2025版一輪高考總復習數(shù)學第一章　集合、常用邏輯用語與不等式第二節(jié)　常用邏輯用語

第二節(jié)常用邏輯用語1.通過對典型數(shù)學命題的梳理，理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，理解定義、判定定理、性質(zhì)定理與充要條件、充分條件、必要條件的關系.2.通過已知的數(shù)學實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義.3.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定.1.充分條件與必要條件命題真假“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題“若p，則q”和“若q，則p”都是真命題推出關系p?qpqp?q條件關系p是q的充分條件，q是p的必要條件p不是q的充分條件，q不是p的必要條件p是q的充分必要條件，簡稱充要條件提醒（1）A是B的充分不必要條件?A?B且BA；（2）A的充分不必要條件是B?B?A且AB.2.全稱量詞和存在量詞類別全稱量詞存在量詞量詞所有的、任意一個存在一個、至少有一個符號??命題含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題類別全稱量詞存在量詞命題形式“對M中任意一個x，p（x）成立”，可用符號簡記為“?x∈M，p（x）”“存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符號簡記為“?x∈M，p（x）”3.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定名稱全稱量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對M中任意一個x，p（x）成立存在M中的元素x，p（x）成立簡記?x∈M，p（x）?x∈M，p（x）否定?x∈M，p（x）?x∈M，p（x）提醒對沒有量詞的命題否定時，要結(jié)合命題的含義加上量詞，再改變量詞.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）“至少有一個三角形的內(nèi)角和為π”是全稱量詞命題.（×）（2）寫全稱量詞命題的否定時，全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~.（√）（3）當p是q的充分條件時，q是p的必要條件.（√）（4）若已知p：x＞1和q：x≥1，則p是q的充分不必要條件.（√）2.已知命題p：?x∈R，x＞sinx，則p的否定為（）A.?x∈R，x＜sinx B.?x∈R，x≤sinxC.?x∈R，x≤sinx D.?x∈R，x＜sinx解析：C對全稱量詞命題的否定既要否定量詞又要否定結(jié)論，p：?x∈R，x＞sinx，則p的否定為：?x∈R，x≤sinx.故選C.3.（2023·天津高考2題）“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件解析：B由a2＝b2，得a＝±b，當a＝－b時，a2＋b2≠2ab.由a2＋b2＝2ab，得（a－b）2＝0，所以a＝b.所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分條件.故選B.4.“等邊三角形都是等腰三角形”的否定是存在一個等邊三角形，它不是等腰三角形.解析：全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.故命題的否定是存在一個等邊三角形，它不是等腰三角形.5.若“x＞m”是“x＞3”的充分不必要條件，則m的取值范圍是（3，＋∞）.解析：因為“x＞m”是“x＞3”的充分不必要條件，所以（m，＋∞）是（3，＋∞）的真子集，由圖可知m＞3.1.充分（必要、充要）條件與集合間的包含關系設A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}：（1）若A?B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；（2）若A?B，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；（3）若A＝B，則p是q的充要條件.2.命題p和p的真假性相反，若判斷一個命題的真假有困難時，可先判斷此命題的否定的真假.1.設x∈R，則“x＞0”是“2x＞2”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：B若2x＞2，則x＞1，因為（1，＋∞）?（0，＋∞），所以由結(jié)論1得“x＞0”是“2x＞2”的必要不充分條件.故選B.2.若“?x∈R，x2－ax－2a＞0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（－∞，－8]∪[0，＋∞）.解析：由結(jié)論2得?x∈R，x2－ax－2a≤0為真命題，所以Δ＝a2＋8a≥0，解得a∈（－∞，－8]∪[0，＋∞）.全稱量詞命題與存在量詞命題考向1含量詞命題的否定及真假判定【例1】（1）已知命題p：?x∈R，x＝－1或x＝2，則（）A.p：?x?R，x≠－1或x≠2B.p：?x∈R，x≠－1且x≠2C.p：?x∈R，x＝－1且x＝2D.p：?x?R，x＝－1或x＝2（2）下列命題為真命題的是（）A.?x∈R，ln（x2＋1）＜0B.?x＞2，2x＞x2C.?α，β∈R，sin（α－β）＝sinα－sinβD.?x∈（0，π），sinx＞cosx答案：（1）B（2）C解析：（1）注意“x＝－1或x＝2”的否定是“x≠－1且x≠2”，所以命題p的否定是“?x∈R，x≠－1且x≠2”.（2）∵x2＋1≥1，∴l(xiāng)n（x2＋1）≥0，故A是假命題；當x＝3時，23＜32，故B是假命題；當α＝β＝0時，sin（α－β）＝sinα－sinβ，故C是真命題；當x＝π6∈（0，π）時，sinx＝12，cosx＝32，sinx＜cosx，故D是假命題解題技法1.對全稱量詞命題與存在量詞命題進行否定的方法（1）改寫量詞：全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；（2）否定結(jié)論：對于一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可.2.全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法（1）全稱量詞命題：①要判斷一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定的集合M中的每一個元素x，證明p（x）成立；②要判斷一個全稱量詞命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個特殊值x＝x0，使p（x0）不成立即可.（2）存在量詞命題：要判斷一個存在量詞命題是真命題，只要在限定的集合M中，找到一個x＝x0，使p（x0）成立即可，否則這一存在量詞命題就是假命題.考向2含量詞的命題的應用【例2】已知命題“?x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.（－18，0） B.（0，1C.（18，＋∞） D.（1，＋解析：C因為命題“?x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命題，所以命題“?x∈R，ax2－x＋2＞0”是真命題，當a＝0時，得x＜2，不符合題意；當a≠0時，得a>0，Δ=1－解題技法由命題的真假求參數(shù)的方法（1）全稱量詞命題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題；（2）存在量詞命題可轉(zhuǎn)化為存在性問題；（3）全稱量詞、存在量詞命題假可轉(zhuǎn)化為它的否定命題真.1.（2024·石家莊模擬）已知命題p：?x∈（0，＋∞），lnx＝1－x，則命題p的真假及p依次為（）A.真；?x∈（0，＋∞），lnx≠1－xB.真；?x∈（0，＋∞），lnx≠1－xC.假；?x∈（0，＋∞），lnx≠1－xD.假；?x∈（0，＋∞），lnx≠1－x解析：B當x＝1時，lnx＝1－x＝0，故命題p為真命題；因為p：?x∈（0，＋∞），lnx＝1－x，所以p：?x∈（0，＋∞），lnx≠1－x.2.若命題“?x∈（－1，3），x2－2x－a≤0”為真命題，則實數(shù)a可取的最小整數(shù)值是（）A.－1 B.0C.1 D.3解析：A由題意，?x∈（－1，3），a≥x2－2x，令h（x）＝x2－2x，因為函數(shù)h（x）＝x2－2x在（－1，1）上單調(diào)遞減，在（1，3）上單調(diào)遞增，所以h（x）min＝h（1）＝1－2＝－1，所以a≥－1.所以實數(shù)a可取的最小整數(shù)值是－1.充分條件、必要條件的判定【例3】（1）設x∈R，則“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件（2）（2023·全國甲卷7題）設甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cosβ＝0，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件答案：（1）B（2）B解析：（1）不等式x2－5x＜0的解集A＝{x｜0＜x＜5}，由｜x－1｜＜1得－1＜x－1＜1，其解集B＝{x｜0＜x＜2}，則集合B是A的真子集，所以“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的必要不充分條件，故選B.（2）甲等價于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等價于sinα＝±cosβ，所以由甲不能推導出sinα＋cosβ＝0，所以甲不是乙的充分條件；由sinα＋cosβ＝0，得sinα＝－cosβ，平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推導出甲，則甲是乙的必要條件.綜上，選B.解題技法充分條件、必要條件的兩種判定方法（1）定義法：根據(jù)p?q，q?p進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題；（2）集合法：根據(jù)p，q對應的集合之間的包含關系進行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問題.1.已知a，b都是實數(shù)，那么“a＞2”是“方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析：A方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圓?方程（x－1）2＋（y－b）2＝a＋1表示圓?a＋1＞0?a＞－1.由a＞2能推出a＞－1，但是a＞－1推不出a＞2，故“a＞2”是“方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圓”的充分不必要條件.2.記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則“S3＝3a2”是“{an}為等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：B若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則S3＝a1＋a2＋a3＝3a2；當數(shù)列{an}的前n項和滿足S3＝3a2時，數(shù)列不一定是等差數(shù)列，如：a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5；所以“S3＝3a2”是“{an}為等差數(shù)列”的必要不充分條件，故選B.充分、必要條件的探究與應用【例4】已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍為[0，3].解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x｜－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的必要條件，則S?P，∴1－m≥－2，1+m≤10，1－m≤1+m，解得0≤m≤3（變條件）本例中條件“若x∈P是x∈S的必要條件”變?yōu)椤皒∈P是x∈S的充分不必要條件”，其他條件不變，求實數(shù)m的取值范圍.解：由例題知P＝{x｜－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的充分不必要條件，∴P?S.∴[－2，10]?[1－m，1＋m].∴1－m≤－2，1+m>10或1－m＜－2，解題技法應用充分、必要條件求解參數(shù)范圍的方法（1）把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關系，然后根據(jù)集合之間的關系列出關于參數(shù)的不等式（不等式組）求解；（2）要注意區(qū)間端點值的檢驗.尤其是利用兩個集合之間的關系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號取決于端點值的取舍，處理不當容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.設p：1＜x＜2；q：（x－a）（x－1）≤0.若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是[2，＋∞）.解析：由題意知{x｜1＜x＜2}?{x｜（x－a）（x－1）≤0}，則a＞1，即{x｜1＜x＜2}?{x｜1≤x≤a}，從而a≥2.1.命題“?x∈R，1＜f（x）≤2”的否定形式是（）A.?x∈R，1＜f（x）≤2B.?x∈R，1＜f（x）≤2C.?x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2D.?x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2解析：D存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，原命題的否定形式為“?x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2”.故選D.2.下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是（）A.?x∈R，x2＋2x＋1＞0B.對任意實數(shù)a，b，若a－b＜0，則a＜bC.若2x為偶數(shù)，則x∈ND.π是無理數(shù)解析：B對于A，?x∈R，x2＋2x＋1＝（x＋1）2≥0，故A錯誤；對于B，含有全稱量詞“任意”，是全稱量詞命題且是真命題，故B正確；對于C，當x＝－1時，2x＝－2，為偶數(shù)，但x?N，故C錯誤；對于D，π是無理數(shù)不是全稱量詞命題，故D錯誤.故選B.3.已知向量a＝（m2，－9），b＝（1，－1），則“m＝－3”是“a∥b”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：A若m＝－3，則a＝（9，－9）＝9b，所以a∥b；若a∥b，則m2×（－1）－（－9）×1＝0，解得m＝±3，得不出m＝－3.所以“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要條件.故選A.4.已知p：方程x2－4x＋4a＝0有實根；q：函數(shù)f（x）＝（2－a）x為增函數(shù)，則p是q的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：B方程x2－4x＋4a＝0有實根，故Δ＝16－16a≥0，∴a∈（－∞，1]，函數(shù)f（x）＝（2－a）x為增函數(shù)，故2－a＞1，∴a∈（－∞，1）.∵（－∞，1）?（－∞，1]，∴p是q的必要不充分條件，故選B.5.（2023·北京高考8題）若xy≠0，則“x＋y＝0”是“yx＋xy＝－2”的（A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：C法一因為xy≠0，且xy＋yx＝－2?x2＋y2＝－2xy?x2＋y2＋2xy＝0?（x＋y）2＝0?x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“xy＋yx＝－法二充分性：因為xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以xy＋yx＝－yy＋y－y＝必要性：因為xy≠0，且xy＋yx＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即（x＋y）2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“xy＋yx＝－6.（多選）使2x≥1成立的一個充分不必要條件是（A.0＜x＜1 B.0＜x＜2C.x＜2 D.0＜x≤2解析：AB由2x≥1得0＜x≤2，依題意由選項組成的集合是（0，2]的真子集，故選A、7.（多選）已知命題p：?x∈R，x2－2x＋a＋6＝0，q：?x∈R，x2＋mx＋1＞0，則下列說法正確的是（）A.p的否定是“?x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”B.q的否定是“?x∈R，x2＋mx＋1＞0”C.若p為假命題，則a的取值范圍是（－∞，－5）D.若q為真命題，則m的取值范圍是（－2，2）解析：ADA、B選項，p的否定是“?x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”，q的否定是“?x∈R，x2＋mx＋1≤0”，所以A正確，B不正確；C選項，若p為假命題，則p的否定“?x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”是真命題，即方程x2－2x＋a＋6＝0在實數(shù)范圍內(nèi)無解，Δ＝4－4（a＋6）＜0，得a＞－5，C不正確；D選項，q為真命題，則Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，D正確.故選A、D.8.命題p：若直線l與平面α內(nèi)的所有直線都不平行，則直線l與平面α不平行.則命題p是假命題（填“真”或“假”）.解析：若直線l與平面α內(nèi)的所有直線都不平行，則直線l與平面α相交，所以直線l與平面α不平行，所以命題p為真命題，所以p為假命題.9.能說明命題“?x∈R且x≠0，x＋1x≥2”是假命題的x的值可以是－1（答案不唯一）（寫出一個即可）解析：由于當x＞0時，x＋1x≥2，當且僅當x＝1時等號成立，當x＜0時，x＋1x≤－2，當且僅當x＝－1時等號成立，所以x取負數(shù)，即可滿足題意.例如x＝－1時，x＋1x10.已知命題p：?x∈R，x2－a≥0；命題q：?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命題p，q都是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為（－∞，－2].解析：由命題p為真，得a≤0；由命題q為真，得Δ＝4a2－4（2－a）≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.11.命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是（）A.?x∈R，?n∈N*，使得n＞x2B.?x∈R，?n∈N*，都有n＞x2C.?x∈R，?n∈N*，使得n＞x2D.?x∈R，?n∈N*，都有n＞x2解析：D?改寫為?，?改寫為?，n≤x2的否定是n＞x2，則該命題的否定形式為“?x∈R，?n∈N*，都有n＞x2”.12.設計如圖所示的四個電路圖，則能表示“開關A閉合”是“燈泡B亮”的必要不充分條件的一個電路圖是（）解析：C選項A：“開關A閉合”是“燈泡B亮”的充分不必要條件；選項B：“開關A閉合”是“燈泡B亮”的充要條件；選項C：“開關A閉合”是“燈泡B亮”的必要不充分條件；選項D：“開關A閉合”是“燈泡B亮”的既不充分也不必要條件.故選C.13.（多