專題11平行線分線段成比例（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)2種題型1種中考考法）（解析版）-初中數(shù)學(xué)北師大版9年級(jí)上冊(cè)

專題11平行線分線段成比例（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)2種題型1種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.平行線分線段成比例的基本事實(shí)（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)2.平行線分線段成比例的推論（重點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1.運(yùn)用平行線分線段成比例及推論求值題型2.利用平行線分線段成比例的推論進(jìn)行證明【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法.平行線分線段成比例【方法四】成果評(píng)定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握平行線分線段成比例的基本事實(shí)及其推論。能熟練運(yùn)用平行線分線段成比例的基本事實(shí)及其推論解決相關(guān)問(wèn)題。【知識(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.平行線分線段成比例的基本事實(shí)（重點(diǎn)）平行線分線段成比例的基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的線段對(duì)應(yīng)成比例。數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖：簡(jiǎn)單記為：平行線分線段成比例速記口訣?。?！平行線分線段，成比例是關(guān)鍵。先找出平行線，再找出上、下、全，對(duì)應(yīng)之比均相等，代入數(shù)值求線段?！纠?】如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點(diǎn)A、B、C，截直線l5于點(diǎn)D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的長(zhǎng)．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的長(zhǎng)．【分析】（1）由平行線分線段成比例定理得出比例式，即可得出DE的長(zhǎng)；（2）由平行線分線段成比例定理得出比例式，求出BC的長(zhǎng)，即可得出AC的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3．∴＝＝，∴DE＝EF＝6；（2）∵l1∥l2∥l3．∴＝，∴BC＝AB＝×6＝9，∴AC＝AB+BC＝6+9＝15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理；熟練掌握平行線分線段成比例定理，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式】如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點(diǎn)A，B，C，直線DF分別交l1，l2，l3于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，AC與DF相交于點(diǎn)G，且AG=2，GB=1，BC=5，則的值為（）B.2C.D.【答案】D提示：∵AG=2，GB=1，∴AB=AG+BG=3，∵直線l1∥l2∥l3，∴=，知識(shí)點(diǎn)2.平行線分線段成比例的推論（重點(diǎn)）平行線分線段成比例的基本事實(shí)的推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例。數(shù)學(xué)表達(dá)式：如上圖1【例2】如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，，，．【答案】【分析】由，可得，根據(jù)，可得，問(wèn)題隨之解得．解：∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形中平行線分線段成比例的知識(shí)，掌握相應(yīng)的考點(diǎn)知識(shí)，是解答本題的關(guān)鍵．【變式】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，且DE∥BC，AD＝3，AB＝4，AC＝6，求EC．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得：AE＝，∴EC＝AC﹣AE＝6﹣＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【例3】如圖，，，，求的值．【答案】．【解析】由，得：，又， 可得，故．【總結(jié)】考查相似三角形中“”字型的綜合應(yīng)用，得到比例關(guān)系．【變式】如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，若，則 ．【答案】．【解析】，可知， 由，可知，故．【總結(jié)】初步認(rèn)識(shí)相似三角形中的“”字型．【方法二】實(shí)例探索法題型1.運(yùn)用平行線分線段成比例及推論求值1.如圖，中，，，，，，求的長(zhǎng)．【答案】．【解析】，，即，求得：．【總結(jié)】相似三角形中“”字型和“”字型的綜合應(yīng)用，可得到相等比例關(guān)系式．2.如圖，已知直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1、l2、l3所截．若AB＝3cm，BC＝5cm，EF＝4cm．（1）求DE、DF的長(zhǎng)；（2）如果AD＝40cm，CF＝80cm，求BE的長(zhǎng)．【分析】（1）利用平行線分線段成比例定理求解；（2）過(guò)點(diǎn)A作AK∥DF交BE于點(diǎn)J，交CF于點(diǎn)K，則AD＝JE＝FK＝40cm．求出BJ，可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，∴＝，∴＝，∴DE＝（cm），∴DF＝DE+EF＝4+＝（cm）．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AK∥DF交BE于點(diǎn)J，交CF于點(diǎn)K，則AD＝JE＝FK＝40cm．∴CK＝CF﹣FK＝40cm，∵BJ∥CK，∴＝，∴＝，∴BJ＝15cm，∴BE＝BJ+JE＝15+40＝55cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．題型2.利用平行線分線段成比例的推論進(jìn)行證明3.如圖，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB＝1：3，AE＝3．（1）求EC的值；（2）求證：AD?AG＝AF?AB．【分析】（1）由平行可得＝，可求得AC，且EC＝AC﹣AE，可求得EC；（2）由平行可知＝＝，可得出結(jié)論．【解答】（1）解：∵DE∥BC，∴＝，又＝，AE＝3，∴＝，解得AC＝9，∴EC＝AC﹣AE＝9﹣3＝6；（2）證明：∵DE∥BC，EF∥CG，∴＝＝，∴AD?AG＝AF?AB．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線分線段成比例的性質(zhì)，掌握平行線分線段所得線段對(duì)應(yīng)成比例是解題的關(guān)鍵．4.如圖，為對(duì)角線上任意一點(diǎn)．求證：．

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，進(jìn)而根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，由此即可證明．解：四邊形為平行四邊形，，，∴∴，．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，平行四邊形的性質(zhì)，熟知平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．5.如圖，中，過(guò)D的直線交，及的延長(zhǎng)線于E，F(xiàn)，G．求證：．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)平行線分線段成比例即可求證．解：∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，，∴，即．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理指的是兩條直線被一組平行線（不少于3條）所截，截得的對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例．6.如圖：△ABC中，MDAB，MNAE．求證：＝．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理證明即可．解：∵M(jìn)DAB，∴＝．∵M(jìn)NAE，∴＝．∴＝＝，即＝．【點(diǎn)撥】本題考查平行線分線段成比例定理，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．7.在△ABC中，DB＝CE，DE的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于P，求證：AD?BP＝AE?CP．【分析】過(guò)點(diǎn)C作CG∥DP交AB于G，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，，變形比例式表示DG，得，又BD＝EC，得到，化為等積式即可．解：過(guò)點(diǎn)C作CG∥DP交AB于G，∴，，∴，，∴，∵BD＝EC，∴，∴．【點(diǎn)撥】此題主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出合適的輔助線，利用性質(zhì)和等量關(guān)系求解．8.如圖，在中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，點(diǎn)為中點(diǎn)，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，求證：．【分析】過(guò)點(diǎn)D作DF∥BE交AC于F，利用平行線分線段成比例定理推理即可．解：過(guò)點(diǎn)D作DF∥BE交AC于F，∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴AH=HD，∵DF∥BE，∴，∴AE=EF，∵DF∥BE，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線分線段成比例定理，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)作平行線，熟練運(yùn)用平行線分線段成比例定理進(jìn)行推理證明．9.如圖，正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，的平分線交于G，交于F，求證：．【分析】過(guò)O作交于點(diǎn)P，根據(jù)正方形性質(zhì)及平行線得到，，，再根據(jù)的平分線交于G可得，從而得到，即可得到，由三角形內(nèi)角和可得得到，即可得到，最后根據(jù)平行線所截線段對(duì)應(yīng)成比例即可得到證明．解：過(guò)O作交于點(diǎn)P，∵正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，且，∴，，，∵是的平分線，∴，∴，∵，∴，在中，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，．【點(diǎn)撥】本題考查正方形的性質(zhì)及平行線所截線段對(duì)應(yīng)成比例等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證得．【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法.平行線分線段成比例1．（2023?吉林）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E．若AD＝2，BD＝3，則的值是（）A． B． C． D．【分析】由DE∥BC，利用平行線分線段成比例，可得出＝，再代入AD＝2，BD＝3，AB＝AD+BD，即可求出結(jié)論．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝＝＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例，牢記“平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例”是解題的關(guān)鍵．2．（2022?臨沂）如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，則EC＝（）A． B． C． D．【分析】利用平行線分線段成比例定理解答即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∴，∴，∴EC＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，正確使用定理得出比例式是解題的關(guān)鍵．3．（2021?阿壩州）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線a，b與l1，l2，l3分別交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn)．若AB：BC＝2：3，EF＝9，則DE的長(zhǎng)是（）A．4 B．6 C．7 D．12【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出AB：BC＝DE：EF，再求出答案即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴AB：BC＝DE：EF．∵AB：BC＝2：3，EF＝9，∴DE＝6．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．4．（2023?北京）如圖，直線AD，BC交于點(diǎn)O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，F(xiàn)D＝2，則的值為．【分析】根據(jù)題意求出AF，再根據(jù)平行線分線段成比例定理計(jì)算即可．【解答】解：∵AO＝2，OF＝1，∴AF＝AO+OF＝2+1＝3，∵AB∥EF∥CD，∴＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．（2021?郴州）如圖是一架梯子的示意圖，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．為使其更穩(wěn)固，在A，D1間加綁一條安全繩（線段AD1）量得AE＝0.4m，則AD1＝m．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到AE＝EF，同理得到AD1＝3AE，計(jì)算即可．【解答】解：∵BB1∥CC1，∴＝，∵AB＝BC，∴AE＝EF，同理可得：AE＝EF＝FD1，∵AE＝0.4m，∴AD1＝0.4×3＝1.2（m），故答案為：1.2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．（2022?襄陽(yáng)）如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，△ABC的角平分線AE交BD于點(diǎn)F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，則△ABC的周長(zhǎng)為．【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥AC于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)D作DT∥AE交BC于點(diǎn)T．證明AB＝3AD，設(shè)AD＝CD＝a，證明ET＝CT，設(shè)ET＝CT＝b，則BE＝3b，求出a+b，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥AC于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)D作DT∥AE交BC于點(diǎn)T．∵AE平分∠BAC，F(xiàn)M⊥AB，F(xiàn)N⊥AC，∴FM＝FN，∴＝＝＝3，∴AB＝3AD，設(shè)AD＝DC＝a，則AB＝3a，∵AD＝DC，DT∥AE，∴ET＝CT，∴＝＝3，設(shè)ET＝CT＝b，則BE＝3b，∵AB+BE＝3，∴3a+3b＝3，∴a+b＝，∴△ABC的周長(zhǎng)＝AB+AC+BC＝5a+5b＝5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線分線段成比例定理，角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．【方法四】成果評(píng)定法一、單選題1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，D在邊上，，O是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，若，則的長(zhǎng)為（

）

A．2 B．2.5 C．3 D．4【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)D作交于F，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，，，再根據(jù)O是的中點(diǎn)，可得，進(jìn)而解答即可．【詳解】解：如圖，作交于F，

∵，O是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．過(guò)分點(diǎn)作平行線構(gòu)建平行線分線段成比例定理的基本圖形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是平行四邊形對(duì)角線上的點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為（

）

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】可證，從而可求，即可求解．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，掌握性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)西安市鐵一中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，，且，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)，再根據(jù)平行線分線段成比例定理可得．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了行線分線段成比例定理，正確得到是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)D在邊上，交邊于點(diǎn)E，若，，則線段的長(zhǎng)為（

）

A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得計(jì)算即可．【詳解】∵，，∴，∵，∴，解得：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是找到．5．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，則下列比例式中正確的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例判斷各項(xiàng)即可．【詳解】解：A．由，得，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．由，得，又由，得，則，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確；C．由，得，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．6．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，D、E分別為邊的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)F為邊上一點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)N，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，可推出,根據(jù)中位線定理分析求解．【詳解】解：∵D、E分別為邊的中點(diǎn)，∴.∴∴,

.∴.∵，∴.∴.所以，正確，錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，中位線定理；由平行線的位置關(guān)系得到線段間數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知，，那么下列結(jié)論中，正確的是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理求解．【詳解】解：∵，，∴，故A選項(xiàng)正確；，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；的值無(wú)法確定，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；的值無(wú)法確定，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題關(guān)鍵是掌握：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．8．（2023秋·河南許昌·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，，，則（

）

A．12 B．18 C．24 D．26【答案】C【分析】由可得，從而得到，最后由進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，平行線分線段成比例定理指的是兩條直線被一組平行線（不少于3條）所截，截得的對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例，熟練掌握此定理是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線是矩形的一條對(duì)稱軸，點(diǎn)在邊上，將沿折疊，點(diǎn)恰好落在與的交點(diǎn)處，若，則的長(zhǎng)為（

）

A．4 B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形面積公式可求的長(zhǎng)．【詳解】解：四邊形是矩形，，直線是矩形的一條對(duì)稱軸，，，，由折疊得：，，，，∵，∴，∴，，，，，，，解得．故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．解決本題的關(guān)鍵是求出．10．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，．點(diǎn)F是中點(diǎn)，連接，把線段沿射線方向平移到，點(diǎn)D在上．則線段在平移過(guò)程中掃過(guò)區(qū)域形成的四邊形的周長(zhǎng)和面積分別是(

)

A．16，6 B．18，18 C．16.12 D．12，16【答案】C【分析】先論證四邊形是平行四邊形，再分別求出、、，繼而用平行四邊形的周長(zhǎng)公式和面積公式求解即可．【詳解】由平移的性質(zhì)可知：，∴四邊形是平行四邊形，在中，，，，∴在中，，，點(diǎn)F是中點(diǎn)∴∵，點(diǎn)F是中點(diǎn)∴，，∴點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴∵D是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是中點(diǎn)，∴是的中位線，∴∴四邊形的周長(zhǎng)為：，四邊形的面積為：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，平行線分線段成比例，三角形中位線定理等知識(shí)，推導(dǎo)四邊形是平行四邊形和是的中位線是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，，如果，，，那么．

【答案】/【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，，，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足所列方程，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理、解分式方程，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解答的關(guān)鍵，注意比例線段要對(duì)應(yīng)．12．（2023秋·山西大同·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】如圖，取的中點(diǎn)F，連接，由中位線定理得，由平行線分線段成比例定理，得，所以，得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)F，連接，∵，∴是的中位線，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查中位線定理，平行線分線段成比例定理，添加輔助線，構(gòu)造中位線是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)是矩形的對(duì)角線的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可求出，再利用平行線分線段成比例求出，最后由勾股定理可得，進(jìn)而解答即可．【詳解】∵四邊形是矩形，∴，，∵是矩形的對(duì)角線的中點(diǎn)，∴，∴，，∵，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，利用平行線分線段成比例求的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．14．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，平分，交于點(diǎn)，且，，交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)是．

【答案】6【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得，結(jié)合即可得出答案．【詳解】解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，理解并掌握平行線分線段成比例定理是解題關(guān)鍵．15．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，，、相交于點(diǎn)，，，，則的長(zhǎng)．

【答案】【分析】利用平行線證明判定三角形相似，得到線段成比例求解．【詳解】解：，，即，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似判定和性質(zhì)，利用這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，平分，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，且是的中點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】作交于點(diǎn)，由平行線分線段成比例定理可證，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：作交于點(diǎn)，

，．是的中點(diǎn)，，，．，．平分，．，在與中，，，，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，三角形的中位線，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理等知識(shí)，證明是解答本題的關(guān)鍵．17．（2023·河南信陽(yáng)·?？既＃┤鐖D，在中，，，點(diǎn)分別在邊上，且，連接，相交于點(diǎn)，則面積最大值為．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得則，根據(jù)已知，可得，在以為直徑的圓上，設(shè)圓心為，當(dāng)時(shí)，的面積最大為：，即可求出此時(shí)的最大面積．【詳解】解：，，，如圖，過(guò)點(diǎn)作，

則，，，，，，，，，在以為直徑的圓上，設(shè)圓心為，當(dāng)時(shí)，的面積最大為：，此時(shí)的面積最大為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理和三角形面積公式的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理．18．（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，矩形中，點(diǎn)E在邊上，連接，，交于點(diǎn)F，若，，則邊長(zhǎng)為．

【答案】【分析】連接，由矩形的性質(zhì)可得，即可得到，即，再由，可得，得到，由平行線分線段成比例可得，求得，最后在和中利用勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：連接，

∵矩形，∴，，，，∴，∴在中，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∵在中，中，，∴，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題綜合考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，難度比較大，解題的關(guān)鍵是有得到．三、解答題19．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，為對(duì)角線上任意一點(diǎn)．求證：．

【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，進(jìn)而根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，由此即可證明．【詳解】證明：四邊形為平行四邊形，，，∴∴，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，平行四邊形的性質(zhì)，熟知平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．20．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，為平行四邊形的對(duì)角線上一點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求的值．

【答案】【分析】由，可得，即，得出，由，可得：．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，，，，∵，∴，即，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理，求出．21．（2023秋·福建莆田·九年級(jí)福建省莆田市中山中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知直線、、分別截直線于點(diǎn)A、B、C，截直線于點(diǎn)D、E、F，且．如果，，求的長(zhǎng)．

【答案】15【分析】由平行線分線段成比例定理得出比例式，求出的長(zhǎng)，即可得出的長(zhǎng)．【詳解】解：．，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理；熟練掌握平行線分線段成比例定理，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．22．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)D在線段上，，，，，求的長(zhǎng)．

【答案】3【分析】過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．由平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，由等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得，由平行線等分線段定理可得，再結(jié)合可得，最后將代入即可解答．【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．

，；又，，

，

．，

．又，

．．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線等分線段定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握平行線等分線段定理是解答本題的關(guān)鍵．23．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）如圖，在中，是邊上的中線，于點(diǎn)于點(diǎn)．

(1)求證：．(2)若，求的度數(shù)