湖南省“一起考”大聯(lián)考2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期3月模擬考試（模擬一）數(shù)學(xué)含答案

湖南省2024屆高三“一起考”大聯(lián)考（模擬一）數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知，若為純虛數(shù)，則（）

A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，且為純虛?shù)，所以解得，故選A.2．已知，，與的夾角為，則（）

A. B. C. D.【答案】C【解析】，故選C.3．已知函數(shù)的圖象如圖所示，那么該函數(shù)的解析式可能為（）

A. B.

C. D.【答案】B【解析】由圖可知，函數(shù)為奇函數(shù)，而中對(duì)應(yīng)的函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，排除；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，排除；當(dāng)時(shí)，從圖象可知，，而對(duì)于，，，所以，與圖象不符，排除D.故選B.4．冬日來(lái)臨，某奶茶店推出了新款奶茶—“冰桶”系列，受到了年輕消費(fèi)者的喜愛(ài).已知該系列奶茶的容器可以看作是一個(gè)圓臺(tái)與一個(gè)圓柱拼接而成，其軸截面如圖所示，其中，，，，則該容器的容積為(不考慮材料厚度)（）

A. B.

C. D.【答案】D【解析】由題意得，圓臺(tái)的高，故該容器的容積，故選D.5．直線分別與軸、軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（）

A. B. C. D.【答案】A【解析】：因?yàn)橹本€分別與軸、軸交于兩點(diǎn)，所以，，，則.因?yàn)閳A的圓心為，則圓心到直線的距離，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，故點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為，則，故選A.6．已知函數(shù)，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后可以得到的圖象，則的一個(gè)對(duì)稱中心為（）

A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得：，則，故對(duì)稱中心為，，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱中心為，故選D.7．如圖所示，面積為的扇形中，，分別在軸上，點(diǎn)在弧上(點(diǎn)與點(diǎn)，不重合)，分別在點(diǎn)，作扇形所在圓的切線，，且與交于點(diǎn)，其中與軸交于點(diǎn)，則的最小值為（）

A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)樯刃蔚拿娣e為，即，所以.設(shè)，則在Rt中，.連接，根據(jù)切線的性質(zhì)知，，則在Rt中，，，.令，則，且，所以原式，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，又，所以時(shí)，取得最小值，為，故選B.8．設(shè)，，，則（）

A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，，，設(shè)，，所以，所以函數(shù)在[0，0.2]上單調(diào)遞增，所以，即.根據(jù)已知得，可設(shè)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.綜上，.故選C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知，則（）

A.

B.

C.

D.【答案】BD【解析】對(duì)于和，因?yàn)椋?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，若，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，所以，由，及，可知，則當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，故D正確.故選BD.

10．如圖，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與所成的角的大小為B.直線平面C.平面平面D.四面體外接球的體積與正方體的體積之比為【答案】ABD【解析】對(duì)于，連接，，如圖，由正方體的結(jié)構(gòu)特征知，，即為正三角形.又因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，則，因此直線與所成的角即為直線與所成的角，即或其補(bǔ)角，又，所以直線與所成的角的大小為正確；對(duì)于，平面，平面，故直線平面，正確；對(duì)于，取的中點(diǎn)為，連接，顯然，的中點(diǎn)為，則，假設(shè)平面平面，而平面平面，于是平面，又平面，則，與矛盾，錯(cuò)誤；

對(duì)于，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則正方體的體積為，又因?yàn)樗拿骟w的三條側(cè)棱，，兩兩垂直，則它的外接球即為以，，為棱的長(zhǎng)方體的外接球，于是球的直徑，體積為，于是，正確，故選.11．玻璃缸中裝有2個(gè)黑球和4個(gè)白球，現(xiàn)從中先后無(wú)放回地取2個(gè)球.記“第一次取得黑球”為，“第一次取得白球”為，“第二次取得黑球”為，“第二次取得白球”為，則（）

A. B.

C. D.【答案】BCD【解析】由題意，第一次取得黑球的概率，第一次取得白球的概率，第一次取得黑球、第二次取得黑球的概率，第一次取得白球、第二次取得白球的概率，則，所以錯(cuò)誤；第一次取得黑球、第二次取得白球的概率，第一次取得白球、第二次取得黑球的概率，則，所以B正確；由，，得，所以C正確；由，得，所以D正確.故選BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知全集，集合，，則_______.【答案】【解析】由已知，又，所以.13．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，是上一點(diǎn)，且，是線段上靠近的三等分點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為_(kāi)______.【答案】【解析】由題意，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，因?yàn)?，所以?因?yàn)椋?，所以，則，即，整理得.由，得，解得或(舍去)，所以橢圓的離心率為.14．已知數(shù)列為公差不為0的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列，設(shè)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，，記，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則_______.【答案】573【解析】由數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，解得或(舍去)，所以，則.當(dāng)時(shí)，，即，共有個(gè)，因?yàn)?，所以，令，則，兩式相減得，則，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且，.（1）證明：是銳角三角形；（2）若，求的面積.【解析】解：（1）證明：因?yàn)?，所以由正弦定理得，整理?所以由余弦定理得，因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，所以?/p>

所以，所以是銳角三角形.（2）因?yàn)椋?，所?在中，由正弦定理得，即，所以，所以的面積為.16．如圖，在多面體中，四邊形和四邊形是全等的直角梯形，且這兩個(gè)梯形所在的平面相互垂直，其中，.（1）證明：平面；（2）求平面和平面的夾角的余弦值.【解析】解：（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，又，即，且平面，所以平面，又平面，?又，即，且，，平面，所以平面.（2）取的中點(diǎn)，連接，如圖，由，得，故四邊形為平行四邊形，則，又，所以.由（1）知平面，所以，，則直線，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，由勾股定理得，，由全等關(guān)系知，，故，，，，，，，從而，.設(shè)平面的法向量為，故令，則，，故.由（1）知平面，故平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面和平面的夾角為，故.17．已知函數(shù)，.（1）若的極大值為1，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求證.【解析】解：（1）的定義域?yàn)椋?

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，函數(shù)無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以在)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得極大值，極大值為，解得.經(jīng)驗(yàn)證符合題意，故實(shí)數(shù)的值為.（2）證明：當(dāng)時(shí)，，故要證，即證，令，則，，令，，則所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，所以，使得，?當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)椋矗?，所以，即，故得證.18．某市教育局為了調(diào)查學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)是否與學(xué)生的年級(jí)有關(guān)，從全市隨機(jī)抽取了50位高二學(xué)生和位高三學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，每位學(xué)生對(duì)“是否熱愛(ài)數(shù)學(xué)”提出“熱愛(ài)”或“不熱愛(ài)”的觀點(diǎn)，得到如下數(shù)據(jù)：觀點(diǎn)高二高三熱愛(ài)3020不熱愛(ài)20（1）以該50名高二學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)的頻率作為全市高二學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)的概率，從全市的高二學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生，記為這3名學(xué)生中熱愛(ài)數(shù)學(xué)的學(xué)生入數(shù)，求的分布列和期望；（2）若根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為熱愛(ài)數(shù)學(xué)與學(xué)生的年級(jí)有關(guān)，求實(shí)數(shù)的最小值.附：. 0.0500.0100.001 3.8416.63510.828【解析】解：（1）由題意可知，高二學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)的概率為，則，，，，故的分布列為 0123 的期望為.（2）由題意得，，令，則，因?yàn)樵谏虾愦笥?，所以在上單調(diào)遞增，而，，所以實(shí)數(shù)的最小值為57.19．已知雙曲線一個(gè)頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線的右支于，兩點(diǎn)，記，，的面積分別為，，.當(dāng)與軸垂直時(shí)，的值為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若交軸于點(diǎn)，，，求證：為定值；（3）在（2）的條件下，若，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】解：（1）由題意