2024屆山西省高考三模數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE3山西省2024屆高考三模數(shù)學試題（〖解析〗版）一、單項選擇題1.已知集合，均為集合的子集，則表示的區(qū)域為（）A.① B.② C.③ D.④〖答案〗A〖解析〗由韋恩圖可知包含區(qū)域①④，所以表示的區(qū)域為①.故選：A.2.向量在邊長為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則（）A.-7 B.-1 C.1 D.7〖答案〗C〖解析〗如圖，建立平面直角坐標系，則，則.故選：C3.拋物線的焦點坐標為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由可得，其焦點坐標為，故選：B.4.設函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)的定義域為，且，所以為偶函數(shù)，當時，因為與在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，不等式，即，等價于，解得或，所以不等式的解集為.故選：C5.若，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，則，且，則，可得，，又因為，則，且，可得，，所以.故選：D6.某次趣味運動會，設置了教師足球射門比賽:教師射門，學生守門.已知參與射門比賽的教師有60名，進球數(shù)的平均值和方差分別是3和13，其中男教師進球數(shù)的平均值和方差分別是4和8，女教師進球數(shù)的平均值為2，則女教師進球數(shù)的方差為（）A.15 B.16 C.17 D.18〖答案〗B〖解析〗設參加射門比賽的男教師人數(shù)為，則全部參賽教師進球數(shù)的平均數(shù)，解得，即參賽的男女教師各有人，設女教師進球數(shù)的方差為，依題意可得，解得.故選：B.7.在中，內(nèi)角所對的邊分別為已知的外接圓半徑是邊的中點，則長為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由的外接圓半徑，得，由和得，又，解得，所以.因為中，是邊的中點，所以,于.故選：D.8.正方體的棱長為2，分別為的中點，為底面的中心，則三棱錐的體積是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗建立如圖所示的空間直角坐標系，則,,設平面法向量為，則，取，則，故到平面的距離為，而,故,故，故選：B二、多項選擇題9.已知是虛數(shù)單位，若，則（）A.為純虛數(shù) B.復數(shù)的虛部為C. D.當時，復數(shù)對應的點在第二象限〖答案〗ACD〖解析〗由可得，故，故A正確，B錯誤，，故C正確，，當時，則，故復數(shù)對應的點在第二象限，D正確，故選：ACD10.將一個直徑為的鐵球磨制成一個零件，能夠磨制成的零件可以是（）A.底面直徑為，高為的圓柱體 B.底面直徑為，高為的圓錐體C.底面直徑為，高為的圓錐體 D.各棱長均為的四面體〖答案〗ACD〖解析〗對于A,若圓柱的底面直徑為8，則半徑為4，此時球心到圓柱底面的距離為，故圓柱的高可以為6，A符合，對于B，若圓錐的底面直徑為8，則半徑為4，此時球心到圓錐底面的距離為，故圓錐的高最大時為，B符合，對于C，若圓錐的底面直徑為7，則半徑為，此時球心到圓錐底面的距離為，故圓錐的高最大時為，C不符合，對于D,若將各棱長均為的四面體放入到棱長為的正方體中，此時正方體的外接球直徑為，故D符合，故選：ACD11.已知函數(shù)，若，且，則的取值可能是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗因為，所以時函數(shù)取得最小值，即直線是函數(shù)的一條對稱軸，又因為，所以，即，所以，所以，所以，解得，當時，當時.故選：BC.三、填空題12.清明小長假期間，某學校打算安排甲、乙、丙等6位教師值班.從4月4日至4月6日每天的上、下午各需要安排一名教師到學校值班，每位教師只安排半天值班.已知甲只能值上午班，乙、丙二人只能值下午班，其他三人上下午均可值班，則不同的值班安排方式共有____________種(請用數(shù)字作答).〖答案〗108〖解析〗從三個上午班中選擇一個安排甲，再從下午的三個班中選擇兩個安排乙丙，剩余三個人安排在剩余的班位上，故一共有,故〖答案〗：10813.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有一個零點，則的取值范圍是____________.〖答案〗〖解析〗，由于為對勾函數(shù)，最小值為2，而，所以在單調(diào)遞減，故，作出的大致圖象如下：故要使恰有一個零點，只需要只有一個交點，故，即，故〖答案〗為：14.雙曲線的兩條漸近線分別為，經(jīng)過的右焦點的直線分別交于兩點，已知為坐標原點，反向，若的最小值為9a，則的離心率為____________.〖答案〗〖解析〗設漸近線的方程分別為，，設直線的方程為，聯(lián)立與可得，，故，同理聯(lián)立與可得，由于反向，所以位于一四象限，故，故，，當且僅當,即時等號成立，故最小值，因此，故，故〖答案〗為：四、解答題15.已知等差數(shù)列的公差，前項和為，且，.（1）求數(shù)列通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.解：（1）因為，，所以，解得或，因為，所以，則；（2）由（1）可得，所以.16.如圖三棱錐分別在線段AB，CD上，且滿足.（1）求證:平面平面;（2）求AD與平面BCD所成角的正弦值.（1）證明：連接,由于所以由于，所以故，即，又，，平面，故平面，平面,故,平面，所以平面，平面，故平面平面（2）解：由于所以由于，所以故，即，又，，平面，故平面，平面,故,平面，故平面,故即為直線與平面所成的角，,,17.袋中裝有大小、形狀、材質(zhì)完全相同的n個小球，其中有個紅球.（1）若，現(xiàn)從袋中隨機摸出2個小球，其中紅球的個數(shù)為隨機變量，求的方差（2）從袋中有放回地摸取小球次，每次摸出一個小球，其中摸到紅球的次數(shù)為隨機變量，若的期望，方差，求;（3）若，現(xiàn)從袋中有放回地摸取小球10次，每次摸出1個小球，記錄顏色后將摸出的小球放回袋中.以摸出紅球的頻率估計袋中紅球所占比例，若，求紅球占比估計值的誤差不超過的概率.參考數(shù)據(jù):0123456789100.02820.01210.00520.00220.00100.00040.00020.00010.00000.00000.0000解：（1）X的取值有0，1，2.且服從超幾何分布.因此,,;分布列如下：X012P..（2）因為有放回地摸取1個小球次，每次摸到紅球的概率是，所以，，，即，所以.（3）設從袋中有放回地摸取小球10次，每次摸出1個小球中紅球出現(xiàn)次，所以摸出紅球的頻率為，當，紅球所占比例為，如果以摸出紅球的頻率估計袋中紅球所占比例，且誤差不超過，因此：，即只能取2、3或4.所以紅球占比估計值的誤差不超過的概率：.18.已知橢圓的焦點為，點在上，且軸，.（1）求的方程;（2）求與有公共焦點的雙曲線的方程，使得以它們的交點為頂點的四邊形面積最大;（3）過點作斜率之積為的兩直線，若交于，兩點，交于，兩點，，分別為，的中點，求面積的最大值.解：（1）設橢圓的方程為，由題意知，在橢圓上，所以，，即，所以，解得，所以橢圓的方程為.（2）設四邊形面積為，其中一個交點坐標為，則，由橢圓與雙曲線的對稱性可知，其他三個點分別為：，，，所以四邊形為矩形，由，即，得，當且僅當，即，時，四邊形的面積取最大值，所以，設雙曲線方程為，又因為，所以，，此時雙曲線的實軸長，即，虛半軸長，所以雙曲線的方程為.（3）根據(jù)題意，直線、斜率存在且不為，且斜率不能為，設，，，則，，聯(lián)立，整理有：，所以，，，，故，聯(lián)立，整理有：，所以，，所以，若，即，整理有，解得不合題意，所以，故直線的斜率不為，設直線方程為：，在直線上，則，變形得：，在直線上，所以，變形得：，所以、時是關(guān)于的方程的的兩個根，故，解得，故直線過定點，，的面積為，分子分母同除以，上式化為即，令，則，當且僅當，即時，的面積取最大值，故面積的最大值為.19.微分中值定理是微積分學中的重要定理，它是研究區(qū)間上函數(shù)值變化規(guī)律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的內(nèi)容如下:如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間可導，導數(shù)為，那么在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值點”.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”；（2）若，求證:函數(shù)在區(qū)間圖象上任意兩點，連線的斜率不大于；（3）若，且，求證:.（1）解：當時，則，因為為函數(shù)在上的“拉格朗日中值點，則，即，解得（2）證明：當時，不妨設，，，則，又，令，則，又，所以恒成立，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，即最大值，所以，所以，由拉格朗日中值定理可知必存在使得，即，又，所以，即函數(shù)在區(qū)間圖象上任意兩點，連線的斜率不大于；（3）證明：當時，由拉格朗日中值定理知，存在和，使得，，所以只需證明，即證明在上單調(diào)遞減，又，令，則，令，則，當時，令，，則，則在上單調(diào)遞增，又，，所以存在使得，所以當時，則，即單調(diào)遞增，當時，則，即單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，即最大值，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，命題得證.山西省2024屆高考三模數(shù)學試題（〖解析〗版）一、單項選擇題1.已知集合，均為集合的子集，則表示的區(qū)域為（）A.① B.② C.③ D.④〖答案〗A〖解析〗由韋恩圖可知包含區(qū)域①④，所以表示的區(qū)域為①.故選：A.2.向量在邊長為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則（）A.-7 B.-1 C.1 D.7〖答案〗C〖解析〗如圖，建立平面直角坐標系，則，則.故選：C3.拋物線的焦點坐標為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由可得，其焦點坐標為，故選：B.4.設函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)的定義域為，且，所以為偶函數(shù)，當時，因為與在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，不等式，即，等價于，解得或，所以不等式的解集為.故選：C5.若，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，則，且，則，可得，，又因為，則，且，可得，，所以.故選：D6.某次趣味運動會，設置了教師足球射門比賽:教師射門，學生守門.已知參與射門比賽的教師有60名，進球數(shù)的平均值和方差分別是3和13，其中男教師進球數(shù)的平均值和方差分別是4和8，女教師進球數(shù)的平均值為2，則女教師進球數(shù)的方差為（）A.15 B.16 C.17 D.18〖答案〗B〖解析〗設參加射門比賽的男教師人數(shù)為，則全部參賽教師進球數(shù)的平均數(shù)，解得，即參賽的男女教師各有人，設女教師進球數(shù)的方差為，依題意可得，解得.故選：B.7.在中，內(nèi)角所對的邊分別為已知的外接圓半徑是邊的中點，則長為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由的外接圓半徑，得，由和得，又，解得，所以.因為中，是邊的中點，所以,于.故選：D.8.正方體的棱長為2，分別為的中點，為底面的中心，則三棱錐的體積是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗建立如圖所示的空間直角坐標系，則,,設平面法向量為，則，取，則，故到平面的距離為，而,故,故，故選：B二、多項選擇題9.已知是虛數(shù)單位，若，則（）A.為純虛數(shù) B.復數(shù)的虛部為C. D.當時，復數(shù)對應的點在第二象限〖答案〗ACD〖解析〗由可得，故，故A正確，B錯誤，，故C正確，，當時，則，故復數(shù)對應的點在第二象限，D正確，故選：ACD10.將一個直徑為的鐵球磨制成一個零件，能夠磨制成的零件可以是（）A.底面直徑為，高為的圓柱體 B.底面直徑為，高為的圓錐體C.底面直徑為，高為的圓錐體 D.各棱長均為的四面體〖答案〗ACD〖解析〗對于A,若圓柱的底面直徑為8，則半徑為4，此時球心到圓柱底面的距離為，故圓柱的高可以為6，A符合，對于B，若圓錐的底面直徑為8，則半徑為4，此時球心到圓錐底面的距離為，故圓錐的高最大時為，B符合，對于C，若圓錐的底面直徑為7，則半徑為，此時球心到圓錐底面的距離為，故圓錐的高最大時為，C不符合，對于D,若將各棱長均為的四面體放入到棱長為的正方體中，此時正方體的外接球直徑為，故D符合，故選：ACD11.已知函數(shù)，若，且，則的取值可能是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗因為，所以時函數(shù)取得最小值，即直線是函數(shù)的一條對稱軸，又因為，所以，即，所以，所以，所以，解得，當時，當時.故選：BC.三、填空題12.清明小長假期間，某學校打算安排甲、乙、丙等6位教師值班.從4月4日至4月6日每天的上、下午各需要安排一名教師到學校值班，每位教師只安排半天值班.已知甲只能值上午班，乙、丙二人只能值下午班，其他三人上下午均可值班，則不同的值班安排方式共有____________種(請用數(shù)字作答).〖答案〗108〖解析〗從三個上午班中選擇一個安排甲，再從下午的三個班中選擇兩個安排乙丙，剩余三個人安排在剩余的班位上，故一共有,故〖答案〗：10813.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有一個零點，則的取值范圍是____________.〖答案〗〖解析〗，由于為對勾函數(shù)，最小值為2，而，所以在單調(diào)遞減，故，作出的大致圖象如下：故要使恰有一個零點，只需要只有一個交點，故，即，故〖答案〗為：14.雙曲線的兩條漸近線分別為，經(jīng)過的右焦點的直線分別交于兩點，已知為坐標原點，反向，若的最小值為9a，則的離心率為____________.〖答案〗〖解析〗設漸近線的方程分別為，，設直線的方程為，聯(lián)立與可得，，故，同理聯(lián)立與可得，由于反向，所以位于一四象限，故，故，，當且僅當,即時等號成立，故最小值，因此，故，故〖答案〗為：四、解答題15.已知等差數(shù)列的公差，前項和為，且，.（1）求數(shù)列通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.解：（1）因為，，所以，解得或，因為，所以，則；（2）由（1）可得，所以.16.如圖三棱錐分別在線段AB，CD上，且滿足.（1）求證:平面平面;（2）求AD與平面BCD所成角的正弦值.（1）證明：連接,由于所以由于，所以故，即，又，，平面，故平面，平面,故,平面，所以平面，平面，故平面平面（2）解：由于所以由于，所以故，即，又，，平面，故平面，平面,故,平面，故平面,故即為直線與平面所成的角，,,17.袋中裝有大小、形狀、材質(zhì)完全相同的n個小球，其中有個紅球.（1）若，現(xiàn)從袋中隨機摸出2個小球，其中紅球的個數(shù)為隨機變量，求的方差（2）從袋中有放回地摸取小球次，每次摸出一個小球，其中摸到紅球的次數(shù)為隨機變量，若的期望，方差，求;（3）若，現(xiàn)從袋中有放回地摸取小球10次，每次摸出1個小球，記錄顏色后將摸出的小球放回袋中.以摸出紅球的頻率估計袋中紅球所占比例，若，求紅球占比估計值的誤差不超過的概率.參考數(shù)據(jù):0123456789100.02820.01210.00520.00220.00100.00040.00020.00010.00000.00000.0000解：（1）X的取值有0，1，2.且服從超幾何分布.因此,,;分布列如下：X012P..（2）因為有放回地摸取1個小球次，每次摸到紅球的概率是，所以，，，即，所以.（3）設從袋中有放回地摸取小球10次，每次摸出1個小球中紅球出現(xiàn)次，所以摸出紅球的頻率為，當，紅球所占比例為，如果以摸出紅球的頻率估計袋中紅球所占比例，且誤差不超過，因此：，即只能取2、3或4.所以紅球占比估計值的誤差不超過的概率：.18.已知橢圓的焦點為，點在上，且軸，.（1）求的方程;（2）求與有公共焦點的雙曲線的方程，使得以它們的交點為頂點的四邊形面積最大;（3）過點作斜率之積為的兩直線，若交于，兩點，交于，兩點，，分別為，的中點，求面積的最大值.解：（1）設橢圓的方程為，由題意知，在橢圓上，所以，，即，所以，解得，所以橢圓的方程為.（2）設四邊形面積為，其中一個交點坐標為，則，由橢圓與雙曲線的對稱性可知，其他三個點分別為：，，，所以四邊形為矩形，由，即，得，當且僅當，即，時，四邊形的面積取最大值，