2024屆青海省西寧市大通縣高考四模數(shù)學(xué)試卷（文）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3青海省西寧市大通縣2024屆高考四模數(shù)學(xué)試卷（文）第I卷一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知，，所以，故選：A.2.復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，因為，則.故選：C.3.橢圓的焦距為（）A.2 B.4 C.6 D.8〖答案〗B〖解析〗由題意得，，且，所以，所以.故選：B.4.某公司10月23日、10月30日、11月6日、11月13日、11月20日、11月27日這6天員工的出勤率的折線圖如圖所示，則下列判斷正確的是（）A.這6天員工的出勤率呈遞增趨勢B.這6天員工的出勤率呈遞減趨勢C.這6天員工的出勤率的極差大于0.15D.這6天員工的出勤率的中位數(shù)小于0.85〖答案〗D〖解析〗A：由圖可知，這6天員工的出勤率有增也有減，故A錯誤；B：由圖可知，這6天員工的出勤率有增也有減，故B錯誤；C：這6天員工的出勤率按照從小到大的順序排列為0.776，0.8077，0.8333，0.86，0.895，0.92，所以這6天員工的出勤率的極差為，故C錯誤；D：中位數(shù)為，故D正確.故選：D5.函數(shù)部分圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則，所以為奇函數(shù)，設(shè)，可知為偶函數(shù)，所以為奇函數(shù)，則B，C錯誤，易知，所以A正確，D錯誤．故選：A.6.記等差數(shù)列的前項和為.若，，則（）A.140 B.70 C.160 D.80〖答案〗D〖解析〗因為是等差數(shù)列，所以，故.故選：D.7.三人被邀請參加一個晚會，若晚會必須有人去，去幾人自行決定，則恰有一人參加晚會的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)三人為，，，則參加晚會的情況有，，，，，，，共種情況，其中恰有一人參加晚會的情況有種，故所求的概率為，故選：B.8.在直三棱柱中，，，為線段的中點，點在線段上，且，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，則，故，因為軸平面，則可取平面的法向量為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.故選：B.9.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，解得或（舍去），所以．故選：B.10.在平行四邊形中，，，，沿將折起，則三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在中，，則，所以，則由題可知，當(dāng)平面平面時，三棱錐的體積最大.如圖，可將三棱錐補(bǔ)全為正方體，則三棱錐外接球半徑為，故其外接球的表面積為.故選：C11.設(shè)，是雙曲線：的兩條漸近線，若直線與直線關(guān)于直線對稱，則雙曲線的離心率的平方為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題可知經(jīng)過第二、四象限，經(jīng)過第一、三象限，設(shè)的傾斜角為.當(dāng)時，則，即，，即，所以.當(dāng)時，，即，，即，所以.綜上，雙曲線的離心率的平方為.故選：C.12.已知定義域為的函數(shù)滿足，給出以下結(jié)論：①；②；③是奇函數(shù)；④存在函數(shù)以及，使得的值為.所有正確結(jié)論的序號是（）A.①② B.①③ C.①③④ D.①②④〖答案〗C〖解析〗因為，對于①：令，可得，故①正確；對于②：令，可得，解得；令，可得，解得，故②錯誤；對于③：令，可得，且的定義域為，所以是奇函數(shù)，故③正確；對于④：當(dāng)時，，兩邊同時除以得，當(dāng)時，令，則，當(dāng)時，，則，所以，故④正確.故選：C.第II卷二、填空題13.已知向量的夾角的余弦值為，，且，則_______．〖答案〗4〖解析〗向量的夾角的余弦值為，，則，由，解得(負(fù)值舍去)．故〖答案〗為：4.14.將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則的最小正周期為______，______.〖答案〗〖解析〗由題意知，，則的最小正周期，.故〖答案〗為：；15.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，，則______.〖答案〗〖解析〗設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則.因為是定義在上的偶函數(shù)，所以，所以.故〖答案〗為：16.假設(shè)在某種細(xì)菌培養(yǎng)過程中，正常細(xì)菌每小時分裂1次（1個正常細(xì)菌分裂成2個正常細(xì)菌和1個非正常細(xì)菌），非正常細(xì)菌每小時分裂1次（1個非正常細(xì)菌分裂成2個非正常細(xì)菌）.若1個正常細(xì)菌經(jīng)過14小時的培養(yǎng)，則可分裂成的細(xì)菌的個數(shù)為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)經(jīng)過小時，有個正常細(xì)菌，個非正常細(xì)菌，則，.又，，所以，，則，所以，所以是首項和公差均為的等差數(shù)列，所以，所以，所以.故〖答案〗為：.三、解答題（一）必考題17.現(xiàn)統(tǒng)計了甲12次投籃訓(xùn)練的投籃次數(shù)和乙8次投籃訓(xùn)練的投籃次數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)：甲777377818581778593737781乙7181737371738573

已知甲12次投籃次數(shù)的平均數(shù)，乙8次投籃次數(shù)的平均數(shù).（1）求這20次投籃次數(shù)的中位數(shù)，估計甲每次訓(xùn)練投籃次數(shù)超過的概率；（2）求這20次投籃次數(shù)的平均數(shù)與方差.解：（1）將這20個數(shù)據(jù)從小到大排列，第10個數(shù)和第11個數(shù)都是77，所以，因為甲的12次投籃訓(xùn)練中，投籃次數(shù)超過77次的有6次，估計甲每次訓(xùn)練投籃次數(shù)超過的概率為.（2）這20次投籃次數(shù)的平均數(shù)，方差18.在中，角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若為邊的中點，求的長.解：（1）因為，根據(jù)正弦定理，得，化簡得，因為，所以，因為，所以.（2）在中，由余弦定理得，所以，解得．因為為的中線，所以，所以，因為，所以，解得.19.設(shè)函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求在上的最大值和最小值.解：（1）因為，所以，又，所以曲線在點處的切線方程為.（2）由（1）可知，.令，則，當(dāng)時，，，所以，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞增，所以的最大值為，的最小值為.20.如圖，在三棱柱中，,四邊形為菱形，.（1）證明：；（2）已知平面平面，，求四棱錐的體積.（1）證明：設(shè)為的中點，連接，，，，因為，所以，因為四邊形為菱形，，所以為等邊三角形，則，又，所以平面，因為平面，所以；（2）因為，，所以平面，因為平面，所以，所以四邊形為菱形，即，因為平面平面，且平面平面，，所以平面，且，又因為，則，故.21.已知為坐標(biāo)原點，經(jīng)過點的直線與拋物線交于，（，異于點）兩點，且以為直徑的圓過點.（1）求的方程；（2）已知，，是上的三點，若為正三角形，為的中心，求直線斜率的最大值.解：（1）設(shè)，，，聯(lián)立方程得，則，.因為以為直徑的圓過點，所以，則，即，解得，所以，解得，所以的方程為.（2）設(shè)，，.不妨設(shè)，，按逆時針順序排列.①當(dāng)有一邊斜率不存在時，另一頂點為，不妨設(shè)，則，.與拋物線的方程聯(lián)立得，，中心.②當(dāng)三邊的斜率都存在時，，.又，所以，化簡可得，同理可得，，三式相加得.因為，，是上的三點，所以，又，所以.設(shè)，則，，代入上式得又①也滿足，所以的軌跡方程為.當(dāng)，直線的斜率為，當(dāng)且僅當(dāng)時，直線的斜率取得最大值.當(dāng)時，直線的斜率.綜上，直線斜率的最大值為.（二）選考題[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.已知直線：（為參數(shù)），曲線：.（1）求的普通方程和曲線的參數(shù)方程；（2）將直線向下平移個單位長度得到直線，是曲線上的一個動點，若點到直線的距離的最小值為，求的值.解：（1）由直線：（為參數(shù)），消去參數(shù)，可得的普通方程為.由曲線：，可得曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；（2）的方程為，即.設(shè)點的坐標(biāo)為，則點到直線的距離.因為，所以當(dāng)時，d取得最小值，即，解得.[選修4-5：不等式選講]23.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，解不等式；（2）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，化為，解得，則；當(dāng)時，化為，解得，則；當(dāng)時，可化為，解得，則，所以不等式的解集為.（2）當(dāng)時，化為，即，整理得，則，依題意，當(dāng)時，不等式恒成立，而，因此，所以實數(shù)的取值范圍為.青海省西寧市大通縣2024屆高考四模數(shù)學(xué)試卷（文）第I卷一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知，，所以，故選：A.2.復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，因為，則.故選：C.3.橢圓的焦距為（）A.2 B.4 C.6 D.8〖答案〗B〖解析〗由題意得，，且，所以，所以.故選：B.4.某公司10月23日、10月30日、11月6日、11月13日、11月20日、11月27日這6天員工的出勤率的折線圖如圖所示，則下列判斷正確的是（）A.這6天員工的出勤率呈遞增趨勢B.這6天員工的出勤率呈遞減趨勢C.這6天員工的出勤率的極差大于0.15D.這6天員工的出勤率的中位數(shù)小于0.85〖答案〗D〖解析〗A：由圖可知，這6天員工的出勤率有增也有減，故A錯誤；B：由圖可知，這6天員工的出勤率有增也有減，故B錯誤；C：這6天員工的出勤率按照從小到大的順序排列為0.776，0.8077，0.8333，0.86，0.895，0.92，所以這6天員工的出勤率的極差為，故C錯誤；D：中位數(shù)為，故D正確.故選：D5.函數(shù)部分圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則，所以為奇函數(shù)，設(shè)，可知為偶函數(shù)，所以為奇函數(shù)，則B，C錯誤，易知，所以A正確，D錯誤．故選：A.6.記等差數(shù)列的前項和為.若，，則（）A.140 B.70 C.160 D.80〖答案〗D〖解析〗因為是等差數(shù)列，所以，故.故選：D.7.三人被邀請參加一個晚會，若晚會必須有人去，去幾人自行決定，則恰有一人參加晚會的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)三人為，，，則參加晚會的情況有，，，，，，，共種情況，其中恰有一人參加晚會的情況有種，故所求的概率為，故選：B.8.在直三棱柱中，，，為線段的中點，點在線段上，且，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，則，故，因為軸平面，則可取平面的法向量為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.故選：B.9.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，解得或（舍去），所以．故選：B.10.在平行四邊形中，，，，沿將折起，則三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在中，，則，所以，則由題可知，當(dāng)平面平面時，三棱錐的體積最大.如圖，可將三棱錐補(bǔ)全為正方體，則三棱錐外接球半徑為，故其外接球的表面積為.故選：C11.設(shè)，是雙曲線：的兩條漸近線，若直線與直線關(guān)于直線對稱，則雙曲線的離心率的平方為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題可知經(jīng)過第二、四象限，經(jīng)過第一、三象限，設(shè)的傾斜角為.當(dāng)時，則，即，，即，所以.當(dāng)時，，即，，即，所以.綜上，雙曲線的離心率的平方為.故選：C.12.已知定義域為的函數(shù)滿足，給出以下結(jié)論：①；②；③是奇函數(shù)；④存在函數(shù)以及，使得的值為.所有正確結(jié)論的序號是（）A.①② B.①③ C.①③④ D.①②④〖答案〗C〖解析〗因為，對于①：令，可得，故①正確；對于②：令，可得，解得；令，可得，解得，故②錯誤；對于③：令，可得，且的定義域為，所以是奇函數(shù)，故③正確；對于④：當(dāng)時，，兩邊同時除以得，當(dāng)時，令，則，當(dāng)時，，則，所以，故④正確.故選：C.第II卷二、填空題13.已知向量的夾角的余弦值為，，且，則_______．〖答案〗4〖解析〗向量的夾角的余弦值為，，則，由，解得(負(fù)值舍去)．故〖答案〗為：4.14.將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則的最小正周期為______，______.〖答案〗〖解析〗由題意知，，則的最小正周期，.故〖答案〗為：；15.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，，則______.〖答案〗〖解析〗設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則.因為是定義在上的偶函數(shù)，所以，所以.故〖答案〗為：16.假設(shè)在某種細(xì)菌培養(yǎng)過程中，正常細(xì)菌每小時分裂1次（1個正常細(xì)菌分裂成2個正常細(xì)菌和1個非正常細(xì)菌），非正常細(xì)菌每小時分裂1次（1個非正常細(xì)菌分裂成2個非正常細(xì)菌）.若1個正常細(xì)菌經(jīng)過14小時的培養(yǎng)，則可分裂成的細(xì)菌的個數(shù)為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)經(jīng)過小時，有個正常細(xì)菌，個非正常細(xì)菌，則，.又，，所以，，則，所以，所以是首項和公差均為的等差數(shù)列，所以，所以，所以.故〖答案〗為：.三、解答題（一）必考題17.現(xiàn)統(tǒng)計了甲12次投籃訓(xùn)練的投籃次數(shù)和乙8次投籃訓(xùn)練的投籃次數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)：甲777377818581778593737781乙7181737371738573

已知甲12次投籃次數(shù)的平均數(shù)，乙8次投籃次數(shù)的平均數(shù).（1）求這20次投籃次數(shù)的中位數(shù)，估計甲每次訓(xùn)練投籃次數(shù)超過的概率；（2）求這20次投籃次數(shù)的平均數(shù)與方差.解：（1）將這20個數(shù)據(jù)從小到大排列，第10個數(shù)和第11個數(shù)都是77，所以，因為甲的12次投籃訓(xùn)練中，投籃次數(shù)超過77次的有6次，估計甲每次訓(xùn)練投籃次數(shù)超過的概率為.（2）這20次投籃次數(shù)的平均數(shù)，方差18.在中，角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若為邊的中點，求的長.解：（1）因為，根據(jù)正弦定理，得，化簡得，因為，所以，因為，所以.（2）在中，由余弦定理得，所以，解得．因為為的中線，所以，所以，因為，所以，解得.19.設(shè)函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求在上的最大值和最小值.解：（1）因為，所以，又，所以曲線在點處的切線方程為.（2）由（1）可知，.令，則，當(dāng)時，，，所以，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞增，所以的最大值為，的最小值為.20.如圖，在三棱柱中，,四邊形為菱形，.（1）證明：；（2）已知平面平面，，求四棱錐的體積.（1）證明：設(shè)為的中點，連接，，，，因為，所以，因為四邊形為菱形，，所以為等邊三角形，則，又，所以平面，因為平面，所以；（2）因為，，所以平面，因為平面，所以，所以四邊形為菱形，即，因為平面平面，且平面平面，，所以平面，且，又因為，則，故.2