線性方程組的解法討論畢業(yè)論文

目錄1引言 1 12.1國(guó)外研究現(xiàn)狀 12.2國(guó)外研究現(xiàn)狀評(píng)價(jià) 22.3提出問(wèn)題 2 2 3 6 94.1高斯消元法 94.2用克拉默（Cramer）法則解線性方程組 5結(jié)論.................................................................15 5.2啟示 5.3局限性...............................................................15 1引言求解線性方程組AX=b是科學(xué)計(jì)算的中心問(wèn)題[1].對(duì)于系數(shù)矩陣為低階稠密矩陣的線性方程組可以用直接法進(jìn)行消元.對(duì)于大規(guī)模線性方程組的求解問(wèn)題，特別是大規(guī)模稀疏線性方程組，直接法會(huì)顯得比較繁瑣因.此，探討線性方程組的解法就成了當(dāng)前數(shù)學(xué)在科技、工程、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)等各個(gè)領(lǐng)域中，很多問(wèn)題常常歸結(jié)為線性方程.有些問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型雖不直接表現(xiàn)為求解線性方程，但其數(shù)值解法中卻需將該問(wèn)題“離散化”或“線性化”為線性方程組[10].隨著計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)量的日益增大和計(jì)算機(jī)速度的迅速提高，使得求解線性代數(shù)方程組的直接求法如高斯消去法等在計(jì)算機(jī)上可以用來(lái)求解大規(guī)模論的日臻完善，進(jìn)一步斷定了直接方法的巨大使用價(jià)值和可靠性，因而在近三十年來(lái)直接法被廣泛地采用，在科學(xué)研究和大型工程設(shè)計(jì)中出現(xiàn)了越來(lái)越多的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而這些問(wèn)題往往需要求數(shù)值解，在進(jìn)行數(shù)值求解時(shí)，經(jīng)離散后，常常歸結(jié)為求解行如Ax=b的大型線性方程組.理中，線性方程組的求解是最常見的問(wèn)題之一因.此，找到一種行之有效的方法來(lái)解線性方程組可以給計(jì)算帶來(lái)很大的便利，提高人們的工作效率.2.1國(guó)外研究現(xiàn)狀目前，國(guó)外對(duì)線性方程組解法的研究已從各個(gè)方面進(jìn)行了一定的探討，得出了一系了齊次與非齊次線性方程組重要理論的應(yīng)用舉例，文獻(xiàn)[13-14]花威談了線性方程組在高等代數(shù)中的應(yīng)用.2.2國(guó)外研究現(xiàn)狀評(píng)價(jià)國(guó)外對(duì)線性方程組的研究多偏重于計(jì)算方法和應(yīng)用方面的研究，分別從商品利潤(rùn)問(wèn)題、交通問(wèn)題、在解析幾何中的應(yīng)用問(wèn)題、解決高等代數(shù)等方面進(jìn)行研究，對(duì)線性方程組的系統(tǒng)討論及怎樣選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?，給出的研究不多.2.3提出問(wèn)題針對(duì)國(guó)外研究現(xiàn)狀，本文把以上文章中的所有問(wèn)題進(jìn)的方程組，叫做線性方程組，其中xx…x代表n個(gè)未知量的系數(shù)，m是方程的個(gè)數(shù)；aij(i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)稱為方程組的系數(shù)bi(i=1,2,…,s)稱為常數(shù)項(xiàng).若方程組(1.1)中b,b,b全為0，即（1.2）形如（1.2）的方程組叫做齊次線性方程組EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up0(的),n)(1)若齊次線性方程組r(A)=n，則只有零解；解的性質(zhì)：記V={xAx=0},n-r是任意常數(shù)，其中n-r是Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.例1[15]解線性方程組解方法一：將系數(shù)矩陣A化為階梯形矩陣=0.例2[2]解線性方程組解將系數(shù)矩陣A化為簡(jiǎn)化階梯形矩陣2321411230-1-2-2-6| -1-2-2-6」EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up15(r),—r)EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up9(1),r)可得r(A)=2<n，則方程組有無(wú)窮多解{1x3-2x34-2x455xx3[例例3[3]求齊次線性方程組{lEQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up6(x),x)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2147483643(1),1)-2x+x-x解將系數(shù)矩陣A化成簡(jiǎn)化階梯形矩陣可得r(A)=2<n，則方程組有無(wú)窮多解，其同{12-x3x,x由上面的定理可知，若m是系數(shù)矩陣的行數(shù)（也即方程的個(gè)數(shù)），n是未知量的個(gè)數(shù)，則有：（3）當(dāng)m=n且r(A)=n時(shí)，此時(shí)系數(shù)矩陣的行列式A≠0，故齊次線性方程組只有零解；（1.3）n2x2n形如（1.3）的方程組叫做非齊次線性方程組，常記為矩陣形式:Ax=b.其中EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up0(的),n)(2)無(wú)解：r(A)≠r(A)今線性方程組無(wú)解.}{}-ξ2常數(shù),其中η是Ax=β的一個(gè)解(稱為特解)，ξ,ξ,n-rn-r12n-r,ξ是Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.n-r例4[7]解線性方程組·可見r(A)=r(A)=3，則方程組有唯一解.所以方程組的解為[-2x例5[1]例5[1]解線性方程組{lEQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up7(x),x)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2147483644(1),1)2-2x2233-2x3「-2解A=(AB)=11-2111-2-2-24」-2-33可見r(A)=3≠r(A)=2，所以原方程組無(wú)解.例例6解線性方程組{l-2EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up9(x),2)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2147483646(1),x)122-x3-2x34-3x44（其中x3,x4為自由未知量）令x3又原方程組的導(dǎo)出組的同解方程組為（其中x3,x4為自由未知量）所以，原方程組的通解為4.1高斯消元法形得到的主元素消去法、三角分解法，是最基礎(chǔ)和最直接的求解線性方程組的方法，其中涉及到三種對(duì)方程的同解變換：（1）把某個(gè)方程的k倍加到另外一個(gè)方程上去；（2）交換某兩個(gè)方程的位置；這三種變換統(tǒng)稱為線性方程組的初等變換.高斯消元法的基本思想是：通過(guò)一系列的加減消元運(yùn)算，也就是代數(shù)中的加減消去法，將方程組化為上三角矩陣；然后，再逐一回代求解出x向量.現(xiàn)舉例說(shuō)明如下：例7解線性方程組解分別將第一個(gè)方程的(-3)倍，(-2)倍和2倍加到第二、三、四個(gè)方程上，整理得將此方程組第二個(gè)方程加到第四個(gè)方程上，使該方程兩邊全為零，并將第三個(gè)方程的兩邊乘以-1/5，得再將第三個(gè)方程的7倍加到第二個(gè)方程上，消去第二個(gè)方程中的未知量x，整理2得知數(shù)較少的線性方程組；當(dāng)方程個(gè)數(shù)和未知數(shù)較多時(shí)，消元較為困難.4.2用克拉默（Cramer）法則解線性方程組定理1如果方程組Ax=b中D=|A|≠0，則Ax=b有解，且解是唯一的，解為,DEQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up0(是),i)D有兩個(gè)前提條件：例8解線性方程組所以，方程組有唯一解.21-241-111-391-3931-11當(dāng)方程組的系數(shù)行列式不等于零時(shí)，方程組有解且解唯一.如果方程組無(wú)解或者有兩個(gè)不同的解時(shí)，則系數(shù)行列式必為零.如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，則沒有非零解.如果齊次線性方程組有非零解，則系數(shù)行列式必為零.用克拉默（Cramer）程個(gè)數(shù)相同的線性方程組，而且通常是解非齊次線性方程組，對(duì)齊次線性方程組，只能求出零解，非零解無(wú)法求出.Ly=b,再解Ux=y在編程過(guò)程中分兩步進(jìn)行，先對(duì)矩陣A進(jìn)行LU分解，然后再解方程組.例9用LU分解法解方程組解由LU分解TTT改變，即外加激勵(lì)信號(hào)變化時(shí)，能夠方便地求解方程組.設(shè)n階線性方程組Ax=b.將方程組左端系數(shù)矩陣A，分解成兩個(gè)三角陣的乘積[14]，即A=LU，式中的元素均為零的下三角矩陣,且主對(duì)角線元素均為1的上三角矩陣；U為主對(duì)角線以下的元素均為零.4.4逆矩陣法及廣義逆矩陣A-法例10解線性方程組Ax=b,其中A=-11解A=-12所以，系數(shù)矩陣A可逆.A-1=22-5-341-39,1,-2,5要討論如何將上述方法加以推廣，使之能運(yùn)用到一般的線性方程組的求解中.矩陣，記作A-.矩陣A的{1}-逆總是存在的，但一般不是惟一的[12]，矩陣A的{1}-逆的全體記為A{1}.n×m矩陣，矩陣A的一個(gè){1}-廣義逆矩陣為-V-A-AVAA-,同時(shí)還可以表示為G=A-+V(E-AA)+A-A)W.廣義逆矩陣A的-計(jì)算：m×m和n階置換矩陣Q使得rm則對(duì)任意的L∈C(n)×(m-r)是A的一個(gè){1}-廣義逆矩陣.若存在T∈Cn×n使得n則矩陣的{1}-逆的全體m×n，則A有惟一{1}逆的充分必要條件是m=n，且r(A)=n，即A可逆.這個(gè)惟一的{1}逆就是A-1.-b-A)y，其中y是任意的n維列向量.定理2[14]設(shè)線性方程組Ax=b有解，A-是m×n矩陣A的一{1}-廣義逆矩陣，并定理3[15]設(shè)A-為m×n矩陣A的一個(gè){1}-廣義逆矩陣，且(AA-)H=A，則對(duì)任意的n維列向量b,y=A-b一定是線性方程組Ax=b的最小二乘解.例11解線性方程組解令通過(guò)行初等變換得到4可以驗(yàn)證AA-b=(5,14,4)T=b所以，線性方程組有解，且通解為多個(gè)解向量中，此法可求出一個(gè)長(zhǎng)度最短解向量，當(dāng)方程組無(wú)解時(shí)，又可求出其最優(yōu)近似解，而且該方法在概率統(tǒng)計(jì)、線性規(guī)劃等領(lǐng)域中應(yīng)用比較廣泛.5結(jié)論數(shù)的心臟，它可以應(yīng)用到很多方面，根據(jù)其重要理論可以解決很多問(wèn)題，使得一些問(wèn)題得到意想不到的簡(jiǎn)單解法.5.2啟示行分類：齊次線性方程組和非齊次線性方程組.根據(jù)不同的線性方程組的不同特征，進(jìn)而采用適當(dāng)?shù)?/p>