2024屆重慶市烏江新高考協(xié)作體高三下學(xué)期模擬監(jiān)測（二）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3重慶市烏江新高考協(xié)作體2024屆高三下學(xué)期模擬監(jiān)測（二）數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.“，且”是“，且”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗若，且，根據(jù)不等式的加法和乘法法則可得，且，即必要性成立；當(dāng)，滿足，且，但是，故充分性不成立，所以“，且”是“，且”的必要不充分條件.故選：B2.復(fù)數(shù)的實(shí)部為（）A.1 B.3 C. D.〖答案〗B〖解析〗由，可得復(fù)數(shù)的實(shí)部為3，故選：.3.2024年3月22日國家文物局在北京公布2023年《全國十大考古新發(fā)現(xiàn)》，安徽省皖南地區(qū)郎溪縣磨盤山遺址成功入選并排名第三，經(jīng)初步確認(rèn)，該遺址現(xiàn)存馬家浜文化區(qū)?崧澤文化區(qū)?良渚文化區(qū)?錢山漾文化區(qū)四大區(qū)域，總面積約6萬平方米.該遺址延續(xù)時(shí)間長?譜系完整，是長江下游地區(qū)少有的連續(xù)時(shí)間近4000年的中心性聚落.對認(rèn)識多元化一體中華文明在皖南地區(qū)的演進(jìn)方式具有重要的價(jià)值，南京大學(xué)歷史學(xué)院趙東升教授團(tuán)隊(duì)現(xiàn)在對該遺址四大區(qū)域進(jìn)行考古發(fā)掘，現(xiàn)安排包含甲?乙在內(nèi)的6名研究生同學(xué)到這4個區(qū)域做考古志愿者，每人去1個區(qū)域，每個區(qū)域至少安排1個人，則甲?乙兩人安排在相同區(qū)域的方法種數(shù)為（）A.96 B.144 C.240 D.360〖答案〗C〖解析〗先將6名同學(xué)分成4組，則4個組的人數(shù)為或，當(dāng)甲?乙在2人組，再從另外4人任選2人組成一組，其余的一人一組，有種分組方法；當(dāng)甲?乙在3人組，甲?乙與另外4人中的1人組成一組，其余的一人一組，有種分組方法，再把4組人分到4個區(qū)域，所以安排方法種數(shù)為.故選：C.4.若正四面體的棱長為，M為棱上的動點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐的外接球的體積最小時(shí)，三棱錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，在正四面體中，假設(shè)底面，則點(diǎn)H為外心．在上取一點(diǎn)O，滿足，則O為三棱錐的外接球球心．當(dāng)取得最小值時(shí)，最小，三棱錐的外接球體積最小，此時(shí)點(diǎn)O與點(diǎn)H重合．作，垂足為N，，為三棱錐的高．由正四面體的棱長為，易知，所以，，．由，設(shè)，則，．由，得，解得．．．故選：A5.假設(shè)變量與變量的對觀測數(shù)據(jù)為，兩個變量滿足一元線性回歸模型.要利用成對樣本數(shù)據(jù)求參數(shù)的最小二乘估計(jì)，即求使取最小值時(shí)的的值，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，上式是關(guān)于的二次函數(shù)，因此要使取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)娜≈禐?故選：A.6.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，可得，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，令，求導(dǎo)可得，當(dāng)，，所以單調(diào)遞減，所以，即，所以，令，可得，即，所以.故選：B.7.已知圓：，過點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)，與圓交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，取線段的中點(diǎn)，連接，則，由，因直線經(jīng)過點(diǎn)，考慮臨界情況，當(dāng)線段中點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)（此時(shí)），弦長最小，此時(shí)最長，為，（但此時(shí)直線與軸平行，點(diǎn)不存在）；當(dāng)線段中點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，最短為0（此時(shí)符合題意）.故的范圍為.故選：D8.設(shè)是的外心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，滿足，若，則面積的最大值為（）A.2 B.4 C. D.8〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，所以，從而，即，所以，所以，所以的面積為，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，綜上所述，面積的最大值為4.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題9.指示函數(shù)是一個重要的數(shù)學(xué)函數(shù)，通常用來表示某個條件的成立情況.已知為全集且元素個數(shù)有限,對于的任意一個子集,定義集合的指示函數(shù)若，則（）注：表示中所有元素所對應(yīng)的函數(shù)值之和（其中是定義域的子集）.A.B.C.D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，由于,所以故，故A錯誤，對于B，若,則，此時(shí)滿足，若且時(shí)，，若且時(shí)，，若且時(shí)，，綜上可得，故B正確，對于C，而，由于，所以故,C正確，,當(dāng)時(shí)，此時(shí)中至少一個為1，所以，當(dāng)時(shí)，此時(shí)均為0，所以，故,故D正確，故選：BCD10.已知圓，圓，則（）A.兩圓的圓心距的最小值為1B.若圓與圓相切，則C.若圓與圓恰有兩條公切線，則D.若圓與圓相交，則公共弦長的最大值為2〖答案〗AD〖解析〗根據(jù)題意，可得圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑．對于A，因?yàn)閮蓤A的圓心距，所以A項(xiàng)正確；對于B，兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距，即，解得．兩圓外切時(shí)，圓心距，即，解得．綜上所述，若兩圓相切，則或，故B項(xiàng)不正確；對于C，若圓與圓恰有兩條公切線，則兩圓相交，，即，可得，解得且，故C項(xiàng)不正確；對于D，若圓與圓相交，則當(dāng)圓圓心在公共弦上時(shí)，公共弦長等于，達(dá)到最大值，因此，兩圓相交時(shí)，公共弦長的最大值為2，故D項(xiàng)正確．故選：AD．11.已知集合，集合，若有且僅有3個不同元素，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗AB〖解析〗由，解得，故，由，可得，，要使有且僅有3個不同元素，則，解得，故選：AB．三、填空題12.在四邊形中，，點(diǎn)是四邊形所在平面上一點(diǎn)，滿足.設(shè)分別為四邊形與的面積，則______.〖答案〗〖解析〗在四邊形中，，則四邊形是梯形，且，令，，記M，N，X，Y分別是AB，CD，BD，AC的中點(diǎn)，顯然，于是點(diǎn)M，X，Y，N順次共線并且，顯然，，而，則，因此點(diǎn)P在線段XY上，且，設(shè)A到MN的距離為h，由面積公式可知．故〖答案〗為：13.若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)m的最大值為__________.〖答案〗〖解析〗由題意得，，令，則，易知單調(diào)遞增，所以.令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以，得.所以的最大值為.故〖答案〗為：14.四棱錐的底面為正方形，平面，且，．四棱錐的各個頂點(diǎn)均在球O的表面上，，，則直線l與平面所成夾角的范圍為________．〖答案〗．〖解析〗依題意，四棱錐的外接球的球心O為的中點(diǎn)，連接，交點(diǎn)為Q，因?yàn)榈酌鏋檎叫危?，又平面，且平面，所以，又，平面，平面，所以平面，所以為平面的一個法向量，如圖建立坐標(biāo)系，并設(shè)直線l上異于B的一點(diǎn)，所求線面角為，，則，，，由可得，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，，∴．故〖答案〗為：.另解：依題意，四棱錐的外接球的球心O為的中點(diǎn)，連接，交點(diǎn)為Q，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以，又平面，且平面，所以，又，平面，平面，所以平面，即面，若平面，則與平面所成的角為.若過B的直線l與平面相交于點(diǎn)R，在平面中，過B作直線，與平面相交于點(diǎn)為S，因?yàn)槊?，且平面，所以，又，，且，平面，所以平面，故過且與垂直的直線與平面的交點(diǎn)的軌跡為直線，又平面，所以，又，且，所以平面，又平面，所以，又面，所以為在面內(nèi)的射影，即為直線l與平面所成的角，且，又，而，當(dāng)且僅當(dāng)重合等號成立，故，綜上，，∴．故〖答案〗為：.四、解答題15.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍．解：（1）由于，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以切線斜率為，故切線方程為；（2）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，令，，恒成立，則恒成立，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由，得，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，符合題意．綜上所述，，所以的取值范圍為．16.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）求角；（2）射線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)交線段于點(diǎn)，且，求的面積的最小值.解：（1），由正弦定理得，則，即則，且，，；（2）由和，可知，因，所以，又因?yàn)?，所以，即，又，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以，所以，所以的面積的最小值為.17.某汽車廠商生產(chǎn)某型號具有自動駕駛功能的汽車，該型號汽車配備兩個相互獨(dú)立的自動駕駛系統(tǒng)（記為系統(tǒng)和系統(tǒng)），該型號汽車啟動自動駕駛功能后，先啟動這兩個自動駕駛系統(tǒng)中的一個，若一個出現(xiàn)故障則自動切換到另一個系統(tǒng).為了確定先啟動哪一個系統(tǒng)，進(jìn)行如下試驗(yàn)：每一輪對系統(tǒng)和分別進(jìn)行測試試驗(yàn)，一輪的測試結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)一個系統(tǒng)出現(xiàn)故障的次數(shù)比另一個系統(tǒng)少2次時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為出現(xiàn)故障少的系統(tǒng)比另一個系統(tǒng)更穩(wěn)定.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗(yàn)，若系統(tǒng)不出現(xiàn)故障且系統(tǒng)出現(xiàn)故障，則系統(tǒng)得1分，系統(tǒng)得-1分；若系統(tǒng)出現(xiàn)故障且系統(tǒng)不出現(xiàn)故障，則系統(tǒng)得-1分，系統(tǒng)得1分；若兩個系統(tǒng)都不出現(xiàn)故障或都出現(xiàn)故障，則兩個系統(tǒng)均得0分.系統(tǒng)出現(xiàn)故障的概率分別記為和，一輪試驗(yàn)中系的得分為分.（1）求的分布列；（2）若系統(tǒng)和在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予2分，表示“系統(tǒng)的累計(jì)得分為時(shí)，最終認(rèn)為系統(tǒng)比系統(tǒng)更穩(wěn)定”的概率，則，，其中.現(xiàn)根據(jù)的值來決定該型號汽車啟動自動駕駛功能后先啟動哪個系統(tǒng)，若，則先啟動系統(tǒng)；若，則先啟動系統(tǒng)；若，則隨機(jī)啟動兩個系統(tǒng)中的一個，且先啟動系統(tǒng)的概率為.①證明：；②若，由①可求得，求該型號汽車啟動自動駕駛功能后無需自動切換到另一個自動駕駛系統(tǒng)的概率.解：（1）的所有可能取值為.，，所以的分布列為-101（2）①由題意，得，所以所以，又，所以所以，所以，②記“該型號汽車啟動自動駕駛功能后無需自動切換到另一個自動駕駛系統(tǒng)”為事件，“該型號汽車啟動自動駕駛功能后先啟動系統(tǒng)”為事件，因，所以由題意，得，，所以，即該型號汽車啟動自動駕駛功能后無需自動切換到另一個自動駕駛系統(tǒng)的概率為0.9988.18.雙曲線的焦點(diǎn)為（在下方），虛軸的右端點(diǎn)為，過點(diǎn)且垂直于軸的直線交雙曲線于點(diǎn)（在第一象限），與直線交于點(diǎn)，記的周長為的周長為．（1）若的一條漸近線為，求的方程；（2）已知動直線與相切于點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線分別交軸，軸于兩點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，設(shè)為常數(shù)．若為定值，求的最大值．解：（1）依題意，，解得，又雙曲線的一條漸近線為，則，即，所以雙曲線的方程為.（2）由（1）知，則雙曲線方程為，設(shè)，過的直線的方程為，即，令，顯然，由消去y得，顯然，由直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)，得，化簡得，代入得，由直線與雙曲線相切，得，而，于是，過點(diǎn)T且與垂直的直線的直線斜率為，方程為，令，得，即，令，得，即，設(shè)，由，得，即，代入得，依題意，該雙曲線與雙曲線共焦點(diǎn)，則，化簡得，于是，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號，所以的最大值為1.19.人類對地球形狀的認(rèn)識經(jīng)歷了漫長的歷程．古人認(rèn)為宇宙是“天圓地方”的，以后人們又認(rèn)為地球是個圓球.17世紀(jì)，牛頓等人根據(jù)力學(xué)原理提出地球是扁球的理論，這一理論直到1739年才為南美和北歐的弧度測量所證實(shí)．其實(shí)，之前中國就曾進(jìn)行了大規(guī)模的弧度測量，發(fā)現(xiàn)緯度越高，每度子午線弧長越長的事實(shí)，這同地球兩極略扁，赤道隆起的理論相符．地球的形狀類似于橢球體，橢球體的表面為橢球面，在空間直角坐標(biāo)系下，橢球面，這說明橢球完全包含在由平面所圍成的長方體內(nèi)，其中按其大小，分別稱為橢球的長半軸、中半軸和短半軸．某橢球面與坐標(biāo)面的截痕是橢圓.（1）已知橢圓在其上一點(diǎn)處的切線方程為．過橢圓的左焦點(diǎn)作直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)分別作橢圓的切線，兩切線交于點(diǎn)，求面積的最小值．（2）我國南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家祖暅于5世紀(jì)末提出了祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．祖暅原理用現(xiàn)代語言可描述為：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．當(dāng)時(shí)，橢球面圍成的橢球是一個旋轉(zhuǎn)體，類比計(jì)算球的體積的方法，運(yùn)用祖暅原理求該橢球的體積．解：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則．當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，此時(shí)兩切線平行無交點(diǎn)，不符合題意，所以直線傾斜角不為,設(shè)直線,由,得，則，所以,又橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，在點(diǎn)處的切線方程為，由，得，代入，得，所以，則點(diǎn)到直線的距離，所以，設(shè)，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，即時(shí)，的面積最小，最小值是；（2）橢圓的焦點(diǎn)在軸上，長半軸長為，短半軸長為1，橢球由橢圓及其內(nèi)部繞軸旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)體，構(gòu)造一個底面半徑為1，高為的圓柱，在圓柱中挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體，當(dāng)平行于底面的截面與圓錐頂點(diǎn)距離為時(shí)，設(shè)小圓錐底面半徑為，則，即，所以新幾何體的截面面積為，把代入，得，解得，所以半橢球的截面面積為，由祖暅原理，得橢球的體積.重慶市烏江新高考協(xié)作體2024屆高三下學(xué)期模擬監(jiān)測（二）數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.“，且”是“，且”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗若，且，根據(jù)不等式的加法和乘法法則可得，且，即必要性成立；當(dāng)，滿足，且，但是，故充分性不成立，所以“，且”是“，且”的必要不充分條件.故選：B2.復(fù)數(shù)的實(shí)部為（）A.1 B.3 C. D.〖答案〗B〖解析〗由，可得復(fù)數(shù)的實(shí)部為3，故選：.3.2024年3月22日國家文物局在北京公布2023年《全國十大考古新發(fā)現(xiàn)》，安徽省皖南地區(qū)郎溪縣磨盤山遺址成功入選并排名第三，經(jīng)初步確認(rèn)，該遺址現(xiàn)存馬家浜文化區(qū)?崧澤文化區(qū)?良渚文化區(qū)?錢山漾文化區(qū)四大區(qū)域，總面積約6萬平方米.該遺址延續(xù)時(shí)間長?譜系完整，是長江下游地區(qū)少有的連續(xù)時(shí)間近4000年的中心性聚落.對認(rèn)識多元化一體中華文明在皖南地區(qū)的演進(jìn)方式具有重要的價(jià)值，南京大學(xué)歷史學(xué)院趙東升教授團(tuán)隊(duì)現(xiàn)在對該遺址四大區(qū)域進(jìn)行考古發(fā)掘，現(xiàn)安排包含甲?乙在內(nèi)的6名研究生同學(xué)到這4個區(qū)域做考古志愿者，每人去1個區(qū)域，每個區(qū)域至少安排1個人，則甲?乙兩人安排在相同區(qū)域的方法種數(shù)為（）A.96 B.144 C.240 D.360〖答案〗C〖解析〗先將6名同學(xué)分成4組，則4個組的人數(shù)為或，當(dāng)甲?乙在2人組，再從另外4人任選2人組成一組，其余的一人一組，有種分組方法；當(dāng)甲?乙在3人組，甲?乙與另外4人中的1人組成一組，其余的一人一組，有種分組方法，再把4組人分到4個區(qū)域，所以安排方法種數(shù)為.故選：C.4.若正四面體的棱長為，M為棱上的動點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐的外接球的體積最小時(shí)，三棱錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，在正四面體中，假設(shè)底面，則點(diǎn)H為外心．在上取一點(diǎn)O，滿足，則O為三棱錐的外接球球心．當(dāng)取得最小值時(shí)，最小，三棱錐的外接球體積最小，此時(shí)點(diǎn)O與點(diǎn)H重合．作，垂足為N，，為三棱錐的高．由正四面體的棱長為，易知，所以，，．由，設(shè)，則，．由，得，解得．．．故選：A5.假設(shè)變量與變量的對觀測數(shù)據(jù)為，兩個變量滿足一元線性回歸模型.要利用成對樣本數(shù)據(jù)求參數(shù)的最小二乘估計(jì)，即求使取最小值時(shí)的的值，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，上式是關(guān)于的二次函數(shù)，因此要使取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)娜≈禐?故選：A.6.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，可得，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，令，求導(dǎo)可得，當(dāng)，，所以單調(diào)遞減，所以，即，所以，令，可得，即，所以.故選：B.7.已知圓：，過點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)，與圓交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，取線段的中點(diǎn)，連接，則，由，因直線經(jīng)過點(diǎn)，考慮臨界情況，當(dāng)線段中點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)（此時(shí)），弦長最小，此時(shí)最長，為，（但此時(shí)直線與軸平行，點(diǎn)不存在）；當(dāng)線段中點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，最短為0（此時(shí)符合題意）.故的范圍為.故選：D8.設(shè)是的外心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，滿足，若，則面積的最大值為（）A.2 B.4 C. D.8〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，所以，從而，即，所以，所以，所以的面積為，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，綜上所述，面積的最大值為4.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題9.指示函數(shù)是一個重要的數(shù)學(xué)函數(shù)，通常用來表示某個條件的成立情況.已知為全集且元素個數(shù)有限,對于的任意一個子集,定義集合的指示函數(shù)若，則（）注：表示中所有元素所對應(yīng)的函數(shù)值之和（其中是定義域的子集）.A.B.C.D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，由于,所以故，故A錯誤，對于B，若,則，此時(shí)滿足，若且時(shí)，，若且時(shí)，，若且時(shí)，，綜上可得，故B正確，對于C，而，由于，所以故,C正確，,當(dāng)時(shí)，此時(shí)中至少一個為1，所以，當(dāng)時(shí)，此時(shí)均為0，所以，故,故D正確，故選：BCD10.已知圓，圓，則（）A.兩圓的圓心距的最小值為1B.若圓與圓相切，則C.若圓與圓恰有兩條公切線，則D.若圓與圓相交，則公共弦長的最大值為2〖答案〗AD〖解析〗根據(jù)題意，可得圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑．對于A，因?yàn)閮蓤A的圓心距，所以A項(xiàng)正確；對于B，兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距，即，解得．兩圓外切時(shí)，圓心距，即，解得．綜上所述，若兩圓相切，則或，故B項(xiàng)不正確；對于C，若圓與圓恰有兩條公切線，則兩圓相交，，即，可得，解得且，故C項(xiàng)不正確；對于D，若圓與圓相交，則當(dāng)圓圓心在公共弦上時(shí)，公共弦長等于，達(dá)到最大值，因此，兩圓相交時(shí)，公共弦長的最大值為2，故D項(xiàng)正確．故選：AD．11.已知集合，集合，若有且僅有3個不同元素，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗AB〖解析〗由，解得，故，由，可得，，要使有且僅有3個不同元素，則，解得，故選：AB．三、填空題12.在四邊形中，，點(diǎn)是四邊形所在平面上一點(diǎn)，滿足.設(shè)分別為四邊形與的面積，則______.〖答案〗〖解析〗在四邊形中，，則四邊形是梯形，且，令，，記M，N，X，Y分別是AB，CD，BD，AC的中點(diǎn)，顯然，于是點(diǎn)M，X，Y，N順次共線并且，顯然，，而，則，因此點(diǎn)P在線段XY上，且，設(shè)A到MN的距離為h，由面積公式可知．故〖答案〗為：13.若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)m的最大值為__________.〖答案〗〖解析〗由題意得，，令，則，易知單調(diào)遞增，所以.令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以，得.所以的最大值為.故〖答案〗為：14.四棱錐的底面為正方形，平面，且，．四棱錐的各個頂點(diǎn)均在球O的表面上，，，則直線l與平面所成夾角的范圍為________．〖答案〗．〖解析〗依題意，四棱錐的外接球的球心O為的中點(diǎn)，連接，交點(diǎn)為Q，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以，又平面，且平面，所以，又，平面，平面，所以平面，所以為平面的一個法向量，如圖建立坐標(biāo)系，并設(shè)直線l上異于B的一點(diǎn)，所求線面角為，，則，，，由可得，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，，∴．故〖答案〗為：.另解：依題意，四棱錐的外接球的球心O為的中點(diǎn)，連接，交點(diǎn)為Q，因?yàn)榈酌鏋檎叫危?，又平面，且平面，所以，又，平面，平面，所以平面，即面，若平面，則與平面所成的角為.若過B的直線l與平面相交于點(diǎn)R，在平面中，過B作直線，與平面相交于點(diǎn)為S，因?yàn)槊?，且平面，所以，又，，且，平面，所以平面，故過且與垂直的直線與平面的交點(diǎn)的軌跡為直線，又平面，所以，又，且，所以平面，又平面，所以，又面，所以為在面內(nèi)的射影，即為直線l與平面所成的角，且，又，而，當(dāng)且僅當(dāng)重合等號成立，故，綜上，，∴．故〖答案〗為：.四、解答題15.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍．解：（1）由于，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)椋郧芯€斜率為，故切線方程為；（2）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，令，，恒成立，則恒成立，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由，得，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，符合題意．綜上所述，，所以的取值范圍為．16.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）求角；（2）射線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)交線段于點(diǎn)，且，求的面積的最小值.解：（1），由正弦定理得，則，即則，且，，；（2）由和，可知，因，所以，又因?yàn)?，所以，即，又，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以，所以，所以的面積的最小值為.17.某汽車廠商生產(chǎn)某型號具有自動駕駛功能的汽車，該型號汽車配備兩個相互獨(dú)立的自動駕駛系統(tǒng)（記為系統(tǒng)和系統(tǒng)），該型號汽車啟動自動駕駛功能后，先啟動這兩個自動駕駛系統(tǒng)中的一個，若一個出現(xiàn)故障則自動切換到另一個系統(tǒng).為了確定先啟動哪一個系統(tǒng)，進(jìn)行如下試驗(yàn)：每一輪對系統(tǒng)和分別進(jìn)行測試試驗(yàn)，一輪的測試結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)一個系統(tǒng)出現(xiàn)故障的次數(shù)比另一個系統(tǒng)少2次時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為出現(xiàn)故障少的系統(tǒng)比另一個系統(tǒng)更穩(wěn)定.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗(yàn)，若系統(tǒng)不出現(xiàn)故障且系統(tǒng)出現(xiàn)故障，則系統(tǒng)得1分，系統(tǒng)得-1分；若系統(tǒng)出現(xiàn)故障且系統(tǒng)不出現(xiàn)故障，則系統(tǒng)得-1分，系統(tǒng)得1分；若兩個系統(tǒng)都不出現(xiàn)故障或都出現(xiàn)故障，則兩個系統(tǒng)均得0分.系統(tǒng)出現(xiàn)故障的概率分別記為和，一輪試驗(yàn)中系的得分為分.（1）求的分布列；（2）若系統(tǒng)和在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予2分，表示“系統(tǒng)的累計(jì)得分為時(shí)，最終認(rèn)為系統(tǒng)比系統(tǒng)更穩(wěn)定”的概率，則，，其中.現(xiàn)根據(jù)的值來決定該型號汽車啟動自動駕駛功能后先啟動哪個系統(tǒng)，若，則先啟動系統(tǒng)；若，則先啟動系統(tǒng)；若，則隨機(jī)啟動兩個系統(tǒng)中的一個，且先啟動系統(tǒng)的概率為.①證明：；②若，由①可求得，求該型號汽車啟動自動駕駛功能后無需自動切換到另一個自動駕駛系統(tǒng)的概率.解：（1）的所有可能取值為.，，所以的分布列為-101（2）①由題意，得，所以所以，又，所以所以，所以，②記“該型號汽車啟動自動駕駛功能后無需自動切換到另一個自動駕駛系統(tǒng)”為事件，“該型號汽車啟動自動駕駛功能后先啟動系統(tǒng)”為事件，因，所以由題意，得，，所以，即該型號汽車啟動自動駕駛功能后無需自動切換到另一個自動駕駛系統(tǒng)的概率為0.9988.18.雙曲線的焦點(diǎn)為（在下方），虛軸的右端點(diǎn)為，過點(diǎn)且垂直于軸的直線交雙曲線于點(diǎn)（在第一象限），與直線交于點(diǎn)，記的周長為的周長為．（1）若的一條漸近線為，求的方程；（2）已知動直線與相切于點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線分別交軸，軸于兩點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，設(shè)為常數(shù)．若為定值，求的最大值．解：（1）依題意，，解得，又雙曲線的一條漸近線為，則，即，所以雙曲線的方程