解】（1）證明：，∴四邊形是平行四邊形．∴，又∵是邊上的中線，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，是斜邊上的中線，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，如圖，

由（1）可知，，設(shè)，則，在中，，，∴．，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．題型3.三角函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題6．（2023春?宣城月考）如圖，有一斜坡AB，坡頂B離地面的高度BC為30m，若坡比i＝1：2.5，則此斜坡的水平距離AC為（）A．75m B．50m C．45m D．30m【分析】根據(jù)坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比列式計(jì)算即可．【解答】解：∵斜坡AB的坡度i＝1：2.5，∴BC：AC＝1：2.5，∵BC＝30m，∴AC＝30×2.5＝75（m），故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?金安區(qū)校級(jí)期末）河堤橫斷面如圖所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比為1：3，則AB的長(zhǎng)為（）A．12米 B．米 C．米 D．米【分析】根據(jù)題意可以求得AC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可求得AB的長(zhǎng)，本題得以解決．【解答】解：∵BC＝6米，迎水坡AB的坡比為1：3，∴，∴AC＝18米，∴AB＝＝＝6（米），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用坡度和勾股定理解答．題型4.三角函數(shù)與旋轉(zhuǎn)問(wèn)題8．（2023秋·上海黃浦·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，是的角平分線，．將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，如果點(diǎn)落在射線上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，那么的正切值為．

【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)C落在射線上的點(diǎn)處，設(shè)，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，即可求解．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)C落在射線上的點(diǎn)處，如圖，

∵，，.設(shè)，，則，∵是的角平分線，∴，∵將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，∴，，，∴，∴，∴，∴，∵由①②得：，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等；計(jì)算出的長(zhǎng)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．9．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）在平行四邊形中（頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?，為銳角，且．(1)如圖1，求邊上的高的長(zhǎng)．(2)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得點(diǎn)．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在射線上時(shí)，求的長(zhǎng)．②當(dāng)是直角三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)8(2)①；②或【分析】（1）利用正弦的定義即可求得答案；（2）①先證明，再證明，最后利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程即可；②分三種情況討論完成，第一種：為直角頂點(diǎn)；第二種：為直角頂點(diǎn)；第三種，為直角頂點(diǎn)，但此種情況不成立，故最終有兩個(gè)答案．【詳解】（1）解：在中，，在中，；（2）①如圖1，作于點(diǎn)，由（1）得，，則，作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，

∴，∵，∴，由旋轉(zhuǎn)知，∴，設(shè)，則．∵，∴，∴，∴，即，∴，∴．②由旋轉(zhuǎn)得，，又因?yàn)?，所以．情況一：當(dāng)以為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖2．

∵，∴落在線段延長(zhǎng)線上．∵，∴，由（1）知，，∴．情況二：當(dāng)以為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖3．

設(shè)與射線的交點(diǎn)為，作于點(diǎn)．∵，∴，∵，∴，∴．又∵，∴，∴．設(shè)，則，∴∵，∴，∴，∴，∴，化簡(jiǎn)得，解得，∴．情況三：當(dāng)以為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上，不符合題意．綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，正弦的定義，全等的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，理解記憶相關(guān)定義，判定，性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·廣東深圳·深圳市福田區(qū)上步中學(xué)?？既＃﹩?wèn)題背景：小李在探究幾何圖形的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)了一組非常神奇的性質(zhì)：如圖1，等邊三角形中，連接可以得到，好學(xué)的他發(fā)問(wèn)取的中點(diǎn)，得到的是特殊三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；遷移應(yīng)用：如圖2，在正方形中，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，構(gòu)造正方形繞O點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，，連接，求的值；聯(lián)系拓展：如圖3，等腰，中，，當(dāng)繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中取的中點(diǎn)M，N，連接，若，且時(shí)，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度．

【答案】是等邊三角形，理由見(jiàn)解析；；【分析】問(wèn)題背景：證明，則，由，可得，證明，則，由，可證是等邊三角形；遷移應(yīng)用：如圖2，連接，由正方形的性質(zhì)，勾股定理得，，則，，證明，，則；聯(lián)系拓展：如圖3中，連接并延長(zhǎng)到K，使得，連接，作交的延長(zhǎng)線于J．由，證明四邊形是平行四邊形，則，，，，，由勾股定理得，，則，證明，則，，證明，則，，，作于，由，，可得，M與重合，則是等腰直角三角形，根據(jù)求解即可．【詳解】問(wèn)題背景：解：是等邊三角形．理由如下：∵都是等邊三角形，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴是等邊三角形；遷移應(yīng)用：如圖2，連接．

∵四邊形，是正方形，∴，，∵，∴，由勾股定理得，，∴，∴∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．聯(lián)系拓展：如圖3中，連接并延長(zhǎng)到K，使得，連接，作交的延長(zhǎng)線于J．

∵，，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，∴，∴，，，由勾股定理得，，∴，∵都是等腰直角三角形，∴，∴，，即，∴，∴，，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，，∴，即，作于，∴，∵，∴，∴M與重合，∴是等腰直角三角形，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形，余弦等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．題型5.根據(jù)三角函數(shù)求邊長(zhǎng)11．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？计谥校┰谥?，，，，則的長(zhǎng)為（

）A．10 B．24 C．5 D．12【答案】A【分析】根據(jù)余弦的定義可得，將代入即可求得的長(zhǎng)，再利用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，在中，

，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了已知余弦求邊長(zhǎng)，掌握余弦的定義是解題的關(guān)鍵，在中，，也考查了勾股定理．12．（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)D，E分別是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)F，，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B．4 C． D．8【答案】C【分析】由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可求得，再由余弦定義即可求得結(jié)果．【詳解】解：∵D、E分別是邊的中點(diǎn)，，∴，，∴，∴，在中，，∴；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，余弦函數(shù)，掌握這些知識(shí)是關(guān)鍵．13．（2023·江蘇無(wú)錫·無(wú)錫市民辦輔仁中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在中，，，，則．【答案】10【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的意義求解即可．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∴，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解決問(wèn)題的前提．14．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為8的正方形，是邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，．點(diǎn)在該正方形的邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．

【答案】或【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，在中，，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到．由，點(diǎn)F在該正方形的邊上可知點(diǎn)F在邊和上，①當(dāng)點(diǎn)F在邊上時(shí)，如圖，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，求得，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到；②當(dāng)點(diǎn)F在邊上時(shí)，如圖，同理可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，求得，過(guò)點(diǎn)H作于G，得到，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到．【詳解】解：∵四邊形是邊長(zhǎng)為8的正方形，∴，，在中，，．由，點(diǎn)F在該正方形的邊上可知點(diǎn)F在邊和上，當(dāng)點(diǎn)F在邊上時(shí)，如圖，

在和中，，∴，，，，，，，，；當(dāng)點(diǎn)F在邊上時(shí)，如圖，

同理可證，，，，∵四邊形是正方形，，，，，，是等腰三角形，過(guò)點(diǎn)H作于G，則，在中，，；綜上所述：的長(zhǎng)為：或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．15．（2023秋·上海閔行·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，，，如果，那么．【答案】【分析】根據(jù)余弦定義求得，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：在中，，，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查余弦定義、勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)是解答的關(guān)鍵．16．（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在中，D是的中點(diǎn)，平分，且，，，則．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得：，利用平行線的性質(zhì)及三角函數(shù)正切值得，進(jìn)而得，在中，根據(jù)，得，利用勾股定理得，，利用相似三角形的判定及性質(zhì)得，再利用相似三角形的判定及性質(zhì)可得，，進(jìn)而得，再利用勾股定理即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)G，如圖：

平分，，，，，，D是中點(diǎn)，，，，，，，，在中，，，，，根據(jù)勾股定理，得，，，，即：，，，，，，，，在中，根據(jù)勾股定理得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理及銳角三角形函數(shù)正切值，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．17．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，．以點(diǎn)A為圓心、長(zhǎng)為半徑作弧，交邊于點(diǎn)，取線段的中點(diǎn)、邊的中點(diǎn)，連接．若，則線段的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】連接，，根據(jù)作圖可知，，根據(jù)點(diǎn)E為的中點(diǎn)，得出，根據(jù)，求出，根據(jù)勾股定理得出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出．【詳解】解：連接，，如圖所示：

∵，，∴，，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，∴，根據(jù)作圖可知，，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)．18．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，．求的大小和的長(zhǎng)．【答案】，【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理直接求出，利用三角函數(shù)求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：；∵，∴；答：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練特殊角的三角函數(shù)值．19．（2023春·浙江溫州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，O是與的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別與，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，F(xiàn)．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）證明，得出，根據(jù)即可證明結(jié)論；（2）先證明是菱形，得出，根據(jù)三角函數(shù)定義得出，得出，即，得出，求出，，根據(jù)勾股定理得出，，求出，得出，即可求出結(jié)果．【詳解】（1）證明：在矩形中，，，∴，，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵，∴是菱形，∴，∵在矩形中，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．20．（2023秋·山東聊城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在矩形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．

(1)求證；(2)求證：(3)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及已知條件可得，，即可得證；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，根據(jù)，即可得證；（3）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及已知條件，得出∠CAD=∠ABE，進(jìn)而根據(jù)余弦的定義，即可求解．【詳解】（1）證明：，，又，；（2），：：，又，；（3）解四邊形是矩形，，，，，，在中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，余弦的定義，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)：沒(méi)有正確掌握三角函數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)化21．（2022秋?懷寧縣月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則cosB的值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系即可以求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，，∴．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了互為余角的兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，掌握一個(gè)角的正弦等于它余角的余弦是關(guān)鍵．22．（2022秋?池州期末）在Rt△ACB中，∠C＝90°，，則sinB的值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，由于tanA＝＝2，可設(shè)a＝2k，b＝k，由勾股定理得，c＝＝5k，∴sinB＝＝，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查互余兩角三角函數(shù)之間的關(guān)系，掌握銳角三角函數(shù)的定義是正確解答的關(guān)鍵．23．（2023春?金安區(qū)校級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，則sinB＝．【分析】根據(jù)勾股定理，可得AB與BC的關(guān)系，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可得答案．【解答】解：∵∠C＝90°，tanA＝2，∴BC＝2AC，∴，∴，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，正確利用勾股定理求出邊長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法.銳角三角函數(shù)定義1．（2022?荊州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，OC：BC＝1：2，連接AC，過(guò)點(diǎn)O作OP∥AB交AC的延長(zhǎng)線于P．若P（1，1），則tan∠OAP的值是（）A． B． C． D．3【分析】根據(jù)OP∥AB，證明出△OCP∽△BCA，得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，根據(jù)∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2，根據(jù)P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，根據(jù)正切的定義即可得到tan∠OAP的值．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，∵OP∥AB，∴△OCP∽△BCA，∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，∵∠AOC＝∠AQP＝90°，∴CO∥PQ，∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，∵P（1，1），∴PQ＝OQ＝1，∴AO＝2，∴tan∠OAP＝＝＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2是解題的關(guān)鍵．2．（2022?濱州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，則sinA的值為．【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，進(jìn)而利用勾股定理得出AB的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系，即可得出答案．【解答】解：如圖所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝13，∴sinA＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了銳角三角三角函數(shù)關(guān)系以及勾股定理，得出AB的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．3．（2022?揚(yáng)州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，若b2＝ac，則sinA的值為．【分析】根據(jù)勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式兩邊同時(shí)除以ac得：＝+1，令＝x，則有＝x+1，∴x2+x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），當(dāng)x＝時(shí)，x≠0，∴x＝是原分式方程的解，∴sinA＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了銳角三角函數(shù)，熟練掌握勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．4．（2022?湖州）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的長(zhǎng)和sinA的值．【分析】根據(jù)勾股定理求AC的長(zhǎng)，根據(jù)正弦的定義求sinA的值．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，sinA＝＝．答：AC的長(zhǎng)為4，sinA的值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關(guān)鍵．【方法五】成果評(píng)定法一、單選題1．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)高新一中校考期中）如圖，在中，，，垂足為點(diǎn)D，若，，那么（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】勾股定理求出，同角的余角相等，得到，即可．【詳解】解：∵，，，，∴，，∴，∴；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查求角的余弦值，熟練掌握余弦的定義，是解題的關(guān)鍵．注意利用角的轉(zhuǎn)化．2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，，若，，則的值為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)正切的定義計(jì)算，得到答案．【詳解】解：由勾股定理得，，則，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理的應(yīng)用，掌握銳角的對(duì)邊與鄰邊的比叫做的正切是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)校聯(lián)考期中）在中，已知，，，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判定三角形為直角三角形，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，分別求得、、、的值，即可判斷．【詳解】解：在中，∵，，，∴三角形為直角三角形，其中是直角．∴，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，正弦等于對(duì)邊比斜邊；余弦等于鄰邊比斜邊；正切等于對(duì)邊比鄰邊，利用邊長(zhǎng)判斷三角形是直角三角形和直角頂點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)校考階段練習(xí)）在中，，那么的值是（）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】利用勾股定理可以先求出的長(zhǎng)，然后利用解題即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，解決此類題時(shí)，要注意前提條件是在直角三角形中，此外還需熟記三角函數(shù)的定義．5．（2023秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)邢臺(tái)市第七中學(xué)?？计谥校┮阎?，則的值是（）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】分子分母同時(shí)除以化簡(jiǎn)求值即可得到答案；【詳解】解：分子分母同時(shí)除以得，，∴，解得：，故選：B；【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)運(yùn)算問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：．6．（2023秋·山東泰安·九年級(jí)校考階段練習(xí)）中，的對(duì)邊分別為．已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀，再利用三角形的邊角間關(guān)系得結(jié)論．【詳解】解：在中，，，，是直角三角形，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系、勾股定理及逆定理是解決本題的關(guān)鍵．7．（2023秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶一中?？茧A段練習(xí)）如圖，和均為等腰直角三角形，，，，點(diǎn)B在線段上，已知，，則的值為（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根據(jù)題意，先證明，得到，，進(jìn)而得到，由，利用勾股定理得到，根據(jù)，得到，在中，根據(jù)即可求解．【詳解】解：和均為等腰直角三角形，，，，，，在和中，，，，，，，，，，在中，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理及求正切值，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形為正方形，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)在邊上，且．若，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】證明，設(shè)，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，進(jìn)而根據(jù)正切的定義，，即可求解．【詳解】解：∵四邊形為正方形，．∴，，∴，∴∵，，則，設(shè)，則，∴解得：或∵，∴，∴,故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了求正切，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·山東聊城·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在內(nèi)有邊長(zhǎng)分別為、、的三個(gè)正方形，則、、滿足的關(guān)系式是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，由正方形的性質(zhì)可得，，，則，由，，可得，由題意知，，，，，，，即，整理求解即可．【詳解】解：如圖，

由正方形的性質(zhì)可得，，，∴，∵，，∴，由題意知，，，，，∴，，∴，整理得，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，正切．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．10．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖1，在中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿折線方向勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A停止，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，線段的長(zhǎng)度為y，圖2是表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象，其中點(diǎn)E為曲線的最低點(diǎn)，下列結(jié)論①，②，③的面積為，④中邊上的高為4，其中正確的個(gè)數(shù)為（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)圖象得到，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P與Q重合時(shí)，在圖2中F點(diǎn)表示當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)Q，此時(shí)當(dāng)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，最小，，勾股定理求出，即可得到的面積及邊上的高，再根據(jù)勾股定理求出，由此判斷各選項(xiàng)【詳解】解：由圖2可知，當(dāng)時(shí)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，線段的長(zhǎng)度為8，即；如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P與Q重合時(shí)，在圖2中F點(diǎn)表示當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)Q，此時(shí)當(dāng)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，最小，

∴，在中，∴∵，∴，故③正確，④錯(cuò)誤；∵，∴，故①正確；∵，∴，∴，∴，故②正確；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，勾股定理，三角函數(shù)，從函數(shù)圖象獲取信息是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2023秋·山東聊城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，，，則的值為．【答案】【分析】勾股定理計(jì)算出，根據(jù)直角三角形中，角的正弦是角的對(duì)邊比斜邊，推出，得出的值即可．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦的定義、勾股定理，明白“直角三角形中，角的正弦是角的對(duì)邊比斜邊”是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)、、、都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，、相交于點(diǎn)，則t的值是．

【答案】【分析】取格點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，，可得，證明，根據(jù)正切的定義，即可求解．【詳解】解：如圖所示，取格點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，

∵∴四邊形是平行四邊形，∴∴，∵∴四邊形是平行四邊形，∴，∵∴∴∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格與勾股定理，求正切，熟練掌握三角函數(shù)的定義將角度轉(zhuǎn)化到直角三角形中是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·江西九江·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)E在邊上，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著的路線向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接，若是以為腰的等腰三角形，則的長(zhǎng)可以是．

【答案】13或或【分析】根據(jù)題意進(jìn)行分類討論：①當(dāng)點(diǎn)E在上，此時(shí)，，②當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，此時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，此時(shí)；根據(jù)菱形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角的性質(zhì)，分別進(jìn)行解答即可．【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)E在上，此時(shí)，，

②當(dāng)點(diǎn)E在上，此時(shí)，，

過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，則，，∵，∴，∴，∴；

③當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，此時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，

∵，，∴，，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：（舍），∴，∴，∴

綜上：的長(zhǎng)可以是13或或．故答案為：13或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握菱形四邊相等，正確畫(huà)出輔助線，進(jìn)行分類討論．14．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在中，，，，則的值為．【答案】【分析】直接利用正切的定義求解．【詳解】解：在中，,∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：熟練掌握正弦、余弦和正切的定義是答題的關(guān)鍵．15．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)G為的重心，若，，那么的長(zhǎng)等于．

【答案】【分析】點(diǎn)G為的重心，就是三角形的三條中線交點(diǎn)，因此延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，利用中線的定義求出，利用正切的定義求出，最后利用勾股定理求解即可．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，

∵點(diǎn)G為的重心，∴是中線，∴，∵∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了重心概念、正切的定義以及勾股定理等知識(shí)，根據(jù)重心概念添加合適輔助線，構(gòu)造直角三角形求解是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋·江蘇常州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，點(diǎn)D在上，連接，將沿翻折，使得點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)E處，則．

【答案】/0.5【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，，設(shè)，用勾股定理解，再利用正切函數(shù)的定義求解．【詳解】解：中，，，由折疊的性質(zhì)可得，，，．設(shè)，則，在中，，，解得，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是掌握折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．17．（2023·廣東深圳·深圳市桂園中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)（不含B、C兩個(gè)端點(diǎn)），將沿折疊得到，當(dāng)所在的直線與的一邊垂直時(shí)，點(diǎn)D到邊的距離是．

【答案】或【分析】分兩種情況：當(dāng)時(shí)，由折疊得：，可推出，可求得，再運(yùn)用三角函數(shù)定義即可求得；當(dāng)時(shí)，可證得、D、E在同一條直線上，進(jìn)而得出，求得，再運(yùn)用三角函數(shù)定義求得即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)D作于E，

在中，，，由折疊得：，，，，，，，，，即，；當(dāng)時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)D作于E，

由折疊得：，，∴、D、E在同一條直線上，，，，，，，，，即，；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，不符合題意；綜上所述，點(diǎn)D到邊的距離是或；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，勾股定理，全等三角形判定和性質(zhì)，三角函數(shù)定義等，注意分類討論，防止漏解．18．（2023·廣東河源·統(tǒng)考三模）如圖，在正方形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，且，交于M點(diǎn)，交于N點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②若F是的中點(diǎn)，則；③連接，則為等腰直角三角形．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（把你認(rèn)為所有正確的都填上）．

【答案】①③/③①【分析】將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，可得，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，在中，由勾股定理，即可證明①；過(guò)A作，交延長(zhǎng)線于G，由（1）同理可得，，設(shè)，則可表示出設(shè)，在中，由勾股定理可得，設(shè)，則，即可證明②；根據(jù)條件可證明，進(jìn)而證明，即可證明③．【詳解】解：①將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，

∵，∴，∵繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，又∵，∴，∴，而，在中，，∴，故①正確；②過(guò)A作，交延長(zhǎng)線于G，如圖：

由（1）同理可得，，∴，設(shè)，∵F是的中點(diǎn)，則，在中，，∴，解得，設(shè)，則，∴，在中，，∴，故②不正確；③∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形，故③正確，故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定定理和正確作輔助線是解決此類題的關(guān)鍵．三、作圖題19．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，線段的端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上，請(qǐng)按要求畫(huà)出圖形，使得它們的頂點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上．

(1)在圖中畫(huà)一個(gè)以為直角邊的直角，且為軸對(duì)稱圖形：(2)畫(huà)一個(gè)面積為8的，且；(3)請(qǐng)直接寫(xiě)出的正弦值．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解(3)【分析】（1）把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則等腰直角滿足條件；（2）把點(diǎn)向右平移4個(gè)單位得到點(diǎn)，則點(diǎn)滿足條件；（3）利用勾股定理計(jì)算的長(zhǎng)，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）如圖，為所作；（2）如圖，為所作；

（3）．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖軸對(duì)稱變換：幾何圖形都可看作是由點(diǎn)組成，我們?cè)诋?huà)一個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形時(shí)，也是先從確定一些特殊的對(duì)稱點(diǎn)開(kāi)始的，也考查了解直角三角形．四、證明題20．（2023·北京·北京四中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，對(duì)角線垂直平分對(duì)角線，與相交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且．(1)求證：四邊形AECD是菱形．(2)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，，則的值為．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由垂直平分，得出，證明，得到，從而推出四邊形是平行四邊形，再由即可推出四邊形是菱形；（2）由菱形的性質(zhì)可得，由勾股定理可得，由點(diǎn)是的中點(diǎn)得出，從而即可得出答案．【詳解】（1）證明：垂直平分，，，，，，四邊形是平行四邊形，，是菱形．（2）解：四邊形是菱形，又，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理、正切的定義，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．21．（2023秋·上海青浦·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，為邊上一點(diǎn)，且，若與的面積比為∶．

(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)已知得出，，進(jìn)而可得，根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，夾角相等，證明；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，進(jìn)而勾股定理求得，根據(jù)正弦的定義，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，且與的面積比為．∴，∴，∴在與中，，．∴．（2）解：∵，∴，又∵，，．∴．∴，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∴，在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，求正弦，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，求正弦是解題的關(guān)鍵．22．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在上，且，連結(jié)，，且與相交于點(diǎn)O．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若平分，，，求四邊形的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到，進(jìn)而推出，即可；（2）先證明四邊形為菱形，利用菱形的性質(zhì)和正切的定義，求出的長(zhǎng)，再利用菱形的面積公式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，即：，又，∴四邊形是平行四邊形；（2）∵，∴，∵平分，∴，∴，∴平行四邊形為菱形，∴，，，∴，∴，∴，∴菱形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)．熟練掌握平行四邊形的判定方法和菱形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．23．（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)校考期中）如圖，在矩形