生物統(tǒng)計(jì)學(xué)與試驗(yàn)設(shè)計(jì)：第六章 方差分析

第六章方差分析

兩因素方差分析

單因素方差分析

方差分析的基本概念第一節(jié)方差分析的基本概念2個(gè)平均數(shù)之間差異的顯著性檢驗(yàn)一般用t-檢驗(yàn)或u-檢驗(yàn)來(lái)進(jìn)行分析3個(gè)或3個(gè)以上平均數(shù)之間差異的顯著性檢驗(yàn)是否仍然可以采用t-檢驗(yàn)或u-檢驗(yàn)來(lái)進(jìn)行分析呢？（I）工作量相當(dāng)大如果對(duì)k個(gè)（k≥3）樣本平均數(shù)進(jìn)行t-檢驗(yàn)時(shí)，需要假設(shè)檢驗(yàn)的次數(shù)為：對(duì)5個(gè)平均數(shù)進(jìn)行t-檢驗(yàn)時(shí)需要進(jìn)行10次t-檢驗(yàn)對(duì)10個(gè)平均數(shù)進(jìn)行t-檢驗(yàn)時(shí)需要進(jìn)行45次t-檢驗(yàn)（II）無(wú)統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差對(duì)同一個(gè)試驗(yàn)的多個(gè)樣本平均數(shù)進(jìn)行比較時(shí)，應(yīng)當(dāng)有一個(gè)統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差但是，如果用t-檢驗(yàn)對(duì)多個(gè)樣本平均數(shù)進(jìn)行兩兩比較時(shí)：每進(jìn)行一次t-檢驗(yàn)都需要計(jì)算一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)誤：（III）誤差估計(jì)的精確性低假設(shè)一個(gè)試驗(yàn)中，有k個(gè)（k≥3）樣本，每個(gè)樣本的樣本容量均為n■用t-檢驗(yàn)進(jìn)行兩兩比較，那么，每次只能利用兩個(gè)樣本共2n個(gè)觀測(cè)值估計(jì)試驗(yàn)誤差，誤差自由度為2（n-1）■利用整個(gè)試驗(yàn)的kn個(gè)觀測(cè)值估計(jì)試驗(yàn)誤差，誤差自由度為k（n-1）用t-檢驗(yàn)對(duì)3個(gè)或3個(gè)以上的樣本平均數(shù)進(jìn)行分析時(shí)，由于誤差自由度小，誤差估計(jì)的精確性低，使檢驗(yàn)的靈敏度降低，容易掩蓋差異的顯著性（IV）犯I型錯(cuò)誤的概率大

用t-檢驗(yàn)進(jìn)行多個(gè)樣本平均數(shù)間差異的顯著性檢驗(yàn)，隨著樣本數(shù)量的增大而增大犯I型錯(cuò)誤的概率用t-檢驗(yàn)來(lái)比較5個(gè)樣本平均數(shù)，就會(huì)有10個(gè)差數(shù)，對(duì)這10個(gè)差數(shù)都以α=0.05為顯著水平進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)■每一差數(shù)獲得正確結(jié)論的概率是1-α=0.95■10個(gè)差數(shù)都獲得正確結(jié)論的概率只有0.9510=0.5987■在10個(gè)兩兩比較中，犯I型錯(cuò)誤的概率就不再是α=0.05，而是α=1-0.5987=0.4013方差是衡量數(shù)據(jù)變異程度的特征值

平方和的平均數(shù)引起變量發(fā)生變異的原因稱為變異因素或變異來(lái)源◆方差分析就是發(fā)現(xiàn)各類變異來(lái)源相對(duì)重要性的一種方法方差分析的基本思路

把整個(gè)試驗(yàn)（設(shè)有k個(gè)樣本）資料作為一個(gè)整體來(lái)考慮，把整個(gè)試驗(yàn)的總變異按照變異的來(lái)源分解成不同來(lái)源的變異，即把總方差分解成不同來(lái)源的方差由于樣本方差等于平方和除以自由度，因此把總方差分解成不同來(lái)源的方差，就等于把總方差中的平方和、自由度分解為相應(yīng)的不同變異來(lái)源的平方和、自由度，進(jìn)而獲得不同變異來(lái)源方差的估計(jì)值，從而發(fā)現(xiàn)不同變異來(lái)源方差的相對(duì)重要性第二節(jié)單因素方差分析1.組內(nèi)樣本容量相同的單因素資料

單因素資料是指在試驗(yàn)時(shí)僅考慮一個(gè)因素，除這一因素外，其余因素均控制在同一水平上當(dāng)每一組內(nèi)的供試動(dòng)物個(gè)數(shù)相等時(shí)，就稱為組內(nèi)樣本容量相等的單因素資料試驗(yàn)因素（experimentalfactor）試驗(yàn)中所研究的影響試驗(yàn)指標(biāo)的因素

因素水平（level）試驗(yàn)因素所處的某種特定狀態(tài)或數(shù)量等級(jí)1.1數(shù)學(xué)模型和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)從一個(gè)正態(tài)總體N（μ，σ2）中隨機(jī)抽取一個(gè)樣本容量為n的樣本，則樣本中每一觀測(cè)值為：樣本平均數(shù)為：如果對(duì)上述總體施加效應(yīng)為a的處理，則樣本中每一個(gè)觀測(cè)值為：如果將N（μ，σ2）的總體分成k個(gè)亞總體，每一個(gè)亞總體施加一個(gè)效應(yīng)為ai的處理，則每一亞總體的平均數(shù)為：從每一亞總體內(nèi)抽取一個(gè)樣本容量為n的樣本，則有k個(gè)樣本：

樣本12…i…k觀測(cè)值x11…x12x1j…x1nx2nx21xi2xi1xk1x2jxk2xknxkjxinxijx22………………………………………………任何一個(gè)觀測(cè)值均具有線性模型：

1.2平方和、自由度的剖分全部觀測(cè)值的總平方和為：第1個(gè)樣本內(nèi)的平方和為：第2個(gè)樣本內(nèi)的平方和為：第i個(gè)樣本內(nèi)的平方和為：第k個(gè)樣本內(nèi)的平方和為：組內(nèi)平方和（誤差平方和）：組間變異就是k個(gè)樣本平均數(shù)的變異，其平方和、自由度為：組間均方：

組內(nèi)均方：

獲得3個(gè)均方:總均方：

組內(nèi)均方：

組間均方：

三個(gè)均方的平方和、自由度之間的關(guān)系

三個(gè)均方的自由度之間的關(guān)系

總自由度=組間自由度+組內(nèi)自由度

總自由度可以剖分為兩部分：組間自由度、組內(nèi)自由度

三個(gè)均方的平方和之間的關(guān)系

同理，第2個(gè)樣本、第i個(gè)樣本、第k個(gè)樣本都有相似的等式：第一個(gè)樣本的每個(gè)觀測(cè)值與總平均數(shù)的離差平方和：總平方和=組間平方和+組內(nèi)平方和總平方和可以剖分為兩部分：組間平方和、組內(nèi)平方和1.3F-檢驗(yàn)組間均方：組間平方和除以組間自由度組內(nèi)均方：組內(nèi)平方和除以組內(nèi)自由度如果對(duì)各亞總體施加的處理效應(yīng)足夠大，樣本平均數(shù)之間的差距就會(huì)足夠大，則組間均方就會(huì)顯著大于組內(nèi)均方，F(xiàn)值就會(huì)達(dá)到顯著水平用F值進(jìn)行的假設(shè)檢驗(yàn)稱為F-檢驗(yàn)，又稱為方差分析F-檢驗(yàn)的步驟

無(wú)效假設(shè)Ｈ0：（1）提出假設(shè)備擇假設(shè)ＨA：至少有兩個(gè)均數(shù)不相等（2）計(jì)算F值（3）查表，推斷根據(jù)第一自由度dfb、第二自由度dfe由附表5查出顯著水平α=0.05和0.01的兩個(gè)臨界值，將計(jì)算的F值與之相比較，作出推斷

■方差分析表例1：選用4種不同劑型的配合飼料作太湖豬的配合飼料劑型試驗(yàn)，每一劑型飼喂5頭太湖豬，得增重?cái)?shù)據(jù)如下，試對(duì)不同劑型飼料對(duì)太湖豬增重效果的差異進(jìn)行檢驗(yàn)。無(wú)效假設(shè)Ｈ0：（1）提出假設(shè)備擇假設(shè)ＨA：4個(gè)均數(shù)不全相等（2）計(jì)算F值解：檢驗(yàn)步驟如下：計(jì)算均方（MS）值、Ｆ值并建立方差分析表：（3）查表，推斷查附表5，F(xiàn)0.05（3，16）=3.24，F(xiàn)0.01（3，16）=5.29F＞F0.01，即P＜0.01，F(xiàn)值極顯著

否定Ｈ0，接受ＨA，即4種劑型的飼料對(duì)太湖豬增重的影響有極顯著的差異**課堂練習(xí)：為了研究長(zhǎng)白豬、杜洛克、太湖豬、新淮豬等4個(gè)不同豬種的生長(zhǎng)速度，現(xiàn)從每個(gè)品種豬中隨機(jī)抽取5頭同日齡的架子豬，在相同的飼養(yǎng)條件下飼養(yǎng)一個(gè)月后得到增重量如下，試進(jìn)行方差分析。1.4多重比較（multiplecomparisons）

多重比較的總體原則都是構(gòu)建平均數(shù)差數(shù)的顯著尺度

多重比較的第一步就是求出尺度值多重比較的第二步是用平均數(shù)差數(shù)值與相應(yīng)的尺度值比較

差數(shù)值大于尺度值，就表示兩平均數(shù)間差異顯著或極顯著

差數(shù)值小于尺度值，就表示兩平均數(shù)間差異不顯著1.4.1LSD法

LSD法即最小顯著差數(shù)法（leastsignificantdifference），是多重比較中一種最簡(jiǎn)便的方法LSD法多重比較步驟:■建立平均數(shù)的多重比較表，將各組按其平均數(shù)從大到小自上而下排列■計(jì)算最小顯著差數(shù)LSD0.05和LSD0.01

■將平均數(shù)多重比較表中兩兩平均數(shù)的差數(shù)與LSD0.05和LSD0.01比較，作出推斷例1：選用4種不同劑型的配合飼料作太湖豬的配合飼料劑型試驗(yàn)，每一劑型飼喂5頭太湖豬，得增重?cái)?shù)據(jù)如下，試對(duì)不同劑型飼料對(duì)太湖豬增重效果的差異進(jìn)行檢驗(yàn)。**a.建立平均數(shù)多重比較表組（劑型）A4A3

A1

A2

25.022.820.217.67.45.22.64.82.62.2b.計(jì)算最小顯著差數(shù)c.比較，推斷將平均數(shù)差數(shù)與最小顯著差數(shù)比較：

小于LSD0.05者為不顯著

介于LSD0.05與LSD0.01之間者顯著，在差數(shù)的右上方標(biāo)記*

大于LSD0.01者極顯著，在差數(shù)的右上方標(biāo)記********A3劑型飼料對(duì)太湖豬的增重效果極顯著高于A2

A4劑型飼料對(duì)太湖豬的增重效果極顯著高于A2

A3劑型飼料對(duì)太湖豬的增重效果極顯著高于A1

1.4.2LSR法

LSR法即最小顯著極差法（Leastsignificantranges）LSR法的特點(diǎn)是把平均數(shù)的差數(shù)看成是平均數(shù)的極差，根據(jù)極距r（平均數(shù)的距離）的不同而采用不同的檢驗(yàn)尺度■克服了LSD法的不足■檢驗(yàn)的工作量有所增加（1）q法（qtest）q法為一種比較客觀的方法，其尺度公式為：q法多重比較的步驟：■建立平均數(shù)多重比較表■由自由度dfe、極距r查臨界q值，計(jì)算最小顯著極差LSR0.05,r和LSR0.01,r■將平均數(shù)多重比較表中的各極差與相應(yīng)的最小顯著極差LSR0.05,r和LSR0.01,r比較，作出推斷例1：選用4種不同劑型的配合飼料作太湖豬的配合飼料劑型試驗(yàn)，每一劑型飼喂5頭太湖豬，得增重?cái)?shù)據(jù)如下，試對(duì)不同劑型飼料對(duì)太湖豬增重效果的差異進(jìn)行檢驗(yàn)。**a.建立平均數(shù)多重比較表b.計(jì)算最小顯著極差極

距（r）234q0.05q0.013.004.133.654.78

4.055.19LSR0.05LSR0.013.435

4.7294.1785.4714.6355.940查qα值,計(jì)算最小顯著極差c.比較，推斷****（2）SSR法SSR法（shortestsignificantranges）又稱為新復(fù)極差法（newmultiplerangemethod）和Duncan法

SSR法的尺度公式為：SSR法與q法的檢驗(yàn)步驟相同■LSD法、q法和SSR法檢驗(yàn)尺度的關(guān)系LSD法≤SSR法≤q法

極距r=2時(shí)，取等于號(hào)

極距r≥3時(shí)，取小于號(hào)2.組內(nèi)樣本容量不等的單因素資料

2.1平方和、自由度的剖分2.2F檢驗(yàn)步驟與組內(nèi)樣本容量相等的單因素資料相同

2.3多重比較LSD法LSR法例2：研究不同水平賴氨酸對(duì)肉仔雞生長(zhǎng)的影響，設(shè)置了5個(gè)水平，每一水平飼喂了若干個(gè)仔雞，得日增重?cái)?shù)據(jù)如下，試作方差分析。Ｈ0：（1）提出假設(shè)ＨA：5個(gè)均數(shù)不全相等（2）計(jì)算F值解：檢驗(yàn)步驟如下：計(jì)算MS值、F值，并建立方差分析表：變異來(lái)源平方和自由度均方ＦＦ0.05Ｆ0.01組間（賴氨酸）1312.54328.12514.84組內(nèi)（誤差）420.01922.105總變異1732.5232.904.50（3）查表，推斷F值極顯著

**否定H0，接受HA

五種賴氨酸水平對(duì)仔雞的生長(zhǎng)速度有極顯著的影響（4）多重比較a．建立平均數(shù)多重比較表b.計(jì)算最小顯著極差極距2345q0.052.963.593.984.26q0.014.054.675.095.33LSR0.056.377.738.579.17LSR0.018.7210.0510.9611.47***********c.比較，推斷第三節(jié)兩因素方差分析1.組合內(nèi)無(wú)重復(fù)觀測(cè)值的兩因素資料組合內(nèi)無(wú)重復(fù)觀測(cè)值的兩因素資料就是每一組合內(nèi)僅有一個(gè)供試動(dòng)物組合內(nèi)無(wú)重復(fù)觀測(cè)值的兩因素資料觀測(cè)值的數(shù)學(xué)模型為：

μ：總體平均數(shù)αi：A因素第i個(gè)效應(yīng)βj：B因素第j個(gè)效應(yīng)εij：隨機(jī)誤差組合內(nèi)無(wú)重復(fù)觀測(cè)值的兩因素資料的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)為：因

素B1B2…Bj…BbTA1x11x12…x1j…x1bT1.A2x21x22…x2j…x2bT2.┇┇┇…┇…┇┇Aixi1xi2…xij…xibTi.┇┇┇…┇…┇┇Aaxa1xa2…xaj…xabTa.TT.1T.2…T.j…T.bT組合內(nèi)無(wú)重復(fù)觀測(cè)值的兩因素資料方差分析的檢驗(yàn)步驟：

A因素：（1）提出假設(shè)H0：

HA：

a個(gè)均數(shù)不全相等B因素：H0：

HA：

b個(gè)均數(shù)不全相等（2）計(jì)算F值（3）查表，推斷FA：FB：（4）多重比較若FA顯著，應(yīng)對(duì)A因素各水平的平均數(shù)作多重比較，其平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤：若FB顯著，應(yīng)對(duì)B因素各水平的平均數(shù)作多重比較，其平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤：例3：為了研究4種不同中草藥添加劑飼料（A）對(duì)太湖豬的飼喂效果，選擇了5個(gè)不同的地區(qū)（B）進(jìn)行飼養(yǎng)試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)束后得數(shù)據(jù)如下，試作方差分析。解：檢驗(yàn)步驟如下：

A因素：（1）提出假設(shè)H0：

HA：

4個(gè)均數(shù)不全相等B因素：H0：

HA：

5個(gè)均數(shù)不全相等（2）計(jì)算F值計(jì)算均方、F值，并建立方差分析表：變異來(lái)源平方和自由度均方ＦＦ0.05Ｆ0.01添加劑間A311.63103.86710.0603.495.95地區(qū)間B65.3416.3251.5813.265.41誤差123.91210.325總變異500.819**（3）查表，推斷（4）多重比較極距234q0.053.083.774.02q0.014.325.045.60LSR0.054.435.426.04LSR0.016.217.248.05*****2.組合內(nèi)有重復(fù)觀測(cè)值的兩因素資料設(shè)A因素有a個(gè)水平，B因素有b個(gè)水平，共有ab個(gè)組合，

每一組合內(nèi)有n個(gè)觀測(cè)值（n≥2），整批資料共有abn個(gè)觀測(cè)值組合內(nèi)有重復(fù)觀測(cè)值的兩因素資料的數(shù)學(xué)模型為:μ：總體平均數(shù)αi：A因素第i個(gè)效應(yīng)βj：B因素第j個(gè)效應(yīng)εijk：隨機(jī)誤差(αβ）ij：Ai和Bj的互作效應(yīng)組合內(nèi)有重復(fù)觀測(cè)值的兩因素資料數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)為：組合內(nèi)有重復(fù)觀測(cè)值的兩因素資料方差分析的檢驗(yàn)步驟：

A因素：（1）提出假設(shè)H0：

HA：

a個(gè)均數(shù)不全相等B因素：H0：

HA：

b個(gè)均數(shù)不全相等（2）計(jì)算F值FA顯著，應(yīng)對(duì)A因素各水平的平均數(shù)作多重比較，其平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤為：FB顯著，應(yīng)對(duì)B因素各水平的平均數(shù)作多重比較，其平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤為：FAB顯著，應(yīng)對(duì)各組合的平均數(shù)作多重比較，其平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤為：

例4：用2種不同的飼料喂養(yǎng)3個(gè)不同品種的鯉魚(yú)，得增重結(jié)果如下，試對(duì)資料作方差分析。解：（1）提出假設(shè)A因素：

H0：HA：3個(gè)均數(shù)不全相等B因素：

H0：HA：2個(gè)均數(shù)不相等（2）計(jì)算F值變異來(lái)源dfSSMSFF0.05F0.01品種A20.05660.02832.343.556.01飼料B10.18020.180214.894.418.29A×B20.35990.180014.883.556.01誤差180.21800.0121總變異230.8147（3）查表，推斷****（4）多重比較極距23456q0.052.973.614.004.284.49q0.014.074.705.055.385.60LSR0.050.160.200.220.230.2