二項(xiàng)分布與超幾何分布（3類）-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)分類集訓(xùn)系列（北師大版2019選擇性必修第一冊(cè)）（解析版）

專題6.4二項(xiàng)分布與超幾何分布

【考點(diǎn)1：二項(xiàng)分布的概率、均值與方差】.........................................................1

【考點(diǎn)2：服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量概率最大問題】................................................9

【考點(diǎn)3：超幾何分布的概率、均值與方差】.....................................................14

【考點(diǎn)1：二項(xiàng)分布的概率、均值與方差】

【知識(shí)點(diǎn)：二項(xiàng)分布的概率、均值與方差】

1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

在相同條件下重復(fù)做的〃次試驗(yàn)稱為〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).A,(i=l,2,…，〃)表示第i次試驗(yàn)結(jié)果，則

PG41AM3…4〃)=P(4)P(4)…P(A〃).

2.二項(xiàng)分布

在〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是p,此時(shí)稱

隨機(jī)交量X服從二項(xiàng)分布，記作X?玫〃，p),并稱p為成功概率.在〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)

生人次的概率為P(X=4)=apA(l-p)LA(k=0,l,2,???，〃).

［方法技巧］

求隨機(jī)變量X的均值與方差時(shí)，可首先分析X是否服從二項(xiàng)分布，如果X?&〃，p),則用公式E(X)=〃p；

。(加="(1一0求解，可大大減少計(jì)算量.

1.(2023?全國?高二專題練習(xí))已知X?B(n,p),且E(3X—9)=D(3X-9)=27,則()

A.n=18B.n=16C.p=-D.p=-

44

【答案】BD

【分析】由題得卜：了!一2；2：解方程組即得解.

【詳解】由題意可知3E(X)-9=9D(X)=27,則卜,；1二，解得P=？n=16-

故選：BD

2.(2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知隨機(jī)變量從二項(xiàng)分布8(1001,3，則1)

1001

A.P(X=k)=CfQ01(1)B.P(X<301)=P(X>701)

C.P(X>E(X))>1D.P(X=k)最大時(shí)A=500或501

【答案】AD

【分析】結(jié)合二項(xiàng)分布的性質(zhì)，逐項(xiàng)計(jì)算，即可得到本題答案.

,/i\fc/1001-fc,Z1OO1

【詳解】對(duì)A,P(X=/c)=Cfooi(2)(1-5lX)=Cfooi(12X)，所以A對(duì)；

對(duì)B,因?yàn)镻(X<301)=立為P(X=k),P(X>700)=EU7OOP(X=k)且哈°i=C挪1，

所以P(XW301)=P(XN700),所以B錯(cuò)；

對(duì)C,因?yàn)镋(X)=np=1001x1=500.5,

所以P(X>E(X))=P(X>500.5)=配縹)iP(X=fc)=I，所以C錯(cuò)；

對(duì)D,因?yàn)镻(X=k)=C，ooi《)，由組合數(shù)的性質(zhì)得，P(X=k)最大時(shí)上=500或501,所以D對(duì).

故選：AD

3.(2023?全國?高二專題練習(xí))某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品是經(jīng)過三道工序加工而成的，這三道工序互不影響，已

知生產(chǎn)該產(chǎn)品三道工序的次品率分別為2，春.

⑴求該產(chǎn)品的次品率；

⑵從該工廠生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中隨機(jī)抽取三件，記次品的件數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列與期望E(X).

【答案】明

⑵分布列見解析，E(X)=：

4

【分析】(1)利用相互獨(dú)立事件的乘法概率計(jì)算公式能求出產(chǎn)品為正品的概率，即可由對(duì)立事件求次品概

率

(2)由題意得X=0,1,2,3,分別求出其相對(duì)應(yīng)的概率，能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【詳解】⑴產(chǎn)品正品的概率為；P=(l；)(1

所以為次品的概率為1一?=；

(2)由題意得X=0,1,2,3,且乂~8(3,?

P(x=o)=e)3或，

P(X=D=嚙乍)哈

P(X=2)=CK3G)2=?

P(X=3)=G)Y，

.?.X的分布歹IJ如下:

X0123

272791

p

64646464

.?.EW=0x^+lx^+2x^+3x^=^

4.（2023?四川?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）為了豐富大學(xué)生的課外生活，某高校團(tuán)委組織了有獎(jiǎng)猜謎知識(shí)競(jìng)賽，共

有500名學(xué)生參加，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將其整理后分成4組，各組區(qū)間為[60,70）,

[70,80）,[80,90）,[90,100],并畫巴如圖所示的頻率分布直方圖.

⑴估計(jì)所有參賽學(xué)生的平均成績(jī)（各組的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中間值作代表）；

⑵若團(tuán)委決定對(duì)所有參賽學(xué)生中成績(jī)排在前50名的學(xué)生進(jìn)行表彰，估計(jì)獲得表彰的學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)線.

⑶以這100名學(xué)生成績(jī)不低于80分的頻率為概率，從參賽的500名學(xué)生中隨機(jī)選20名，其中參賽學(xué)生成績(jī)不

低于80分的人數(shù)記為X,求X的方差.

【答案】（1）82分

（2）95分

（3）4.8

【分析】（1）利用頻率分布直方圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，求出m,再求出這100名參賽學(xué)生的平均成績(jī)，由此估

計(jì)出所有參賽學(xué)生的平均成績(jī)：

（2）求出可以獲得表彰的學(xué)生人數(shù)的頻率，設(shè)獲得表彰的學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)線為X,根據(jù)條件建立關(guān)于x的方

程求解即可；

（3）根據(jù)條件，可知X?B（20,0.6）,然后由方差公式求解即可.

【詳解】（1）由10x（0.01+0.03+m+2m）=1,得m=0.02.

這100名參賽學(xué)生的平均成績(jī)約為0.01x10x65+0.03x10x75+0.04x10x854-0.02x10x95=82

分,

故估計(jì)所有參賽學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?2分.

(2)獲得表彰的學(xué)生人數(shù)的頻率為券=0.1,

設(shè)獲得表彰的學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)線為X，

由分?jǐn)?shù)在區(qū)間［90,100］的頻率為10x0.02=0.2,可知％e(90,100),

由(100-x)x0.02=0.1,得工=95,

故估計(jì)獲得表彰的學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)線為95分.

(3)這100名學(xué)生成績(jī)不低于80分的頻率為(m+2m)X10=0.6,

由題意，可知X?B(20,0.6),

故。(X)=20x0.6X(1-0.6)=4.8.

5.(2022春?重慶榮昌?高二重慶市榮昌永榮中學(xué)校?？计谀?某學(xué)校高三年級(jí)有400名學(xué)生參加某項(xiàng)體育

測(cè)試，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分

成7組：［30,40),［40,50),…［90,100］,整理得到如下頻率分布直方圖：

⑴若規(guī)定小于60分為“不及格〃，從該學(xué)校高三年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)該學(xué)生不及格的概率；

⑵若規(guī)定分?jǐn)?shù)在［80,90)為"良好”，［90,100］為“優(yōu)秀".用頻率估計(jì)概率，從該校高三年級(jí)隨機(jī)抽取三人，記該

項(xiàng)測(cè)試分?jǐn)?shù)為"良好"或"優(yōu)秀〃的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)0.1

⑵分布列見解析，期望為09

【分析】(1)由表可用1減去及格人數(shù)的概率得到不及格人數(shù)的概率.

(2)設(shè)樣本中“良好〃或“優(yōu)秀〃為事件8,則P(B)=0.2+0.1=0.3,根據(jù)二項(xiàng)分布列出頻率分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期

望.

【詳解】(1)設(shè)"不及格"為事件A,則“及格”為事件彳

回P(4)=1-P(A)=1-(0.24-0.4+0.2+0.1)=0.1,

故該學(xué)生不及格的概率為0.1.

(2)設(shè)“樣本中"良好"或"優(yōu)秀”為事件8,則P(B)=0.2+0.1=0.3

依題意可知：X?2(3,63)

P(X=0)=0.73=0.343,P(X=1)=C|X0.31x0.72=0.441,

P(X=2)=C|x0.32x0.71=0.189,P(X=3)=0.33=0.027,

所以,X的分布列為

X0123

P0.3430.4410.1890.027

E(X)=np=3x0.3=0.9

6.（2023春?四川成都?高三成都七中?？奸_學(xué)考試）隨著人民生活水平的不斷提高，“衣食住行〃愈發(fā)被人

們所重視，其中對(duì)飲食的要求也愈來愈高.某地區(qū)為了解當(dāng)?shù)夭惋嬊闆r，隨機(jī)抽取了100人對(duì)該地區(qū)的餐

飲情況進(jìn)行了問卷調(diào)查.請(qǐng)根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖）解決

組別分組頻數(shù)頻率.

第1組[50,60)140.14

第2組[60,70)m

第3組[70,80)360.36

第4組[80,90)0.16

第5組[90,100)4n

合計(jì)

（1）求ni,n,x,y的值；

⑵若將滿意度在80分以上的人群稱為“美食客”，將頻率視為概率，用樣本估計(jì)總體，從該地區(qū)中隨機(jī)抽取

3人，記其中“美食客”的人數(shù)為f,求f的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】（l）m=30,n=0.04.x=0.03,y=0.004

⑵分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為：

【分析】（1）根據(jù)頻率分布表和頻率分布直方圖的定義列式求解即可.

（2）f服從二項(xiàng)分布，即可根據(jù)公式求二項(xiàng)分布概率公式及期望公式求得結(jié)果.

【詳解】（1）由題意可得第四組的人數(shù)為100X0.16=16,

所以比=1。。-14-36-16-4=3。，n=^=0.04,

又[60,70）內(nèi)的頻率為喘=0.3,所以u(píng)=署=0.03,

[90,100）內(nèi)的頻率為0.04,所以￥=黑=0.004.

（2）由頻率分布表可得該地區(qū)抽取“美食客”的概率為0.16+0.04-0.2,

由題意f可取0,1,2,3,且f?

所以P（f=0）=C暄常噫，P（f=l）=洸）常喑

P3=洸）2（卉急P（-）=洸）譚=擊,

所以f的分布列為:

0123

6448121

P

125125125125

7.（2023?河南鄭州?統(tǒng)考一模）世界杯足球賽淘汰賽階段的比賽規(guī)則為：90分鐘內(nèi)進(jìn)球多的球隊(duì)取勝，如

果參賽雙方在90分鐘內(nèi)無法決出勝負(fù)（踢成平局），將進(jìn)行30分鐘的加時(shí)賽，若加時(shí)賽階段兩隊(duì)仍未分

出勝負(fù)，則進(jìn)入“點(diǎn)球大戰(zhàn)點(diǎn)球大戰(zhàn)的規(guī)則如下：①兩隊(duì)各派5名隊(duì)員，雙方輪流踢點(diǎn)球，累計(jì)進(jìn)球個(gè)

數(shù)多者勝；②如果在踢滿5球前，一隊(duì)送球數(shù)已多于另一隊(duì)踢5球可能踢中的球數(shù)，則該隊(duì)勝出，譬如：

第4輪結(jié)束時(shí)，雙方進(jìn)球數(shù)比2:0,則不需踢第5輪了；③若前5輪點(diǎn)球大戰(zhàn)中雙方進(jìn)球數(shù)持平，則采用“突

然死亡法”決出勝負(fù)，即從第6輪起，雙方每輪各派1人踢點(diǎn)球，若均進(jìn)球或均不進(jìn)球，則繼續(xù)下一輪.直

到出現(xiàn)一方進(jìn)球另一方不進(jìn)球的情況，進(jìn)球方勝.現(xiàn)有甲乙兩隊(duì)在淘汰賽中相遇，雙方勢(shì)均力敵，120分鐘

（含加時(shí)賽）仍未分出勝負(fù)，須采用“點(diǎn)球大戰(zhàn)”決定勝負(fù).設(shè)甲隊(duì)每名球員射進(jìn)的概率為（乙隊(duì)每名球員

射進(jìn)的概率為a每輪點(diǎn)球結(jié)果互不影響.

⑴設(shè)甲隊(duì)踢了5球，X為射進(jìn)點(diǎn)球的個(gè)數(shù)，求X的分布列與期望；

⑵若每輪點(diǎn)球都由甲隊(duì)先踢，求在第四輪點(diǎn)球結(jié)束時(shí)，乙隊(duì)進(jìn)了4個(gè)球并剛好勝出的概率.

【答案】⑴分布列見解析，F(xiàn)(X)=1

聯(lián)

【分析】(1)由題意知X?8(5*),由二項(xiàng)分布求出X的分布列與期望；

(2)由題意知甲乙兩隊(duì)比分為1：4或2：4,求出相應(yīng)的概率再相加即可.

【詳解】(1)由題意知，X~8(5，)，X可能的取值為0,1,2,3,4,5.

P(X=0)=@5=Mp(x=l)=瑪與=*

P(X=2)=Cj(l)5=12=A,p(x=3)=C統(tǒng))5=2=1,p(x=4)=C心5=+p(x=5)=針=專.

(2)設(shè)“第四輪點(diǎn)球結(jié)束時(shí)，乙隊(duì)進(jìn)了4個(gè)球并勝出〃為事件4,

由題意知，甲乙兩隊(duì)比分為1：4或2：4,設(shè)“甲乙兩隊(duì)比分為1：4〃為事件“甲乙兩隊(duì)比分為2：4〃為

事件為，

若甲乙兩隊(duì)比分為1：4,則乙射進(jìn)4次，甲前三次射進(jìn)一次，第4次未進(jìn)，P(^)=CK|)4-(|)4=^

若甲乙兩隊(duì)比分為2：4,則乙射進(jìn)4次，甲前四次射進(jìn)兩次，P(A2)=C泊*?(§4=弟

所以P(A)=P(&)+P(<2)=^+^=5-

即在第四輪點(diǎn)球結(jié)束時(shí)，乙隊(duì)進(jìn)了4個(gè)球并勝出的概率為

8.(2023?全國?高二專題練習(xí))近年來，我國加速推行垃圾分類制度，全國垃圾分類工作取得積極進(jìn)展.某

城市推出了兩套方案，并分別在A,B兩個(gè)大型居民小區(qū)內(nèi)試行.方案一：進(jìn)行廣泛的宣傳活動(dòng)，通過設(shè)立

宣傳點(diǎn)、發(fā)放宣傳單等方式，向小區(qū)居民和社會(huì)各界宣傳垃圾分類的意義，訐解分類垃圾桶的使用方式，

垃圾投放時(shí)間等，定期召開垃圾分類會(huì)議和知識(shí)宣傳教育活動(dòng)；方案二：智能化垃圾分類，在小區(qū)內(nèi)分別

設(shè)立分類垃圾桶，垃圾回收前端分類智能化，智能垃圾桶操作簡(jiǎn)單，居民可■以通過設(shè)備進(jìn)行自動(dòng)登錄、自

動(dòng)稱重、自動(dòng)積分等一系列操作.建立垃圾分類激勵(lì)機(jī)制，比如，垃圾分類換積分，積分可兌換禮品等，

激發(fā)了居民參與垃圾分類的熱情，帶動(dòng)居民積極主動(dòng)地參與垃圾分類.經(jīng)過一段時(shí)間試行之后，在這兩個(gè)

小區(qū)內(nèi)各隨機(jī)抽取了100名居民進(jìn)行問卷調(diào)查，記錄他們對(duì)試行方案的滿意度得分(滿分100分)，將數(shù)

據(jù)分成6組：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如下頻率分布直方圖:

⑴請(qǐng)通過頻率分布直方圖分別估計(jì)兩種方案滿意度的平均得分，判斷哪種方案的垃圾分類推廣措施更受居

民歡迎(同一組中的數(shù)據(jù)用該組中間的中點(diǎn)值作代表)：

⑵估計(jì)4小區(qū)滿意度得分的第80百分位數(shù)；

⑶以樣本頻率估計(jì)概率，若滿意度得分不低于70分說明居民贊成推行此方案，低于70分說明居民不太贊

成推行此方案.現(xiàn)從8小區(qū)內(nèi)隨機(jī)抽取5個(gè)人，用X表示贊成該小區(qū)推行方案的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)

學(xué)期望.

【答案】⑴方案一，二的滿意度平均得分分別為72.6,76.5,且方案二的措施更受居民歡迎；

(2)第80百分位數(shù)為85分；

⑶分布列見解析，4.

【分析】(1)由頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)即可；

(2)根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可；

(3)由題意可得X滿足二項(xiàng)分布，然后進(jìn)行求解分布列和期望.

【詳解】(1)設(shè)A小區(qū)方案一的滿意度平均分為社

則M=(45x0.006+55X0.014+65X0.018+75X0.032+85X0.020+95X0.010)X10=72.6,

設(shè)B小區(qū)方案二的滿意度平均分為區(qū)

則歹=(45x0.005+55X0.005+65x0.010+75x0.040+85x0.030+95x0.010)x10=76.5,

因?yàn)?2.6<76.5,

所以方案二的垃圾分類推行措施更受居民歡迎：

(2)因?yàn)榍?組的頻率之和為0.06+0.14+0.18+0.32=0.7<0.8,

前5組的頻率之和為0.06+0.144-0.18+0.32+0.2=0.9>0.8,

所以第80百分位數(shù)在第5組，

設(shè)第80百分位數(shù)為彳，貝1」0.7+(工-80)x0.020=0.8,解得％=85,

所以4小區(qū)滿意度得分的第80百分位數(shù)為85分；

(3)由題意可知方案二中,滿意度不低于70分的頻率為(0.0404-0.030+0.010)X10=0.8,低于70分的

頻率為(0.005+0.005+0.010)x10=0.2,

現(xiàn)從8小區(qū)內(nèi)隨機(jī)抽取5個(gè)人，則X?8(5,X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,

P(x=。)=C2甘=盛，P(x=1)=C”.Q)4=短

P(X=2)=啕2(卉急p(x=3)=洸)飛)J掾

P(X=4)=玳)4.「券P(X=5)=洸)、黑，

所以X的分布列為

X012345

14321282561024

P

31256256256256253125

由二項(xiàng)分布知數(shù)學(xué)期望E(X)=5x3=4.

【考點(diǎn)2：服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量概率最大問題】

【知識(shí)點(diǎn)：服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量概率最大問題】

1.(2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知隨機(jī)變量從二項(xiàng)分布B(1001,3,則()

1001

A.P(X=k)=Cf001Q)B.P(X<301)=P(X>701)

C.P(X>E(X))>\D.P(X=k)最大時(shí)A=500或501

【答案】AD

【分析】結(jié)合二項(xiàng)分布的性質(zhì)，逐項(xiàng)計(jì)算，即可得到本題答案.

Zf\k/4\1001-k\1001

【詳解】對(duì)A,P(X=/C)=CJOOI(1)(1-1)=CjooiQ)，所以A對(duì);

對(duì)B,因?yàn)镻(X<301)=2^P(X=k),P(X>700)=Sii%oP(X=k)且哈0】=C挪產(chǎn),

所以P(X?301)=P(XN700),所以B借：

對(duì)C,因?yàn)镋(X)=np=1001xi=500.5,

所以P(X>E(X))=P(X>500.5)=2黑)iP(X=k)=點(diǎn)所以C錯(cuò)；

1OO1

對(duì)D,因?yàn)镻(X=A)=C，oo/i1XC)，由組合數(shù)的性質(zhì)得，P(X=A)最大時(shí)k=500或501,所以D對(duì).

故選：AD

2.(2023?高二課時(shí)練習(xí))某家畜研究機(jī)構(gòu)發(fā)現(xiàn)每頭成年牛感染H型疾病的概率p=0.3,且每頭成年牛是否

感染H型疾病相互獨(dú)立.設(shè)10頭成年牛中恰有A頭感染H型疾病的概率是g(k),當(dāng)k為何值時(shí)，g(k)有最大

值？

【答案】k=3

【分析】首先得出概率通式是g(k)=CfoPk(l-=0,1,2,-,10),計(jì)算陰；=1+蕓3則當(dāng)k=3

時(shí)，g(k)有最大值.

【詳解】10頭成年牛中恰有k頭感染H型疾病的概率是

k

g(k)=C?0P(l-P?°f(k=0,1,2,-,10),其中p=0.3.

用為0(幻二CfopkCl-pTO-k=C4p=10!(〃-1)!(11-幻！p_11-fcp_3.3-0,3/C_3.3-k所

依Rgik-1)一而-C片i(l-p)-k!(10-k)!,10!,1-p'k'1-p-0.7k-0.7k'川

以

當(dāng)3.3—k>0,即A<3.3(k>1,且kGN)時(shí)，1,得g(k)>g(k—1)；

當(dāng)3.3—上<0,即k>3.3(k<10,且k￡N)時(shí)，怒巳<1,得g(k)vg(k—1).

于是g(0)<g(l)Vg(2)Vg(3)>g(4)〉〉g(10)，所以當(dāng)k=3時(shí)，g(A)有最大值.

3.(2023春?廣東?高三統(tǒng)考開學(xué)考試)2022年“五一”期間，為推動(dòng)消費(fèi)市場(chǎng)復(fù)蘇，補(bǔ)貼市民，深圳市各區(qū)

政府發(fā)放各類消費(fèi)券，其中某區(qū)政府發(fā)放了市內(nèi)旅游消費(fèi)券，該消費(fèi)券包含4B，C,D,E,r六個(gè)旅游

項(xiàng)目，甲、乙、丙、丁四人每人計(jì)劃從中任選兩個(gè)不同的項(xiàng)目參加，且他們的選擇互不影響.

⑴求甲、乙、丙、丁這四個(gè)人中至少有一人選擇項(xiàng)目A的概率；

(2)記X為這四個(gè)人中選擇項(xiàng)目A的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

⑶如臭將甲、乙、丙、丁四個(gè)人改為n個(gè)人(九>4),其他要求相同，問：這兀個(gè)人中選擇項(xiàng)目A的人數(shù)最有

可能是多少人？

【答案】（瑞

⑵分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為9

⑶答案見解析.

【分析】（1）由題得到每個(gè)人選擇項(xiàng)目力的概率，即可求解；

（2）根據(jù)題意可得到X服從二項(xiàng)分布：X?8（4彳），即可求其分布列和期望：

（）設(shè)選擇項(xiàng)的人數(shù)最有可能為人，則通過［學(xué)：￡上氏U可得—WkW早,

3FMkR然后分n被

3除余2,九被3除余1和n能整除3,三種情況進(jìn)行討論

【詳解】（1）由題意可知，每個(gè)人選擇項(xiàng)目4的概率為叁=；,則每個(gè)人不選擇項(xiàng)目4的概率為

故甲、乙、丙、丁這4個(gè)人中至少有一人選擇項(xiàng)目4的概率為1-d）4=襄

\3/81

（2）由（1）可知，每個(gè)人選擇項(xiàng)目A的概率為叁=；,且每個(gè)人是否選擇項(xiàng)目A相互獨(dú)立，

3

故X服從二項(xiàng)分布：X?8（4彳），

所以P（X=k）=dQ）k（1-Ji（k=0,1,234）,

P（x=0）=（I）4得,P（X=D=CJ（1）1（1-ff=言

P（X=2）=C"J（l*y=髀品。-3）=量以（1勺/P（X=4）=（1）4=-

則x的概率分布列為：

X0124

163281

p

81812781

.?.》的數(shù)學(xué)期望/（*）=4乂：=：

（3）設(shè)選擇項(xiàng)目A的人數(shù)最有可能為k人,

P(X=k)>P(X=k+1)

P(X=k)>P(X=k-1)

“八正第以（曠，用,

nn

&2M>Ct+12-kT

2第>cj+1

即

..C*-2nl-fc瑞-1?2所卜+1，&>2c廠’

3n

'2n!n!

如-(k+l)!(n-k-l)!即[2(A+1)>n-

In!>2n!*<n-k+l>2k'

LK!(n-R)!—(R-l)!(n-K+l)!

解得等WkW等，

又?:kWN,

所以當(dāng)n=3m+2,m€N+時(shí)，則不等式為mWkWm+1,

則當(dāng)攵=由或上=771+1,即當(dāng)n被3除余2時(shí)，選擇項(xiàng)目A的人數(shù)最有可能是詈人和等人；

當(dāng)n=3m+1,meN+且m>2時(shí)，則不等式為m-1<k<m+1,

則k=m,即當(dāng)幾被3除余1時(shí)，選擇項(xiàng)目A的人數(shù)最有可能是當(dāng)人；

當(dāng)n=3m,血￡八+且?71之2時(shí)，則不等式為m—|WkWm+[,

k=m,即當(dāng)n被3整除時(shí)，選擇項(xiàng)目A的人數(shù)最有可能是人.

4.(2023春?廣東揭陽?高三校考開學(xué)考試:某工廠生產(chǎn)一批零件，其直徑X滿足正態(tài)分布X?N(10,0.25)(單

位：mm).

⑴現(xiàn)隨機(jī)抽取15個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，認(rèn)為直徑在(8.5,11.5)之內(nèi)的產(chǎn)品為合格品，若樣品中有次品則可以認(rèn)定

生產(chǎn)過程中存在問題.求上述事件發(fā)生的概率，并說明這一標(biāo)準(zhǔn)的合理性.(己知：P(〃-3。<X<〃+3a)=

0.9973,0.997315=0.9603)

⑵若在上述檢測(cè)中發(fā)現(xiàn)了問題，另抽取100個(gè)零件進(jìn)一步檢測(cè)，則這100個(gè)零件中的次品數(shù)最可能是多少？

【答案】⑴見解析；

(2)0.

【分析】(1)P(8.5<X<11.5)=0.9973,故至少有1個(gè)次品的概率為1一0.9973】5、0.0397,根據(jù)小概

率事件說明即可；

(2)次品的概率為1-09973=00027,設(shè)次品數(shù)為匕則丫?8(100,p),其中p=0.0027,設(shè)次品數(shù)最可能

CjooPk(l-P)lo°-fc工釬就「卜1(1一2)1。1-k

是k件，則，求解即可.

cWd-p)100-kNC鎬pk+l(i-p)99T

【詳解】(1)因?yàn)閄~N(10,0.52),所以P(8.5VXV11.5)=0.9973,

所以隨機(jī)抽取15個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，至少有1個(gè)次品的概率為1一0.99731s*0.0397,

如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，至少有一個(gè)次品的概率約為0.0397,該事件是小概率事件，因此一旦發(fā)生這種狀況,

就有理由認(rèn)定生產(chǎn)過程中存在問題，即這一標(biāo)準(zhǔn)是合理的.

(2)次品的概率為1-0.9973=0.0027,

抽取100個(gè)零件進(jìn)一步檢測(cè)，設(shè)次品數(shù)為y,則丫?8(100,p),其中p=0.0027,

故P(y=k)=CjooP^l-p)i。。士

設(shè)次品數(shù)最可能是k件，

川[C，ooP<l—p)】oof>CjoJp^d-P)101-k

ICfooPk(l-P)，0°-k>瑞pE(l-P)99T'

f_122L_.>_1221(i-

gIfc!(100-k)!pK~p)

[K31|100!，[_、100!，

(fc!:100-k)!，(-P)-(fc+i)!(99-fc)!"P

(「上乙

即Ji-p101~p，解得101P-l<k<101p(keN)

(100-k-k+1

因?yàn)閜=0.0027,所以lOlp=0.2727,101p-1=-0.7273,故k=0.

故這100個(gè)零件中的次品數(shù)最可能是0.

5.(2023秋?廣東?高二校聯(lián)考期末)某次射擊比賽過關(guān)規(guī)定：每位參賽者最多有兩次射擊機(jī)會(huì)，第一次射

擊擊中靶標(biāo)，立即停止射擊，比賽過關(guān)，得4分；第一次未擊中靶標(biāo)，繼續(xù)進(jìn)行第二次射擊，若擊中靶標(biāo),

立即停止射擊，比賽過關(guān)，得3分；若未擊中靶標(biāo)，比賽未能過關(guān)，得2分.現(xiàn)有12人參加該射擊比賽，

假設(shè)每人兩次射擊擊中靶標(biāo)的概率分別為“0.5,每人過關(guān)的概率為p.

(1)求p(用機(jī)表示)；

⑵設(shè)這12人中恰有9人通過射擊比賽過關(guān)的概率為/(p),求/(p)取最大時(shí)〃和用的值；

⑶在(2)的結(jié)果下，求這12人通過射擊比賽過關(guān)所得總分的平均數(shù).

【答案】(l)p=0.5+0.5m

(2)p=0.75,m=0.5

⑶39

【分析】(1)利用對(duì)立事件概率的計(jì)算公式，用相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算公式能求出每位大學(xué)生射擊測(cè)試過

關(guān)的概率.⑵求出/XP)=舞2P9(1-p)3,(0<p<1),通過求導(dǎo)可求得取到最大值時(shí)的p,m的值.⑶利用第二

問的結(jié)論，設(shè)一位大學(xué)生射擊測(cè)試過關(guān)所得分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X,X的可能取值為4,3,2,分別求出每一個(gè)隨機(jī)

變量的概率，由此可求得12個(gè)人通過射擊過關(guān)所得分?jǐn)?shù)的平均分.

【詳解】(1)每位大學(xué)生射擊過關(guān)的概率為：

p=1—(1—m)(l—0.5)=0.54-0.5m.

832

⑵f(p)=C72P義1-p)3,(0<p<1),f(p)=C?2[9p(l-p)-3P-p)2]=3cAp8(1-P)(3-

4p),令尸(p)=0,則p=1或p=0.75,因?yàn)?<p<l,所以p=0.75.令尸(p)>0,0<p<0,75,令尸(p)<

0,0.75<p<1,所以/'(p)在(0,0.75)上單周遞增，在(0.75,1)上單調(diào)遞減.所以當(dāng)p=0.75時(shí)，/(p)max=

/(0.75),此時(shí)0.5+0.5m=0.75,解得m=0.5.所以當(dāng)/(p)取最大時(shí)p和m的值分別為0.75,0.5.

(3)設(shè)一位大學(xué)生射擊過關(guān)測(cè)試所得分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X,則X的可能取值為4,3,2,貝如(丫=4)=0.5,p(X=

3)=(1-0.5)x0.5=0.25,p(X=2)=(1-0.5)x(1-0.5)=0.25,所以每位大學(xué)生測(cè)試過關(guān)所得分?jǐn)?shù)

的平均分為：E(X)=4x0.5+3x0.25+2x0.25=3.25.所以這12人通過射擊過關(guān)測(cè)試所得分?jǐn)?shù)的平均

分為：12x3.25=39.

【考點(diǎn)3：超幾何分布的概率、均值與方差】

【知識(shí)點(diǎn)：超幾何分布的概率、均值與方差】

一般地，在含有"件次品的N件產(chǎn)品中，任取〃件，其中恰有X件次品，則

P（X=A）=隼衿,k=0,l,2,…,m,

即

X01???m

???

PCA/CA/-A/

瑪G

其中加二*"〃，〃},且nJN,M4N,it,M,NwN*。

如果隨機(jī)變量X的分布列具有上表形式，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布。在超幾何分布模型中，“任

取〃件”是指“每次取一件不放回，共取〃件”，如果有放回的取則為〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)變量服從

二項(xiàng)分布。

［方法技巧］求超幾何分布的分布列的步驟

驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)

第一步一

N,M,n的值

根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)

第二步一

變量取每一個(gè)值時(shí)的概率

|第三步|一；用表格的形式列出分布列

1.(2022春?河南三門峽?高二?？茧A段練習(xí))數(shù)學(xué)老師從6道習(xí)題中隨機(jī)抽3道讓同學(xué)檢測(cè)，規(guī)定至少要

解答正確2道題才能及格.某同學(xué)只能求解其中的4道題，則他能及格的概里是()

A-IB.-0ID-i

【答案】D

【分析】由超幾何分布的概率公式結(jié)合排列組合即可求得.

【詳解】由超幾何分布的概率公式可得，他能及格的概率是:

P(X之2)=P(X=2)+P(X=3)=等十好=：.

故選：D.

2.(2022春?山西呂梁?高二校聯(lián)考期中)已知10件產(chǎn)品中存在次品，從中抽取2件，記次品數(shù)為f,P(f=1)=

夠P&=2)=白，則下列說法正確的是()

4545

A.這10件產(chǎn)品的次品率為20%B.次品數(shù)為8件

C.E(f)=0.4D.D(f)=黑

【答案】ACD

【分析】假設(shè)次品為九件，由P(f=1)=於求得次品九及次品率，再分別求的％),即可得出結(jié)果.

【詳解】假設(shè)10件產(chǎn)品中存在次品為n件，從中抽取2件，

?

=16一P(f=1)==竺

p(451尊。45n=2,則次品數(shù)為2件，B錯(cuò)誤;

8-1zi

(f

2)45p(1=2)二*

Mo33

這10件產(chǎn)品的次品率為100%=20%,A正確；

10件產(chǎn)品中存在2件次品，從中抽取2件，記次品數(shù)為f,則f的可能取值為0,1,2,

P(f=0)=1-P(f=1)-P(f=2)=1一去二普

則E(f)=0x—+lx—+2x—=0.4,C正確；

454545

。⑷二(0—0.4)2X工+(1-0.4)2X郎+(2-0.4)2吟=黑,D正確.

故選：ACD.

3.(2022春?江蘇蘇州?高二蘇州中學(xué)校考期中)在一個(gè)袋中裝有質(zhì)地大小一年的6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)

從中任取4個(gè)小球，設(shè)取出的4個(gè)小球中黑球的個(gè)數(shù)為X,則下列結(jié)論正確的是()

A.隨機(jī)變量X可能的取值為0,1,2,3,4,5,6B.隨機(jī)變量X服從超幾何分布

C.P(X=0)=P(X=4)D.D(X)=

【答案】BD

【分析】根據(jù)題意知隨機(jī)變量X服從超幾何分，利用超幾何分布的性質(zhì)，再結(jié)合離散型隨機(jī)變量的方差公

式即可求解.

【詳解】根據(jù)超幾何分布的定義知，隨機(jī)變量X服從超幾何分布，故B正確：

由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,4,故A不正確;

P(X=0)T=a；P(X=I)=器七;P(X=2)=器嚀

P(X=3)=翳點(diǎn)P(X=4)=尋=4

所以P(X=0)HP(X=4),故C不正確；

E(X)=0x士+1X2+2X升3X.+4X卷/?

/冷=(°-￡)2*擊+(1-||)2><盤+(2-￡)2*5+(3-羨)2,5+(4-￡)2*《=荔

故選：BD.

4.(2023?全國?高二專題練習(xí))某袋中裝有大小相同質(zhì)地均勻的黑球和白球共5個(gè).從袋中隨機(jī)取出3個(gè)

球，已知恰全為黑球的概率為總，若記取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為X,則O［X］=_.

【答案】蔡

【分析】黑球的個(gè)數(shù)為n,通過從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，恰全為黑球的概率為擊，求出n,然后求解記取出3

個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為X,的概率得到分布列，然后求解期望與方差即可.

【詳解】解：設(shè)黑球的個(gè)數(shù)為人由p=^f=9導(dǎo)/=3,

5io

記取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為X,X的取值可以為1,2,3；

P(X=1)=等=奈P(X=2)=萼=W，P(X=3)=警=q,

VgAUL5AV□L5AV

則x分布列如下：

則。因=-'(1一1+松(2—丁+《、(3-32=*

故答案為：套

5.(2023?全國?高三專題練習(xí))某品牌手機(jī)廠為了更好地提升品牌的性能，進(jìn)行了問卷調(diào)查，問卷滿分為

100分，現(xiàn)從中選出具有代表性的50份調(diào)查問卷加以研究.現(xiàn)將這50份問卷按成績(jī)分成如下五組：第一組

［0,20),3份;第二組［20,40),8份；第三組［40,60)；第四組［60,80)；第五組［80,100),4份；已知其中得

分高于60分的問卷份數(shù)為20.

⑴在第二組與第四組問卷中任取兩份，這兩份問卷成績(jī)得分差不低于20分的概率：

⑵如昊在這50份調(diào)查問卷中隨機(jī)取4份，其中及格份數(shù)記為隨機(jī)變量X,寫出X的分布列（結(jié)果只要求用

組合數(shù)表示），并求出期望E（X）.

【答案】（噫；

⑵分布列見解析，*

【分析】（1）由題意可得第四組有16份問卷，所取兩份問卷分差不低于20分，故在第二組與第四組中各

取一人，由古典概型的計(jì)算公式即可求解；

（2）隨機(jī)變量X取值為0,1,2,3,4,求出各變量對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列與期望.

【詳解】（1）由于成績(jī)?cè)冢?0,100］的問卷為4份，又得分高于60分的問卷份數(shù)為20,

故第囚組有16份問卷.

由于所取兩份問卷分差不低于20分，故由題意知是在第二組與第四組中各取一人，

故所求概率為「二警=冷

（2）由題意知隨機(jī)變量X取值為0,1,2,3,4.

「4p0r3plr2p2

P（X=0）=.2。,p（x=1）=.2。,p（x=2）=20,

P(X=3)=^KP(X=4)=

C50C50

X的分布列為：

X01234

「4「0

C(oC(oC〈QC(C璃00

PW50^20

哈匾黑0Cfob50

所以期望E(X)=0x挈+lx^?^+2x挈+3x耍+4x挈="

C50C50C50C50C50§

6.（2023?江西上饒?統(tǒng)考一模）為了解某高校學(xué)生每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.下

面是根據(jù)調(diào)杳結(jié)果繪制的學(xué)生每天平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖，將每天平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間不低于40分鐘的

學(xué)生稱為"運(yùn)動(dòng)族".

▲頻率/組距

⑴用樣本估計(jì)總體，已知某學(xué)生每天平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間不低于20分鐘，求該學(xué)生是“運(yùn)動(dòng)族”的概率;

⑵從樣本里的“運(yùn)動(dòng)族”學(xué)生中隨機(jī)選取兩位同學(xué)，用隨機(jī)變量X表示每天平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間在40-50分鐘之間的

學(xué)生數(shù)，求X的分布列及期望.

【答案】磅

(2)分布列見詳解，期望為1.6

【分析】(1)由頻率分布直方圖先求出Q，再根據(jù)條件概率求出該學(xué)生是“運(yùn)動(dòng)族〃的概率；

(2)樣本中共有“運(yùn)動(dòng)族”學(xué)生25人，運(yùn)動(dòng)時(shí)間在40-50分鐘學(xué)生為20人，根據(jù)超幾何分布寫出其的分布

列及數(shù)學(xué)期望即可.

【詳解】(1)由頻率分布直方圖可知，10x(0.01+0.018+0.022+0.025+0.020+a)=1,解得a=0.005.

設(shè)某學(xué)生每天平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間不低于20分鐘事件4PG4)=0.72；

該學(xué)生是"運(yùn)動(dòng)族"為事件B，P(AB)=0.25,

所以該學(xué)生每天平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間不低于20分鐘的條件下是“運(yùn)動(dòng)族”的概率P(B|A)=鬻=辮=?

(2)由題意可知，樣本中共有“運(yùn)動(dòng)族”學(xué)生25人，運(yùn)動(dòng)時(shí)間在40-50分鐘學(xué)生為20人，

所以X=0,1,2.

P(X=0)=尋，;P(X=1)=譬=/「(乂=2)=唐=弟

X的分布列為

X012

1119

P

30