2024年全國一卷數(shù)學(xué)新高考題型細(xì)分S13圓錐曲線解答題8

2024年全國一卷新高考題型細(xì)分S13——圓錐曲線大題8試卷主要是2024年全國一卷新高考地區(qū)真題、模擬題，合計202套。其中全國高考真題4套，廣東47套，山東22套，江蘇18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。題目設(shè)置有尾注答案，復(fù)制題干的時候，答案也會被復(fù)制過去，顯示在文檔的后面，雙擊尾注編號可以查看。方便老師備課選題。題型純粹按照個人經(jīng)驗進(jìn)行分類，沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)?！秷A錐曲線——大題》題目主要按長短順序排版，具體有：短，中，長，涉后導(dǎo)數(shù)等，大概206道題。每道題目后面標(biāo)注有類型和難度，方便老師備課選題。中5：（2024年浙J32北斗星盟聯(lián)考）18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，為動點(diǎn)，滿足.

(1)求動點(diǎn)的軌跡的方程；

(2)已知過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，，連接，.

（?。┯浿本€，的斜率分別為，，求證：為定值；（18．(1)(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）【分析】（1）由雙曲線的定義求解即可；（2）（?。┰O(shè)直線：，變形可得，兩式聯(lián)立，設(shè)，可知，是方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系即可得出答案.（ⅱ）設(shè)直線：與聯(lián)立求出，同理求出，由此表示出，由基本不等式求解即可.【詳解】（1）因為，所以根據(jù)雙曲線的定義可知點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)，實軸長為2的雙曲線，由，，得，，所以的方程為.（2）（ⅰ）設(shè)直線：（）因為直線過定點(diǎn)，所以.變形可得，即18．(1)(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）【分析】（1）由雙曲線的定義求解即可；（2）（?。┰O(shè)直線：，變形可得，兩式聯(lián)立，設(shè)，可知，是方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系即可得出答案.（ⅱ）設(shè)直線：與聯(lián)立求出，同理求出，由此表示出，由基本不等式求解即可.【詳解】（1）因為，所以根據(jù)雙曲線的定義可知點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)，實軸長為2的雙曲線，由，，得，，所以的方程為.（2）（?。┰O(shè)直線：（）因為直線過定點(diǎn)，所以.變形可得，即所以整理得（*）設(shè)，則（*）式除以得此時，是方程的兩根，所以，所以，得證.（ⅱ）設(shè)直線：，由，可得；設(shè)直線：，同理可得；.由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)直線：與聯(lián)立求出，同理求出，由此表示出，由基本不等式求解即可.（2024年蘇J38航附五月測）18．設(shè)拋物線，直線是拋物線C的準(zhǔn)線，且與x軸交于點(diǎn)B，過點(diǎn)B的直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，是不在直線l上的一點(diǎn)，直線，分別與準(zhǔn)線交于P，Q兩點(diǎn)．

(1)求拋物線C的方程；（18．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)準(zhǔn)線方程可得，即可求解；（2）設(shè)l：，，聯(lián)立直線與拋物線，得出根與系數(shù)的關(guān)系，再由直線的相交求出坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為求即可得證；（3）由（2）可得，再由，根據(jù)可得，即可得解.【詳解】（1）因為為拋物線的準(zhǔn)線，所以，即，故拋物線C的方程為（2）如圖，設(shè)l：，，聯(lián)立18．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)準(zhǔn)線方程可得，即可求解；（2）設(shè)l：，，聯(lián)立直線與拋物線，得出根與系數(shù)的關(guān)系，再由直線的相交求出坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為求即可得證；（3）由（2）可得，再由，根據(jù)可得，即可得解.【詳解】（1）因為為拋物線的準(zhǔn)線，所以，即，故拋物線C的方程為（2）如圖，設(shè)l：，，聯(lián)立，消去x得，則，且，又AM：，令得，同理可得，所以，，故.（3）由（2）可得：，，由，得：，解得，所以直線l的方程為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問中直線較多，解題的關(guān)鍵在于理清主從關(guān)系，據(jù)此求出點(diǎn)的坐標(biāo)（含參數(shù)），第二個關(guān)鍵點(diǎn)在于將轉(zhuǎn)化為關(guān)于對稱，即.（2024年浙J34杭州四月檢）18．已知是橢圓的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)與橢圓上的點(diǎn)的距離的最小值為1.

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)（與不重合），連接，交于點(diǎn).(18．(1)；(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）存在，【分析】（1）設(shè)，利用兩點(diǎn)間距離公式得，然后根據(jù)分類討論求解即可；（2）（?。┰O(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理得，寫出直線，的方程，進(jìn)而求解即可；（ⅱ）由題意點(diǎn)在以為直徑的圓上，代入圓的方程求得，寫出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而可得答案.【詳解】（1）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，則，因為，①若，解得（舍去），②若，解得（舍去）或，18．(1)；(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）存在，【分析】（1）設(shè)，利用兩點(diǎn)間距離公式得，然后根據(jù)分類討論求解即可；（2）（?。┰O(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理得，寫出直線，的方程，進(jìn)而求解即可；（ⅱ）由題意點(diǎn)在以為直徑的圓上，代入圓的方程求得，寫出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而可得答案.【詳解】（1）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，則，因為，①若，解得（舍去），②若，解得（舍去）或，所以點(diǎn)的坐標(biāo)位.（2）（ⅰ）設(shè)直線，由，得，所以，所以，①由，得或，易知直線的方程為，②直線的方程為，③聯(lián)立②③，消去，得，④聯(lián)立①④，消去，則，解得，即點(diǎn)在直線上；（ⅱ）由圖可知，，即，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)，則，所以，即.故直線的方程為，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得，因為,所以，所以,故.（2024年浙J33東陽五月測）18．已知拋物線：，焦點(diǎn)為F，為上的一個動點(diǎn)，是在點(diǎn)A處的切線，點(diǎn)P在上且與點(diǎn)A不重合．直線PF與Γ交于B、C兩點(diǎn)，且平分直線AB和直線AC的夾角．

(1)求的方程（用表示）；（18．(1)(2)證明見解析；(3)．【分析】（1）設(shè)定直線的方程，并于拋物線方程聯(lián)立得出一元二次方程，相切需保證，求解即可；（2）由拋物線定義得到，設(shè)T為反射光線上與A相異的一點(diǎn)，進(jìn)而證明即可；（3）先求得K為的中點(diǎn)，設(shè)定直線PF的方程并于拋物線方程聯(lián)立得出一元二次方程，進(jìn)而得出直線AC和HF的方程，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，證明即可.【詳解】（1）顯然切線l的斜率不為0，設(shè)l方程為：，與聯(lián)立得：18．(1)(2)證明見解析；(3)．【分析】（1）設(shè)定直線的方程，并于拋物線方程聯(lián)立得出一元二次方程，相切需保證，求解即可；（2）由拋物線定義得到，設(shè)T為反射光線上與A相異的一點(diǎn)，進(jìn)而證明即可；（3）先求得K為的中點(diǎn)，設(shè)定直線PF的方程并于拋物線方程聯(lián)立得出一元二次方程，進(jìn)而得出直線AC和HF的方程，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，證明即可.【詳解】（1）顯然切線l的斜率不為0，設(shè)l方程為：，與聯(lián)立得：，由，且，得，解得，∴l(xiāng)的方程為，且，化簡得，也即：．（2）過A點(diǎn)作l的垂線并交x軸于Q點(diǎn)，則AQ直線的方程為，取，解得，即，∵，∴，作A點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的投影H，由拋物線定義可知，∴，∴，設(shè)T為反射光線上與A相異的一點(diǎn)，則有，綜上，，軸，即從點(diǎn)F發(fā)出的光線經(jīng)過A點(diǎn)反射后平行于x軸．（3）若點(diǎn)A坐標(biāo)為，此時l方程為，連HF，取H，F(xiàn)的中點(diǎn)為，因為，故，∵，∴，∵K點(diǎn)在l上，∴，設(shè)直線AC、AB與HF的交點(diǎn)分別為D，E，則K為D，E的中點(diǎn)，設(shè)直線PF的方程為，與聯(lián)立得：，設(shè)，，則有，，當(dāng)直線的斜率存在時，因為，此時，所以直線AC的方程為，也即，而直線HF的方程為，聯(lián)立得，同理，，由得：，整理得，∴，∴，∴直線BC的方程為，與直線聯(lián)立得P點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)直線的斜率不存在時，此時，而經(jīng)過，故此時直線即為，故重合，與題設(shè)矛盾，綜上，P點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題是圓錐曲線綜合問題，解題思路是運(yùn)用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化，運(yùn)算和轉(zhuǎn)化較復(fù)雜，屬于難題.題型點(diǎn)睛，拋物線的光學(xué)性質(zhì)主要有兩大類，一是平行性質(zhì)，任何平行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)過拋物線反射后，都會經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)；二是聚焦性質(zhì)，從拋物線焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線反射后，反射光線會平行于拋物線的對稱軸.（2024年粵J134揭陽二模）18．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，已知點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最大值為6.

(1)求拋物線的方程.（18．(1)(2)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最大距離為，即,計算即可；（2）由已知設(shè)，求得則，方程，聯(lián)立與拋物線的方程求得點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線的方程得出結(jié)果.【詳解】（1）點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最大距離為，即，得,故拋物線的方程為.（2）設(shè)，則方程為，方程為,聯(lián)立與拋物線的方程可得，即,18．(1)(2)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最大距離為，即,計算即可；（2）由已知設(shè)，求得則，方程，聯(lián)立與拋物線的方程求得點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線的方程得出結(jié)果.【詳解】（1）點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最大距離為，即，得,故拋物線的方程為.（2）設(shè)，則方程為，方程為,聯(lián)立與拋物線的方程可得，即,因此點(diǎn)縱坐標(biāo)為，代入拋物線方程可得點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為,同理可得點(diǎn)坐標(biāo)為,因此直線的斜率為,代入點(diǎn)坐標(biāo)可以得到方程為,整理可以得到,因此經(jīng)過定點(diǎn).（2024年鄂J24荊州三適）18．已知，圓心是原點(diǎn)，點(diǎn)，以線段為直徑的圓內(nèi)切于，動點(diǎn)的軌跡記為曲線.

(1)求曲線的方程；（18．(1)(2)①；②是定值，定值為【分析】（1）結(jié)合兩圓內(nèi)切的性質(zhì)與橢圓定義作出相應(yīng)輔助線計算即可得；（2）①設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，借助韋達(dá)定理與弦長公式計算即可得；②表示出斜率后，用兩交點(diǎn)縱坐標(biāo)表示出的值，結(jié)合韋達(dá)定理中，，得到，代入計算即可得.【詳解】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，切點(diǎn)為，連接，，取關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接，則，故，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，其中，，則，則曲線C的方程為；（2）設(shè)依題意，直線的斜率必定存在，設(shè)，，可得，恒成立，則有，，①若，則有，解得18．(1)(2)①；②是定值，定值為【分析】（1）結(jié)合兩圓內(nèi)切的性質(zhì)與橢圓定義作出相應(yīng)輔助線計算即可得；（2）①設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，借助韋達(dá)定理與弦長公式計算即可得；②表示出斜率后，用兩交點(diǎn)縱坐標(biāo)表示出的值，結(jié)合韋達(dá)定理中，，得到，代入計算即可得.【詳解】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，切點(diǎn)為，連接，，取關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接，則，故，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，其中，，則，則曲線C的方程為；（2）設(shè)依題意，直線的斜率必定存在，設(shè)，，可得，恒成立，則有，，①若，則有，解得，故其斜率為；②易得，，，同理可得，則，而，由，，則，則，故，即定值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問中得到后不能直接代入韋達(dá)定理求解，關(guān)鍵在于借助，，得到，從而可代入中，求得其定值.（2024年鄂J23荊州四適）18．從拋物線上各點(diǎn)向軸作垂線段，垂線段中點(diǎn)的軌跡為.

(1)求的軌跡方程；

(2)是上的三點(diǎn)，過三點(diǎn)的三條切線分別兩兩交于點(diǎn)，

①若，求的值；（18．(1)(2)①1；②證明見解析【分析】（1）設(shè)垂線段中點(diǎn)為，則拋物線上點(diǎn)坐標(biāo)為，再代入拋物線方程即可.（2）①分別設(shè)的坐標(biāo)，設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立切線方程與拋物線方程，可得，進(jìn)而得到過點(diǎn)的切線方程為，同理，得到過點(diǎn)的切線方程，聯(lián)立切線方程，可得的縱坐標(biāo)，即可求得；②根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式和點(diǎn)到平面的距離和三角形面積分別求出三角形與三角形的面積，進(jìn)而求解.【詳解】（1）設(shè)垂線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線上點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線方程，則，即，所以18．(1)(2)①1；②證明見解析【分析】（1）設(shè)垂線段中點(diǎn)為，則拋物線上點(diǎn)坐標(biāo)為，再代入拋物線方程即可.（2）①分別設(shè)的坐標(biāo)，設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立切線方程與拋物線方程，可得，進(jìn)而得到過點(diǎn)的切線方程為，同理，得到過點(diǎn)的切線方程，聯(lián)立切線方程，可得的縱坐標(biāo)，即可求得；②根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式和點(diǎn)到平面的距離和三角形面積分別求出三角形與三角形的面積，進(jìn)而求解.【詳解】（1）設(shè)垂線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線上點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線方程，則，即，所以的軌跡方程：.（2）①如圖，是上的三點(diǎn)，過三點(diǎn)的三條切線分別兩兩交于點(diǎn)，設(shè)，則拋物線上過點(diǎn)的切線方程為，將切線方程與拋物線方程聯(lián)立，得：聯(lián)立，消去，整理得，所以，從而有，所以拋物線上過點(diǎn)的切線方程為，同理可得拋物線上過點(diǎn)的切線方程分別為，兩兩聯(lián)立，可以求得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為：，則，同理可得，即，當(dāng)時，，故，即，因此.②易知，則直線的方程為，化簡得即，且，點(diǎn)到直線的距離為：，則三角形的面積．由（2）①知切線的方程為，，可知，點(diǎn)到直線的距離為，則外切三角形的面積．故．因此三角形與外切三角形的面積之比為定值2．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查拋物線的切線相關(guān)問題，解決第二問①的關(guān)鍵是求出切線方程，②主要考查計算能力.（2024年鄂J22黃石二中三模）19．已知平面上到定點(diǎn)的距離與到定直線：的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡為曲線.

(1)求曲線的方程；（19．(1)(2)；(3)【分析】（1）根據(jù)求軌跡方程步驟：設(shè)點(diǎn)建立等量關(guān)系列式化簡進(jìn)行求解即可.（2）根據(jù)向左平移5個單位長度，則曲線的中心變?yōu)榧纯蓪懗銮€方程.（3）先根據(jù)已知條件設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與曲線方程得韋達(dá)定理，再根據(jù)，得出直線方程未知參數(shù)的關(guān)系，求出點(diǎn)A到直線的距離，再代入進(jìn)而得出所求余弦值.【詳解】（1）設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，且到直線的距離為，則由題，所以，兩邊平方整理得，即，所以曲線的方程為：.（2）由題曲線的方程為：；方程為：.（3）由（1）曲線的方程為：，由題意可知直線斜率存在且，則可設(shè)，令，則，即19．(1)(2)；(3)【分析】（1）根據(jù)求軌跡方程步驟：設(shè)點(diǎn)建立等量關(guān)系列式化簡進(jìn)行求解即可.（2）根據(jù)向左平移5個單位長度，則曲線的中心變?yōu)榧纯蓪懗銮€方程.（3）先根據(jù)已知條件設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與曲線方程得韋達(dá)定理，再根據(jù)，得出直線方程未知參數(shù)的關(guān)系，求出點(diǎn)A到直線的距離，再代入進(jìn)而得出所求余弦值.【詳解】（1）設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，且到直線的距離為，則由題，所以，兩邊平方整理得，即，所以曲線的方程為：.（2）由題曲線的方程為：；方程為：.（3）由（1）曲線的方程為：，由題意可知直線斜率存在且，則可設(shè)，令，則，即聯(lián)立，設(shè)，則，，所以，又因為，所以，所以①，因為，所以，即，所以由①點(diǎn)A到直線的距離為，又因為，設(shè)直線與直線所成銳角為，則由①：，所以，即.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對未知直線與圓錐曲線相交問題，先根據(jù)已知條件設(shè)直線方程或，再聯(lián)立方程結(jié)合已知條件探求得出未知參數(shù)關(guān)系，然后再根據(jù)問題需求求出需求量進(jìn)行推理化簡求解即可.（2024年鄂J21黃岡二模）18．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，焦距為4，虛半軸長為1.如圖，直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限.與關(guān)于原點(diǎn)對稱，連接與，其中垂直于的平分線，垂足為.

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（18．(1)(2)證明見解析(3)3【分析】（1）根據(jù)虛半軸、焦距求出，即可得出雙曲線方程；（2）由角平線轉(zhuǎn)化為向量夾角相等可得，化簡可得，據(jù)此即可得證；（3）由題意三角形面積比可轉(zhuǎn)化為，由點(diǎn)到直線的距離求出，再由直線聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式可得，得出后利用均值不等式求最值.【詳解】（1）由題設(shè)，故，所以，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）不妨設(shè)，因為點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，易知直線的斜率存在，不妨設(shè)直線的斜率為，記，因為直線為的平分線，所以，因為18．(1)(2)證明見解析(3)3【分析】（1）根據(jù)虛半軸、焦距求出，即可得出雙曲線方程；（2）由角平線轉(zhuǎn)化為向量夾角相等可得，化簡可得，據(jù)此即可得證；（3）由題意三角形面積比可轉(zhuǎn)化為，由點(diǎn)到直線的距離求出，再由直線聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式可得，得出后利用均值不等式求最值.【詳解】（1）由題設(shè)，故，所以，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）不妨設(shè)，因為點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，易知直線的斜率存在，不妨設(shè)直線的斜率為，記，因為直線為的平分線，所以，因為兩點(diǎn)均在雙曲線上，所以，此時，則，同理得，因為，又，所以，整理得，則，故直線與直線的斜率之積為定值；（3）由（2）知，因為，所以，聯(lián)立，又，解得，所以，不妨設(shè)直線的方程為，因為點(diǎn)在直線上，解得，所以直線的方程為，易知，因為直線的斜率為，不妨設(shè)直線的方程為，因為點(diǎn)在直線上，解得，所以直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，由韋達(dá)定理得，因為，所以，此時，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故當(dāng)時，取得最小值，最小值為3.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：首先根據(jù)兩三角形的有公共邊的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化面積比為，再分別根據(jù)題目條件，利用點(diǎn)到直線的距離，弦長公式，求出，求最值的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)分母使用均值不等式即可.（2024年鄂J20黃岡浠水三模）18．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線，過點(diǎn)的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，．

(1)求拋物線C的方程；（18．(1)(2)證明見解析(3)8【分析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再求出，再根據(jù)求出，即可求出拋物線C的方程；（2）要證，即證DG平分，即證，結(jié)合（1）計算化簡即可得出結(jié)論；（3）記AM，AN分別與圓G切于點(diǎn)T，F(xiàn)，連接TG，MG，NG，求出，結(jié)合切線長定理可得，，，再根據(jù)，求出，再結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】（1）設(shè)直線的方程為，由，得18．(1)(2)證明見解析(3)8【分析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再求出，再根據(jù)求出，即可求出拋物線C的方程；（2）要證，即證DG平分，即證，結(jié)合（1）計算化簡即可得出結(jié)論；（3）記AM，AN分別與圓G切于點(diǎn)T，F(xiàn)，連接TG，MG，NG，求出，結(jié)合切線長定理可得，，，再根據(jù)，求出，再結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】（1）設(shè)直線的方程為，由，得，設(shè)，，則，，從而，解得，所以拋物線C的方程為；（2）要證，即證DG平分，即證，由（1）可知，，則，故；（3）記AM，AN分別與圓G切于點(diǎn)T，F(xiàn)，連接TG，MG，NG，由題意，得，由切線長定理，知，，，所以，又，解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，故面積的最小值為8．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題要做好兩點(diǎn)：一是轉(zhuǎn)化，把題中的已知和所求準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的數(shù)與式，即形向數(shù)的轉(zhuǎn)化；二是設(shè)而不求，即聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解．（2024年鄂J26武昌五月檢）18．已知點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，，是線段上一點(diǎn)，且，設(shè)點(diǎn)的軌跡為.

(1)求軌跡的方程；（18．(1)(2)是，【分析】（1）借助橢圓定義計算即可得解；（2）設(shè)，代入曲線方程中聯(lián)立可得，結(jié)合題意計算可得，設(shè)，結(jié)合點(diǎn)在曲線上計算可得的值，即可得的面積.【詳解】（1）因為，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)，則，即.由知，所以點(diǎn)的軌跡的方程為；（2）設(shè)，則由，得.因為點(diǎn)均在曲線上，所以，同向相乘得整理得：又因為，所以，所以，設(shè)18．(1)(2)是，【分析】（1）借助橢圓定義計算即可得解；（2）設(shè)，代入曲線方程中聯(lián)立可得，結(jié)合題意計算可得，設(shè)，結(jié)合點(diǎn)在曲線上計算可得的值，即可得的面積.【詳解】（1）因為，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)，則，即.由知，所以點(diǎn)的軌跡的方程為；（2）設(shè)，則由，得.因為點(diǎn)均在曲線上，所以，同向相乘得整理得：又因為，所以，所以，設(shè)，則，又因為點(diǎn)在曲線上，所以，整理得：，又因為，，代入上式得：，即，又因為，所以，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于計算出后，利用面積公式得到，從而可通過計算的值得解.（2024年冀J45石家莊三檢）19．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限且滿足直線與直線的斜率之積為．當(dāng)垂直于軸時，．

(1)求的方程；（19．(1)(2)①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）取垂直軸特殊情況研究，由直線與直線的斜率之積為，且求出點(diǎn)坐標(biāo)，再代入橢圓方程待定系數(shù)法求解即可；（2）①由建立坐標(biāo)之間關(guān)系，利用在橢圓上及直線與直線的斜率之積為消去，即可得證；②設(shè)，利用韋達(dá)定理將直線與直線的斜率之積為表示出來即可得到的關(guān)系，再表示出面積，四邊形的面積；若要證，只需證．轉(zhuǎn)化為證明，由題將用表示，化簡即可.【詳解】（1）當(dāng)垂直軸時，由直線與直線的斜率之積為，故，設(shè)，則，解得，即，則，解得，故的方程為；（2）（2）①設(shè)，由19．(1)(2)①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）取垂直軸特殊情況研究，由直線與直線的斜率之積為，且求出點(diǎn)坐標(biāo)，再代入橢圓方程待定系數(shù)法求解即可；（2）①由建立坐標(biāo)之間關(guān)系，利用在橢圓上及直線與直線的斜率之積為消去，即可得證；②設(shè)，利用韋達(dá)定理將直線與直線的斜率之積為表示出來即可得到的關(guān)系，再表示出面積，四邊形的面積；若要證，只需證．轉(zhuǎn)化為證明，由題將用表示，化簡即可.【詳解】（1）當(dāng)垂直軸時，由直線與直線的斜率之積為，故，設(shè)，則，解得，即，則，解得，故的方程為；（2）（2）①設(shè)，由知，將得，即．由為上點(diǎn)，則．又直線與直線的斜率之積為，故，即．因此；②由題直線斜率不為0，設(shè)由①聯(lián)立，消去得，，由，即，即．因此有．面積，四邊形的面積，即若要證，只需證．設(shè)，故只需證即可．直線，聯(lián)立解得，同理得．故故問題得證．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是將表示為后將同一直線上的弦長比值問題轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)的比值問題，即證明，而可以用表示出來，從而達(dá)到消元化簡的目的.（2024年浙J37寧波模擬）18．已知雙曲線，上頂點(diǎn)為，直線與雙曲線的兩支分別交于兩點(diǎn)（在第一象限），與軸交于點(diǎn).設(shè)直線的傾斜角分別為.

(1)若，

（i）若，求；（18．(1)（i）；（ii）證明見解析.(2)2【分析】（1）（i）先求直線的方程，聯(lián)立雙曲線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)，求直線斜率，進(jìn)而求解即可；（ii）法1，設(shè)直線的方程為形式，并聯(lián)立雙曲線方程，求直線的斜率的斜率和，進(jìn)而得證為定值；法2，設(shè)直線的方程為形式，并聯(lián)立雙曲線方程，求直線的斜率的斜率和，進(jìn)而得證為定值；（2）先對直線、斜率不存在的情形進(jìn)行驗證；法1：和均存在時，設(shè)，求得，從而得到與的外接圓半徑之比的最大值；法2，和均存在時，由三點(diǎn)共線可得，求得的值和，從而得到與的外接圓半徑之比的最大值；法3，若和均存在，設(shè)，則，得到，求得，從而得到與18．(1)（i）；（ii）證明見解析.(2)2【分析】（1）（i）先求直線的方程，聯(lián)立雙曲線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)，求直線斜率，進(jìn)而求解即可；（ii）法1，設(shè)直線的方程為形式，并聯(lián)立雙曲線方程，求直線的斜率的斜率和，進(jìn)而得證為定值；法2，設(shè)直線的方程為形式，并聯(lián)立雙曲線方程，求直線的斜率的斜率和，進(jìn)而得證為定值；（2）先對直線、斜率不存在的情形進(jìn)行驗證；法1：和均存在時，設(shè)，求得，從而得到與的外接圓半徑之比的最大值；法2，和均存在時，由三點(diǎn)共線可得，求得的值和，從而得到與的外接圓半徑之比的最大值；法3，若和均存在，設(shè)，則，得到，求得，從而得到與的外接圓半徑之比的最大值.【詳解】（1）（i），所以直線.直線與聯(lián)立可得，解得或，所以.所以，所以；（ii）法1：①直線斜率存在時，可設(shè)直線的方程為，設(shè)由得所以.當(dāng)時，由（i）可得；當(dāng)時，設(shè)的斜率分別為..所以，.所以.因為在第一象限，所以，所以，所以.②直線斜率不存在時，可得，可得，所以，同理可得.綜上可得，為定值，得證.法2：①時，由（i）可得；②時，設(shè)的斜率分別為.設(shè)，由在直線上可得.與聯(lián)立可得，即，所以就是方程的兩根.所以，，因為在第一象限，所以，所以，所以.綜上可得，為定值，得證.（2）由（1）可得時，