2024屆四川省眉山市仁壽縣兩校高三下學(xué)期第三次模擬數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3四川省眉山市仁壽縣兩校2024屆高三下學(xué)期第三次模擬數(shù)學(xué)試題（理）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，所?故選：B.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部為（）A.－2 B.－1 C.1 D.2〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，則，故的虛部為1.故選:C．3.運(yùn)行圖示程序框圖，則輸出A的值為（）．A.170 B.165 C.150 D.92〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以?zhí)行循環(huán)體得，由不成立，所以執(zhí)行循環(huán)體得，由成立，所以，然后輸出.故選：B4.已知數(shù)列滿足，則“”是“是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時(shí)，，則，是遞增數(shù)列；反之，當(dāng)時(shí)，，數(shù)列遞增，因此數(shù)列是遞增數(shù)列時(shí)，可以不小于3，所以“”是“是遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A.5.在中，，是的外心，為的中點(diǎn)，，是直線上異于、的任意一點(diǎn)，則（）A.3 B.6 C.7 D.9〖答案〗B〖解析〗因?yàn)槭堑耐庑模瑸榈闹悬c(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，所以，，設(shè)，則，又是的外心，所以，所以.故選：B6.敏感性問題多屬個(gè)人隱私．對(duì)敏感性問題的調(diào)查方案，關(guān)鍵是要使被調(diào)查者愿意作出真實(shí)回答又能保守個(gè)人秘密．例如為了調(diào)查中學(xué)生中的早戀現(xiàn)象，現(xiàn)有如下調(diào)查方案：在某校某年級(jí)，被調(diào)查者在沒有旁人的情況下，獨(dú)自一人回答問題．被調(diào)查者從一個(gè)罐子中隨機(jī)抽一只球，看過顏色后即放回，若抽到白球，則回答問題A；若抽到紅球，則回答問題B．且罐中只有白球和紅球．問題A：你的生日是否在7月1日之前?（本次調(diào)查中假設(shè)生日在7月1日之前的概率為）問題B：你是否有早戀現(xiàn)象？已知一次實(shí)際調(diào)查中，罐中放有白球2個(gè)，紅球3個(gè)，調(diào)查結(jié)束后共收到1585張有效答卷，其中有393張回答“是”，如果以頻率替代概率，則該校該年級(jí)學(xué)生有早戀現(xiàn)象的概率是（）（精確到0.01）A.0.08 B.0.07 C.0.06 D.0.05〖答案〗A〖解析〗從罐子中隨機(jī)抽一個(gè)球,抽到紅球的概率為，抽到白球的概率為，所以回答問題A的人數(shù)是人回答問題B的人數(shù)是人，回答問題A的人中答“是”的人數(shù)是，所以回答問題B的人中答“是”的人數(shù)是，則估計(jì)該校該年級(jí)學(xué)生有早戀現(xiàn)象的概率為，故選：A7.若，且，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知，因?yàn)?，所以，所以，所以，而，所以，?故選：B8.一個(gè)信息設(shè)備裝有一排六只發(fā)光電子元件，每個(gè)電子元件被點(diǎn)亮?xí)r可發(fā)出紅色光?藍(lán)色光?綠色光中的一種光.若每次恰有三個(gè)電子元件被點(diǎn)亮，但相鄰的兩個(gè)電子元件不能同時(shí)被點(diǎn)亮，根據(jù)這三個(gè)被點(diǎn)亮的電子元件的不同位置以及發(fā)出的不同顏色的光來表示不同的信息，則這排電子元件能表示的信息種數(shù)共有（）A.60種 B.68種 C.82種 D.108種〖答案〗D〖解析〗每次恰有三個(gè)電子元件被點(diǎn)亮，但相鄰的兩個(gè)電子元件不能同時(shí)被點(diǎn)亮，所以需把3個(gè)亮的發(fā)光原件插入未點(diǎn)亮的元件中，有種方法，且不同顏色數(shù)有種，所以這排電子元件能表示的信息種數(shù)共有種.故選：D9.已知函數(shù)，關(guān)于的命題：①的最小正周期為；②圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為；③圖像的對(duì)稱軸方程為；④圖像的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為；⑤取最大值時(shí).則其中正確命題是（）A.①②③ B.①③⑤ C.②③⑤ D.①④⑤〖答案〗B〖解析〗，則的最小正周期為，故①正確；圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，故②錯(cuò)誤；令，則，故③正確；令，則，故④錯(cuò)誤；令，則，故⑤正確.故選：B.10.直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，且與的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，若，且，則的離心率為（）A.3 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗如圖所示，取雙曲線左焦點(diǎn)，設(shè)，則，由雙曲線定義可得，又、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故，，，則，由，故，故有，化簡可得，即有，，由，則有，即，即.故選：B.11.如圖，在棱長為1正方體中，已知，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則的周長的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)的中點(diǎn)為，連接（不與點(diǎn)重合），，，，所以，所以，把平面與平面展開并攤平，如圖，在平面圖形中連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，此時(shí)的周長取得最小值，在中利用余弦定理可得，所以的周長的最小值為．故選：B．12.已知函數(shù)存在極小值點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，函數(shù)在取得極大值，無極小值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)得，顯然在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，于是，當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值，當(dāng)時(shí)，，而，存在，使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，函數(shù)在取得極大值，又，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，則，存在，使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，函數(shù)在取得極小值，因此，由，得，，即有，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，即有，于是，顯然，令，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減因此，即，又，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D二、填空題13.已知為偶函數(shù)，則______.〖答案〗〖解析〗法一：特殊值法：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，符合題意.法二：定義法：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，化簡得，所以，解得.故〖答案〗為：14.已知實(shí)數(shù)x，y滿足則的最大值是________．〖答案〗〖解析〗令，即求中截距的最大值即可，如圖作出可行域，易知當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，該直線截距最大，取得最大值，聯(lián)立方程組，，解得，，故，將代入中，得，解得，即的最大值是.故〖答案〗為：15.已知三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，四邊形為菱形，，平面平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球的表面積為______.〖答案〗〖解析〗解法一連接，，記，則.連接，，則，故為外接圓的圓心.取的中點(diǎn)，連接，則，所以點(diǎn)在的外接圓上．連接，因?yàn)榈冗吶切?，所以?由平面平面，知平面平面，又平面平面，平面，所以平面.設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，故三棱錐的外接球的表面積為.解法二連接，，則為正三角形，，故，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，以為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，得，，，，，，由為等邊三角形，則的外接圓圓心為.設(shè)三棱錐的外接球的球心為，連接，，，則平面，又平面，所以.設(shè)，由，可得，解得，因此球心，故外接球半徑，故三棱錐的外接球的表面積.故〖答案〗為：16.如圖，已知，，為邊上的兩點(diǎn)，且滿足，，則當(dāng)取最大值時(shí)，的面積等于______.〖答案〗〖解析〗如圖，不妨設(shè),分別記的面積為,則①②由①，②兩式左右分別相乘，可得：,故得：.設(shè)，在中，由余弦定理，，因，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，因，故，取得最大值，此時(shí)的面積等于.故〖答案〗為：.三、解答題（一）必考題17.已知為各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和,.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為,若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.解：（1）當(dāng)時(shí)，由題設(shè)得，即，又，解得.由知：.兩式相減得：，即.由于，可得，即，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以.（2）由得：.因?yàn)?，所以，則數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，故實(shí)數(shù)的最大值是.18.2023年，全國政協(xié)十四屆一次會(huì)議于3月4日下午3時(shí)在人民大會(huì)堂開幕，3月11日下午閉幕，會(huì)期7天半；十四屆全國人大一次會(huì)議于3月5日上午開幕，13日上午閉幕，會(huì)期8天半.為調(diào)查居民對(duì)兩會(huì)相關(guān)知識(shí)的了解情況，某小區(qū)開展了兩會(huì)知識(shí)問答活動(dòng)，現(xiàn)將該小區(qū)參與該活動(dòng)的240位居民的得分（滿分100分）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下的頻率分布直方圖.（1）若此次知識(shí)問答的得分X服從，其中近似為參與本次活動(dòng)的240位居民的平均得分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表），求的值；（2）中國移動(dòng)為支持本次活動(dòng)提供了大力支持，制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：參與本次活動(dòng)得分低于的居民獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，參與本次活動(dòng)得分不低于的居民獲得兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每位居民每次有的機(jī)會(huì)抽中一張10元的話費(fèi)充值卡，有的機(jī)會(huì)抽中一張20元的話費(fèi)充值卡，假設(shè)每次抽獎(jiǎng)相互獨(dú)立，假設(shè)該小區(qū)居民王先生參與本次活動(dòng)，求王先生獲得的話費(fèi)充值卡的總金額Y（單位：元）的概率分布列，并估計(jì)本次活動(dòng)中國移動(dòng)需要準(zhǔn)備的話費(fèi)充值卡的總金額（單位：元）參考數(shù)據(jù)：，，.解：（1）依題意，，所以，故．（2）參與活動(dòng)的每位居民得分低于74分的概率為，得分不低于74分的概率為．Y的所有可能取值分別為10，20，30，40．，，，，所以Y的概率分布為Y10203040P所以，所以本次活動(dòng)中國移動(dòng)需要準(zhǔn)備的話費(fèi)充值卡的總金額為元．19.已知正方形的邊長為4，，分別為，的中點(diǎn)，以為棱將正方形折成如圖所示的的二面角．（1）若為的中點(diǎn)，在線段上，且直線與平面所成的角為，求此時(shí)平面與平面的夾角的余弦值．（2）在（1）的條件下，設(shè)，，，且四面體的體積為，求的值．解：（1）由題意知，，，，，平面，可得平面，且為二面角的平面角，即，連接，而，則為正三角形，取的中點(diǎn)，連接，則，由平面，平面，所以平面平面，而平面平面，平面，可得平面，取的中點(diǎn)，連接，由矩形得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，可得，設(shè)點(diǎn)，則，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，可得，因?yàn)橹本€與平面所成的角為，則，解得或（舍，即，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，可得，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為．（2）因?yàn)?，，可知，分別為，的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，可得，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，可得，因?yàn)?，，，由余弦定理得，可知為銳角，可得，則，因?yàn)樗拿骟w的體積為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得，因，則，可得，則，解得．所以的值為20.已知長為的線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，圓經(jīng)過兩點(diǎn)且與直線相切，圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點(diǎn)且互相垂直的直線分別與曲線交于點(diǎn)和點(diǎn)，且，四邊形的面積為，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）由題意知圓心在線段的垂直平分線上，則,設(shè)，圓的半徑為，則，又圓與直線相切，故，于是，化簡得，所以曲線的方程為.（2）設(shè)，根據(jù)可得為的中點(diǎn)，則，得，即，所以直線.聯(lián)立方程，得，得，由，得，所以，所以.設(shè)，因?yàn)榛ハ啻怪保字本€，聯(lián)立方程，得，得，由，得，所以，所以.則四邊形的面積為.令，化簡得，解得（舍）或，符合，所以.21.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為1．（1）求實(shí)數(shù)的值并求函數(shù)的極值；（2）若，證明：．（1）解：由已知，，因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線斜率為1，所以，則，定義域，，令，解得，令，解得，令，解得，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在時(shí)取得極小值，無極大值.（2）證明：由已知，令，則，即，，即，兩式相減可得，，兩式相加可得，，消去，得，即，由于，因此只需證明即可，而，不妨設(shè)，則由可知，，令，，令，則，在上遞減，故，在上遞增，，則原命題得證.（二）選考題[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程；（2）點(diǎn)分別為曲線與直線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.解：（1）因?yàn)?，將（為參?shù)），消去參數(shù)，可得.由，得，因?yàn)椋?所以曲線的普通方程為，直線的直角坐標(biāo)方程為.（2）由點(diǎn)A在曲線上，設(shè)，則點(diǎn)A到的距離為：，所以當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為.[選修4-5：不等式選講]23.已知函數(shù)（1）求不等式的解集；（2）設(shè)的最小數(shù)為，正數(shù)滿足，求的最小值.解：（1）不等式，即，即，所以或或，解得或或，綜上可得，所以不等式的解集為；（2）因?yàn)榈淖钚?shù)為，所以，可得，所以，解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．四川省眉山市仁壽縣兩校2024屆高三下學(xué)期第三次模擬數(shù)學(xué)試題（理）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，所?故選：B.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部為（）A.－2 B.－1 C.1 D.2〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，則，故的虛部為1.故選:C．3.運(yùn)行圖示程序框圖，則輸出A的值為（）．A.170 B.165 C.150 D.92〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以?zhí)行循環(huán)體得，由不成立，所以執(zhí)行循環(huán)體得，由成立，所以，然后輸出.故選：B4.已知數(shù)列滿足，則“”是“是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時(shí)，，則，是遞增數(shù)列；反之，當(dāng)時(shí)，，數(shù)列遞增，因此數(shù)列是遞增數(shù)列時(shí)，可以不小于3，所以“”是“是遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A.5.在中，，是的外心，為的中點(diǎn)，，是直線上異于、的任意一點(diǎn)，則（）A.3 B.6 C.7 D.9〖答案〗B〖解析〗因?yàn)槭堑耐庑?，為的中點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，所以，，設(shè)，則，又是的外心，所以，所以.故選：B6.敏感性問題多屬個(gè)人隱私．對(duì)敏感性問題的調(diào)查方案，關(guān)鍵是要使被調(diào)查者愿意作出真實(shí)回答又能保守個(gè)人秘密．例如為了調(diào)查中學(xué)生中的早戀現(xiàn)象，現(xiàn)有如下調(diào)查方案：在某校某年級(jí)，被調(diào)查者在沒有旁人的情況下，獨(dú)自一人回答問題．被調(diào)查者從一個(gè)罐子中隨機(jī)抽一只球，看過顏色后即放回，若抽到白球，則回答問題A；若抽到紅球，則回答問題B．且罐中只有白球和紅球．問題A：你的生日是否在7月1日之前?（本次調(diào)查中假設(shè)生日在7月1日之前的概率為）問題B：你是否有早戀現(xiàn)象？已知一次實(shí)際調(diào)查中，罐中放有白球2個(gè)，紅球3個(gè)，調(diào)查結(jié)束后共收到1585張有效答卷，其中有393張回答“是”，如果以頻率替代概率，則該校該年級(jí)學(xué)生有早戀現(xiàn)象的概率是（）（精確到0.01）A.0.08 B.0.07 C.0.06 D.0.05〖答案〗A〖解析〗從罐子中隨機(jī)抽一個(gè)球,抽到紅球的概率為，抽到白球的概率為，所以回答問題A的人數(shù)是人回答問題B的人數(shù)是人，回答問題A的人中答“是”的人數(shù)是，所以回答問題B的人中答“是”的人數(shù)是，則估計(jì)該校該年級(jí)學(xué)生有早戀現(xiàn)象的概率為，故選：A7.若，且，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知，因?yàn)椋?，所以，所以，而，所以，?故選：B8.一個(gè)信息設(shè)備裝有一排六只發(fā)光電子元件，每個(gè)電子元件被點(diǎn)亮?xí)r可發(fā)出紅色光?藍(lán)色光?綠色光中的一種光.若每次恰有三個(gè)電子元件被點(diǎn)亮，但相鄰的兩個(gè)電子元件不能同時(shí)被點(diǎn)亮，根據(jù)這三個(gè)被點(diǎn)亮的電子元件的不同位置以及發(fā)出的不同顏色的光來表示不同的信息，則這排電子元件能表示的信息種數(shù)共有（）A.60種 B.68種 C.82種 D.108種〖答案〗D〖解析〗每次恰有三個(gè)電子元件被點(diǎn)亮，但相鄰的兩個(gè)電子元件不能同時(shí)被點(diǎn)亮，所以需把3個(gè)亮的發(fā)光原件插入未點(diǎn)亮的元件中，有種方法，且不同顏色數(shù)有種，所以這排電子元件能表示的信息種數(shù)共有種.故選：D9.已知函數(shù)，關(guān)于的命題：①的最小正周期為；②圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為；③圖像的對(duì)稱軸方程為；④圖像的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為；⑤取最大值時(shí).則其中正確命題是（）A.①②③ B.①③⑤ C.②③⑤ D.①④⑤〖答案〗B〖解析〗，則的最小正周期為，故①正確；圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，故②錯(cuò)誤；令，則，故③正確；令，則，故④錯(cuò)誤；令，則，故⑤正確.故選：B.10.直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，且與的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，若，且，則的離心率為（）A.3 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗如圖所示，取雙曲線左焦點(diǎn)，設(shè)，則，由雙曲線定義可得，又、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故，，，則，由，故，故有，化簡可得，即有，，由，則有，即，即.故選：B.11.如圖，在棱長為1正方體中，已知，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則的周長的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)的中點(diǎn)為，連接（不與點(diǎn)重合），，，，所以，所以，把平面與平面展開并攤平，如圖，在平面圖形中連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，此時(shí)的周長取得最小值，在中利用余弦定理可得，所以的周長的最小值為．故選：B．12.已知函數(shù)存在極小值點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，函數(shù)在取得極大值，無極小值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)得，顯然在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，于是，當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值，當(dāng)時(shí)，，而，存在，使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，函數(shù)在取得極大值，又，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，則，存在，使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，函數(shù)在取得極小值，因此，由，得，，即有，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，即有，于是，顯然，令，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減因此，即，又，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D二、填空題13.已知為偶函數(shù)，則______.〖答案〗〖解析〗法一：特殊值法：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，符合題意.法二：定義法：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，化簡得，所以，解得.故〖答案〗為：14.已知實(shí)數(shù)x，y滿足則的最大值是________．〖答案〗〖解析〗令，即求中截距的最大值即可，如圖作出可行域，易知當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，該直線截距最大，取得最大值，聯(lián)立方程組，，解得，，故，將代入中，得，解得，即的最大值是.故〖答案〗為：15.已知三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，四邊形為菱形，，平面平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球的表面積為______.〖答案〗〖解析〗解法一連接，，記，則.連接，，則，故為外接圓的圓心.取的中點(diǎn)，連接，則，所以點(diǎn)在的外接圓上．連接，因?yàn)榈冗吶切危裕?由平面平面，知平面平面，又平面平面，平面，所以平面.設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，故三棱錐的外接球的表面積為.解法二連接，，則為正三角形，，故，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，以為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，得，，，，，，由為等邊三角形，則的外接圓圓心為.設(shè)三棱錐的外接球的球心為，連接，，，則平面，又平面，所以.設(shè)，由，可得，解得，因此球心，故外接球半徑，故三棱錐的外接球的表面積.故〖答案〗為：16.如圖，已知，，為邊上的兩點(diǎn)，且滿足，，則當(dāng)取最大值時(shí)，的面積等于______.〖答案〗〖解析〗如圖，不妨設(shè),分別記的面積為,則①②由①，②兩式左右分別相乘，可得：,故得：.設(shè)，在中，由余弦定理，，因，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，因，故，取得最大值，此時(shí)的面積等于.故〖答案〗為：.三、解答題（一）必考題17.已知為各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和,.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為,若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.解：（1）當(dāng)時(shí)，由題設(shè)得，即，又，解得.由知：.兩式相減得：，即.由于，可得，即，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以.（2）由得：.因?yàn)?，所以，則數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，故實(shí)數(shù)的最大值是.18.2023年，全國政協(xié)十四屆一次會(huì)議于3月4日下午3時(shí)在人民大會(huì)堂開幕，3月11日下午閉幕，會(huì)期7天半；十四屆全國人大一次會(huì)議于3月5日上午開幕，13日上午閉幕，會(huì)期8天半.為調(diào)查居民對(duì)兩會(huì)相關(guān)知識(shí)的了解情況，某小區(qū)開展了兩會(huì)知識(shí)問答活動(dòng)，現(xiàn)將該小區(qū)參與該活動(dòng)的240位居民的得分（滿分100分）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下的頻率分布直方圖.（1）若此次知識(shí)問答的得分X服從，其中近似為參與本次活動(dòng)的240位居民的平均得分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表），求的值；（2）中國移動(dòng)為支持本次活動(dòng)提供了大力支持，制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：參與本次活動(dòng)得分低于的居民獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，參與本次活動(dòng)得分不低于的居民獲得兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每位居民每次有的機(jī)會(huì)抽中一張10元的話費(fèi)充值卡，有的機(jī)會(huì)抽中一張20元的話費(fèi)充值卡，假設(shè)每次抽獎(jiǎng)相互獨(dú)立，假設(shè)該小區(qū)居民王先生參與本次活動(dòng)，求王先生獲得的話費(fèi)充值卡的總金額Y（單位：元）的概率分布列，并估計(jì)本次活動(dòng)中國移動(dòng)需要準(zhǔn)備的話費(fèi)充值卡的總金額（單位：元）參考數(shù)據(jù)：，，.解：（1）依題意，，所以，故．（2）參與活動(dòng)的每位居民得分低于74分的概率為，得分不低于74分的概率為．Y的所有可能取值分別為10，20，30，40．，，，，所以Y的概率分布為Y10203040P所以，所以本次活動(dòng)中國移動(dòng)需要準(zhǔn)備的話費(fèi)充值卡的總金額為元．19.已知正方形的邊長為4，，分別為，的中點(diǎn)，以為棱將正方形折成如圖所示的的二面角．（1）若為的中點(diǎn)，在線段上，且直線與平面所成的角為，求此時(shí)平面與平面的夾角的余弦值．（2）在（1）的條件下，設(shè)，，，且四面體的體積為，求的值．解：（1）由題意知，，，，，平面，可得平面，且為二面角的平面角，即，連接，而，則為正三角形，取的中點(diǎn)，連接，則，由平面，平面，所以平面平面，而平面平面，平面，可得平面，取的中點(diǎn)，連接，由矩形得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，可得，設(shè)點(diǎn)，則，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，可得，因?yàn)?/p>