同濟(jì)高數(shù)教案

第一章函數(shù)與極限

教學(xué)目得：

1、理解函數(shù)得概念，掌握函數(shù)得表示方法,并會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問題中得函數(shù)關(guān)系式。

2、了解函數(shù)得奇偶性、單調(diào)性、周期性與有界性。

3、理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)得概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)得概念。

4、掌握基本初等函數(shù)得性質(zhì)及其圖形。

5、理解極限得概念，理解函數(shù)左極限與右極限得概念，以及極限存在與左、右極限之

間得關(guān)系。

6、掌握極限得性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。

7、了解極限存在得兩個(gè)準(zhǔn)則,并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限得

方法。

8、理解無窮小、無窮大得概念，掌握無窮小得比較方法，會(huì)用等價(jià)無窮小求極限。

9、理解函數(shù)連續(xù)性得概念（含左連續(xù)與右連續(xù)）,會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)得類型。

10、了解連續(xù)函數(shù)得性質(zhì)與初等函數(shù)得連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)得性質(zhì)（有界

性、最大值與最小值定理、介值定理）,并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。

教學(xué)重點(diǎn)：

1、復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)得概念；

2、基本初等函數(shù)得性質(zhì)及其圖形；

3、極限得概念極限得性質(zhì)及四則運(yùn)算法則；

4、兩個(gè)重要極限；

5、無窮小及無窮小得比較；

6、函數(shù)連續(xù)性及初等函數(shù)得連續(xù)性；

7、區(qū)間上連續(xù)函數(shù)得性質(zhì)。

教學(xué)難點(diǎn)：

1、分段函數(shù)得建立與性質(zhì)；

2、左極限與右極限概念及應(yīng)用；

3、極限存在得兩個(gè)準(zhǔn)則得應(yīng)用；

4、間斷點(diǎn)及其分類；

5、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)得應(yīng)用。

§1、1映射與函數(shù)

一、集合

1、集合概念

集合（簡(jiǎn)稱集）：集合就是指具有某種特定性質(zhì)得事物得總體、用等表示、

元素：組成集合得事物稱為集合得元素、。就是集合M得元素表示為aeM、

集合得表示：

列舉法：把集合得全體元素一一列舉出來、

例如A={a,b,c,d,e,f,g}、

描述法：若集合M就是由元素具有某種性質(zhì)尸得元素尤得全體所組成，則M可表示為

A={ai,<22,…，an],

M={x|x具有性質(zhì)P卜

例如M={{x,y)|x,y為實(shí)數(shù),爐+/=1}、

幾個(gè)數(shù)集：

N表示所有自然數(shù)構(gòu)成得集合，稱為自然數(shù)集、

N={0,1,2,N+={1,2,???,〃,???}、

R表示所有實(shí)數(shù)構(gòu)成得集合，稱為實(shí)數(shù)集、

Z表示所有整數(shù)構(gòu)成得集合，稱為整數(shù)集、

Z-{-■■,-n,■■■,-2,-1,0,1,2,???,n,???}>

Q表示所有有理數(shù)構(gòu)成得集合，稱為有理數(shù)集、

。={4「€2,4€、+且。與4互質(zhì)}

q

子集：若xeA,則必有xeB,則稱A就是B得子集，記為AuB(讀作A包含于8)或

如果集合A與集合8互為子集,AuB且BcA,則稱集合A與集合B相等，記作A=B、

若AuB且AwB,則稱A就是8得真子集，記作、例如,N星Z呈Q星R、

不含任何元素得集合稱為空集，記作0、規(guī)定空集就是任何集合得子集、

2、集合得運(yùn)算

設(shè)A、B就是兩個(gè)集合，由所有屬于A或者屬于8得元素組成得集合稱為A與8得并

集(簡(jiǎn)稱并)，記作即

AuB={x|xeA或xeB}、

設(shè)A、B就是兩個(gè)集合，由所有既屬于A又屬于8得元素組成得集合稱為A與B得交

集(簡(jiǎn)稱交)，記作AcB,即

AnB={x|xeA且

設(shè)A、B就是兩個(gè)集合，由所有屬于A而不屬于8得元素組成得集合稱為A與B得差

集(簡(jiǎn)稱差)，記作AW,即

A\B={x\xeA且xgB}、

如果我們研究某個(gè)問題限定在一個(gè)大得集合/中進(jìn)行，所研究得其她集合A都就是/

得子集、此時(shí)，我們稱集合/為全集或基本集、稱I\A為A得余集或補(bǔ)集，記作AJ

集合運(yùn)算得法則：

設(shè)A、B、C為任意三個(gè)集合，則

⑴交換律AuB=BuA,AcB=8nA;

(2)結(jié)合律(AuB)uC=Au(BuQ,(AnB)nC=An(BnQ;

(3)分配律(AuB)nC=(AoQu(BnC),(AnB)uC=(AuQn(BuC);

(4)對(duì)偶律(AuB)c=ACcB。,(AnB)c=Ac

(AuB)c=AccB。得證明：

且尤eBoxeA,且xeB。oxeA。cB0,所以cB。、

直積(笛卡兒乘積)：

設(shè)A、B就是任意兩個(gè)集合，在集合A中任意取一個(gè)元素x,在集合B中任意取一個(gè)元

素y,組成一個(gè)有序?qū)?x,y),把這樣得有序?qū)ψ鳛樾略?，它們?nèi)w組成得集合稱為集合A

與集合B得直積，記為AxB,即

AxB={(x,y)\x&A且昨團(tuán)、

例如,RxR={(x,j)|xeR且jeR}即為xOy面上全體點(diǎn)得集合,RxR常記作R2,

3、區(qū)間與鄰域

有限區(qū)間：

設(shè)a<6,稱數(shù)集{x[a<x<6}為開區(qū)間，記為(a,6),即

(a,b)={x\a<x<b]>

類似地有

[a,b]={x\a<x<b}稱為閉區(qū)間,

[a,b)={x\a<x<b}、(a,b]={x\a<x<b}稱為半開區(qū)間、

其中。與Z?稱為區(qū)間3,b)、[a,/?]>[a,b)、(a,勿得端點(diǎn),6-。稱為區(qū)間得長(zhǎng)度、

無限區(qū)間：

[a,+00)=[x|a<x},(-00,b]={x\x<b},(-oo,+oo)={x||x|<+8}、

區(qū)間在數(shù)軸上得表示：

鄰域：以點(diǎn)〃為中心得任何開區(qū)間稱為點(diǎn)〃得鄰域，記作。(〃)、

設(shè)礴是一正數(shù)，則稱開區(qū)間3-a⑦為點(diǎn)〃得於R域，記作。3,力，即

U(a,8)={x|a-8<x<a+3]

={x||x-a\<S}>

其中點(diǎn)。稱為鄰域得中心,5稱為鄰域得半徑、

去心鄰域6(4,。：

U(a,3)={x|0<|x-a|<J}

二、映射

1、映射得概念

定義設(shè)X、Y就是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則工使得對(duì)X中每個(gè)元素X,按法

則工在Y中有唯一確定得元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱/為從X到￥得映射，記作

f-X^Y,

其中y稱為元素x(在映射/下)得像，并記作式x),即

y=/W,

而元素x稱為元素M在映射/下)得一個(gè)原像；集合x稱為映射/得定義域，記作即

D尸X;

X中所有元素得像所組成得集合稱為映射/得值域，記為Rf,或汽X),即

&=")=(#x)|xeX}、

需要注意得問題：

(1)構(gòu)成一個(gè)映射必須具備以下三個(gè)要素：集合X,即定義域。尸X;集合匕即值域得

范圍:R/uY;對(duì)應(yīng)法則工使對(duì)每個(gè)xeX,有唯一確定得y=/(x)與之對(duì)應(yīng)、

(2)對(duì)每個(gè)xeX,元素x得像y就是唯一得；而對(duì)每個(gè)yeR/,元素y得原像不一定就是

唯一得；映射/得值域R/就是/得一個(gè)子集，即R/uR不一定R尸Y、

例1設(shè)/：R—R,對(duì)每個(gè)xeR,/(無)=f、

顯然,/就是一個(gè)映射，/得定義域。尸R,值域R/={y|yZO},它就是R得一個(gè)真子集、對(duì)

于Rf中得元素y,除y=0外，它得原像不就是唯一得、如y=4得原像就有x=2與x=-2兩

個(gè)、

例2設(shè)*={(4*)|/+刊=1},M(XO)||x|<l),/:X->y,對(duì)每個(gè)(x,y)eX,有唯一確定得(x,

O)eF與之對(duì)應(yīng)、

顯然,就是一個(gè)映射，/得定義域。尸X,值域R/=K在幾何上，這個(gè)映射表示將平面

上一個(gè)圓心在原點(diǎn)得單位圓周上得點(diǎn)投影到x軸得區(qū)間[-1,1]上、

(3)/:[-j,對(duì)每個(gè)xe[-(中，於)=sinx、

了就是一個(gè)映射，定義域。值域號(hào)+1,1]、

滿射、單射與雙射：

設(shè)了就是從集合X到集合y得映射，若R片K即Y中任一元素y都就是X中某元素得

像，則稱/為X到V上得映射或滿射；若對(duì)X中任意兩個(gè)不同元素x津尤2,它們得像式無1)琰x

2),則稱/為x到y(tǒng)得單射；若映射了既就是單射，又就是滿射，則稱,為一一映射(或雙射)、

上述三例各就是什么映射？

2、逆映射與復(fù)合映射

設(shè)了就是X到y(tǒng)得單射，則由定義，對(duì)每個(gè)yeR/,有唯一得xeX,適合/U)=y,于就是,

我們可定義一個(gè)從R/到X得新映射g,即

g'Rf-x,

對(duì)每個(gè)yeR/,規(guī)定g(y)=x,這尤滿足式x)=y、這個(gè)映射g稱為了得逆映射，記作廣\其定

義域Dfl=Rf，值域Rfi=X、

按上述定義，只有單射才存在逆映射、上述三例中哪個(gè)映射存在逆映射？

設(shè)有兩個(gè)映射

g：x->ybf：%-z,

其中huY2、則由映射g與/可以定出一個(gè)從X到Z得對(duì)應(yīng)法則，它將每個(gè)xeX映射成

/[g(x)]eZ、顯然，這個(gè)對(duì)應(yīng)法則確定了一個(gè)從X到Z得映射，這個(gè)映射稱為映射g與7

構(gòu)成得復(fù)合映射，記作/°g,即

fog.X^Z,

(fogXx)=J[g(x)],x&X、

應(yīng)注意得問題：

映射g與/構(gòu)成復(fù)合映射得條件就是:g得值域Rg必須包含在/得定義域內(nèi),RguDf、

否則，不能構(gòu)成復(fù)合映射、由此可以知道，映射g與/得復(fù)合就是有順序得J°g有意義并

不表示go/■也有意義、即使/og與go/■都有意義，復(fù)映射了og與go/也未必相同、

例4設(shè)有映射g:Rf[-1,1],對(duì)每個(gè)xeR,g(x)=sinx,

映射f-[―1,l]f[0,1],對(duì)每個(gè)WG[—1,1],、

則映射g與/構(gòu)成復(fù)映射/og：Rf[0,1],對(duì)每個(gè)X￡R,有

(/°g)W=/[gW]=/(sinx)=71-sin^=|cosx|>

三、函數(shù)

1、函數(shù)概念

定義設(shè)數(shù)集。uR,則稱映射了:OfR為定義在。上得函數(shù)，通常簡(jiǎn)記為

y=fl,x),x&D,

其中X稱為自變量,y稱為因變量,3稱為定義域，記作。/,即。產(chǎn)D、

應(yīng)注意得問題：

記號(hào)/與/U)得含義就是有區(qū)別得，前者表示自變量x與因變量y之間得對(duì)應(yīng)法則，而

后者表示與自變量x對(duì)應(yīng)得函數(shù)值、但為了敘述方便，習(xí)慣上常用記號(hào)xe。”或

“y=/(x),xe?！眮肀硎径x在。上得函數(shù)，這時(shí)應(yīng)理解為由它所確定得函數(shù)/、

函數(shù)符號(hào)：函數(shù)y=/(x)中表示對(duì)應(yīng)關(guān)系得記號(hào)/也可改用其它字母，例如

等、此時(shí)函數(shù)就記作y=(p(x),y=F(x)>

函數(shù)得兩要素：

函數(shù)就是從實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集得映射，其值域總在R內(nèi)，因此構(gòu)成函數(shù)得要素就是定義

域D/及對(duì)應(yīng)法則了、如果兩個(gè)函數(shù)得定義域相同，對(duì)應(yīng)法則也相同，那么這兩個(gè)函數(shù)就

就是相同得，否則就就是不同得、

函數(shù)得定義域：

函數(shù)得定義域通常按以下兩種情形來確定：一種就是對(duì)有實(shí)際背景得函數(shù)，根據(jù)實(shí)際

背景中變量得實(shí)際意義確定、

求定義域舉例：

求函數(shù)y=--4x^4得定義域、

X

要使函數(shù)有意義，必須在0,且r-420、

解不等式得|尤122、

所以函數(shù)得定義域?yàn)镼={x11尤|22},或。=(-oo,2]u[2,+oo])、

單值函數(shù)與多值函數(shù)：

在函數(shù)得定義中,對(duì)每個(gè)xeD,對(duì)應(yīng)得函數(shù)值y總就是唯一得，這樣定義得函數(shù)稱為單

值函數(shù)、如果給定一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，按這個(gè)法則，對(duì)每個(gè)xeD,總有確定得y值與之對(duì)應(yīng)，但

這個(gè)y不總就是唯一得，我們稱這種法則確定了一個(gè)多值函數(shù)、例如，設(shè)變量x與y之間

得對(duì)應(yīng)法則由方程給出、顯然，對(duì)每個(gè)X”網(wǎng),由方程/+9=戶，可確定出對(duì)應(yīng)

得y值，當(dāng)％=廠或at時(shí)，對(duì)應(yīng)y=0一個(gè)值；當(dāng)x取(-廠，廠)內(nèi)任一個(gè)值時(shí)，對(duì)應(yīng)得y有兩個(gè)

值、所以這方程確定了一個(gè)多值函數(shù)、

對(duì)于多值函數(shù)，往往只要附加一些條件，就可以將它化為單值函數(shù)，這樣得到得單值

函數(shù)稱為多值函數(shù)得單值分支、例如，在由方程爐+9=，給出得對(duì)應(yīng)法則中，附加“岸0”

得條件，即以且優(yōu)0”作為對(duì)應(yīng)法則，就可得到一個(gè)單值分支^:為原方獷二7;

附加“好0”得條件，即以“f+y2=3且好0”作為對(duì)應(yīng)法則，就可得到另一個(gè)單值分支

y=為(X)=4/*、

表示函數(shù)得主要方法有三種：表格法、圖形法、解析法(公式法)，這在中學(xué)里大家已經(jīng)

熟悉、其中，用圖形法表示函數(shù)就是基于函數(shù)圖形得概念，即坐標(biāo)平面上得點(diǎn)集

[P(x,y)\y=fix),xeD｝

稱為函數(shù)得圖形、圖中得R/表示函數(shù)y=/(x)得值域、

函數(shù)得例子：

例、函數(shù)y=|x|=[x*在、

[-Xx<0

稱為絕對(duì)值函數(shù)、其定義域?yàn)椤?gt;=(-00,+00),值域?yàn)??/=[0,+8)、

1x>0

例、函數(shù)y=sgnx=<0x=0>

-1x<0

稱為符號(hào)函數(shù)、其定義域?yàn)椤?(-8,+8),值域?yàn)镠尸｛-1,0,1｝、

例設(shè)X為任上實(shí)數(shù)、不超過X得最大整數(shù)稱為尤得整數(shù)部分，記作[X]、

函數(shù)

y=[x]

稱為取整函數(shù)、其定義域?yàn)椤?(-00,+8),值域?yàn)镽f=Z、

中=0,[/]=1,[小-1,[-3、5]=-4、

分段函數(shù)：

在自變量得不同變化范圍中，對(duì)應(yīng)法則用不同式子來表示得函數(shù)稱為分段函數(shù)、

min將[2A/X0<X<1

例。函數(shù)、

[1+XX>1

這就是一個(gè)分段函數(shù)，其定義域?yàn)镈=[0,l]u(0,+oo)=[0,+8)、

當(dāng)0<x<l時(shí)，y=2\[x;當(dāng)x>l時(shí),y=l+x、

例如f(1)=2^=V2；f(l)=2VT=2;八3)=1+3=4、

2、函數(shù)得幾種特性

(1)函數(shù)得有界性

設(shè)函數(shù)八x)得定義域?yàn)閿?shù)集Xu。、如果存在數(shù)Ki,使對(duì)任一xeX,有式x)W及,則

稱函數(shù)八x)在X上有上界，而稱K為函數(shù)在X上得一個(gè)上界、圖形特點(diǎn)就是y=/U)得

圖形在直線產(chǎn)Ki得下方、

如果存在數(shù)K2,使對(duì)任一xeX,有式x)2感,則稱函數(shù)人x)在X上有下界，而稱K?為函

數(shù)式的在X上得一個(gè)下界、圖形特點(diǎn)就是，函數(shù)y=/(x)得圖形在直線廣及得上方、

如果存在正數(shù)使對(duì)任一尤eX,有Ex)區(qū)M則稱函數(shù)兀0在X上有界；如果這樣得

M不存在，則稱函數(shù)/(x)在X上無界、圖形特點(diǎn)就是，函數(shù)y=/(x)得圖形在直線廣-M與

y=M得之間、

函數(shù)式x)無界，就就是說對(duì)任何M,總存在xieX,使|/(x)|>M、

例如

(l)Xx)=sinx在(-00,+oo)上就是有界得：kinx|<K

(2)函數(shù)/(元)=上在開區(qū)間(0,1)內(nèi)就是無上界得、或者說它在(0,1)內(nèi)有下界，無上界、

X

這就是因?yàn)椋瑢?duì)于任一總有無1:。(百<\<1,使

玉

所以函數(shù)無上界、

函數(shù)/0)=上在(1,2)內(nèi)就是有界得、

X

(2)函數(shù)得單調(diào)性

設(shè)函數(shù)y=用0得定義域?yàn)閆),區(qū)間/u。、如果對(duì)于區(qū)間/上任意兩點(diǎn)xi及尤2,當(dāng)xi<%2

時(shí)，恒有

則稱函數(shù)1尤)在區(qū)間/上就是單調(diào)增加得、

如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)XI及X2,當(dāng)X1<X2時(shí)，恒有

則稱函數(shù)1尤)在區(qū)間/上就是單調(diào)減少得、

單調(diào)增加與單調(diào)減少得函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)、

函數(shù)單調(diào)性舉例：

函數(shù)>=/在區(qū)間(-00,0］上就是單調(diào)增加得，在區(qū)間［0,+00)上就是單調(diào)減少得，在(-00,

+00)上不就是單調(diào)得、

(3)函數(shù)得奇偶性

設(shè)函數(shù)危)得定義域。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(即若無eD,貝Mxe。)、如果對(duì)于任一xe。，有

於x)=flx),

則稱負(fù)尤)為偶函數(shù)、

如果對(duì)于任一xeQ,有

於x)=-fix),

則稱式尤)為奇函數(shù)、

偶函數(shù)得圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)得圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

奇偶函數(shù)舉例：

yK2,y=cosx都就是偶函數(shù)、y=x3,y=sinx都就是奇函數(shù),y=sinx+cos尤就是非奇非偶

函數(shù)、

(4)函數(shù)得周期性

設(shè)函數(shù)近尤)得定義域?yàn)镈、如果存在一個(gè)正數(shù)I，使得對(duì)于任一xeD有(x±/)eD且

加+Z)=於)

則稱武龍)為周期函數(shù),I稱為兀0得周期、

周期函數(shù)得圖形特點(diǎn)：在函數(shù)得定義域內(nèi)，每個(gè)長(zhǎng)度為/得區(qū)間上，函數(shù)得圖形有相

同得形狀、

3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

反函數(shù)：

設(shè)函數(shù)了:。母P)就是單射，則它存在逆映射廣|：八。)-2稱此映射廣1為函數(shù)/得反

函數(shù)、

按此定義，對(duì)每個(gè)昨式。)，有唯一得尤?。，使得式x)=y,于就是有

這就就是說，反函數(shù)/1得對(duì)應(yīng)法則就是完全由函數(shù)/得對(duì)應(yīng)法則所確定得、

一般地,y=fi,x),xeD得反函數(shù)記成y=f^(x),尤京￡))、

若/就是定義在。上得單調(diào)函數(shù)，則/：。母。)就是單射，于就是了得反函數(shù)廣1必定

存在，而且容易證明廣1也就是八。)上得單調(diào)函數(shù)、

相對(duì)于反函數(shù)、=廣1(尤)來說，原來得函數(shù)y=/U)稱為直接函數(shù)、把函數(shù)y=/(x)與它得反

函數(shù)

y=f—*尤)得圖形畫在同一坐標(biāo)平面上，這兩個(gè)圖形關(guān)于直線y=x就是對(duì)稱得、這就是因?yàn)?/p>

如果P(a,6)就是y=/(x)圖形上得點(diǎn)，則有二式①、按反函數(shù)得定義，有a=f-i(b),故Q(b,a)

就是y=/-i(x)圖形上得點(diǎn)；反之，若。(瓦。)就是yg7(x)圖形上得點(diǎn)，則P(a,b)就是y=A尤)

圖形上得點(diǎn)、而P(a,6)與。(4°)就是關(guān)于直線產(chǎn)x對(duì)稱得、

復(fù)合函數(shù)：

復(fù)合函數(shù)就是復(fù)合映射得一種特例，按照通常函數(shù)得記號(hào)，復(fù)合函數(shù)得概念可如下表

述、

設(shè)函數(shù)丫=危/)得定義域?yàn)椤?,函數(shù)a=g(x)在。上有定義且g(Q)u￡)i,則由下式確定得

函數(shù)

y=Ag(x)],X&D

稱為由函數(shù)"=g(x)與函數(shù)y=A")構(gòu)成得復(fù)合函數(shù)，它得定義域?yàn)镈,變量U稱為中間變量、

函數(shù)g與函數(shù)/構(gòu)成得復(fù)合函數(shù)通常記為了*,即

(/。8)刃以尤)]、

與復(fù)合映射一樣，g與/構(gòu)成得復(fù)合函數(shù)了”得條件就是：就是函數(shù)g在。上得值域

g(。)必須含在/得定義域內(nèi)，即g(Q)u。/、否則，不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)、

例如，y=/(M)=arcsinu,得定義域?yàn)閇T,1],w=g(x)=2-\/l-x2itD=[-l,1]

上有定義，且g(0u[-1,1],則g與/可構(gòu)成復(fù)合函數(shù)

y=arcsin2-\/l--x2,xeD;

但函數(shù)y=arcsin”與函數(shù)”=2+f不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，這就是因?yàn)閷?duì)任xeR,“=2+/均不在

y=arcsinu得定義域[T,1]內(nèi)、

多個(gè)函數(shù)得復(fù)合：

4、函數(shù)得運(yùn)算

設(shè)函數(shù);(X),g(X)得定義域依次為則我們可以定義這兩個(gè)函數(shù)得

下列運(yùn)算：

與(差y±g:(f±g)(x)=fix)±g(x),X&D-

積/:(/?g)(x)H?g(x),xe￡>；

商工：(工)(x)=^1,xe￡>\{x|g(x)=。}、

ggg(尤)

例11設(shè)函數(shù)於)得定義域?yàn)?-/,/),證明必存在(-/,/)上得偶函數(shù)g(x)及奇函數(shù)/i(x),使

得

j\x)=g(x)+h(x).

分析如果/U)=g(x)+/z(無)，貝I]/(-x)=g(尤)_/7(尤)，于就是

g(x)=^[/(x)+/(-x)]./z(x)=^[/(x)-/(-x)]>

證作g(x)=g"(x)+y(-x)],/?(x)=-1[j(%)-/(-%)],則/u)=ga)+/i(x),

且g(-x)=^[f(-x)+f(x)]=g(x),

以一x)=g[f(-x)-f(尤)]=-g[/(x)—-尤)]=-/?(尤)、

5、初等函數(shù)

基本初等函數(shù)：

幕函數(shù):y=x〃(〃eR就是常數(shù))；

指數(shù)函數(shù):y=ax(a>0且awl);

對(duì)數(shù)函數(shù):y=log°x(a>0且awl,特別當(dāng)a=e時(shí)，記為y=lnx);

三角函數(shù)：y=sinx,j=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx;

反三角函數(shù):y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx、

初等函數(shù)：

由常數(shù)與基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次得四則運(yùn)算與有限次得函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可

用一個(gè)式子表示得函數(shù)，稱為初等函數(shù)、例如

y=71-^2,y=sin2x,y=Jcot]

等都就是初等函數(shù)、

雙曲函數(shù)：

雙曲正弦：shx=e-e;

2

雙曲余弦：chx=e+e一;

2

雙曲正切：*西一?4

chxex+e~x

雙曲函數(shù)得性質(zhì)：

sh(x+y)=shx'chy±chx-shy;

ch(x±y)=chx-chy±shx-shy、

ch2x-sh2x=l;

sh2x=2shx-chx;

ch2x=ch2x+sh2x、

下面證明sh(x+y)=sh?chy+chxshy:

shxchy+chxshy=-----------+

22------22

/+，x-y-e~(x+y)ex+y+ey~x-ex~y-e~(x+y)

+e=----------------------+----------------------

44

x_6-(%+>)

e+y

=-----------------=sh(x+y)、

反雙曲函數(shù)：

雙曲函數(shù)尸shx,y=chX(A：>0),y=thx得反函數(shù)依次為

反雙曲正弦:y=arshx;

反雙曲余弦:y=archx;

反雙曲正切:y=arthx、

反雙曲函數(shù)得表示達(dá)式：

y=arshx就是4shy得反函數(shù)，因此，從

中解出y來便就是arshx、令則由上式有

U2-2XW-1=0>

這就是關(guān)于打得一個(gè)二次方程，它得根為

u=x±yX2+1、

因?yàn)椤?〃〉0,故上式根號(hào)前應(yīng)取正號(hào)，于就是

u=x-\-yX2+1、

由于y=ln",故得

y=arshx

函數(shù)尸arshx得定義域?yàn)?-co,+co),它就是奇函數(shù)，在區(qū)間(-co,+(?)內(nèi)為單調(diào)增加得、

類似地可得

y=archx=ln(x+-Jx1-1),y=arthr=-、

21-x

§1、2數(shù)列得極限

一個(gè)實(shí)際問題：

如可用漸近得方程法求圓得面積？

設(shè)有一圓，首先作內(nèi)接正四邊形，它得面積記為4;再作內(nèi)接正八邊形，它得面積記為

4；再作內(nèi)接正十六邊形，它得面積記為??；如此下去，每次邊數(shù)加倍，一般把內(nèi)接正8X

2"」邊形得面積記為4、這樣就得到一系列內(nèi)接正多邊形得面積：

AI,Az,4,......,A,?■■■

設(shè)想〃無限增大(記為〃-00,讀作〃趨于窮大)，即內(nèi)接正多邊形得邊數(shù)無限增加，在這個(gè)

過程中，內(nèi)接正多邊形無限接近于圓，同時(shí)An也無限接近于某一確定得數(shù)值，這個(gè)確定得

數(shù)值就理解為圓得面積、這個(gè)確定得數(shù)值在數(shù)學(xué)上稱為上面有次序得數(shù)(數(shù)列)A1,A2,A3,

???,4,?一當(dāng)〃fco時(shí)得極限、

數(shù)列得概念:如果按照某一法則，使得對(duì)任何一個(gè)正整數(shù)n有一個(gè)確定得數(shù)與，則得

到一列有次序得數(shù)

X1,無2,尤3,...,X",...

這一列有次序得數(shù)就叫做數(shù)列，記為｛/｝,其中第W項(xiàng)X"叫做數(shù)列得一般項(xiàng)、

數(shù)列得例子：

<_n_卜23.

tn+lb253'4'，〃+1，

｛2'｝:2,

(J_J_JLJ_..._L...?

’2"'2，4'8，’2「‘

｛(-1)?+>｝:1,-1,

f〃+(T)"TIc14〃+

t--------1：2，不，可，,一，--------，?一、

n25n

它們得一般項(xiàng)依次為—J,2n,上，(-1)"+\〃+(T”、

n+l2nn

數(shù)列得幾何意義:數(shù)列｛x.｝可以瞧作數(shù)軸上得一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它依次取數(shù)軸上得點(diǎn)尤1,X2,X3,

數(shù)列與函數(shù):數(shù)列｛%｝可以瞧作自變量為正整數(shù)W得函數(shù)：

Xn=f(n),

它得定義域就是全體正整數(shù)、

數(shù)列得極限：

數(shù)列得極限得通俗定義:對(duì)于數(shù)列｛斯｝,如果當(dāng)“無限增大時(shí)，數(shù)列得一般項(xiàng)％無限地

接近于某一確定得數(shù)值凡則稱常數(shù)a就是數(shù)列｛斯｝得極限，或稱數(shù)列｛與｝收斂。、記為

limx,產(chǎn)a、如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列就是發(fā)散得、

H—>00

例如

「n11.1八「〃+(—1)"T1

lim——-=1,hm—=0,lim——----=1;

M—>00H+1n-?oo2"n—>(x>Tl

而｛2〃｝,｛(-ir+'j,就是發(fā)散得、

對(duì)無限接近得刻劃：

Xn無限接近于a等價(jià)于%-a|無限接近于0,

極限得精確定義：

定義如果數(shù)列｛融｝與常a有下列關(guān)系:對(duì)于任意給定得正數(shù)￡(不論它多么小)，總存

在正整數(shù)N,使得對(duì)于w>N時(shí)得一切見,不等式

\xn-a\<s

都成立，則稱常數(shù)。就是數(shù)列｛X"｝得極限，或者稱數(shù)列｛x〃｝收斂于a,記為

limxn=a或Xn-^-a(nf00)、

8

如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列就是發(fā)散得、

lim尤〃=a=V￡>0,mNwN+,當(dāng)〃AN時(shí)，有|玄一〃|<￡、

數(shù)列極限得幾何解釋：

例題：

例1、證明lim討Q=l、

分析:k,-H=lw+(~1)，，-1-i|=-、

nn

對(duì)于Ve>0,要使VT<￡,只要BPn>—>

n￡

證明：因?yàn)閂￡>0TN=[8EN+,當(dāng)九〉N時(shí)，有

8

?1i_I〃+(—1)"-11_1

\^n-1|=I11——<￡j

nn

所以lim"+(T)e=l、

n->oon

例、證明、

2lim2=0

A?—>00(n+1)

分析：k?-0|=|-0|=7~~、

(n+1)2(〃+l)2n+1

對(duì)于X/￡>0,要使|&—0|<￡,只要」即心!—1、

n+1￡

證明：因?yàn)閂￡>O「N=PTeN+,當(dāng)〃>N時(shí),有

￡

|x「0|=|(T)；_0|=—,

(n+1)2(n+1)2n+1

所以lim7m=0、

2

n—>oo(n+1)

例3、設(shè)|q|<l,證明等比數(shù)列

l,q,q2,---,qn~\■■?

得極限就是0、

分析：對(duì)于任意給定得￡>0,要使

|x“-0|=|/』一0|=|殲-<￡,

只要">log⑷￡+l就可以了，故可取N=[log|g|￡+1]。

證明：因?yàn)閷?duì)于任意給定得￡>0,存在N=[log@￡+l],

當(dāng)n>N時(shí)，有

|六-0|=|嚴(yán)七,

所以limq，T=0、收斂數(shù)列得性質(zhì)：

n—>co

定理1(極限得唯一性)數(shù)列｛X"｝不能收斂于兩個(gè)不同得極限、

證明：假設(shè)同時(shí)有l(wèi)imx〃=a及l(fā)imx〃=6,且。<6、

按極限得定義，對(duì)于￡=怨>0,存在充分大得正整數(shù)N,

使當(dāng)心N時(shí)，同時(shí)有

\xn-a\<s=R\xn-b\<s=-^-,

因此同時(shí)有

尤<立及x>^±?

人〃、2X人〃/2，

這就是不可能得、所以只能有。=從

數(shù)列得有界性：對(duì)于數(shù)列｛與｝,如果存在著正數(shù)M使得對(duì)一切居都滿足

不等式

\Xn\<M,

則稱數(shù)列｛法｝就是有界得；如果這樣得正數(shù)M不存在，就說數(shù)列

｛尤"｝就是無界得

定理2(收斂數(shù)列得有界性)如果數(shù)列｛與｝收斂，那么數(shù)列｛X,,｝一定有界、

證明：設(shè)數(shù)列｛/｝收斂，且收斂于a,根據(jù)數(shù)列極限得定義，對(duì)于￡=1,存在正整數(shù)N,

使對(duì)于w>N時(shí)得一切X”，不等式

\xn-a\<s=\

都成立、于就是當(dāng)心N時(shí)，

|xn|=|（xn-d）+a\<|xn-a\+\a\<\+\a\>

取A/=max｛|xi|,\x^,■■?,|XTV|,1+1a|｝,那么數(shù)列｛—｝中得一切x”都滿足不等式區(qū)V、

這就證明了數(shù)列｛/｝就是有界得、

定理3收斂數(shù)列得保號(hào)性）如果數(shù)列｛無“｝收斂于a,且a>0（或。<0）,那么存在正整數(shù)

N,當(dāng)“>"吐有X”>0（或無“<0）、

證就。>0得情形證明、由數(shù)列極限得定義，對(duì)￡=?>0TNeN+,當(dāng)心N時(shí)，有

..a

氏一小子

從而

推論如果數(shù)列｛現(xiàn)｝從某項(xiàng)起有x后0（或x.WO）,且數(shù)列｛/｝收斂于凡那么應(yīng)0（或。40）、

證明就無啟0情形證明、設(shè)數(shù)列｛X"｝從M項(xiàng)起，即當(dāng)w>N1時(shí)有無，之0、現(xiàn)在用反證

法證明，或。<0,貝I由定理3知，以2小+,當(dāng)力>N2時(shí)，有x”<0、取N=max｛Ni,N?｝,當(dāng)

">N時(shí)，按假定有x.20,按定理3有x“<0,這引起矛盾、所以必有。20、

子數(shù)列：在數(shù)列｛/｝中任意抽取無限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中得先后次序，這樣

得到得一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列｛為,｝得子數(shù)列、

例如，數(shù)列｛無“｝：1,-1,1,-1,???,（一1）田?一得一子數(shù)列為｛X2"｝：-1,-1,-1,?一,（-1）22-

?定理3（收斂數(shù)列與其子數(shù)列間得關(guān)系）如果數(shù)列｛x“｝收斂于“，那么它得任一子數(shù)列

也收斂，且極限也就是a、

證明：設(shè)數(shù)列｛x.J就是數(shù)列｛斯｝得任一子數(shù)列、

因?yàn)閿?shù)列｛X.｝收斂于a,所以V￡>0,mNeN+,當(dāng)">N時(shí)，有用,-水￡、

取K=N,則當(dāng)k>K時(shí),n^k>K=N、于就是|當(dāng)-a\<￡、

這就證明了lim.x=a、

28k

討論：

1、對(duì)于某一正數(shù)￡o,如果存在正整數(shù)N,使得當(dāng)w>N時(shí)，有比,-。|<￡0、就是否有％

—>a（ji-8）、

2、如果數(shù)列｛%｝收斂，那么數(shù)列｛X"｝一定有界、發(fā)散得數(shù)列就是否一定無界？有界

得數(shù)列就是否收斂？

3、數(shù)列得子數(shù)列如果發(fā)散，原數(shù)列就是否發(fā)散？數(shù)列得兩個(gè)子數(shù)列收斂，但其極限

不同，原數(shù)列得收斂性如何?發(fā)散得數(shù)列得子數(shù)列都發(fā)散嗎？

4.如何判斷數(shù)列1,-1,1,-1,…,（-1嚴(yán)*-.就是發(fā)散得？

§1、3函數(shù)得極限

一、函數(shù)極限得定義

函數(shù)得自變量有幾種不同得變化趨勢(shì)：

X無限接近X0:尤—尤0,

X從項(xiàng)得左側(cè)（即小于Xo）無限接近X0：,

X從Xo得右側(cè)（即大于xo）無限接近XQ：X一項(xiàng)+,

X得絕對(duì)值|x|無限增大:XfCO,

X小于零且絕對(duì)值|無|無限增大:尤f-00,

X大于零且絕對(duì)值國(guó)無限增大：Xf+00.

1.自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)得極限

通俗定義：

如果當(dāng)x無限接近于X0,函數(shù)於）得值無限接近于常數(shù)A,則稱當(dāng)無趨于回吐府）以

A為極限、記作

lim?r）=A或/（x）.A（當(dāng)x—x0）>

x->x0

分析：在xfxo得過程中，#元）無限接近于A就就是［A%）T|能任意小，或者說，在工與

的接近到一定程度（比如|%-對(duì)朝5為某一正數(shù)）時(shí)，可以小于任意給定得（小得）正數(shù)

即以）-4|<￡、反之，對(duì)于任意給定得正數(shù)￡,如果%與接近到一定程度（比如|XTo|<a

洶某一正數(shù)）就有"則能保證當(dāng)時(shí),段）無限接近于A、

定義1設(shè)函數(shù)應(yīng)1）在點(diǎn)必得某一去心鄰域內(nèi)有定義、如果存在常數(shù)A,對(duì)于任意給定

得正數(shù)￡（不論它多么?。偞嬖谡龜?shù)a使得當(dāng)X滿足不等式0<|x-沖|<5時(shí)，對(duì)應(yīng)得函數(shù)值

人的都滿足不等式\KX）-A\<￡,

那么常數(shù)A就叫做函數(shù)當(dāng)Xfxo時(shí)得極限，記為

limf（x）=A或當(dāng)xfxo）、

定義得簡(jiǎn)單表述：

limf（x）=AoX/6>0,3<5>0,當(dāng)0<|元—卻<加寸，\f（x）-A\<￡.

-0

函數(shù)極限得幾何意義：

例1、證明limc=c、

證明：這里|/（%）-A|=|c-c|=O,

因?yàn)閈/6>0,可任取尾0,當(dāng)0<|元—期|<5時(shí)，有

\f（x）-A\=\c-c\=O<s,

所以limc=c、

例2、證明limx=%o、

分析：I/O）-A|=|x-xo|、因止匕X/e〉O,要使只要|%-配1<￡.

證明：因?yàn)閂e>0,m5=￡,當(dāng)O<|x-%o|<5時(shí)，有|/（XH4|=|X-XO|<￡,所以limx=Xo、

Xf%0

例3、證明lin<2x-l)=l、

分析:\f[x)-A\=\(2x-l)-l\=2\x-l\.

Vf>0,要使如)-用<￡，只要比-1|告、

證明：因?yàn)閈/￡>0,眸￡/25=1，當(dāng)0小一1|<5時(shí)，有阿一川=|(2尤-1)-1|=2|無一1|<￡,

所以lin(2元—1)=1、

X—>1

例4、證明lim±L2、

x—>1X~i

分析：注意函數(shù)在尤=1就是沒有定義得，但這與函數(shù)在該點(diǎn)就是否有極限并無關(guān)系、

丫2―1

當(dāng)今1吐府)—A|邛2|二僅—1|、Ve〉O,要使|X%)—A|<￡,只要、

x-1

v*2-1

證明：因?yàn)閈/￡>0,三照￡，當(dāng)0<僅一1|<5時(shí)，<|?-A|=1^——2|=k-l|<￡,

尤-1

所以lim==2、

x—>1X—1

單側(cè)極限：

若當(dāng)xfxo-時(shí),7U)無限接近于某常數(shù)A,則常數(shù)A叫做函數(shù)式x)當(dāng)XfXO時(shí)得左極限,

記為lim/(x)=A或人/-)=4;

%—>10一

若當(dāng)XfXO+時(shí)，式x)無限接近于某常數(shù)A,則常數(shù)A叫做函數(shù)當(dāng)XfXO時(shí)得右極限,

記為lim/(x)=A或/Oo+)=A、

X-?0+

討論：1、左右極限得￡—旋義如何敘述？

2、當(dāng)XfXO時(shí)函數(shù)近尤)得左右極限與當(dāng)XfXO時(shí)函數(shù)兀0得極限之間得關(guān)系怎樣？

提示：左極限得￡-5定義：

lim/(X)=AO\/￡>0,3<5>O,VX:XQ-3<X<XO,有[/(尤)-A|<￡、

X—>10一

liqf(x)=A=X/s>0,38>0,Vx:xo<x<xo+3,有|/(兀)一川<￡、

lim/(x)=A=limf(x)=A且lim^f(x)=A>

-+

%—%ox—>x0x—>x0

x-1x<0

例5函數(shù)/(尤)=<0x=0當(dāng)％-0時(shí)得極限不存在、

x+1x>0

這就是因?yàn)?

limf(x)=lim(x-l)=-l,

%-o-%—o-

lim/(x)=lim(x+l)=l,

x->0+%->0+

lim/(x)wlimf(x).

xf0-0+

2.自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)得極限

設(shè)式尤)當(dāng)|X|大于某一正數(shù)時(shí)有定義、如果存在常數(shù)/,對(duì)于任意給定得正數(shù)￡，總存在

著正數(shù)X,使得當(dāng)X滿足不等式|x|>X時(shí)，對(duì)應(yīng)得函數(shù)數(shù)值大犬)都滿足不等式

[fix)-A\<￡,

則常數(shù)A叫做函數(shù)式x)當(dāng)xf00時(shí)得極限，記為

limf(x)=A或於)—A(x—>co)、

lim/(x)=A?V￡>0,3X>0,當(dāng)國(guó)>X時(shí)，有

8

類似地可定義

limf(x)=A與limf(x)=A、

X—>-coX—>+oo

結(jié)論：lim/(x)=A<^>lim/(x)=A且limf(x)=A、

X—>00X—>-00%—>4<o

極限limf(x)=A得定義得幾何意義

00

例6、證明lim—=0、

x—>ooX

分析：|/(x)—A|日工一0|=2、\/￡>0,要使施c)-A|<￡，只要|x|>1、

證明：因?yàn)閂￡>0,mx=L>0,當(dāng)|x|>X時(shí)，有|y(x)—A|=|'—0|==<￡,

所以lim—=0、

x—>ooX

直線y=0就是函數(shù)>=’得水平漸近線、

一般地，如果lim/(x)=c,則直線y=c稱為函數(shù)y=/(x)得圖形得水平漸近線、

X—>00

二、函數(shù)極限得性質(zhì)

定理1(函數(shù)極限得唯一性)

如果極限lim/(x)存在，那么這極限唯一、

定理2(函數(shù)極限得局部有界性)

如果大x)fA(xfxo),那么存在常數(shù)M>0與高使得當(dāng)O<|x-xo|?5H寸，有%x)區(qū)M、

證明因?yàn)樨?fA(xfxo),所以對(duì)于￡=1「企>0,當(dāng)0<|x-尤o|<用寸，有

—<￡=1,

于就是

\f[x)\=\f(x｝-A+A\<\f(x)-A\+\A\<l+\A].

這就證明了在X0得去心鄰域｛x|o<|xfo|<s｝內(nèi),Kx)就是有界得.

定理3(函數(shù)極限得局部保號(hào)性)

如果加)xo),而且A>0(或A<0),那么存在常數(shù)80,使當(dāng)O<|x-xo|<刷\有

危)>0(或式x)<0)、

證明：就A>0得情形證明.

A

因?yàn)閘imf(x)=A,所以對(duì)于￡=k「S>0,當(dāng)O<|XTO|<3時(shí)，有

%->的2

AAA

\f(x)-A\<s=—oA--<f(x)=f(x)>—>0.

定理3，

如果大尤)-M(xfxo)(AM),那么存在點(diǎn)尤o得某一去心鄰域,在該鄰域內(nèi)，有尤)1>；1川、

推論如果在尤o得某一去心鄰域內(nèi)/(x)20(或兀x)40),而且式x)fA(尤-xo),那么420(或

A<0)>

證明：設(shè)/(x)20、假設(shè)上述論斷不成立，即設(shè)A<0,那么由定理1就有xo得某一去心

鄰域，在該鄰域內(nèi)穴x)<0,這與_/(x)20得假定矛盾、所以A20、

定理4(函數(shù)極限與數(shù)列極限得關(guān)系)

如果當(dāng)xfxo時(shí)段)得極限存在，｛X,,｝為段)得定義域內(nèi)任一收斂于xo得數(shù)列，且滿足加

wxo("eN+),那么相應(yīng)得函數(shù)值數(shù)列伏X”)｝必收斂，且

lim/(x?)=lim/(x).

n—>oox—>x0

證明設(shè)於)f4(xfxo),貝i]V￡>0,mS>0,當(dāng)O<|x-xo|<5時(shí)，有心)一用<￡.

又因?yàn)橛?fxo(wfoo),故對(duì)5>0「NeN+,當(dāng)w>N時(shí)，有%-卻<5.

由假設(shè),X"Xxo(weN+).故當(dāng)〃>N吐0<|尤”-xo|<S,從而即

lim/(x?)=lim/(x)

n—>ooxf%o

§1、4無窮小與無窮大

一、無窮小

如果函數(shù)y(x)當(dāng)XfX0(或xfco)時(shí)得極限為零，那么稱函數(shù)?r)為當(dāng)Xfxo(或x->co)時(shí)得

無窮小、

特別地，以零為極限得數(shù)列｛與｝稱為oo時(shí)得無窮小.

例如，

因?yàn)樗院瘮?shù)工為當(dāng)xf8時(shí)得無窮小、

X-X

因?yàn)閘im(x-l)=O,所以函數(shù)為％-1當(dāng)%-1時(shí)得無窮小、

%->i

因?yàn)閘im^-=O,所以數(shù)列｛―1｝為當(dāng)“foo時(shí)得無窮小、

nfgn+1〃+1

討論：很小很小得數(shù)就是否就是無窮?。?。就是否為無窮小？

提示：無窮小就是這樣得函數(shù)，在Xfxo(或Xf00)得過程中，極限為零.很小很小得數(shù)

只要它不就是零，作為常數(shù)函數(shù)在自變量得任何變化過程中，其極限就就是這個(gè)常數(shù)本身,

不會(huì)為零.

無窮小與函數(shù)極限得關(guān)系：

定理1在自變量得同一變化過程xfX0(或尤-00)中，函數(shù)式乃具有極限A得充分必要

條件就是式x)=A+a,其中&就是無窮小、

證明：設(shè)hmf(x)=A,\/￡>0,35>0,使當(dāng)O<|XTO|<5時(shí)，有

工一工0

|/U)T|<￡、

令隼貝l]a就是XfXo時(shí)得無窮小，且

j[x)=A+a、

這就證明了作)等于它得極限A與一個(gè)無窮小a之與、

反之，設(shè)/(x)=A+a,其中A就是常數(shù),a就是xfxo時(shí)得無窮小，于就是

--2⑸、

因c就是XfX0時(shí)得無窮小，V￡>o,35>0,使當(dāng)O<|XTO|<5,有

|a|<￡或[/(X)-A|<￡

這就證明了A就是人x)當(dāng)尤f