專題04一元二次方程（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)4大題型2個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)中考2種考法）（原卷版）-初中數(shù)學(xué)北師大版9年級(jí)上冊(cè)

【關(guān)注公眾號(hào)：林樾數(shù)學(xué)】免費(fèi)獲取更多初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料專題04一元二次方程（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)4大題型2個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)中考2種考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)五種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1一元二次方程的定義（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)2一元二次方程的一般形式（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)3一元二次方程的解（重點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型一：根據(jù)一元二次方程的定義求字母的值題型二：根據(jù)一元二次方程的根求字母或代數(shù)式的值題型三：一元二次方程新定義問(wèn)題題型四：對(duì)含字母的一元二次方程的系數(shù)的討論【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1忽略一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不等于0這個(gè)隱含條件易錯(cuò)點(diǎn)2在求一元二次方程的相關(guān)項(xiàng)及系數(shù)時(shí)，沒(méi)有先將其化為一般形式【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1根據(jù)方程的根求字母（或代數(shù)式）的值考法2根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列一元二次方程【方法五】成果評(píng)定法【知識(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1一元二次方程的定義（重點(diǎn)）（1）一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無(wú)未知數(shù)；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．（3）判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡(jiǎn)后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．1．（2023春?文登區(qū)期中）下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A．a(chǎn)x2+bx+c＝0 B． C．x2+2x＝x2﹣1 D．3（x+1）2＝﹣3知識(shí)點(diǎn)2一元二次方程的一般形式（重點(diǎn)）（1）一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過(guò)整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)；c叫做常數(shù)項(xiàng)．一次項(xiàng)系數(shù)b和常數(shù)項(xiàng)c可取任意實(shí)數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于0的實(shí)數(shù)，這是因?yàn)楫?dāng)a＝0時(shí)，方程中就沒(méi)有二次項(xiàng)了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要確定二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須先把一元二次方程化成一般形式．2．（2023春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）已知一個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)是3，常數(shù)項(xiàng)是1，則這個(gè)一元二次方程可能是（）A．3x+1＝0 B．x2+3＝0 C．3x2+6x＝1 D．3x2+1＝03．（2022秋?新會(huì)區(qū)期末）把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，則a、b、c的值分別是（）A．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 B．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝﹣6 C．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝3 D．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝64．（2023春?肇源縣月考）將一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式后，二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別為（）A．3，5 B．3，1 C．3x2，﹣5x D．3，﹣5知識(shí)點(diǎn)3一元二次方程的解（重點(diǎn)）（1）一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有兩個(gè)解，但不一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實(shí)數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個(gè)等式求解未知量．a(chǎn)x12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．5．（2023春?巴東縣期中）已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣b＝0的解，則b＝（）A．﹣2 B．﹣4 C．0 D．4【方法二】實(shí)例探索法題型一：根據(jù)一元二次方程的定義求字母的值6.（2023?桐柏縣一模）關(guān)于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，則m的值是（）A．﹣1 B．3 C．1 D．1或﹣17．（2022秋?連平縣校級(jí)期末）若方程（a﹣2）x2+ax﹣3＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥2且a≠2 B．a(chǎn)≥0且a≠2 C．a(chǎn)≥2 D．a(chǎn)≠2題型二：根據(jù)一元二次方程的根求字母或代數(shù)式的值8．（2023?邗江區(qū)校級(jí)一模）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一個(gè)根，則2023﹣m2+m的值為（）A．2023 B．2022 C．2021 D．20209．（2023?邗江區(qū)一模）若關(guān)于x的方程x2﹣mx﹣2＝0的一個(gè)根為3，則m的值為．10．（2023春?玄武區(qū)期中）若m是方程x2+x﹣1＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式2023﹣m2﹣m的值為．11．（2022秋?梁山縣期末）已知m是方程x2+x﹣3＝0的解，求式子m3+2m2﹣2m+2022的值．12．（2022秋?江陰市校級(jí)月考）已知2是關(guān)于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一個(gè)根，而這個(gè)方程的兩個(gè)根恰好是等腰△ABC的兩條邊長(zhǎng)．（1）求m的值；（2）求△ABC的周長(zhǎng)．13．（2023?鶴山市模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a是方程x2+3x﹣4046＝0的一根．題型三：一元二次方程新定義問(wèn)題14．（2021秋?高港區(qū)期中）定義：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿足a﹣b+c＝0，那么我們稱這個(gè)方程為“鳳凰方程”．（1）判斷一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否為鳳凰方程，說(shuō)明理由．（2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是關(guān)于x的鳳凰方程，若m是此鳳凰方程的一個(gè)根，求m的值．15．（2022秋?江陰市校級(jí)月考）定義：如果兩個(gè)一元二次方程有且只有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，我們稱這兩個(gè)方程為“友好方程”，如果關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x＝0與x2+3x+m﹣1＝0為“友好方程”，求m的值．16．（2022秋?長(zhǎng)汀縣期中）如圖，四邊形ACDE是證明勾股定理時(shí)用到的一個(gè)圖形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED邊長(zhǎng)，易知AE＝c，這時(shí)我們把關(guān)于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”，比如3x2+5x+4＝0是“勾系一元二次方程”．請(qǐng)解決下列問(wèn)題：（1）試判斷方程x2+2x+1＝0“勾系一元二次方程”（填“是”或“不是”）；（2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一個(gè)根，且四邊形ACDE的周長(zhǎng)是12，求△ABC面積．17．（2022秋?南昌期中）對(duì)于任意一個(gè)三位數(shù)k，如果k滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字的平方等于百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之積的4倍，那么稱這個(gè)數(shù)為“喜鵲數(shù)”．例如：k＝169，因?yàn)?2＝4×1×9，所以169是“喜鵲數(shù)”．（1）已知一個(gè)“喜鵲數(shù)”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c為正整數(shù)），請(qǐng)直接寫(xiě)出a，b，c所滿足的關(guān)系式；判斷241“喜鵲數(shù)”（填“是”或“不是”）；（2）利用（1）中“喜鵲數(shù)”k中的a，b，c構(gòu)造兩個(gè)一元二次方程ax2+bx+c＝0①與cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一個(gè)根，x＝n是方程②的一個(gè)根，求m與n滿足的關(guān)系式；（3）在（2）中條件下，且m+n＝﹣2，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的所有k的值．題型四：對(duì)含字母的一元二次方程的系數(shù)的討論18．（2022秋·河南開(kāi)封·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程．(1)當(dāng)k取何值時(shí)，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；(2)當(dāng)k取何值時(shí)，此方程是一元二次方程？并寫(xiě)出這個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)．19．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5．(1)為一元二次方程；(2)為一元一次方程．【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1忽略一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不等于0這個(gè)隱含條件20．（2021秋?襄城縣期中）若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2＝0的常數(shù)項(xiàng)為0，則m的值為．易錯(cuò)點(diǎn)2在求一元二次方程的相關(guān)項(xiàng)及系數(shù)時(shí)，沒(méi)有先將其化為一般形式21．（2022秋?沭陽(yáng)縣校級(jí)期末）一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常數(shù)項(xiàng)是﹣1，一次項(xiàng)系數(shù)是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1根據(jù)方程的根求字母（或代數(shù)式）的值22．（2022?連云港）若關(guān)于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一個(gè)根是x＝1，則m+n的值是．23．（2021?宿遷）若關(guān)于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一個(gè)根是3，則a＝．24．（2022?廣東）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，則a＝．25．（2022?遂寧）已知m為方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值為（）A．﹣2022 B．0 C．2022 D．404426．（2022?資陽(yáng)）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一個(gè)根，則2a2+4a的值是．考法2根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列一元二次方程27．（2022?衢州）將一個(gè)容積為360cm3的包裝盒剪開(kāi)鋪平，紙樣如圖所示．利用容積列出圖中x（cm）滿足的一元二次方程：（不必化簡(jiǎn)）．【方法五】成果評(píng)定法一、單選題1．（2023·江西撫州模擬預(yù)測(cè)）下列方程是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．2．（2023·廣東東莞模擬預(yù)測(cè)）將方程化成的形式，則，，的值分別為（

）A．，， B．，， C．，， D．，，3．（2022春·甘肅蘭州階段練習(xí)）若是關(guān)于的一元二次方程，則的值是()A． B． C． D．不能確定4．（2023秋·廣東湛江期末）若關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為0，則m的值是（

）A． B．1 C．或 D．05．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是0，則a的值為（

）A．1 B．1或 C． D．0.56．（2023春·廣東廣州開(kāi)學(xué)考試）若a是方程的一個(gè)解，則的值是（

）A．10 B．5 C． D．二、填空題7．（2022秋·福建泉州期末）一元二次方程的一次項(xiàng)系數(shù)為_(kāi)_____．8．（2022秋·江西贛州期末）用公式法解一元二次方程時(shí)，應(yīng)先將其化成“一般形式”為_(kāi)_______．9．（2022秋·河南南陽(yáng)期末）若關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是0，則a的值為_(kāi)____．10．（2022秋·四川樂(lè)山期末）若關(guān)于x的一元二次方程，則__________．11．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考一模）已知是一元二次方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值為_(kāi)_____．12．（2023春·江西吉安階段練習(xí)）若是方程的一個(gè)解，則代數(shù)式的值是___________．三、解答題13．（2022秋·山東青島階段練習(xí)）若關(guān)于的方程是一元二次方程，求不等式：的解集．14．（2022秋·河南開(kāi)封階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程．(1)當(dāng)k取何值時(shí)，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；(2)當(dāng)k取何值時(shí)，此方程是一元二次方程？并寫(xiě)出這個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)．15．（2023秋·山東濟(jì)寧期末）已知m是方程的解，求式子的值．16．（2023秋·重慶永川期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中是一元二次方程的根．17．（2023?佛岡縣二模）先化簡(jiǎn)，再求值：，若x是方程x2﹣2x＝0的正整數(shù)解．18．（2023?廣陵區(qū)一模）先化簡(jiǎn)再求值：，其中x是方程x2﹣2x＝0的一個(gè)根．19．（2023?越秀區(qū)一模）已知．（1）化簡(jiǎn)P；（2）若a為方程的一個(gè)解，求P的值．20．（2023·北京西城一模）已