2024年八年級數(shù)學(xué)寒假提升學(xué)與練（人教版）專題02 全等三角形（原卷版）

專題02全等三角形思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦全等圖形全等三角形的性質(zhì)全等三角形的判定方法添加條件使三角形全等全等三角形的應(yīng)用全等三角形與動點(diǎn)問題角平分線的性質(zhì)與判定倍長中線模型證明線段和差問題10、常見的輔助線全等三角形的定義和基本性質(zhì)1.基本定義（1）全等形：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.（2）全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.（3）對應(yīng)頂點(diǎn)：全等三角形中互相重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn).（4）對應(yīng)邊：全等三角形中互相重合的邊叫做對應(yīng)邊.（5）對應(yīng)角：全等三角形中互相重合的角叫做對應(yīng)角.2．尋找全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角的三種方法：（1）圖形特征法：最長邊對最長邊，最短邊對最短邊；最大角對最大角，最小角對最小角．（2）位置關(guān)系法：①公共角（對頂角）為對應(yīng)角、公共邊為對應(yīng)邊．②對應(yīng)角的對邊為對應(yīng)邊，對應(yīng)邊的對角為對應(yīng)角．（3）字母順序法：根據(jù)書寫規(guī)范按照對應(yīng)頂點(diǎn)確定對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角．3．全等三角形的性質(zhì)及應(yīng)用①全等三角形的對應(yīng)邊相等；②全等三角形的對應(yīng)角相等；③全等三角形對應(yīng)邊上的高、中線、角平分線分別相等；④全等三角形的周長相等，面積相等．二、三角形全等的判定方法及思路1．全等三角形的判定方法：“邊邊邊”定理(SSS)：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．“邊角邊”定理(SAS)：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等．“角邊角”定理(ASA)：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．“角角邊”定理(AAS)：兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．“斜邊、直角邊”定理(HL)：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．2．全等三角形的證明思路：三、角平分線的性質(zhì)1.角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．注意：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，到三邊的距離相等．2.角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，通常連接角的頂點(diǎn)和該點(diǎn)就能得到角平分線．一、全等的幾種模型（1）平移型（2）對稱型（3）旋轉(zhuǎn)型二、常見的幾種添加輔助線構(gòu)造全等三角形的方法1．倍長中線法倍長中線主要用于證明全等三角形，其主要是在全等三角形的判定過程中，遇到一般三角形邊上的中線或中點(diǎn)，考慮中線倍長.如圖：已知：在三角形ABC中，O為BC邊中點(diǎn)，輔助線：延長AO到點(diǎn)D使AO＝DO，結(jié)論：△AOB≌△DOC.證明：如圖，延長AO到點(diǎn)D使AO＝DO，由中點(diǎn)可知，OB＝OC，在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC.總結(jié)：由倍長中線法證明三角形全等的過程一般均是用SAS的方法，這是由于作出延長線后出現(xiàn)的對頂角決定的．2．截長或補(bǔ)短（含有線段－關(guān)系或求證兩線間關(guān)系時常用）．截長補(bǔ)短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略．截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段．基本圖形，如下：在中，平分（1）在上截?。唬?）把延長到點(diǎn)，使.考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、全等圖形例1．如圖1，把大小為的正方形網(wǎng)格分割成了兩個全等形．請?jiān)趫D2中，沿著虛線畫出四種不同的分割方法，把的正方形網(wǎng)格分割成兩個全等形．

考點(diǎn)二、全等三角形的性質(zhì)例2．如圖，A，E，C三點(diǎn)在同一直線上，且．

(1)求證：；(2)猜想：當(dāng)滿足什么條件時？并證明你的猜想．考點(diǎn)三、全等三角形的判定方法例3．如圖，點(diǎn)，，，在同一直線上，點(diǎn)A，在異側(cè)，，，．(1)請判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若，，求的度數(shù)．考點(diǎn)四、添加條件使三角形全等例4．如圖，已知.(1)現(xiàn)要從如下條件中再添加一個①；②；③；④得到．你添加的條件是：________．（填序號）(2)選擇（1）中的一種情況進(jìn)行證明．考點(diǎn)五、全等三角形的應(yīng)用例5．如圖①，油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品之一，起源于中國的一種紙制或布制傘．油紙傘的制作工藝十分巧妙，如圖②，傘圈D沿著傘柄滑動時，傘柄始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的，傘骨，的B，C點(diǎn)固定不動，且到點(diǎn)A的距離．(1)當(dāng)D點(diǎn)在傘柄上滑動時，處于同一平面的兩條傘骨和相等嗎？請說明理由．(2)如圖③，當(dāng)油紙傘撐開時，傘的邊緣M，N與點(diǎn)D在同一直線上，若，，求的度數(shù)．考點(diǎn)六、全等三角形與動點(diǎn)問題例6．如圖，已知中，，厘米，厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)，如果點(diǎn)在線段上以每秒厘米的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)在線段上以每秒厘米的速度由點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為秒．

(1)用含的代數(shù)式表示的長度；(2)若點(diǎn)、的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過秒后，與是否全等，請說明理由；(3)若點(diǎn)、的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動速度為多少時，能夠使與全等？考點(diǎn)七、角平分線的性質(zhì)與判定例7．如圖，畫，并畫的平分線．(1)將三角尺的直角頂點(diǎn)落在的任意一點(diǎn)處，使三角尺的兩條直角邊與的兩邊分別垂直，垂足分別為、如圖①，則；(填“”“”或“”)(2)把三角尺繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)如圖②，兩直角邊分別與、交于點(diǎn)、，那么與相等嗎？試猜想與的大小關(guān)系，并說明理由．考點(diǎn)八、倍長中線模型例8．（1）在中，，是邊上的中線，則中線長范圍為___________；（2）如圖，在中，是邊上的中線，點(diǎn)分別在上，且，求證：．

考點(diǎn)九、證明線段和差問題例9．如圖所示，在，，平分交于點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使，連接．求證：．

考點(diǎn)十、常見的輔助線例10．如圖，△ABC中，AB=AC,在AB上取一點(diǎn)E，在AC的延長線上取一點(diǎn)F，使CF=BE,連接EF，交BC于點(diǎn)D．求證：DE=DF．過關(guān)檢測一、選擇題1．如圖，工人師傅設(shè)計(jì)了一種測零件內(nèi)徑的卡鉗，卡鉗交叉點(diǎn)O為、的中點(diǎn)，只要量出的長度，就可以知道該零件內(nèi)徑的長度．依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實(shí)是（

）

A．兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等 B．兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等C．三邊分別相等的兩個三角形全等 D．兩點(diǎn)之間線段最短2．如圖，，，，當(dāng)時，則度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．如圖，點(diǎn)，，，在同一條直線上，已知：，，下列條件中不能判定的是A． B． C． D．4．如圖，在△中，，，平分，交的延長線于，為垂足，則結(jié)論：①；②；③；④；⑤；其中正確結(jié)論的個數(shù)是(

)A．1 B．2 C．3 D．45．如圖，在中，和的平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，過點(diǎn)O作于點(diǎn)D．下列四個結(jié)論：①；②；③點(diǎn)O到各邊的距離相等；④設(shè)，，則．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題6．如圖，在的正方形網(wǎng)格中標(biāo)出了和，則度．7．如圖，已知平分，若添加一個條件使，則這個條件可以是（寫三個條件）．8．如圖，在中，，，于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，若，則．9．如圖，已知在中，，點(diǎn)，分別在邊，上，于，，．（1）若，則；（2）已知，，則的長是．10．如圖，在中，厘米，厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上以4厘米/秒的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動速度為厘米/秒時，能夠在某一時刻使與全等．

三、解答題11．如圖，在中，，為上一點(diǎn)，，，垂足分別為、，且．請選擇一對你認(rèn)為全等的三角形并加以證明．

(1)你選擇的是：____________________；(2)根據(jù)你的選擇，請寫出證明過程．12．如圖，點(diǎn)分別在線段上，，不添加新的線段和字母，從下列條件①，②，③，④中選擇一個使得．(1)你選擇的一個條件是_____________（填寫序號）(2)根據(jù)你的選擇，請寫出證明過程．13．如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線的兩側(cè)，且，，．(1)求證：．(2)若，，求的長．14．如圖，的外角的平分線交邊的垂直平分線于P點(diǎn)，于D，于E，連接，．(1)求證：；(2)若，，直接寫出的長為______．15．為了進(jìn)一步探究三角形中線的作用，數(shù)學(xué)興趣小組合作