專(zhuān)題09應(yīng)用一元二次方程（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)4種題型1種中考考法）（解析版）-初中數(shù)學(xué)北師大版9年級(jí)上冊(cè)

【關(guān)注公眾號(hào)：林樾數(shù)學(xué)】免費(fèi)獲取更多初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料專(zhuān)題09應(yīng)用一元二次方程（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)4種題型1種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1：列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟知識(shí)點(diǎn)2：幾種常見(jiàn)的一元二次方程應(yīng)用題類(lèi)型（重點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1：列一元二次方程解“傳播”問(wèn)題題型2：列一元二次方程解“利潤(rùn)”問(wèn)題題型3：列一元二次方程解“圖形面積”問(wèn)題題型4：列一元二次方程解“動(dòng)點(diǎn)”問(wèn)題【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法：一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用【方法四】成果評(píng)定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能根據(jù)具體問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系列出一元二次方程并求解，能根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義檢驗(yàn)所得的結(jié)果是否合理。2.認(rèn)識(shí)方程模型的重要性，掌握運(yùn)用方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力?！局R(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1：列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟

1.審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；

2.設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；

3.列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；

4.解(解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；5.驗(yàn)（檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問(wèn)題有意義）

6.答(寫(xiě)出答案，切忌答非所問(wèn)).知識(shí)點(diǎn)2：幾種常見(jiàn)的一元二次方程應(yīng)用題類(lèi)型（重點(diǎn)）1：增長(zhǎng)率問(wèn)題列一元二次方程解決增長(zhǎng)(降低)率問(wèn)題時(shí)，要理清原來(lái)數(shù)、后來(lái)數(shù)、增長(zhǎng)率或降低率，以及增長(zhǎng)或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)或降低兩次.

(1)增長(zhǎng)率問(wèn)題：

平均增長(zhǎng)率公式為(a為原來(lái)數(shù)，x為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量.)

(2)降低率問(wèn)題：

平均降低率公式為(a為原來(lái)數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)【例1】（2023·湖南湘西·統(tǒng)考三模）在“雙減政策”的推動(dòng)下，我縣某中學(xué)學(xué)生每天書(shū)面作業(yè)時(shí)長(zhǎng)明顯減少，2022年上學(xué)期每天書(shū)面作業(yè)平均時(shí)長(zhǎng)為，經(jīng)過(guò)2022年下學(xué)期和2023年上學(xué)期兩次調(diào)整后，2023年上學(xué)期平均每天書(shū)面作業(yè)時(shí)長(zhǎng)為，設(shè)該校這兩學(xué)期平均每天作業(yè)時(shí)長(zhǎng)每期的下降率為，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用2023年上學(xué)期平均每天作業(yè)時(shí)長(zhǎng)年上學(xué)期每天作業(yè)平均時(shí)長(zhǎng)該校平均每天作業(yè)時(shí)長(zhǎng)這兩學(xué)期每期的下降率，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出的一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式】（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）今年五一“網(wǎng)紅長(zhǎng)沙”再次火出“圈”，27個(gè)旅游景區(qū)五天累計(jì)接待游客萬(wàn)人，成為全國(guó)十大必到城市之一．長(zhǎng)沙美食也吸引了無(wú)數(shù)游客紛紛打卡，某網(wǎng)紅火鍋店五一期間生意火爆，第2天營(yíng)業(yè)額達(dá)到10萬(wàn)元，第4天營(yíng)業(yè)額為萬(wàn)元，據(jù)估計(jì)第3天、第4天營(yíng)業(yè)額的增長(zhǎng)率相同．(1)求該網(wǎng)紅店第3，4天營(yíng)業(yè)額的平均增長(zhǎng)率；(2)若第1天的營(yíng)業(yè)額為萬(wàn)元，第五天由于游客人數(shù)下降，營(yíng)業(yè)額是前四天總營(yíng)業(yè)額的，求該網(wǎng)紅店第5天營(yíng)業(yè)額．【答案】(1)該網(wǎng)紅店第3，4天營(yíng)業(yè)額的平均增長(zhǎng)率為；(2)該網(wǎng)紅店第5天營(yíng)業(yè)額為萬(wàn)元．【詳解】（1）解：設(shè)該網(wǎng)紅店第3，4天營(yíng)業(yè)額的平均增長(zhǎng)率為，則解得，（舍）答：該網(wǎng)紅店第3，4天營(yíng)業(yè)額的平均增長(zhǎng)率為；（2）解：前四天營(yíng)業(yè)額為：萬(wàn)元．第五天營(yíng)業(yè)額：萬(wàn)元，答：該網(wǎng)紅店第5天營(yíng)業(yè)額為萬(wàn)元．2．面積問(wèn)題此類(lèi)問(wèn)題屬于幾何圖形的應(yīng)用問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程.【例2】（2023·新疆喀什·統(tǒng)考三模）為大力實(shí)施城市綠化行動(dòng)，某小區(qū)規(guī)劃設(shè)置一片面積為1000平方米的矩形綠地，并且長(zhǎng)比寬多30米，設(shè)綠地長(zhǎng)為x米，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)綠地長(zhǎng)為x米，則寬為米，根據(jù)矩形綠地的面積為1000平方米列出方程即可．【詳解】解：設(shè)綠地長(zhǎng)為x米，則寬為米，根據(jù)題意得：，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的面積公式．【變式】（2022?德州）如圖，某小區(qū)矩形綠地的長(zhǎng)寬分別為35m，15m．現(xiàn)計(jì)劃對(duì)其進(jìn)行擴(kuò)充，將綠地的長(zhǎng)、寬增加相同的長(zhǎng)度后，得到一個(gè)新的矩形綠地．（1）若擴(kuò)充后的矩形綠地面積為800m，求新的矩形綠地的長(zhǎng)與寬；（2）擴(kuò)充后，實(shí)地測(cè)量發(fā)現(xiàn)新的矩形綠地的長(zhǎng)寬之比為5：3．求新的矩形綠地面積．【解答】解：（1）設(shè)將綠地的長(zhǎng)、寬增加xm，則新的矩形綠地的長(zhǎng)為（35+x）m，寬為（15+x）m，根據(jù)題意得：（35+x）（15+x）＝800，整理得：x2+50x﹣275＝0解得：x1＝5，x2＝﹣55（不符合題意，舍去），∴35+x＝35+5＝40，15+x＝15+5＝20．答：新的矩形綠地的長(zhǎng)為40m，寬為20m．（2）設(shè)將綠地的長(zhǎng)、寬增加ym，則新的矩形綠地的長(zhǎng)為（35+y）m，寬為（15+y）m，根據(jù)題意得：（35+y）：（15+y）＝5：3，即3（35+y）＝5（15+y），解得：y＝15，∴（35+y）（15+y）＝（35+15）×（15+15）＝1500．答：新的矩形綠地面積為1500m2．3．?dāng)?shù)字問(wèn)題(1)任何一個(gè)多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個(gè)位、十位、百位、千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個(gè)多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來(lái)表示，這也就是用多項(xiàng)式的形式表示了一個(gè)多位數(shù).如：一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個(gè)三位數(shù)可表示為：100c+10b+a.

(2)幾個(gè)連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個(gè)整數(shù)相差1.如：三個(gè)連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-1，x+1.

幾個(gè)連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個(gè)偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.

如：三個(gè)連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-2，x+2.【例3】（2022秋·天津武清·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)兩位數(shù)等于它個(gè)位數(shù)字的平方，且個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大3，則這個(gè)兩位數(shù)是（

）A．25 B．36 C．25或36 D．64【答案】C【分析】設(shè)十位數(shù)字為，表示出個(gè)位數(shù)字，根據(jù)題意列出方程求解即可．【詳解】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為，則個(gè)位數(shù)字為．依題意得：，解得:.∴這個(gè)兩位數(shù)為25或36．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式】一個(gè)兩位數(shù)是一個(gè)一位數(shù)的平方，把這個(gè)一位數(shù)放在這個(gè)兩位數(shù)的左邊所成的三位數(shù)，比把這個(gè)一位數(shù)放在這個(gè)兩位數(shù)的右邊所成的三位數(shù)大252，求這個(gè)兩位數(shù).解答方法：通過(guò)數(shù)位的分析，列出方程進(jìn)行求解。本題難點(diǎn)是設(shè)。設(shè)這個(gè)一位數(shù)為?；虼鸢福?或74．利潤(rùn)（利息）問(wèn)題利息問(wèn)題

(1)概念：

本金：顧客存入銀行的錢(qián)叫本金.

利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期數(shù)：存入銀行的時(shí)間叫期數(shù).

利率：每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率.

(2)公式:

利息=本金×利率×期數(shù)

利息稅=利息×稅率

本金×(1+利率×期數(shù))=本息和

本金×[1+利率×期數(shù)×(1-稅率)]=本息和(收利息稅時(shí))

利潤(rùn)(銷(xiāo)售)問(wèn)題

利潤(rùn)(銷(xiāo)售)問(wèn)題中常用的等量關(guān)系：

利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)(成本)

總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)×總件數(shù)

【例4】某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣(mài)出300件．市場(chǎng)調(diào)查反映：每降價(jià)1元，每星期可多賣(mài)出20件．已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，在顧客得實(shí)惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤(rùn)，應(yīng)將銷(xiāo)售單價(jià)定位多少元？【答案與解析】解：降價(jià)x元，則售價(jià)為（60﹣x）元，銷(xiāo)售量為（300+20x）件，根據(jù)題意得，（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，解得x1=1，x2=4，又顧客得實(shí)惠，故取x=4，級(jí)定價(jià)為56元，答：應(yīng)將銷(xiāo)售單價(jià)定位56元．【變式】（2022?宜昌）某造紙廠為節(jié)約木材，實(shí)現(xiàn)企業(yè)綠色低碳發(fā)展，通過(guò)技術(shù)改造升級(jí)，使再生紙項(xiàng)目的生產(chǎn)規(guī)模不斷擴(kuò)大．該廠3，4月份共生產(chǎn)再生紙800噸，其中4月份再生紙產(chǎn)量是3月份的2倍少100噸．（1）求4月份再生紙的產(chǎn)量；（2）若4月份每噸再生紙的利潤(rùn)為1000元，5月份再生紙產(chǎn)量比上月增加m%．5月份每噸再生紙的利潤(rùn)比上月增加%，則5月份再生紙項(xiàng)目月利潤(rùn)達(dá)到66萬(wàn)元．求m的值；（3）若4月份每噸再生紙的利潤(rùn)為1200元，4至6月每噸再生紙利潤(rùn)的月平均增長(zhǎng)率與6月份再生紙產(chǎn)量比上月增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)相同，6月份再生紙項(xiàng)目月利潤(rùn)比上月增加了25%．求6月份每噸再生紙的利潤(rùn)是多少元？【解答】解：（1）設(shè)3月份再生紙的產(chǎn)量為x噸，則4月份再生紙的產(chǎn)量為（2x﹣100）噸，依題意得：x+2x﹣100＝800，解得：x＝300，∴2x﹣100＝2×300﹣100＝500．答：4月份再生紙的產(chǎn)量為500噸．（2）依題意得：1000（1+%）×500（1+m%）＝660000，整理得：m2+300m﹣6400＝0，解得：m1＝20，m2＝﹣320（不合題意，舍去）．答：m的值為20．（3）設(shè)4至6月每噸再生紙利潤(rùn)的月平均增長(zhǎng)率為y，5月份再生紙的產(chǎn)量為a噸，依題意得：1200（1+y）2?a（1+y）＝（1+25%）×1200（1+y）?a，∴1200（1+y）2＝1500．答：6月份每噸再生紙的利潤(rùn)是1500元．5．比賽統(tǒng)計(jì)問(wèn)題比賽問(wèn)題：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是分清單循環(huán)和雙循環(huán)

．【例5】（2022?黑龍江）2022年北京冬奧會(huì)女子冰壺比賽有若干支隊(duì)伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進(jìn)行了45場(chǎng)，共有多少支隊(duì)伍參加比賽？（）A．8 B．10 C．7 D．9【解答】解：設(shè)共有x支隊(duì)伍參加比賽，根據(jù)題意，可得，解得x＝10或x＝﹣9（舍），∴共有10支隊(duì)伍參加比賽．故選：B．【變式】（2023秋·云南昆明·九年級(jí)統(tǒng)考期末）中國(guó)男子籃球職業(yè)聯(lián)賽（簡(jiǎn)稱(chēng)：CBA），分常規(guī)賽和季后賽兩個(gè)階段進(jìn)行，采用主客場(chǎng)賽制（也就是參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都進(jìn)行兩場(chǎng)比賽）．2022-2023CBA常規(guī)賽共要賽240場(chǎng)，則參加比賽的隊(duì)共有（）A．80個(gè) B．120個(gè) C．15個(gè) D．16個(gè)【答案】D【詳解】解：設(shè)參加比賽的隊(duì)共有x，根據(jù)題意可得：，解得：，（舍去），故選：D．6．傳播問(wèn)題傳播問(wèn)題：，a表示傳染前的人數(shù)，x表示每輪每人傳染的人數(shù)，n表示傳染的輪數(shù)或天數(shù)，A表示最終的人數(shù)．【例6】（2023秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121個(gè)人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染幾個(gè)人？設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染個(gè)人．根據(jù)題意列出方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染個(gè)人，則第一輪傳染后總傳染人數(shù)為，第二輪后總傳染人數(shù)為，因此．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式】（2023·寧夏銀川·?？家荒＃┯幸粋€(gè)人患流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有81個(gè)人患流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染幾個(gè)人？設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染個(gè)人，可到方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：，整理得，．故選：D．【方法二】實(shí)例探索法題型1：列一元二次方程解“傳播”問(wèn)題1．有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121個(gè)人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了（

）個(gè)人．A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，依題意得：，即，解方程得(舍去)，即每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了10個(gè)人；2．（2023·寧夏銀川·?？家荒＃┯幸粋€(gè)人患流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有81個(gè)人患流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染幾個(gè)人？設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染個(gè)人，可到方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：，整理得，．3．（2023秋·云南昆明·九年級(jí)統(tǒng)考期末）中國(guó)男子籃球職業(yè)聯(lián)賽（簡(jiǎn)稱(chēng)：CBA），分常規(guī)賽和季后賽兩個(gè)階段進(jìn)行，采用主客場(chǎng)賽制（也就是參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都進(jìn)行兩場(chǎng)比賽）．2022-2023CBA常規(guī)賽共要賽240場(chǎng)，則參加比賽的隊(duì)共有（）A．80個(gè) B．120個(gè) C．15個(gè) D．16個(gè)【答案】D【詳解】解：設(shè)參加比賽的隊(duì)共有x，根據(jù)題意可得：，解得：，（舍去），題型2：列一元二次方程解“利潤(rùn)”問(wèn)題4．（2022秋·甘肅平?jīng)觥ぞ拍昙?jí)?？茧A段練習(xí)）某商場(chǎng)銷(xiāo)售一批服裝，平均每天可售出20件，每件盈利40元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件服裝每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天就可以多售出2件，若使商場(chǎng)每天盈利1200元，每件服裝應(yīng)降價(jià)多少元？【答案】每件服裝應(yīng)降價(jià)10元或20元．【詳解】解：設(shè)每件服裝應(yīng)降價(jià)x元，根據(jù)題意可得：，整理得：，解得：，答：每件服裝應(yīng)降價(jià)10元或20元．5．（2023秋·廣東惠州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某商場(chǎng)一種商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，售價(jià)為每件40元，每天可以銷(xiāo)售48件，為盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定降價(jià)促銷(xiāo)．(1)若該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價(jià)降至每件元，求兩次下降的百分率；(2)經(jīng)調(diào)查，若該商品每降價(jià)元，每天可多銷(xiāo)售4件，那么每天要想獲得512元的利潤(rùn)，每件應(yīng)降價(jià)多少元？【答案】(1)(2)2元【詳解】（1）解：設(shè)每次降價(jià)的百分率為，由題意，得，（不符合題意，舍去）．答：該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價(jià)降至每件元，兩次下降的百分率為；（2）解：設(shè)每天要想獲得512元的利潤(rùn)，且更有利于減少庫(kù)存，則每件商品應(yīng)降價(jià)元，由題意，得，解得：．答：要使商場(chǎng)每天要想獲得512元的利潤(rùn)，每件應(yīng)降價(jià)2元．6．（2022秋·廣東佛山·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）2022年北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活潑、可愛(ài)，象征著冬奧會(huì)運(yùn)動(dòng)員強(qiáng)壯的身體、堅(jiān)韌的意志和鼓舞人心的奧林匹克精神．為滿足市場(chǎng)需求，某超市購(gòu)進(jìn)一批吉祥物“冰墩墩”，進(jìn)價(jià)為每個(gè)15元，第一天以每個(gè)25元的價(jià)格售出30個(gè)，為了讓更多的消費(fèi)者擁有“冰墩墩”，從第二天起降價(jià)銷(xiāo)售，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，單價(jià)每降低1元，可多售出3個(gè)．(1)當(dāng)售價(jià)小于25元時(shí)，試求出第二天起每天的銷(xiāo)售量y（個(gè)）與每個(gè)售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果前兩天共獲利525元，則第二天每個(gè)“冰墩墩”的銷(xiāo)售價(jià)格為多少元？【答案】(1)(2)第二天每個(gè)“冰墩墩”的銷(xiāo)售價(jià)格為20元【詳解】（1）解：由題意可得，第二天起每天的銷(xiāo)售量y（個(gè)）與每個(gè)售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：由題意可得，整理得，解得，，當(dāng)時(shí)，不符合題中讓更多的消費(fèi)者擁有“冰墩墩”降價(jià)的主旨，，答：第二天每個(gè)“冰墩墩”的銷(xiāo)售價(jià)格為20元．題型3：列一元二次方程解“圖形面積”問(wèn)題7．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在長(zhǎng)為，寬為的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是，則小路的寬是（

）

A． B． C．或 D．【答案】A【詳解】解：設(shè)小路寬為，則種植花草部分的面積等于長(zhǎng)為，寬為的矩形的面積，依題意得：解得：，（不合題意，舍去），∴小路寬為．8．（2023·山東淄博·統(tǒng)考二模）如圖，在一塊長(zhǎng)，寬的矩形耕地上挖三條水渠（水渠的寬都相等），水渠把耕地分成6個(gè)矩形小塊（陰影部分），如果6個(gè)矩形小塊的面積和為，那么水渠應(yīng)挖多寬？若設(shè)水渠應(yīng)挖xm寬，則根據(jù)題意，下面所列方程中正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：由題意知，6個(gè)矩形小塊通過(guò)平移可以得到一個(gè)大的矩形，長(zhǎng)為，寬為，6個(gè)矩形小塊的面積和為，．故選A．9．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）空地上有一段長(zhǎng)為a米的舊墻，工人師傅欲利用舊墻和木棚欄圍成一個(gè)封閉的長(zhǎng)方形菜園（如圖），已知木柵欄總長(zhǎng)為40米，所圍成的長(zhǎng)方形菜園面積為S平方米．若，，則（）

A．有一種圍法 B．有兩種圍法 C．不能?chē)刹藞@ D．無(wú)法確定有幾種圍法【答案】A【詳解】解：如圖所示，設(shè)矩形的邊為x米，則寬為米，

根據(jù)題意得：，即：，解得：，，而，∴，∴，∴只有一種圍法，10．如圖，在寬為，長(zhǎng)為的矩形地面上修建兩條同樣寬且互相垂直的道路，其余部分作為耕地為．則道路的寬為是______．【答案】1米【詳解】解：設(shè)道路的寬為．由題意可得：，整理得：，

解得：，（不符合題意，舍去）．∴道路的寬為米．11．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖是一塊矩形菜地，面積為．現(xiàn)將邊增加．

（1）如圖1，若，邊減少，得到的矩形面積不變，則的值是__________．（2）如圖2，若邊增加，有且只有一個(gè)的值，使得到的矩形面積為，則的值是__________．【答案】6/【詳解】（1）根據(jù)題意，得，起始長(zhǎng)方形的面積為，變化后長(zhǎng)方形的面積為，∵，邊減少，得到的矩形面積不變，∴，解得，故答案為：6．（2）根據(jù)題意，得，起始長(zhǎng)方形的面積為，變化后長(zhǎng)方形的面積為，∴，，∴，∴，∴，∵有且只有一個(gè)的值，∴，∴，解得（舍去），12．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，老李想用長(zhǎng)為的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長(zhǎng)）圍成一個(gè)矩形羊圈，并在邊上留一個(gè)寬的門(mén)（建在處，另用其他材料）．

(1)當(dāng)羊圈的長(zhǎng)和寬分別為多少米時(shí)，能?chē)梢粋€(gè)面積為640的羊圈？(2)羊圈的面積能達(dá)到嗎？如果能，請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)當(dāng)羊圈的長(zhǎng)為，寬為或長(zhǎng)為，寬為時(shí)，能?chē)梢粋€(gè)面積為的羊圈；(2)不能，理由見(jiàn)解析．【詳解】（1）解：設(shè)矩形的邊，則邊．根據(jù)題意，得．化簡(jiǎn)，得．解得，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．答：當(dāng)羊圈的長(zhǎng)為，寬為或長(zhǎng)為，寬為時(shí)，能?chē)梢粋€(gè)面積為的羊圈．（2）解：不能，理由如下：由題意，得．化簡(jiǎn)，得．∵，∴一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．∴羊圈的面積不能達(dá)到．13．（2023秋·湖北襄陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，要設(shè)計(jì)一幅寬，長(zhǎng)的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為．如果要使彩條所占面積是圖案面積的四分之一，應(yīng)如何設(shè)計(jì)彩條的寬度？

【答案】橫條的寬度為，豎條的寬度為【詳解】解：設(shè)橫條的寬度為，豎條的寬度為，依題意得：整理得：∵∴方程的兩根分別為：，，當(dāng)時(shí)，∴舍去∴∴，∴橫條的寬度為，豎條的寬度為．題型4：列一元二次方程解“動(dòng)點(diǎn)”問(wèn)題14．（2023春·黑龍江大慶·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，，，現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿向點(diǎn)C方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P的速度是，點(diǎn)Q的速度是．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)__________s時(shí)，平分的面積．【答案】2【詳解】解：根據(jù)題意，，，∵，，∴，點(diǎn)Q到B點(diǎn)的時(shí)間為，點(diǎn)P到C點(diǎn)的時(shí)間為，∵P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．∴，當(dāng)平分的面積時(shí)，，即，∴，整理得，解得，（舍去），∴當(dāng)時(shí)，平分的面積．故答案為：2．15．如圖，矩形中，，，點(diǎn)從開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以厘米/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以厘米/秒的速度移動(dòng)，如果、分別是從同時(shí)出發(fā)，求經(jīng)過(guò)幾秒時(shí)，(1)的面積等于平方厘米？(2)五邊形的面積最??？最小值是多少？【答案】(1)2秒或4秒(2)3秒時(shí)，五邊形的面積最小，最小值是63平方厘米【詳解】（1）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，則，解得：或．∴經(jīng)過(guò)2秒或4秒時(shí)，的面積等于8平方厘米．（2）由（1）可得：∴要使的面積有最大值，則要使取最大值，則此時(shí)，面積為9，則此時(shí)五邊形的面積最小，最小值為．16．（2022秋·陜西西安·九年級(jí)校考期中）如圖，已知A、B、C、D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到點(diǎn)B為止，點(diǎn)Q以的速度向點(diǎn)D移動(dòng)．問(wèn)：(1)P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始幾秒時(shí)，四邊形的面積為？(2)幾秒時(shí)點(diǎn)P點(diǎn)Q間的距離是10厘米？(3)P，Q兩點(diǎn)間距離何時(shí)最?。俊敬鸢浮?1)5秒(2)秒或秒(3)秒【詳解】（1）解：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，，，依題意，得：，解得：．答：P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始到5秒時(shí)，四邊形的面積為．（2）設(shè)出發(fā)秒后、兩點(diǎn)間的距離是10厘米．則，．作于，則，，解得：或，∴、出發(fā)或秒時(shí)，，間的距離是10厘米；（3），當(dāng)時(shí)，即時(shí)，最?。痉椒ㄈ糠抡鎸?shí)戰(zhàn)法一．選擇題（共4小題）1．（2023?哈爾濱）為了改善居民生活環(huán)境，云寧小區(qū)對(duì)一塊矩形空地進(jìn)行綠化，這塊空地的長(zhǎng)比寬多6米，面積為720平方米，設(shè)矩形空地的長(zhǎng)為x米，根據(jù)題意，所列方程正確的是（）A．x（x﹣6）＝720 B．x（x+6）＝720 C．x（x﹣6）＝360 D．x（x+6）＝360【分析】先表示出矩形空地的寬，再根據(jù)矩形的面積為720平方米列出方程，本題得以解決．【解答】解：設(shè)矩形空地的長(zhǎng)為x米，則設(shè)矩形空地的寬為（x﹣6）米，由題意可得，x（x﹣6）＝720，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程．2．（2023?無(wú)錫）2020年﹣2022年無(wú)錫居民人均可支配收入由5.76萬(wàn)元增長(zhǎng)至6.58萬(wàn)元，設(shè)人均可支配收入的平均增長(zhǎng)率為x，下列方程正確的是（）A．5.76（1+x）2＝6.58 B．5.76（1+x2）＝6.58 C．5.76（1+2x）＝6.58 D．5.76x2＝6.58【分析】根據(jù)2020年的人均可支配收入×（1+年平均增長(zhǎng)率）2＝2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．【解答】解：由題意得：5.76（1+x）2＝6.58．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2023?黑龍江）如圖，在長(zhǎng)為100m，寬為50m的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是3600m2，則小路的寬是（）A．5m B．70m C．5m或70m D．10m【分析】設(shè)小路的寬是xm，則余下的部分可合成長(zhǎng)為（100﹣2x）m，寬為（50﹣2x）m的矩形，根據(jù)花圃的面積是3600m2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)小路的寬是xm，則余下的部分可合成長(zhǎng)為（100﹣2x）m，寬為（50﹣2x）m的矩形，根據(jù)題意得：（100﹣2x）（50﹣2x）＝3600，整理得：x2﹣75x+350＝0，解得：x1＝5，x2＝70（不符合題意，舍去），∴小路的寬是5m．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4．（2023?廣西）據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的《2022年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》顯示，2020年和2022年全國(guó)居民人均可支配收入分別為3.2萬(wàn)元和3.7萬(wàn)元．設(shè)2020年至2022年全國(guó)居民人均可支配收入的年平均增長(zhǎng)率為x，依題意可列方程為（）A．3.2（1﹣x）2＝3.7 B．3.2（1+x）2＝3.7 C．3.7（1﹣x）2＝3.2 D．3.7（1+x）2＝3.2【分析】根據(jù)2020年的人均可支配收入×（1+年平均增長(zhǎng)率）2＝2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．【解答】解：由題意得：3.2（1+x）2＝3.7，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共3小題）5．（2023?重慶）為了加快數(shù)字化城市建設(shè)，某市計(jì)劃新建一批智能充電樁，第一個(gè)月新建了301個(gè)充電樁，第三個(gè)月新建了500個(gè)充電樁，設(shè)該市新建智能充電樁個(gè)數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，請(qǐng)列出方程301（1+x）2＝500．【分析】設(shè)該市新建智能充電樁個(gè)數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)第一個(gè)月新建了301個(gè)充電樁，第三個(gè)月新建了500個(gè)充電樁，即可得出關(guān)于x的一元二次方程．【解答】解：設(shè)該市新建智能充電樁個(gè)數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x，依題意得：301（1+x）2＝500．故答案為：301（1+x）2＝500．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．6．（2023?邵陽(yáng)）某校截止到2022年底，校園綠化面積為1000平方米．為美化環(huán)境，該校計(jì)劃2024年底綠化面積達(dá)到1440平方米．利用方程思想，設(shè)這兩年綠化面積的年平均增長(zhǎng)率為x，則依題意列方程為1000（1+x）2＝1440．【分析】根據(jù)2022年底綠化面積×（1+年平均增長(zhǎng)率）2＝2024年底綠化面積，列出一元二次方程即可．【解答】解：根據(jù)題意得：1000（1+x）2＝1440，故答案為：1000（1+x）2＝1440．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．7．（2023?重慶）某新建工業(yè)園區(qū)今年六月份提供就業(yè)崗位1501個(gè)，并按計(jì)劃逐月增長(zhǎng)，預(yù)計(jì)八月份將提供崗位1815個(gè)，設(shè)七、八兩個(gè)月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，可列方程為1501（1+x）2＝1815．【分析】根據(jù)今年六月份提供就業(yè)崗位1501個(gè)，并按計(jì)劃逐月增長(zhǎng)，預(yù)計(jì)八月份將提供崗位1815個(gè)，列一元二次方程即可．【解答】解：根據(jù)題意，得1501（1+x）2＝1815，故答案為：1501（1+x）2＝1815．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共2小題）8．（2023?郴州）隨旅游旺季的到來(lái)，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，2月份游客人數(shù)為1.6萬(wàn)人，4月份游客人數(shù)為2.5萬(wàn)人．（1）求這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率；（2）預(yù)計(jì)5月份該景區(qū)游客人數(shù)會(huì)繼續(xù)增長(zhǎng)，但增長(zhǎng)率不會(huì)超過(guò)前兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率．已知該景區(qū)5月1日至5月21日已接待游客2.125萬(wàn)人，則5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬(wàn)人？【分析】（1）設(shè)這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x，由2月份游客人數(shù)為1.6萬(wàn)人，4月份游客人數(shù)為2.5萬(wàn)人，列出方程可求解；（2）設(shè)5月份后10天日均接待游客人數(shù)是a萬(wàn)人，由增長(zhǎng)率不會(huì)超過(guò)前兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率，列出不等式，即可求解．【解答】解：（1）設(shè)這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x，由題意可得：1.6（1+x）2＝2.5，解得：x＝25%，x＝﹣（不合題意舍去），答：這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為25%；（2）設(shè)5月份后10天日均接待游客人數(shù)是a萬(wàn)人，由題意可得：2.125+10a≤2.5（1+25%），解得：a≤0.1，答：5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是0.1萬(wàn)人．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，找到正確的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．9．（2023?東營(yíng)）如圖，老李想用長(zhǎng)為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長(zhǎng)）圍成一個(gè)矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個(gè)2m寬的門(mén)（建在EF處，另用其他材料）．（1）當(dāng)羊圈的長(zhǎng)和寬分別為多少米時(shí)，能?chē)梢粋€(gè)面積為640m2的羊圈？（2）羊圈的面積能達(dá)到650m2嗎？如果能，請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)BC＝柵欄總長(zhǎng)﹣2AB，再利用矩形面積公式即可求出；（2）把S＝650代入x（72﹣2x）中函數(shù)解析式中，解方程，取在自變量范圍內(nèi)的值即可．【解答】解：（1）設(shè)矩形ABCD的邊AB＝xm，則邊BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m．根據(jù)題意，得x（72﹣2x）＝640，化簡(jiǎn)，得x2﹣36x+320＝0，解得x1＝16，x2＝20，當(dāng)x＝16時(shí)，72﹣2x＝72﹣32＝40；當(dāng)x＝20時(shí)，72﹣2x＝72﹣40＝32．答：當(dāng)羊圈的長(zhǎng)為40m，寬為16m或長(zhǎng)為32m，寬為20m時(shí)，能?chē)梢粋€(gè)面積為640m2的羊圈；（2）答：不能，理由：由題意，得x（72﹣2x）＝650，化簡(jiǎn)，得x2﹣36x+325＝0，Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0，∴一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．∴羊圈的面積不能達(dá)到650m2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找到周長(zhǎng)等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．【方法四】成功評(píng)定法一．選擇題（共10小題）1．（2023春?南崗區(qū)期末）某農(nóng)家前年水蜜桃畝產(chǎn)量為800千克，今年的畝產(chǎn)量為1200千克．設(shè)從前年到今年平均增長(zhǎng)率都為x，則可列方程（）A．800（1+2x）＝1200 B．800（1+x2）＝1200 C．800（1+x）2＝1200 D．800（1+x）＝1200【分析】可先表示出去年水蜜桃的畝產(chǎn)量，那么去年水蜜桃的畝產(chǎn)量×（1+增長(zhǎng)率）＝1200，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．【解答】解：去年水蜜桃的畝產(chǎn)量為800×（1+x），今年水蜜桃的畝產(chǎn)量在去年水蜜桃的畝產(chǎn)量的基礎(chǔ)上增加x，為800×（1+x）×（1+x），則列出的方程是800（1+x）2＝1200，故選C．【點(diǎn)評(píng)】考查求平均變化率的方法．若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過(guò)兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2＝b．2．（2023春?西和縣期中）直角三角形兩條直角邊的和為7，面積是6，則斜邊長(zhǎng)是（）A． B．5 C． D．7【分析】設(shè)其中一條直角邊的長(zhǎng)為x，則另一條直角邊的長(zhǎng)為（7﹣x），根據(jù)三角形的面積為x建立方程就可以求出兩直角邊，由勾股定理就可以求出斜邊．【解答】解：設(shè)其中一條直角邊的長(zhǎng)為x，則另一條直角邊的長(zhǎng)為（7﹣x），由題意，得x（7﹣x）＝6，解得：x1＝3．，x2＝4，由勾股定理，得斜邊為：＝5．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積公式的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用．列一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)面積公式建立方程求出直角邊是關(guān)鍵．3．（2022秋?和平區(qū)校級(jí)月考）一次會(huì)議上，每?jī)蓚€(gè)參加會(huì)議的人都互相握了一次手，有人統(tǒng)計(jì)一共握了66次手．若設(shè)這次會(huì)議到會(huì)的人數(shù)為x人，依題意可列方程（）A．x（x﹣1）＝66 B．＝66 C．x（1+x）＝66 D．x（x﹣1）＝66【分析】利用參會(huì)人員共握手次數(shù)＝參會(huì)人數(shù)×（參會(huì)人數(shù)﹣1）÷2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：依題意得：x（x﹣1）＝66．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4．（2023?南通二模）有1人患了流感后，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有144人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x人，則根據(jù)題意可列方程（）A．（1+x）2＝144 B．（1+x2）＝144 C．（1﹣x）2＝144 D．（1﹣x2）＝144【分析】由每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x人，可得出第一輪有x人被傳染，第二輪有x（1+x）人被傳染，結(jié)合“有1人患了流感后，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有144人患了流感”，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x人，∴第一輪有x人被傳染，第二輪有x（1+x）人被傳染．根據(jù)題意得：1+x+x（1+x）＝144，∴（1+x）2＝144．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．5．（2023?阜新一模）如圖，某校生物興趣小組用長(zhǎng)為18米的籬笆，一面利用墻（墻的長(zhǎng)度足夠），圍成中間隔有一道籬笆的長(zhǎng)方形花圃ABCD，為了方便出入，建造籬笆花圃時(shí)在BC邊留了寬為1米的兩個(gè)進(jìn)出口（不需材料），若花圃的面積剛好為40平方米，設(shè)AB的長(zhǎng)為x米，則可列方程為（）A．x（18﹣3x）＝40 B．x（20﹣2x）＝40 C．x（22﹣3x）＝40 D．x（20﹣3x）＝40【分析】根據(jù)籬笆的總長(zhǎng)及AB的長(zhǎng)，可得出BC的長(zhǎng)，再利用長(zhǎng)方形的面積公式，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵籬笆的總長(zhǎng)為18米，AB的長(zhǎng)為x米，∴BC的長(zhǎng)為18+2﹣3x＝（20﹣3x）米．根據(jù)題意得：x（20﹣3x）＝40．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．6．（2023?興慶區(qū)校級(jí)模擬）一件工藝品進(jìn)價(jià)為100元，標(biāo)價(jià)130元售出，每天平均可售出100件．根據(jù)銷(xiāo)售統(tǒng)計(jì)，一件工藝品每降價(jià)1元出售，則每天可多售出5件，某店為減少庫(kù)存量，同時(shí)使每天平均獲得的利潤(rùn)為3000元，每件需降價(jià)的錢(qián)數(shù)為（）A．12元 B．10元 C．8元 D．5元【分析】設(shè)每件工藝品降價(jià)x元，則每天的銷(xiāo)售量為（100+5x）件，根據(jù)每日的利潤(rùn)＝每件的利潤(rùn)×日銷(xiāo)售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)每件工藝品降價(jià)x元，則每天的銷(xiāo)售量為（100+5x）件，根據(jù)題意得：（130﹣100﹣x）（100+5x）＝3000，整理得：x2﹣10x＝0，解得：x1＝0，x2＝10．∵要減少庫(kù)存量，∴x＝10．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．7．（2021?新民市開(kāi)學(xué)）某商場(chǎng)銷(xiāo)售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴(kuò)大銷(xiāo)售，增加盈利，商場(chǎng)采取了降價(jià)措施，假設(shè)在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價(jià)每降1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．如果降價(jià)后商場(chǎng)銷(xiāo)售這批襯衫每天盈利1250元，襯衫的單價(jià)降了x元，那么下面所列的方程正確的是（）A．（20+x）（40﹣2x）＝1250 B．（20+x）（40﹣x）＝1250 C．（20+2x）（40﹣2x）＝1250 D．（20+2x）（40﹣x）＝1250【分析】設(shè)襯衫的單價(jià)降了x元．根據(jù)題意等量關(guān)系：降價(jià)后的銷(xiāo)量×每件的利潤(rùn)＝1250，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．【解答】解：設(shè)襯衫的單價(jià)降了x元．根據(jù)題意，得（20+2x）（40﹣x）＝1250，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程．8．（2023春?道里區(qū)期末）有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有169人患了流感，設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x人，則x的值為（）A．11 B．12 C．13 D．14【分析】設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染x個(gè)人，根據(jù)經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有169人患了流感，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：根據(jù)題意得：1+x+x（1+x）＝169，解得：x1＝12，x2＝﹣14（舍去）．則x的值是12．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找出題中的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．9．（2021秋?滕州市校級(jí)月考）隨著科技水平的提高，某種電子產(chǎn)品的價(jià)格呈下降趨勢(shì)，今年年底的價(jià)格是兩年前價(jià)格的．這種電子產(chǎn)品的價(jià)格在這兩年中平均每年下降百分之幾？（）A．25% B．37.5% C．50% D．75%【分析】直接利用下降率求法（1﹣x）2＝今年年底的價(jià)格，進(jìn)而得出答案．【解答】解：設(shè)這種電子產(chǎn)品的價(jià)格在這兩年中平均每年下降x，根據(jù)題意可得：（1﹣x）2＝，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝1.5（不合題意舍去），即：這種電子產(chǎn)品的價(jià)格在這兩年中平均每年下降50%．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．10．（2022秋?昌圖縣期末）初中畢業(yè)時(shí)，某班學(xué)生都將自己的照片向全班其他同學(xué)各送一張表示留念，全班共送1260張照片．設(shè)全班有x名同學(xué)，可列方程為（）A．x（x﹣1）＝1260 B．x（x+1）＝1260 C．x（x﹣1）＝1260×2 D．x（x+1）＝1260×2【分析】如果全班有x名同學(xué)，那么每名同學(xué)要送出（x﹣1）張，共有x名學(xué)生，那么總共送的張數(shù)應(yīng)該是x（x﹣1）張，即可列出方程．【解答】解：∵全班有x名同學(xué)，∴每名同學(xué)要送出（x﹣1）張；又∵是互送照片，∴總共送的張數(shù)應(yīng)該是x（x﹣1）＝1260．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程．計(jì)算全班共送多少?gòu)?，首先確定一個(gè)人送出多少?gòu)埵墙忸}關(guān)鍵．二．填空題（共8小題）11．（2022秋?興隆臺(tái)區(qū)校級(jí)月考）雞瘟是一種傳播速度很強(qiáng)的傳染病，一輪傳染為一天時(shí)間，紅發(fā)養(yǎng)雞場(chǎng)某日發(fā)現(xiàn)一例，兩天后發(fā)現(xiàn)共有169只雞患有這種病．若每例病雞傳染健康雞的只數(shù)均相同，設(shè)每只病雞傳染健康雞的只數(shù)為x只，則可列方程為1+x+x（1+x）＝169．【分析】由每只病雞傳染健康雞的只數(shù)為x只，可得出第一天有x只雞被傳染，第二天有x（1+x）只雞被傳染，結(jié)合“紅發(fā)養(yǎng)雞場(chǎng)某日發(fā)現(xiàn)一例，兩天后發(fā)現(xiàn)共有169只雞患有這種病”，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵每只病雞傳染健康雞的只數(shù)為x只，∴第一天有x只雞被傳染，第二天有x（1+x）只雞被傳染，根據(jù)題意得：1+x+x（1+x）＝169．故答案為：1+x+x（1+x）＝169．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋?沙依巴克區(qū)校級(jí)期末）一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字少1，且個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的乘積等于72，則這個(gè)兩位數(shù)是98．【分析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為（x+1），根據(jù)個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的乘積等于72，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，將其正值代入[10（x+1）+x]中即可求出結(jié)論．【解答】解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為（x+1），依題意，得：x（x+1）＝72，整理，得：x2+x﹣72＝0，解得：x1＝﹣9（不合題意，舍去），x2＝8，∴10（x+1）+x＝10×（8+1）+8＝98．故答案為：98．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．13．（2023春?棲霞市期末）某市實(shí)施精準(zhǔn)扶貧的決策部署以來(lái)，貧困戶(hù)甲2014年人均純收入為2600元，經(jīng)過(guò)幫扶到2016年人均純收入為5096元，則該貧困戶(hù)每年純收入的平均增長(zhǎng)率為40%．【分析】設(shè)該貧困戶(hù)每年純收入的平均增長(zhǎng)率為x，利用該貧困戶(hù)2016年人均純收入＝該貧困戶(hù)2014年人均純收入×（1+該貧困戶(hù)每年純收入的平均增長(zhǎng)率）2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)該貧困戶(hù)每年純收入的平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得：2600（1+x）2＝5096，解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（不符合題意，舍去），∴該貧困戶(hù)每年純收入的平均增長(zhǎng)率為40%．故答案為：40%．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋?武清區(qū)校級(jí)月考）參加足球聯(lián)賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都進(jìn)行兩次比賽，共要比賽72場(chǎng)，共有9個(gè)隊(duì)參加比賽．【分析】每個(gè)隊(duì)都要與其余隊(duì)比賽一場(chǎng)，2隊(duì)之間要賽2場(chǎng)．等量關(guān)系為：隊(duì)的個(gè)數(shù)×（隊(duì)的個(gè)數(shù)﹣1）＝72，把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)有x隊(duì)參加比賽．x（x﹣1）＝72，（x﹣9）（x+8）＝0，解得x＝9，x＝﹣8（不合題意，舍去）．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，得到比賽總場(chǎng)數(shù)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．15．（2022秋?中寧縣期中）兩個(gè)數(shù)的積為12，和為7，設(shè)其中一個(gè)數(shù)為x，則依題意可列方程x2﹣7x+12＝0．【分析】如果設(shè)其中一個(gè)數(shù)為x，那么另一個(gè)數(shù)為（6﹣x），根據(jù)乘積等于5，那么可列出方程．【解答】解：設(shè)其中一個(gè)數(shù)為x，那么另一個(gè)數(shù)為（7﹣x），∵兩個(gè)數(shù)的積為12，∴x（7﹣x）＝12，整理得：x2﹣7x+12＝0．故答案為：x2﹣7x+12＝0．【點(diǎn)評(píng)】此題考查一元二次方程的運(yùn)用，題目不難，重在看準(zhǔn)題．16．（2023春?東陽(yáng)市月考）2022年?yáng)|陽(yáng)市初中男生籃球比賽在小組初賽之后，每個(gè)小組的第一名再進(jìn)行決賽，決賽采用單循環(huán)比賽（單循環(huán)比賽是指所有參賽隊(duì)伍可在比賽中相遇一次）方式，單循環(huán)比賽共進(jìn)行了15場(chǎng)，參加比賽的隊(duì)伍共有10支．【分析】設(shè)參加比賽的隊(duì)伍共有x支，可列方程：x（x﹣1）＝45，即可解得參加比賽的隊(duì)伍共有10支．【解答】解：設(shè)參加比賽的隊(duì)伍共有x支，根據(jù)題意得：x（x﹣1）＝45，解得x＝10或x＝﹣9（舍去），∴參加比賽的隊(duì)伍共有10支；故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出一元二次方程解決問(wèn)題．17．（2023春?九龍坡區(qū)月考）從正方形的鐵片上，沿正方形邊長(zhǎng)截去3cm寬的一條長(zhǎng)方形，余下面積為40cm2，則原來(lái)的正方形鐵片的面積是64cm2．【分析】可設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是xcm，根據(jù)“余下的面積為40cm2”，余下的圖形是一個(gè)矩形，矩形的長(zhǎng)是正方形的邊長(zhǎng)，寬是（x﹣3）cm，根據(jù)矩形的面積公式即可列出方程求解．【解答】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是xcm，根據(jù)題意得x（x﹣3）＝40，解得x1＝﹣5（舍去），x2＝8，故原正方形鐵片的面積是8×8＝64（cm2）．故答案為：64．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．解題過(guò)程中要注意根據(jù)實(shí)際意義進(jìn)行值的取舍．18．（2022秋?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)月考）如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向運(yùn)動(dòng)，速度是2cm/s；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向運(yùn)動(dòng)，速度是1cm/s，則經(jīng)過(guò)10s后，P，Q兩點(diǎn)之間相距25cm．【分析】設(shè)x秒后P、Q兩點(diǎn)相距25cm，用x表示出CP、CQ，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)x秒后P、Q兩點(diǎn)相距25cm，則CP＝2xcm，CQ＝（25﹣x）cm，由題意得，（2x）2+（25﹣x）2＝252，解得，x1＝10，x2＝0（舍去），則10秒后P、Q兩點(diǎn)相距25cm．故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．三．解答題（共8小題）19．（2022秋?沈丘縣校級(jí)月考）有一個(gè)兩位數(shù)，它們的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和為8，如果把十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字調(diào)換后，所得的兩位數(shù)乘以原來(lái)的兩位數(shù)就得1855，求這個(gè)兩位數(shù)．【分析】設(shè)個(gè)位為x，則十位上的數(shù)字為8﹣x，根據(jù)如果十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，則所得兩位數(shù)乘以原來(lái)的兩位數(shù)就得1855，求解即可．【解答】解：設(shè)原來(lái)個(gè)位為x，則十位上的數(shù)字為8﹣x，由題意得，[10×（8﹣x）+x][10x+8﹣x]＝1855解得：x1＝3，x2＝5，原來(lái)十位上的數(shù)字為5或3，答：原來(lái)這個(gè)兩位數(shù)53或35．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是表示出對(duì)調(diào)前后兩位數(shù)的表示方法．20．（2022秋?綠園區(qū)校級(jí)期末）為改善生態(tài)環(huán)境，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，某村規(guī)劃將一塊長(zhǎng)18米，寬10米的矩形場(chǎng)地建設(shè)成綠化廣場(chǎng)，如圖，內(nèi)部修建三條寬相等的小路，其中一條路與廣場(chǎng)的長(zhǎng)平行，另兩條路與廣場(chǎng)的寬平行，其余區(qū)域種植綠化，使綠化區(qū)域的面積為廣場(chǎng)總面積的80%．（1）求該廣場(chǎng)綠化區(qū)域的面積；（2）求廣場(chǎng)中間小路的寬．【分析】（1）根據(jù)該廣場(chǎng)綠化區(qū)域的面積＝廣場(chǎng)的長(zhǎng)×廣場(chǎng)的寬×80%，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)廣場(chǎng)中間小路的寬為x米，根據(jù)矩形的面積公式（將綠化區(qū)域合成矩形），即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）18×10×80%＝144（平方米）．答：該廣場(chǎng)綠化區(qū)域的面積為144平方米．（2）設(shè)廣場(chǎng)中間小路的寬為x米，依題意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝144，整理，得：x2﹣19x+18＝0，解得：x1＝1，x2＝18（不合題意，舍去）．答：廣場(chǎng)中間小路的寬為1米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋?昆明期末）2016年，某貧困戶(hù)的家庭年人均純收入為2500元，通過(guò)政府產(chǎn)業(yè)扶持，發(fā)展了養(yǎng)殖業(yè)后，到2018年，家庭年人均純收入達(dá)到了3600元．（1）求該貧困戶(hù)2016年到2018年家庭年人均純收入的年平均增長(zhǎng)率；（2）若家庭年人均純收入達(dá)到4000元就可以脫貧，年平均增長(zhǎng)率保持不變，那么2019年該貧困戶(hù)是否能脫貧？【分析】（1）設(shè)該貧困戶(hù)2016年到2018年家庭年人均純收入的年平均增長(zhǎng)率為x，利用該貧困戶(hù)2018年家庭年人均純收入＝該貧困戶(hù)2016年家庭年人均純收入×（1+增長(zhǎng)率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）利用該貧困戶(hù)2019年家庭年人均純收入＝該貧困戶(hù)2018年家庭年人均純收入×（1+增長(zhǎng)率），可求出該貧困戶(hù)2019年家庭年人均純收入，再將其與4000比較后即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)該貧困戶(hù)2016年到2018年家庭年人均純收入的年平均增長(zhǎng)率為x，依題意得：2500（1+x）2＝3600，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：該貧困戶(hù)2016年到2018年家庭年人均純收入的年平均增長(zhǎng)率為20%．（2）3600×（1+20%）＝4320（元），∵4320＞4000，∴2019年該貧困戶(hù)能脫貧．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．22．（2021秋?莘縣期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中國(guó)已經(jīng)得到有效控制，但在全球卻開(kāi)始持續(xù)蔓延，這是對(duì)人類(lèi)的考驗(yàn)，將對(duì)全球造成巨大影響．新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進(jìn)行有效隔離，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有169人患新冠肺炎（假設(shè)每輪傳染的人數(shù)相同）．求：（1）每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了幾個(gè)人？（2）如果這些病毒攜帶者，未進(jìn)行有效隔離，按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有多少人患?。俊痉治觥浚?）設(shè)每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了x個(gè)人，根據(jù)一人患病后經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有169人患病，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)經(jīng)過(guò)三輪傳染后患病人數(shù)＝經(jīng)過(guò)兩輪傳染后患病人數(shù)×（1+12），即可求出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了x個(gè)人，依題意，得：1+x+x（1+x）＝169，解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合題意，舍去）．答：每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了12個(gè)人．（2）169×（1+12）＝2197（人）．答：按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有2197人患?。军c(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．23．（2022秋?渝中區(qū)期末）渝中區(qū)正在進(jìn)行舊城改造和旅游升級(jí)，即將改造完畢的大田灣體育場(chǎng)外廣場(chǎng)正在打造體育生態(tài)公園，實(shí)現(xiàn)體育與環(huán)境的完美結(jié)合，為周邊群眾創(chuàng)造更加舒適的健身休閑環(huán)境．體育場(chǎng)準(zhǔn)備利用一堵呈“L”形的圍墻（粗線A﹣B﹣C表示墻，墻足夠高）改建室外籃球場(chǎng)，如圖所示，已知AB⊥BC，AB＝10米，BC＝70米，現(xiàn)計(jì)劃用總長(zhǎng)為121米的圍網(wǎng)圍建呈“日”字形的兩個(gè)籃球場(chǎng)，并在每個(gè)籃球場(chǎng)開(kāi)一個(gè)寬2米的門(mén)，如圖所示（細(xì)線表示圍網(wǎng)，兩個(gè)籃球場(chǎng)之間用圍網(wǎng)GH隔開(kāi)），為了充分利用墻體，點(diǎn)F必須在線段BC上．（1）如圖，設(shè)EF的長(zhǎng)為x米，則DE＝（135﹣3x）米；（用含x的代數(shù)式表示）（2）若圍成的籃球