強(qiáng)度計(jì)算：數(shù)值計(jì)算方法之有限元法（FEM）在結(jié)構(gòu)力學(xué)中的應(yīng)用

強(qiáng)度計(jì)算：數(shù)值計(jì)算方法之有限元法（FEM）在結(jié)構(gòu)力學(xué)中的應(yīng)用1緒論1.1有限元法的歷史與發(fā)展有限元法（FiniteElementMethod,FEM）的起源可以追溯到20世紀(jì)40年代末，由工程師們?cè)诮鉀Q結(jié)構(gòu)分析問題時(shí)提出。這一方法的初步概念在1943年由R.Courant在一篇論文中提出，但直到1956年，工程師Clough在《AerospaceAge》雜志上發(fā)表了一篇關(guān)于使用有限元法進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析的文章，有限元法才開始被廣泛認(rèn)識(shí)和應(yīng)用。[1]隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，有限元法在60年代得到了迅速推廣，成為解決復(fù)雜工程問題的有效工具。它不僅應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)，還擴(kuò)展到了流體力學(xué)、熱力學(xué)、電磁學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域。有限元法的理論基礎(chǔ)和應(yīng)用技術(shù)在隨后的幾十年中不斷成熟和完善，形成了一個(gè)龐大的學(xué)科體系。1.1.1發(fā)展歷程中的關(guān)鍵事件1943年：R.Courant首次提出有限元法的概念。1956年：Clough在《AerospaceAge》雜志上發(fā)表文章，介紹了有限元法在結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用。1960年：J.T.Oden和J.N.Reddy等學(xué)者開始系統(tǒng)地研究有限元法的數(shù)學(xué)理論。1970年：有限元軟件開始出現(xiàn)，如NASTRAN，使得有限元法的計(jì)算更加便捷。1980年：有限元法的應(yīng)用范圍進(jìn)一步擴(kuò)大，開始在非線性問題、復(fù)合材料、生物醫(yī)學(xué)工程等領(lǐng)域得到應(yīng)用。1990年至今：有限元法的理論和應(yīng)用技術(shù)持續(xù)發(fā)展，包括并行計(jì)算、多物理場(chǎng)耦合分析、優(yōu)化設(shè)計(jì)等方向。1.2FEM在結(jié)構(gòu)力學(xué)中的重要性在結(jié)構(gòu)力學(xué)領(lǐng)域，有限元法是一種極其重要的數(shù)值計(jì)算方法，它能夠?qū)Y(jié)構(gòu)的應(yīng)力、應(yīng)變、位移等進(jìn)行精確計(jì)算，幫助工程師們?cè)谠O(shè)計(jì)階段就預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的性能，避免潛在的結(jié)構(gòu)失效問題。有限元法通過將復(fù)雜的結(jié)構(gòu)分解成許多小的、簡(jiǎn)單的單元，然后對(duì)每個(gè)單元進(jìn)行獨(dú)立分析，最后將所有單元的分析結(jié)果綜合起來，得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。1.2.1有限元法在結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用線性靜力分析：計(jì)算結(jié)構(gòu)在靜態(tài)載荷下的應(yīng)力和位移。動(dòng)力分析：分析結(jié)構(gòu)在動(dòng)態(tài)載荷下的響應(yīng)，如地震、風(fēng)載荷等。熱分析：研究結(jié)構(gòu)在溫度變化下的熱應(yīng)力和熱變形。非線性分析：處理材料非線性、幾何非線性等問題，如大變形、塑性變形等。斷裂力學(xué)分析：預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)在裂紋存在下的行為，評(píng)估結(jié)構(gòu)的斷裂安全性。1.2.2有限元法的優(yōu)勢(shì)靈活性：能夠處理各種形狀和尺寸的結(jié)構(gòu)。準(zhǔn)確性：通過細(xì)化網(wǎng)格，可以提高計(jì)算的精度。多功能性：可以進(jìn)行多物理場(chǎng)耦合分析，如結(jié)構(gòu)-熱耦合、結(jié)構(gòu)-流體耦合等。經(jīng)濟(jì)性：在設(shè)計(jì)階段進(jìn)行虛擬測(cè)試，減少物理原型的制作和測(cè)試成本。1.2.3示例：使用Python進(jìn)行簡(jiǎn)單梁的有限元分析#導(dǎo)入必要的庫

importnumpyasnp

#定義材料屬性和截面屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

I=1e-4#截面慣性矩，單位：m^4

L=1.0#梁的長(zhǎng)度，單位：m

F=-1000#載荷，單位：N

#定義節(jié)點(diǎn)和單元

nodes=np.array([[0,0],[L,0]])#節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

elements=np.array([[0,1]])#單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)

#定義剛度矩陣

defstiffness_matrix(E,I,L):

k=np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L*L,-6*L,2*L*L],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L*L,-6*L,4*L*L]])*E*I/(L**3)

returnk

#組裝整體剛度矩陣

K=np.zeros((4,4))

forelementinelements:

k=stiffness_matrix(E,I,L)

K[np.ix_(element*2,element*2)]+=k

#定義載荷向量

F=np.array([0,0,0,F])

#定義邊界條件

boundary_conditions=np.array([0,1])#節(jié)點(diǎn)0的位移被固定

#應(yīng)用邊界條件

K=np.delete(np.delete(K,boundary_conditions*2,axis=0),boundary_conditions*2,axis=1)

F=np.delete(F,boundary_conditions*2)

#求解位移

U=np.linalg.solve(K,F)

#輸出位移結(jié)果

print("位移向量：",U)1.2.4代碼解釋上述代碼展示了如何使用Python進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單梁的有限元分析。首先，定義了梁的材料屬性、截面屬性、長(zhǎng)度和載荷。然后，定義了節(jié)點(diǎn)和單元，以及如何計(jì)算單元的剛度矩陣。通過組裝整體剛度矩陣和定義載荷向量，再應(yīng)用邊界條件，最后使用線性代數(shù)求解位移向量。1.2.5結(jié)論有限元法在結(jié)構(gòu)力學(xué)中的應(yīng)用，不僅提高了工程設(shè)計(jì)的效率和準(zhǔn)確性，還為解決復(fù)雜工程問題提供了強(qiáng)大的工具。通過上述示例，我們可以看到，即使是簡(jiǎn)單的梁分析，有限元法也能提供深入的結(jié)構(gòu)響應(yīng)信息，這對(duì)于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和優(yōu)化具有重要意義。[1]Courant,R.(1943).Variationalmethodsforthesolutionofproblemsofequilibriumandvibrations.BulletinoftheAmericanMathematicalSociety,49(1),1-23.2有限元法基礎(chǔ)2.1基本概念與原理有限元法（FiniteElementMethod,FEM）是一種數(shù)值計(jì)算方法，廣泛應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度計(jì)算中。它將復(fù)雜的結(jié)構(gòu)分解為多個(gè)簡(jiǎn)單的、相互連接的單元，即“有限元”，然后在每個(gè)單元上應(yīng)用數(shù)學(xué)模型來近似求解結(jié)構(gòu)的物理行為。這種方法能夠處理具有復(fù)雜幾何形狀、材料屬性和載荷條件的結(jié)構(gòu)問題。2.1.1基本步驟結(jié)構(gòu)離散化：將結(jié)構(gòu)劃分為有限數(shù)量的單元，每個(gè)單元可以是線性的、平面的或三維的。選擇位移模式：在每個(gè)單元內(nèi)，位移通常被假設(shè)為多項(xiàng)式函數(shù)，這決定了單元的精度。建立單元方程：利用變分原理或能量原理，為每個(gè)單元建立力學(xué)方程。組裝整體方程：將所有單元方程組合成一個(gè)整體結(jié)構(gòu)的方程組。施加邊界條件：根據(jù)問題的物理約束，修改整體方程。求解方程組：使用數(shù)值方法求解修改后的方程組，得到結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。后處理：分析和解釋求解結(jié)果，如應(yīng)力、應(yīng)變和位移。2.1.2示例：一維桿件的有限元分析假設(shè)我們有一根長(zhǎng)度為1米的均勻桿件，兩端固定，中間受到1000N的集中力作用。桿件的截面積為0.01平方米，彈性模量為200GPa。我們使用有限元法來計(jì)算桿件的應(yīng)力和位移。2.1.2.1離散化將桿件離散為10個(gè)長(zhǎng)度相等的單元，每個(gè)單元長(zhǎng)度為0.1米。2.1.2.2建立單元方程對(duì)于一維桿件，單元方程可以簡(jiǎn)化為：k其中，k=EAΔx2.1.2.3組裝整體方程將所有單元方程組合，得到整體結(jié)構(gòu)的方程組。2.1.2.4施加邊界條件兩端固定意味著位移為0，中間受到集中力作用。2.1.2.5求解方程組使用線性代數(shù)方法求解方程組。2.1.2.6后處理分析求解結(jié)果，得到桿件的應(yīng)力和位移分布。2.1.3Python代碼示例importnumpyasnp

#材料和幾何參數(shù)

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

A=0.01#截面積，單位：m^2

L=1.0#桿件總長(zhǎng)度，單位：m

n=10#單元數(shù)量

F=1000#集中力，單位：N

#單元?jiǎng)偠染仃?/p>

k=E*A/(L/n)

#初始化整體剛度矩陣和力向量

K=np.zeros((n+1,n+1))

F_vec=np.zeros(n+1)

#建立整體方程

foriinrange(n):

K[i:i+2,i:i+2]+=np.array([[k,-k],[-k,k]])

#施加邊界條件

K[0,:]=0

K[-1,:]=0

K[:,0]=0

K[:,-1]=0

K[0,0]=1

K[-1,-1]=1

#中間點(diǎn)受力

F_vec[n//2]=F

#求解位移

u=np.linalg.solve(K,F_vec)

#計(jì)算應(yīng)力

stress=np.zeros(n)

foriinrange(n):

stress[i]=k*(u[i+1]-u[i])

#輸出結(jié)果

print("位移：",u)

print("應(yīng)力：",stress)2.2離散化過程詳解離散化是有限元法中的關(guān)鍵步驟，它將連續(xù)的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為離散的單元集合，以便于數(shù)值計(jì)算。離散化過程包括：選擇單元類型：根據(jù)結(jié)構(gòu)的幾何形狀和問題的復(fù)雜性，選擇合適的單元類型，如線單元、三角形單元、四邊形單元或六面體單元。網(wǎng)格劃分：將結(jié)構(gòu)劃分為多個(gè)單元，網(wǎng)格的精細(xì)程度直接影響計(jì)算的精度和效率。節(jié)點(diǎn)編號(hào)：為每個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)分配唯一的編號(hào)，便于建立單元方程和組裝整體方程。定義單元屬性：包括單元的幾何尺寸、材料屬性和邊界條件。2.2.1示例：二維平板的網(wǎng)格劃分假設(shè)我們有一個(gè)邊長(zhǎng)為1米的正方形平板，需要進(jìn)行有限元分析。我們使用四邊形單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分。2.2.1.1選擇單元類型選擇四邊形單元，因?yàn)槠桨迨瞧矫娼Y(jié)構(gòu)。2.2.1.2網(wǎng)格劃分將平板劃分為4×2.2.1.3節(jié)點(diǎn)編號(hào)為每個(gè)節(jié)點(diǎn)分配編號(hào)，從左下角開始，按行從左到右，從下到上編號(hào)。2.2.1.4定義單元屬性每個(gè)單元的幾何尺寸為0.25米，材料屬性和邊界條件需要根據(jù)具體問題確定。2.2.2Python代碼示例importmatplotlib.pyplotasplt

#平板尺寸

length=1.0

width=1.0

#網(wǎng)格劃分

n_length=4

n_width=4

dx=length/n_length

dy=width/n_width

#節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

nodes=np.zeros((n_length+1,n_width+1,2))

foriinrange(n_length+1):

forjinrange(n_width+1):

nodes[i,j]=[i*dx,j*dy]

#單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)

elements=np.zeros((n_length,n_width,4),dtype=int)

foriinrange(n_length):

forjinrange(n_width):

elements[i,j]=[i*(n_width+1)+j,i*(n_width+1)+j+1,

(i+1)*(n_width+1)+j+1,(i+1)*(n_width+1)+j]

#繪制網(wǎng)格

plt.figure()

foriinrange(n_length):

forjinrange(n_width):

plt.plot(nodes[elements[i,j,0:2],0],nodes[elements[i,j,0:2],1],'k-')

plt.plot(nodes[elements[i,j,[0,3]],0],nodes[elements[i,j,[0,3]],1],'k-')

plt.plot(nodes[elements[i,j,[1,2]],0],nodes[elements[i,j,[1,2]],1],'k-')

plt.plot(nodes[elements[i,j,[2,3]],0],nodes[elements[i,j,[2,3]],1],'k-')

plt.show()通過以上步驟，我們?cè)敿?xì)介紹了有限元法的基本概念、原理以及一維桿件和二維平板的離散化過程。有限元法是一種強(qiáng)大的工具，能夠幫助工程師和科學(xué)家解決復(fù)雜的結(jié)構(gòu)力學(xué)問題。3結(jié)構(gòu)力學(xué)中的FEM3.1彈性力學(xué)基礎(chǔ)在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，有限元法（FEM）的理論基礎(chǔ)主要來源于彈性力學(xué)。彈性力學(xué)研究的是固體在外力作用下的變形和應(yīng)力分布。為了應(yīng)用FEM進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，我們首先需要理解幾個(gè)關(guān)鍵概念：應(yīng)力（Stress）：?jiǎn)挝幻娣e上的內(nèi)力，通常用σ表示，單位是帕斯卡（Pa）。應(yīng)變（Strain）：材料在外力作用下的變形程度，通常用ε表示，是一個(gè)無量綱的量。胡克定律（Hooke’sLaw）：在彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，比例常數(shù)稱為彈性模量（E）。3.1.1胡克定律示例假設(shè)有一根長(zhǎng)為L(zhǎng)，截面積為A的金屬棒，當(dāng)受到軸向力F的作用時(shí)，其長(zhǎng)度變化為ΔL。根據(jù)胡克定律，我們可以計(jì)算出棒的軸向應(yīng)力和應(yīng)變：軸向應(yīng)力：σ軸向應(yīng)變：ε如果棒的材料是鋼，其彈性模量E為200GPa，我們可以計(jì)算出在1000N力作用下，截面積為1cm2的棒的應(yīng)變：#定義變量

F=1000#力，單位：牛頓（N）

A=1e-4#截面積，單位：平方米（m2）

E=200e9#彈性模量，單位：帕斯卡（Pa）

#計(jì)算應(yīng)力

sigma=F/A

#計(jì)算應(yīng)變

epsilon=sigma/E

#輸出結(jié)果

print("軸向應(yīng)力：",sigma,"Pa")

print("軸向應(yīng)變：",epsilon)3.2結(jié)構(gòu)的離散化與單元類型有限元法的核心思想是將復(fù)雜的結(jié)構(gòu)離散化為多個(gè)小的、簡(jiǎn)單的單元，然后對(duì)每個(gè)單元進(jìn)行分析，最后將所有單元的分析結(jié)果組合起來得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。這種離散化過程可以將連續(xù)的結(jié)構(gòu)問題轉(zhuǎn)化為離散的數(shù)學(xué)問題，便于計(jì)算機(jī)求解。3.2.1離散化示例考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的梁結(jié)構(gòu)，長(zhǎng)度為10m，兩端固定。為了應(yīng)用FEM，我們首先將其離散化為10個(gè)長(zhǎng)度為1m的梁?jiǎn)卧?定義梁的長(zhǎng)度和離散化單元數(shù)

length=10#梁的總長(zhǎng)度，單位：米（m）

num_elements=10#單元數(shù)

#計(jì)算每個(gè)單元的長(zhǎng)度

element_length=length/num_elements

#輸出每個(gè)單元的長(zhǎng)度

print("每個(gè)單元的長(zhǎng)度：",element_length,"m")3.2.2單元類型在FEM中，根據(jù)結(jié)構(gòu)的幾何形狀和物理特性，可以使用不同類型的單元。常見的單元類型包括：梁?jiǎn)卧˙eamElement）：用于分析一維結(jié)構(gòu)，如橋梁、框架等。殼單元（ShellElement）：用于分析薄殼結(jié)構(gòu)，如飛機(jī)機(jī)翼、壓力容器等。實(shí)體單元（SolidElement）：用于分析三維實(shí)體結(jié)構(gòu)，如建筑物、機(jī)械零件等。每種單元都有其特定的形狀函數(shù)和剛度矩陣，用于描述單元的變形和力的傳遞。3.2.3梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚵簡(jiǎn)卧膭偠染仃嚸枋隽肆簡(jiǎn)卧诓煌?jié)點(diǎn)上的力與位移之間的關(guān)系。對(duì)于一個(gè)兩端固定的梁?jiǎn)卧?，其剛度矩陣?x4矩陣，如下所示：#定義梁?jiǎn)卧膭偠染仃?/p>

#假設(shè)梁的彈性模量E=200GPa，截面慣性矩I=1e-6m^4，長(zhǎng)度L=1m

E=200e9#彈性模量，單位：帕斯卡（Pa）

I=1e-6#截面慣性矩，單位：平方米（m^4）

L=1#單元長(zhǎng)度，單位：米（m）

#計(jì)算剛度矩陣的元素

k11=12*E*I/L**3

k12=6*E*I/L**2

k13=-12*E*I/L**3

k14=6*E*I/L**2

k22=4*E*I/L

k24=-2*E*I/L

k33=12*E*I/L**3

k34=-6*E*I/L**2

k44=4*E*I/L

#構(gòu)建剛度矩陣

K=[

[k11,k12,k13,k14],

[k12,k22,k14,k24],

[k13,k14,k11,k12],

[k14,k24,k12,k22]

]

#輸出剛度矩陣

print("梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚕?)

forrowinK:

print(row)通過上述示例，我們可以看到如何將彈性力學(xué)的基本原理應(yīng)用于有限元分析中，以及如何通過離散化和單元類型的選擇來構(gòu)建結(jié)構(gòu)的有限元模型。這些步驟是進(jìn)行結(jié)構(gòu)力學(xué)有限元分析的基礎(chǔ)。4有限元方程的建立4.1剛度矩陣的構(gòu)建在結(jié)構(gòu)力學(xué)的有限元分析中，剛度矩陣的構(gòu)建是核心步驟之一，它描述了結(jié)構(gòu)中各節(jié)點(diǎn)位移與作用力之間的關(guān)系。剛度矩陣的大小取決于模型中節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，而其元素則由單元的幾何形狀、材料屬性以及邊界條件決定。4.1.1原理剛度矩陣的構(gòu)建基于虛功原理和最小勢(shì)能原理。對(duì)于一個(gè)線彈性結(jié)構(gòu)，其總勢(shì)能由應(yīng)變能和外力勢(shì)能組成。在平衡狀態(tài)下，總勢(shì)能對(duì)位移的偏導(dǎo)數(shù)為零，這導(dǎo)致了剛度矩陣與位移向量和載荷向量之間的關(guān)系方程。4.1.2內(nèi)容單元?jiǎng)偠染仃嚕菏紫?，需要?jì)算每個(gè)單元的剛度矩陣。對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單的梁?jiǎn)卧鋭偠染仃嚳梢员硎緸椋?Python示例代碼：構(gòu)建一個(gè)簡(jiǎn)單的梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?/p>

importnumpyasnp

#定義單元的長(zhǎng)度和截面屬性

L=1.0#單元長(zhǎng)度

E=200e9#材料彈性模量

I=0.001#截面慣性矩

#計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃?/p>

k=(E*I/L**3)*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])全局剛度矩陣：將所有單元的剛度矩陣組裝成全局剛度矩陣。這一步驟涉及到節(jié)點(diǎn)編號(hào)和自由度的匹配。#Python示例代碼：組裝全局剛度矩陣

#假設(shè)有兩個(gè)梁?jiǎn)卧?，每個(gè)單元有4個(gè)自由度

k1=np.array([[12,6,-12,6],

[6,4,-6,2],

[-12,-6,12,-6],

[6,2,-6,4]])

k2=np.array([[12,6,-12,6],

[6,4,-6,2],

[-12,-6,12,-6],

[6,2,-6,4]])

#定義單元節(jié)點(diǎn)的全局自由度編號(hào)

dofs1=[0,1,2,3]

dofs2=[2,3,4,5]

#組裝全局剛度矩陣

K=np.zeros((6,6))

fori,jinenumerate(dofs1):

fork,linenumerate(dofs1):

K[j,k]+=k1[i,i]

fork,linenumerate(dofs2):

K[j,l]+=k1[i,k]

K[l,j]+=k1[k,i]

K[l,l]+=k1[k,k]邊界條件的施加：在全局剛度矩陣中施加邊界條件，通常涉及到修改矩陣以反映固定或鉸接節(jié)點(diǎn)的約束。#Python示例代碼：施加邊界條件

#假設(shè)節(jié)點(diǎn)0和節(jié)點(diǎn)5被固定

K[0,:]=0

K[:,0]=0

K[5,:]=0

K[:,5]=0

K[0,0]=1

K[5,5]=14.2載荷向量的確定載荷向量包含了作用在結(jié)構(gòu)上的外力和力矩，是求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)的關(guān)鍵輸入。4.2.1原理載荷向量的確定基于結(jié)構(gòu)力學(xué)的基本原理，包括牛頓第二定律和虛功原理。載荷向量的元素對(duì)應(yīng)于每個(gè)自由度上的外力或力矩。4.2.2內(nèi)容節(jié)點(diǎn)載荷：直接作用在節(jié)點(diǎn)上的力可以直接轉(zhuǎn)化為載荷向量的元素。#Python示例代碼：構(gòu)建節(jié)點(diǎn)載荷向量

#假設(shè)節(jié)點(diǎn)3上有一個(gè)垂直向下的力100N

F=np.zeros(6)

F[3]=-100分布載荷：作用在結(jié)構(gòu)上的分布載荷需要轉(zhuǎn)化為等效節(jié)點(diǎn)載荷，這通常通過積分或平均分配的方法完成。#Python示例代碼：處理分布載荷

#假設(shè)在梁上有一個(gè)均勻分布的垂直載荷q

q=10#N/m

L=1.0#單元長(zhǎng)度

#計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)載荷

F[1]+=q*L/2

F[3]+=q*L/2載荷向量的組裝：將所有節(jié)點(diǎn)的載荷向量合并成一個(gè)全局載荷向量。#Python示例代碼：組裝全局載荷向量

#假設(shè)有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)載荷向量

F1=np.array([0,50,0,0])

F2=np.array([0,0,0,100])

#組裝全局載荷向量

F=np.zeros(6)

F[1]+=F1[1]

F[3]+=F1[3]

F[3]+=F2[3]

F[5]+=F2[5]通過以上步驟，我們可以建立完整的有限元方程，即K，其中K是全局剛度矩陣，u是位移向量，F(xiàn)是載荷向量。接下來，可以使用數(shù)值方法求解該方程，以獲得結(jié)構(gòu)在給定載荷下的響應(yīng)。5求解有限元方程在結(jié)構(gòu)力學(xué)的有限元分析中，求解有限元方程是關(guān)鍵步驟之一。有限元方程通常表示為一個(gè)大規(guī)模的線性代數(shù)方程組，其形式為K，其中K是剛度矩陣，u是位移向量，F(xiàn)是外力向量。求解這個(gè)方程組可以采用直接求解方法或迭代求解技術(shù)。5.1直接求解方法直接求解方法包括高斯消元法、LU分解、Cholesky分解等，這些方法通過一系列的數(shù)學(xué)操作將方程組轉(zhuǎn)換為更易于求解的形式。5.1.1高斯消元法高斯消元法是一種基本的直接求解方法，它通過行變換將矩陣轉(zhuǎn)換為上三角矩陣，然后通過回代求解未知數(shù)。5.1.1.1示例代碼importnumpyasnp

#定義剛度矩陣K和外力向量F

K=np.array([[4,2],[2,5]],dtype=float)

F=np.array([1,2],dtype=float)

#高斯消元法求解

defgauss_elimination(K,F):

n=len(K)

foriinrange(n):

#尋找最大元素以避免數(shù)值不穩(wěn)定

max_row=i

forjinrange(i+1,n):

ifabs(K[j,i])>abs(K[max_row,i]):

max_row=j

#交換行

K[[i,max_row]]=K[[max_row,i]]

F[[i,max_row]]=F[[max_row,i]]

#消元

forjinrange(i+1,n):

ratio=K[j,i]/K[i,i]

K[j,i:n]=K[j,i:n]-ratio*K[i,i:n]

F[j]=F[j]-ratio*F[i]

#回代求解

u=np.zeros(n)

foriinrange(n-1,-1,-1):

u[i]=(F[i]-np.dot(K[i,i+1:n],u[i+1:n]))/K[i,i]

returnu

#求解位移向量u

u=gauss_elimination(K,F)

print("位移向量u:",u)5.1.2LU分解LU分解是將矩陣分解為一個(gè)下三角矩陣L和一個(gè)上三角矩陣U的乘積，然后分別求解兩個(gè)三角矩陣的方程組。5.1.2.1示例代碼importnumpyasnp

fromscipy.linalgimportlu

#定義剛度矩陣K和外力向量F

K=np.array([[4,2],[2,5]],dtype=float)

F=np.array([1,2],dtype=float)

#LU分解求解

deflu_solve(K,F):

#分解K為L(zhǎng)U

L,U,_=lu(K)

#求解Ly=F

y=np.linalg.solve(L,F)

#求解Ux=y

u=np.linalg.solve(U,y)

returnu

#求解位移向量u

u=lu_solve(K,F)

print("位移向量u:",u)5.2迭代求解技術(shù)迭代求解技術(shù)包括Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和共軛梯度法等，這些方法通過逐步逼近的方式求解方程組。5.2.1Jacobi迭代法Jacobi迭代法是一種簡(jiǎn)單的迭代求解方法，它基于方程組的對(duì)角線元素進(jìn)行迭代更新。5.2.1.1示例代碼importnumpyasnp

#定義剛度矩陣K和外力向量F

K=np.array([[4,2],[2,5]],dtype=float)

F=np.array([1,2],dtype=float)

#Jacobi迭代法求解

defjacobi_iteration(K,F,tol=1e-6,max_iter=1000):

n=len(K)

u=np.zeros(n)

u_new=np.zeros(n)

D=np.diag(K)

R=K-np.diagflat(D)

for_inrange(max_iter):

u_new=(F-np.dot(R,u))/D

ifnp.linalg.norm(u_new-u)<tol:

returnu_new

u=u_new.copy()

returnu

#求解位移向量u

u=jacobi_iteration(K,F)

print("位移向量u:",u)5.2.2Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法是Jacobi迭代法的改進(jìn)，它在迭代過程中使用了最新的更新值。5.2.2.1示例代碼importnumpyasnp

#定義剛度矩陣K和外力向量F

K=np.array([[4,2],[2,5]],dtype=float)

F=np.array([1,2],dtype=float)

#Gauss-Seidel迭代法求解

defgauss_seidel_iteration(K,F,tol=1e-6,max_iter=1000):

n=len(K)

u=np.zeros(n)

D=np.diag(K)

L=np.tril(K,-1)

U=np.triu(K,1)

for_inrange(max_iter):

u_new=(F-np.dot(U,u)-np.dot(L,u))/D

ifnp.linalg.norm(u_new-u)<tol:

returnu_new

u=u_new.copy()

returnu

#求解位移向量u

u=gauss_seidel_iteration(K,F)

print("位移向量u:",u)5.2.3共軛梯度法共軛梯度法是一種高效的迭代求解方法，特別適用于大規(guī)模稀疏矩陣的求解。5.2.3.1示例代碼importnumpyasnp

#定義剛度矩陣K和外力向量F

K=np.array([[4,2],[2,5]],dtype=float)

F=np.array([1,2],dtype=float)

#共軛梯度法求解

defconjugate_gradient(K,F,tol=1e-6,max_iter=1000):

n=len(K)

u=np.zeros(n)

r=F-np.dot(K,u)

p=r.copy()

rs_old=np.dot(r,r)

for_inrange(max_iter):

Ap=np.dot(K,p)

alpha=rs_old/np.dot(p,Ap)

u=u+alpha*p

r=r-alpha*Ap

rs_new=np.dot(r,r)

ifnp.sqrt(rs_new)<tol:

break

p=r+(rs_new/rs_old)*p

rs_old=rs_new

returnu

#求解位移向量u

u=conjugate_gradient(K,F)

print("位移向量u:",u)以上示例代碼展示了如何使用高斯消元法、LU分解、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和共軛梯度法求解有限元方程中的線性代數(shù)方程組。每種方法都有其適用場(chǎng)景和優(yōu)缺點(diǎn)，選擇合適的方法可以提高求解效率和精度。6后處理與結(jié)果分析6.1應(yīng)力與應(yīng)變的計(jì)算在有限元分析中，應(yīng)力與應(yīng)變的計(jì)算是評(píng)估結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和變形的關(guān)鍵步驟。通過求解結(jié)構(gòu)的平衡方程，有限元軟件能夠計(jì)算出每個(gè)單元的應(yīng)力和應(yīng)變分布，從而幫助工程師理解結(jié)構(gòu)在不同載荷條件下的行為。6.1.1應(yīng)力計(jì)算應(yīng)力計(jì)算基于胡克定律，它描述了材料在彈性范圍內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變之間的線性關(guān)系。在三維空間中，應(yīng)力通常表示為一個(gè)3x3的矩陣，包括正應(yīng)力和剪應(yīng)力。正應(yīng)力表示沿材料軸向的應(yīng)力，而剪應(yīng)力則表示作用于材料平面內(nèi)的應(yīng)力。6.1.1.1示例代碼假設(shè)我們使用Python的NumPy庫來計(jì)算一個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)的應(yīng)力。結(jié)構(gòu)由一個(gè)單元組成，該單元的應(yīng)變已知為ε=[0.001,0.002,0.003]，材料的彈性模量E=200e9Pa，泊松比ν=0.3。importnumpyasnp

#材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

#應(yīng)變矩陣

epsilon=np.array([0.001,0.002,0.003])

#計(jì)算應(yīng)力矩陣

#對(duì)于各向同性材料，應(yīng)力矩陣σ可以通過應(yīng)變矩陣ε和材料屬性計(jì)算得出

#σ=E*ε/(1+ν)

sigma=E*epsilon/(1+nu)

print("應(yīng)力矩陣：",sigma)6.1.2應(yīng)變計(jì)算應(yīng)變是材料在載荷作用下變形的度量。在有限元分析中，應(yīng)變通常通過位移計(jì)算得出。對(duì)于線性彈性材料，應(yīng)變與位移之間的關(guān)系可以通過位移梯度來描述。6.1.2.1示例代碼繼續(xù)使用Python的NumPy庫，假設(shè)我們有一個(gè)單元，其位移在x、y、z方向分別為u=[0.01,0.02,0.03]，單元的尺寸為L(zhǎng)=[1,1,1]。我們可以計(jì)算出應(yīng)變?chǔ)拧?位移向量

u=np.array([0.01,0.02,0.03])

#單元尺寸

L=np.array([1,1,1])

#計(jì)算應(yīng)變

#對(duì)于一維情況，應(yīng)變?chǔ)?Δu/L

epsilon=u/L

print("應(yīng)變向量：",epsilon)6.2模態(tài)分析與頻率響應(yīng)模態(tài)分析是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的一種重要方法，用于確定結(jié)構(gòu)的固有頻率和模態(tài)形狀。頻率響應(yīng)分析則是在模態(tài)分析的基礎(chǔ)上，研究結(jié)構(gòu)在動(dòng)態(tài)載荷作用下的響應(yīng)。6.2.1模態(tài)分析模態(tài)分析通過求解結(jié)構(gòu)的特征值問題來確定固有頻率和模態(tài)形狀。特征值問題通常表示為：K其中，K是剛度矩陣，M是質(zhì)量矩陣，ω是固有頻率，?是模態(tài)形狀。6.2.1.1示例代碼使用Python的SciPy庫中的linalg.eig函數(shù)來求解一個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析問題。假設(shè)我們有一個(gè)結(jié)構(gòu)，其剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M如下：fromscipy.linalgimporteig

#剛度矩陣K

K=np.array([[4,1],[1,3]])

#質(zhì)量矩陣M

M=np.array([[2,0],[0,1]])

#求解特征值和特征向量

eigenvalues,eigenvectors=eig(K,M)

#固有頻率是特征值的平方根

frequencies=np.sqrt(eigenvalues)

#輸出固有頻率和模態(tài)形狀

print("固有頻率：",frequencies)

print("模態(tài)形狀：",eigenvectors)6.2.2頻率響應(yīng)分析頻率響應(yīng)分析用于研究結(jié)構(gòu)在特定頻率范圍內(nèi)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。它通常涉及到將動(dòng)態(tài)載荷表示為頻率的函數(shù)，并計(jì)算結(jié)構(gòu)在這些頻率下的位移、應(yīng)力和應(yīng)變。6.2.2.1示例代碼假設(shè)我們有一個(gè)結(jié)構(gòu)，其頻率響應(yīng)函數(shù)為：H我們可以通過計(jì)算不同頻率下的響應(yīng)函數(shù)值來分析結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)。importnumpyasnp

fromscipy.linalgimportinv

#定義頻率范圍

omega=np.linspace(0,10,100)

#頻率響應(yīng)函數(shù)

H=np.zeros((2,2,len(omega)),dtype=complex)

fori,winenumerate(omega):

H[:,:,i]=inv(K-w**2*M)

#輸出頻率響應(yīng)函數(shù)的實(shí)部和虛部

print("頻率響應(yīng)函數(shù)的實(shí)部：",H.real)

print("頻率響應(yīng)函數(shù)的虛部：",H.imag)通過上述代碼和數(shù)據(jù)樣例，我們可以深入理解有限元分析中后處理與結(jié)果分析的原理和方法，包括應(yīng)力與應(yīng)變的計(jì)算以及模態(tài)分析與頻率響應(yīng)的分析。這些技術(shù)對(duì)于評(píng)估結(jié)構(gòu)的性能和優(yōu)化設(shè)計(jì)至關(guān)重要。7FEM軟件應(yīng)用7.1主流FEM軟件介紹在結(jié)構(gòu)力學(xué)有限元分析領(lǐng)域，有幾款主流的FEM軟件因其強(qiáng)大的功能和廣泛的適用性而備受工程師和研究人員的青睞。下面，我們將介紹其中的三款：ANSYS:ANSYS是一款綜合性的工程仿真軟件，廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)、流體、電磁、熱力學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域。在結(jié)構(gòu)力學(xué)分析中，ANSYS提供了從線性到非線性，從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的全面解決方案。它支持多種單元類型，包括但不限于梁?jiǎn)卧卧?、?shí)體單元等，能夠處理復(fù)雜的幾何模型和材料屬性。ABAQUS:ABAQUS是另一款在結(jié)構(gòu)力學(xué)分析中非常流行的軟件，尤其擅長(zhǎng)于非線性問題的求解。它提供了豐富的單元庫和材料模型，能夠進(jìn)行復(fù)雜的接觸分析、塑性分析、疲勞分析等。ABAQUS的用戶界面友好，同時(shí)支持命令行操作，適合進(jìn)行大規(guī)模的仿真計(jì)算。NASTRAN:NASTRAN最初是由NASA開發(fā)的，用于航空航天領(lǐng)域的結(jié)構(gòu)分析。它在處理大型結(jié)構(gòu)的線性和非線性靜力、動(dòng)力學(xué)分析方面表現(xiàn)出色。NASTRAN支持多種求解器，包括直接求解器和迭代求解器，能夠高效地解決大規(guī)模的有限元問題。7.2軟件操作流程與案例分析7.2.1操作流程有限元分析軟件的操作流程通常包括以下幾個(gè)步驟：前處理:在這個(gè)階段，用戶需要?jiǎng)?chuàng)建幾何模型，劃分網(wǎng)格，定義材料屬性，設(shè)置邊界條件和載荷。例如，在ANSYS中，可以使用DesignModeler創(chuàng)建幾何模型，然后使用Meshing模塊進(jìn)行網(wǎng)格劃分。求解:完成前處理后，軟件將根據(jù)設(shè)定的條件進(jìn)行求解。求解過程可能包括線性或非線性分析，靜態(tài)或動(dòng)態(tài)分析等。軟件會(huì)利用有限元方法將結(jié)構(gòu)離散化，然后求解相應(yīng)的方程組。后處理:求解完成后，用戶可以通過后處理模塊查看和分析結(jié)果。這包括應(yīng)力、應(yīng)變、位移等物理量的可視化，以及結(jié)果的定量分析。7.2.2案例分析7.2.2.1案例：橋梁結(jié)構(gòu)的靜力分析假設(shè)我們需要分析一座橋梁在不同載荷下的靜力響應(yīng)。我們將使用ABAQUS進(jìn)行此分析。前處理:使用ABAQUS的建模工具創(chuàng)建橋梁的幾何模型。然后，根據(jù)橋梁的尺寸和形狀，選擇合適的單元類型進(jìn)行網(wǎng)格劃分。對(duì)于橋梁的主梁，可以使用梁?jiǎn)卧粚?duì)于橋面板，可以使用殼單元。定義橋梁的材料屬性，如彈性模量和泊松比。設(shè)置邊界條件，例如固定支座和滾動(dòng)支座，以及載荷，如車輛載荷和風(fēng)載荷。求解:在ABAQUS中，選擇靜力分析類型，設(shè)置求解參數(shù)，如收斂準(zhǔn)則和時(shí)間步長(zhǎng)（對(duì)于靜態(tài)分析，時(shí)間步長(zhǎng)通常設(shè)置為一個(gè)較大的值，以確保分析在穩(wěn)態(tài)條件下進(jìn)行）。然后，運(yùn)行求解器進(jìn)行計(jì)算。后處理:求解完成后，使用ABAQUS的后處理模塊查看橋梁的位移、應(yīng)力和應(yīng)變分布?？梢陨傻戎稻€圖、矢量圖和變形圖，以直觀地展示分析結(jié)果。此外，還可以通過提取關(guān)鍵點(diǎn)的應(yīng)力和位移數(shù)據(jù)，進(jìn)行定量分析，以評(píng)估橋梁的安全性和穩(wěn)定性。7.2.2.2示例代碼雖然在本教程中不提供具體的代碼示例，但在ABAQUS中，可以使用Python腳本來自動(dòng)化前處理、求解和后處理過程。以下是一個(gè)簡(jiǎn)化的Python腳本示例，用于在ABAQUS中創(chuàng)建一個(gè)簡(jiǎn)單的梁模型并進(jìn)行靜力分析：#導(dǎo)入ABAQUS模塊

fromabaqusimport*

fromabaqusConstantsimport*

fromcaeModulesimport*

fromdriverUtilsimportexecuteOnCaeStartup

#執(zhí)行ABAQUS啟動(dòng)腳本

executeOnCaeStartup()

#創(chuàng)建模型

modelName='BridgeBeam'

mdb.models.changeKey(fromName='Model-1',toName=modelName)

#創(chuàng)建零件

partName='Beam'

mdb.models[modelName].ConstrainedSketch(name='__profile__',sheetSize=100.0)

mdb.models[modelName].sketches['__profile__'].Line(point1=(0.0,0.0),point2=(100.0,0.0))

mdb.models[modelName].Part(dimensionality=THREE_D,name=partName,type=DEFORMABLE_BODY)

mdb.models[modelName].parts[partName].BaseWire(sketch=mdb.models[modelName].sketches['__profile__'])

#創(chuàng)建材料

materialName='Steel'

mdb.models[modelName].Material(name=materialName)

mdb.models[modelName].materials[materialName].Elastic(table=((200000.0,0.3),))

#創(chuàng)建實(shí)例

instanceName='Beam-1'

mdb.models[modelName].RootAssembly()

mdb.models[modelName].rootAssembly.Instance(dependent=ON,name=instanceName,part=mdb.models[modelName].parts[partName])

#設(shè)置邊界條件和載荷

mdb.models[modelName].rootAssembly.Set(name='Support',vertices=mdb.models[modelName].rootAssembly.instances[instanceName].vertices.findAt(((0.0,0.0,0.0),)))

mdb.models[modelName].DisplacementBC(name='SupportBC',createStepName='Initial',region=mdb.models[modelName].rootAssembly.sets['Support'],u1=SET,u2=SET,u3=SET,ur1=SET,ur2=SET,ur3=SET,amplitude=UNSET,fixed=ON,distributionType=UNIFORM,fieldName='',localCsys=None)

mdb.models[modelName].rootAssembly.Set(name='Load',vertices=mdb.models[modelName].rootAssembly.instances[instanceName].vertices.findAt(((50.0,0.0,0.0),)))

mdb.models[modelName].ConcentratedForce(name='LoadCF',createStepName='Step-1',region=mdb.models[modelName].rootAssembly.sets['Load'],cf1=-1000.0,amplitude=UNSET,distributionType=UNIFORM,field='',localCsys=None)

#創(chuàng)建分析步

mdb.models[modelName].StaticStep(name='Step-1',previous='Initial',initialInc=1.0,maxNumInc=100,stabilizationMethod=DAMPING_FACTOR,stabilizationMagnitude=0.05)

#提交并運(yùn)行分析

mdb.models[modelName].steps['Step-1'].setValues(maxNumInc=100)

mdb.models[modelName].solve()這段代碼展示了如何在ABAQUS中創(chuàng)建一個(gè)梁模型，定義材料屬性，設(shè)置邊界條件和載荷，以及創(chuàng)建分析步和運(yùn)行分析。請(qǐng)注意，這只是一個(gè)非常簡(jiǎn)化的示例，實(shí)際的橋梁分析將涉及更復(fù)雜的模型和更詳細(xì)的設(shè)置。通過以上介紹和案例分析，我們可以看到，主流的FEM軟件如ANSYS、ABAQUS和NASTRAN提供了強(qiáng)大的工具，用于結(jié)構(gòu)力學(xué)的有限元分析。從創(chuàng)建模型到分析結(jié)果，整個(gè)過程可以高度自動(dòng)化，極大地提高了工程師的工作效率和分析精度。8高級(jí)FEM技術(shù)8.1非線性分析8.1.1原理非線性有限元分析（NonlinearFiniteElementAnalysis）是處理結(jié)構(gòu)在大變形、材料非線性、接觸非線性等復(fù)雜條件下的分析方法。與線性分析不同，非線性分析中結(jié)構(gòu)的剛度矩陣隨變形而變化，需要通過迭代求解來獲得結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。8.1.1.1材料非線性材料非線性主要體現(xiàn)在材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系不再遵循線性關(guān)系，如塑性、超彈性、粘彈性等。在非線性分析中，需要使用更復(fù)雜的本構(gòu)模型來描述材料行為。8.1.1.2幾何非線性幾何非線性考慮了結(jié)構(gòu)大變形對(duì)分析結(jié)果的影響。當(dāng)結(jié)構(gòu)的位移與結(jié)構(gòu)尺寸相比不可忽略時(shí)，需要使用幾何非線性分析。8.1.1.3接觸非線性接觸非線性分析處理結(jié)構(gòu)間或結(jié)構(gòu)與環(huán)境之間的接觸問題，如摩擦、間隙、滑移等。接觸分析通常需要定義接觸對(duì)和接觸屬性。8.1.2內(nèi)容非線性分析在有限元軟件中通常包括以下步驟：定義材料屬性：使用非線性材料模型，如塑性模型、超彈性模型等。定義幾何非線性：選擇大變形分析選項(xiàng)。定義接觸屬性：設(shè)置接觸對(duì)，定義接觸行為。施加載荷和邊界條件：考慮非線性效應(yīng)，如預(yù)緊力、摩擦力等。求解：使用迭代算法求解非線性方程組。后處理：分析非線性分析結(jié)果，如應(yīng)力、應(yīng)變、位移等。8.1.3示例以下是一個(gè)使用Python和FEniCS進(jìn)行非線性分析的示例，分析一個(gè)受壓的超彈性圓柱體。fromfenicsimport*

importnumpyasnp

#創(chuàng)建網(wǎng)格

mesh=UnitCubeMesh(10,10,10)

#定義函數(shù)空間

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',1)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0,0)),boundary)

#定義材料屬性

E=1e5

nu=0.3

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

#定義應(yīng)變和應(yīng)力

defepsilon(u):

returnsym(nabla_grad(u))

defsigma(u):

returnlmbda*tr(epsilon(u))*Identity(len(u))+2.0*mu*epsilon(u)

#定義位移函數(shù)和測(cè)試函數(shù)

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

#定義外力

f=Constant((0,0,-1))

#定義變分形式

F=inner(sigma(u),epsilon(v))*dx-inner(f,v)*ds

#求解非線性方程

u=Function(V)

solve(F==0,u,bc)

#后處理

plot(u)8.2復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的FEM分析8.2.1原理復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的有限元分析（FEMAnalysisofCompositeStructures）需要考慮復(fù)合材料的各向異性、層間效應(yīng)、損傷和失效等特性。復(fù)合材料通常由基體和增強(qiáng)纖維組成，其性能在不同方向上差異顯著。8.2.1.1各向異性復(fù)合材料的力學(xué)性能在不同方向上不同，需要使用各向異性材料模型來描述。8.2.1.2層間效應(yīng)層間效應(yīng)是指復(fù)合材料層與層之間的相互作用，如剪切效應(yīng)、脫層等。8.2.1.3損傷和失效復(fù)合材料的損傷和失效機(jī)制復(fù)雜，需要使用損傷模型和失效準(zhǔn)則來預(yù)測(cè)材料的損傷和結(jié)構(gòu)的失效。8.2.2內(nèi)容復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的FEM分析通常包括以下步驟：定義復(fù)合材料屬性：使用各向異性材料模型，定義層間效應(yīng)。建立復(fù)合材料結(jié)構(gòu)模型：考慮層疊順序、厚度、纖維方向等。施加載荷和邊界條件：根據(jù)實(shí)際工況施加載荷和邊界條件。求解：使用有限元軟件求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)。后處理：分析損傷和失效情況，如纖維斷裂、基體損傷等。8.2.3示例以下是一個(gè)使用MATLAB進(jìn)行復(fù)合材料層合板有限元分析的示例，分析一個(gè)受彎矩作用的層合板。%定義材料屬性

E1=130e9;%纖維方向的彈性模量

E2=10e9;%垂直纖維方向的彈性模量

nu12=0.3;%泊松比

G12=5e9;%剪切模量

%定義層疊順序

theta=[0,90,0,90];%層合板的纖維方向

%創(chuàng)建有限元模型

model=createpde('structural','static-planestress');

%定義幾何

g=decsg([3401100011]');

%添加幾何到模型

geometryFromEdges(model,g);

%生成網(wǎng)格

generateMesh(model,'Hmax',0.1);

%定義邊界條件

structuralBC(model,'Edge',1:4,'Constraint','fixed');

%定義載荷

structuralBoundaryLoad(model,'Edge',5,'SurfaceTraction',[0;1e6]);

%定義材料屬性

structuralProperties(model,'Cell',1,'YoungsModulus',E1,'PoissonsRatio',nu12,'Thickness',0.1);

structuralProperties(model,'Cell',2,'YoungsModulus',E2,'PoissonsRatio',nu12,'Thickness',0.1);

structuralProperties(model,'Cell',3,'YoungsModulus',E1,'PoissonsRatio',nu12,'Thickness',0.1);

structuralProperties(model,'Cell',4,'YoungsModulus',E2,'PoissonsRatio',nu12,'Thickness',0.1);

%求解

result=solve(model);

%后處理

pdeplot(model,'XYData',result.VonMisesStress,'ColorMap','jet')請(qǐng)注意，上述MATLAB示例中，我們假設(shè)了層合板由四層組成，每層的厚度為0.1mm，纖維方向分別為0度和90度。在實(shí)際應(yīng)用中，復(fù)合材料的層疊順序、厚度和纖維方向需要根據(jù)具體設(shè)計(jì)和材料屬性來確定。9FEM在實(shí)際工程中的應(yīng)用9.1橋梁結(jié)構(gòu)分析9.1.1原理有限元法（FEM）在橋梁結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用，主要基于將復(fù)雜的橋梁結(jié)構(gòu)分解為多個(gè)簡(jiǎn)單的小單元，每個(gè)單元的力學(xué)行為可以被精確地建模和分析