常微分方程資料

緒論[教學(xué)目標(biāo)]理解常微分方程及其解的概念，能判別方程的階數(shù)、線性與非線性。掌握將實(shí)際問題建立成常微分方程模型的一般步驟。理解積分曲線和方向場的概念。[教學(xué)重難點(diǎn)]重點(diǎn)微分方程的基本概念，難點(diǎn)是積分曲線和方向場。[教學(xué)方法]講授，實(shí)踐。[教學(xué)時(shí)間]4學(xué)時(shí)[教學(xué)內(nèi)容]常微分方程（偏微分方程）的概念，微分方程的階，隱式方程，顯式方程，線性（非線性）常微分方程；常微分方程的通解，特解，隱式解，初值問題，定解問題，積分曲線和方向場；建立常微分方程模型的具體方法。[考核目標(biāo)]常微分方程及其解的概念，會(huì)建立常微分方程模型?！?微分方程模型1、微分方程的產(chǎn)生和發(fā)展常微分方程有著深刻而生動(dòng)的實(shí)際背景，它從生產(chǎn)實(shí)踐與科學(xué)技術(shù)中產(chǎn)生，又成為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)分析問題與解決問題的強(qiáng)有力工具。該課程是與微積分一起成長起來的學(xué)科，是學(xué)習(xí)泛函分析、數(shù)理方程、微分幾何的必要準(zhǔn)備，本身也在工程力學(xué)、流體力學(xué)、天體力學(xué)、電路振蕩分析、工業(yè)自動(dòng)控制以及化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。300多年前，Newton與Leibniz奠定微積分基本思想的同時(shí),就正式提出了微分方程的概念.17世紀(jì)末到18世紀(jì)，常微分方程研究的中心問題是如何求出通解的表達(dá)式.19世紀(jì)末到20世紀(jì)處,主要研究解的定性理論與穩(wěn)定性問題.20世紀(jì)進(jìn)入新的階段,定性上升到理論,進(jìn)一步發(fā)展分為解析法、幾何方法、數(shù)值方法.解析方法:是把微分方程的解看作是依靠這個(gè)方程來定義的自變量的函數(shù).幾何方法:(或定性方法)把微分方程的解看作是充滿平面或空間或其局部的曲線族.數(shù)值方法:求微分方程滿足一定初始條件(或邊界)條件的解的近似值的各種方法.微分方程差不多是和微積分同時(shí)先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對(duì)數(shù)的時(shí)候，就討論過微分方程的近似解。牛頓在建立微積分的同時(shí)，對(duì)簡單的微分方程用級(jí)數(shù)來求解。后來瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·貝努利、歐拉、法國數(shù)學(xué)家克雷洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。

常微分方程的形成與發(fā)展是和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓?fù)鋵W(xué)等，都對(duì)常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具。

牛頓研究天體力學(xué)和機(jī)械力學(xué)的時(shí)候，利用了微分方程這個(gè)工具，從理論上得到了行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律。后來，法國天文學(xué)家勒維烈和英國天文學(xué)家亞當(dāng)斯使用微分方程各自計(jì)算出那時(shí)尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置。這些都使數(shù)學(xué)家更加深信微分方程在認(rèn)識(shí)自然、改造自然方面的巨大力量。微分方程的理論逐步完善的時(shí)候，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律，只要列出相應(yīng)的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的數(shù)學(xué)分支。2、微分方程模型微分方程是數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際問題的重要渠道之一,將實(shí)際問題建立成微分方程模型最初并不是數(shù)學(xué)家做的,而是由化學(xué)家、生物學(xué)家和社會(huì)學(xué)家完成的。實(shí)際問題的信息數(shù)學(xué)模型實(shí)際問題的信息數(shù)學(xué)模型抽象、簡化數(shù)學(xué)模型解答答求解實(shí)際問題驗(yàn)證解釋例1物體冷卻過程的數(shù)學(xué)模型將某物體放置于空氣中，在時(shí)刻時(shí)，測得它的溫度為℃，10分鐘后測得溫度為℃.確定物體的溫度與時(shí)間的關(guān)系,并計(jì)算20分鐘后物體的溫度.假定空氣的溫度保持為℃.解設(shè)物體在時(shí)刻的溫度為,由牛頓(Neweon)冷卻定律可得(1.1)這是關(guān)于未知函數(shù)的一階微分方程,利用微積分的知識(shí)將(1.1)改為(1.2)兩邊積分,得到為任意常數(shù)令,進(jìn)而(1.3)根據(jù)初始條件,當(dāng)時(shí),,得常數(shù)于是(1.4)再根據(jù)條件分鐘時(shí),,得到將代入上式,得到從而,(1.5)由方程(1.5)得知,當(dāng)分鐘時(shí),物體的溫度℃,而且當(dāng)時(shí),℃.溫度與時(shí)間的關(guān)系也可通過圖形表示出來.如圖(1.1).可解釋為：經(jīng)過一段時(shí)間后，物體的溫度和空氣的溫度將會(huì)沒有什么差別了.事實(shí)上，經(jīng)過2小時(shí)后，物體的溫度已變?yōu)?4℃，與空氣的溫度已相當(dāng)接近.法律破案判斷尸體的死亡時(shí)間就是用這一冷卻過程的函數(shù)關(guān)系來判斷的.是偏微分方程的例子，是未知函數(shù)，是自變量.微分方程的階數(shù)：微分方程中出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).例如，方程（1.17）、（1.19）是二階的常微分方程，而方程（1.20）、（1.21）是二階的偏微分方程.一般的階微分方程具有形式（1.22）這里是、、、…、的已知函數(shù)，而且一定含有；是未知函數(shù)，是自變量.2、線性和非線性如果微分方程對(duì)于未知函數(shù)及它的各階導(dǎo)數(shù)的有理整式的整體而言是一次的，稱為線性微分方程，否則是非線性微分方程.如：（1.23）是非線性微分方程，而（1.17）是一個(gè)二階的線性微分方程.一般的階線性微分方程具有形式（1.24）這里是的已知函數(shù).3、解和隱式解微分方程的解：滿足微分方程的函數(shù)稱為微分方程的解.即若函數(shù)代入式（1.22）中，使其成為恒等式，稱為方程（1.22）的解.例如容易驗(yàn)證是方程的解如果關(guān)系式?jīng)Q定的隱函數(shù)為方程（1.22）的解，稱是方程（1.22）的隱式解.例如，一階微分方程有解和；而關(guān)系式是方程的隱式解.4、通解和特解通解：具有個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)的解稱為方程（1.22）的通解.注：所謂函數(shù)含有個(gè)獨(dú)立常數(shù)，是指存在的某一鄰域，使得行列式其中.特解：方程滿足特定條件的解.定解問題：求方程滿足定解條件的求解問題.定解條件分為初始條件和邊界條件，相應(yīng)的定解問題分為初值問題和邊值問題.一般地，初值問題為特解可以通過初始條件限制，從通解中確定任意常數(shù)而得到,如例1中，含有一個(gè)任意常數(shù)的解就是一階方程（1.1）的通解；而就是滿足初始條件的特解.5、積分曲線和方向場一階微分方程（1.25）的解是平面上的一條曲線，將它稱為微分方程的積分曲線；而方程（1.20）的通解對(duì)應(yīng)于平面上的一族曲線，稱為方程的積分曲線族；滿足初始條件的特解就是通過點(diǎn)的一條積分曲線.方程（1.25）的積分曲線上每一點(diǎn)的切線斜率剛好等于函數(shù)在這點(diǎn)的值，也就是說，積分曲線的每一點(diǎn)及這點(diǎn)上的切線斜率恒滿足方程（1.25）；反之，如果一條曲線上每點(diǎn)的切線斜率剛好等于函數(shù)在這點(diǎn)的值，則這一條曲線就是方程（1.25）的積分曲線.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，在?nèi)每一點(diǎn)處，畫上一小線段，使其斜率恰好為，將這種帶有小線段的區(qū)域稱為由方程（1.25）所規(guī)定的方向場.在方向場中，方向相同的點(diǎn)的幾何軌跡稱為等斜線.微分方程（1.25）的等斜線方程為（1.26）例5解積分曲線族是，，即是極值線，是等斜線.例6（習(xí)題7）微分方程，證明其積分曲線關(guān)于坐