2023-2024學年九年級數(shù)學下冊常見幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（浙教版）專題07 圓中的最值模型之瓜豆原理（曲線軌跡）（原卷版）

專題07圓中的最值模型之瓜豆原理（曲線軌跡）動點軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學生受解析幾何知識的局限和思維能力的束縛，該壓軸點往往成為學生在中考中的一個坎，致使該壓軸點成為學生在中考中失分的集中點。掌握該壓軸題型的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復習的一個重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原理（動點軌跡為圓弧型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握?！灸Ｐ徒庾x】模型1、運動軌跡為圓弧模型1-1.如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．Q點軌跡是？如圖，連接AO，取AO中點M，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．則動點Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-2.如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，當P在圓O運動時，Q點軌跡是？如圖，連結(jié)AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為k。則動點Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-3.定義型：若動點到平面內(nèi)某定點的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。（常見于動態(tài)翻折中）如圖，若P為動點，但AB=AC=AP，則B、C、P三點共圓，則動點P是以A圓心，AB半徑的圓或圓弧。模型1-4.定邊對定角（或直角）模型1）一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓?。鐖D，若P為動點，AB為定值，∠APB=90°，則動點P是以AB為直徑的圓或圓弧。2）一條定邊所對的角始終為定角，則定角頂點軌跡是圓?。鐖D，若P為動點，AB為定值，∠APB為定值，則動點P的軌跡為圓弧?！灸Ｐ驮怼縿狱c的軌跡為定圓時，可利用：“一定點與圓上的動點距離最大值為定點到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。例1.（2023.重慶九年級期末）如圖，點P（3，4），圓P半徑為2，A（2.8，0），B（5.6，0），點M是圓P上的動點，點C是MB的中點，則AC的最小值是_______．例2.（2023.湖北九年級期末）如圖，A是⊙B上任意一點，點C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等邊三角形，則的面積的最大值為（）A．4＋4 B．4 C．4＋8 D．6例3．（2022秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，BD＝2，以點B為圓心，BD長為半徑作圓，點E為上的動點，連結(jié)EC，作FC⊥CE，垂足為C，點F在直線BC的上方，且滿足，連結(jié)BF．當點E與點D重合時，BF的值為．點E在上運動過程中，BF存在最大值為．例4．（2022·山東·二模）如圖，中，，，，點是上的點，將沿翻折，得到，過點作交的平分線于點，連接，則長度的最小值為______．例5．（2022·四川樂山·三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，點D為線段BC上一動點．以CD為⊙O直徑，作AD交⊙O于點E，則BE的最小值為（）A．6 B．8 C．10 D．12例6．（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，在邊長為1的菱形中，，動點E在邊上（與點A、B均不重合），點F在對角線上，與相交于點G，連接，若，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．的最小值為課后專項訓練1．（2022·廣東·潮州市一模）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D是邊AC上一動點，連接BD，以CD為直徑的圓交BD于點E．若AB長為4，則線段AE長的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2022春·廣東·九年級專題練習）已知：如圖，在中，，，面積的最大值是（

）．A． B． C． D．3．（2022秋·江蘇揚州·九年級?？茧A段練習）如圖，A是上任意一點，點C在外，已知是等邊三角形，則的面積的最大值為（）A． B．4 C． D．64．（2022·江蘇無錫·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，△ADC與△ABC關(guān)于AC對稱，點E、F分別是邊DC、BC上的任意一點，且DE＝CF，BE、DF相交于點P，則CP的最小值為(

)A．1 B． C． D．25．（2023·浙江寧波·九年級?？计谥校┤鐖D，矩形中，，，點E是對角線上的動點，點F是邊上的動點，點P是半徑為1的上的動點，則的最小值為．6．（2022·山東泰安·統(tǒng)考一模）如圖，正方形ABCD中，E為AB上一點，于點F，已知，過C、D、F的與邊AD交于點G，則．7．（2021·廣東·中考真題）在中，．點D為平面上一個動點，，則線段長度的最小值為_____．8．（2022·安徽·蕪湖市二模）如圖，在中，，，．點F為射線CB上一動點，過點C作于M，交AB于E，D是AB的中點，則DM長度的最小值是______9．（2022·廣東·一模）如圖，在中，，，，與關(guān)于對稱，點、分別是邊、上的任意一點，且，、相交于點，則的最小值為______．10．（2022·廣東·深圳市二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E為邊BC上一動點，F(xiàn)為AE中點，G為DE上一點，BF＝FG，則CG的最小值為______．11．（2022秋·廣東汕頭·九年級?？计谥校┤缦聢D，在正方形中，，點是以為直徑的圓上的點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，則線段的最大值與最小值的和．

12．（2022秋·廣西柳州·九年級?？茧A段練習）如圖所示，在平面坐標系內(nèi)，，，，點是平面內(nèi)的一個動點，點是軸上的一動點，且，則的最小值．

13．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）如圖，在中，，，，過點作的平行線，為直線上一動點，為的外接圓，直線交于點，則的最小值為．

14．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，在邊長為的等邊中，動點在邊上（與點，均不重合），點在邊上，且，與相交于點，連接當點在邊上運動時，的最小值為．

15．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，Q是矩形左側(cè)一點，連接、，且，連接，E為的中點，連接，則的最大值為．16．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考模擬預測）等腰直角中，，，點是平面內(nèi)一點，，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當填度數(shù)度時，可以取最大值，最大值等于．17．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）【實驗操作】已知線段BC＝2，用量角器作，合作學習小組通過操作、觀察、討論后發(fā)現(xiàn)：點A的位置不唯一，它在以BC為弦的圓弧上（點B、C除外），小麗同學畫出了符合要求的一條圓?。▓D1）．(1)請你幫助解決小麗同學提出的問題：①該弧所在圓的半徑長為______；②面積的最大值為______；(2)【類比探究】小亮同學所畫的角的頂點在圖1所示的弓形內(nèi)部，記為，請你證明；(3)【問題拓展】結(jié)合以上探究活動經(jīng)驗，解決新問題：如圖2，在平面直角坐標系的第一象限內(nèi)有一點，過點B作軸，軸，垂足分別為A、C，若點P在線段上滑動（點P可以與點A、B重合），使得的位置有兩個，求m的取值范圍．18．（2022·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，已知點對于點給出如下定義：將點向右或向左平移個單位長