全國版2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第9章直線和圓的方程第2講圓的方程及直線圓的位置關(guān)系試題1理含解析

第第頁第九章直線和圓的方程其次講圓的方程及直線、圓的位置關(guān)系練好題·考點(diǎn)自測1.[2024安徽省四校聯(lián)考]直線2x·sinθ+y=0被圓x2+y2-25y+2=0截得的最大弦長為()A.25 B.23 C.3 D.222.[2024全國卷Ⅲ,10,5分][理]若直線l與曲線y=x和圓x2+y2=15都相切,則l的方程為(A.y=2x+1 B.y=2x+12C.y=12x+1 D.y=12x3.[2024吉林省高三聯(lián)考]已知圓C:x2+y2=r2(r>0),設(shè)p:r≥32;q:圓C上至少有3個點(diǎn)到直線3x+y-2=0的距離為12,則p是q的(A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.[2024全國卷Ⅲ,6,5分][理]直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是()A.[2,6] B.[4,8]C.[2,32] D.[22,32]5.[2024全國卷Ⅰ,11,5分][理]已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直線l:2x+y+2=0,P為l上的動點(diǎn).過點(diǎn)P作☉M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,當(dāng)|PM|·|AB|最小時,直線AB的方程為()A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=06.[2024全國卷Ⅲ,16,5分][理]已知直線l:mx+y+3m-3=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn).若|AB|=23,則|CD|=.

7.[2024北京,11,5分]設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.則以F為圓心,且與l相切的圓的方程為.

8.[2024浙江,12,6分]已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0,m),半徑長是r.若直線2x-y+3=0與圓C相切于點(diǎn)A(-2,-1),則m=,r=.

拓展變式1.[2024全國卷Ⅲ,20,12分][理]已知拋物線C:y2=2x,過點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A,B兩點(diǎn),圓M是以線段AB為直徑的圓.(1)證明:坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上.(2)設(shè)圓M過點(diǎn)P(4,-2),求直線l與圓M的方程.2.[2024武漢部分重點(diǎn)中學(xué)5月聯(lián)考]已知圓C1:(x-1)2+(y-3)2=9和C2:x2+(y-2)2=1,若M,N分別是圓C1,C2上的點(diǎn),P是拋物線x2=4y的準(zhǔn)線上的一點(diǎn),則|PM|+|PN|的最小值是.

3.[原創(chuàng)題]已知直線l:x+2y-3=0與圓C:x2+y2+x-6y+m=0,若直線l與圓C無公共點(diǎn),則m的取值范圍是()A.(1,8)B.(8,3744.[2024廣西模擬]在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過圓C1:(x-k)2+(y+k-4)2=1上隨意一點(diǎn)P作圓C2:x2+y2=1的一條切線,切點(diǎn)為Q,則當(dāng)|PQ|最小時,k=.

5.圓C1:x2+y2-2x+10y-24=0和圓C2:x2+y2+2x+2y-8=0的公共弦所在直線的方程為,公共弦長為.

6.(1)[2024武漢武昌試驗(yàn)中學(xué)考前模擬]過點(diǎn)D(1,-2)作圓C:(x-1)2+y2=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則弦AB所在直線的方程為()A.2y-1=0 B.2y+1=0C.x+2y-1=0 D.x-2y+1=0(2)[2024河北冀州中學(xué)模擬]已知圓C:x2+y2-2x-4y+3=0.①若圓C的一條切線在x軸和y軸上的截距相等,則此切線的方程為;

②從圓C外一點(diǎn)P(x1,y1)向該圓引一條切線,切點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且有|PM|=|PO|,則|PM|的最小值為.

7.阿波羅尼斯是古希臘聞名數(shù)學(xué)家,他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的探討,主要探討成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書,其中阿波羅尼斯圓是他的探討成果之一,即已知動點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A,B的距離之比為λ(λ>0,λ≠1),那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知圓O:x2+y2=1上的動點(diǎn)M和定點(diǎn)A(-12,0),B(1,1),則2|MA|+|MB|的最小值為(A.6B.7C.10D.11答案其次講圓的方程及直線、圓的位置關(guān)系1.D依據(jù)題意,圓x2+y2-25y+2=0,即x2+(y-5)2=3,其圓心為(0,5),半徑r=3,圓心到直線2x·sinθ+y=0的距離d=|5|1+4sin2θ=51+4sin2θ≥55=1,當(dāng)圓心到直線的距離最小時,直線2x·sinθ+y=0被圓x2+y2-25y+2=0截得的弦長最大,而d=51+4sin2θ的最小值為1,則直線2x·sin2.D易知直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=kx+b,則|b|k2+1=55①,設(shè)直線l與曲線y=x的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,x0)(x0>0),則y'

x=x0=12x0-12=k②,x0=kx0+b③,由②③可得b=12x0,將b=12x0,3.C圓C的圓心為(0,0),其到直線3x+y-2=0的距離為1.當(dāng)0<r<12時,圓上沒有點(diǎn)到直線的距離為12;當(dāng)r=12時,圓上有1個點(diǎn)到直線的距離為12;當(dāng)12<r<32時,圓上有2個點(diǎn)到直線的距離為12;當(dāng)r=32時,圓上有3個點(diǎn)到直線的距離為12;當(dāng)r>32時,圓上有4個點(diǎn)到直線的距離為12;要使圓C上至少有3個點(diǎn)到直線3x+y-2=0的距離為4.A圓心(2,0)到直線的距離d=|2+0+2|2=22,所以點(diǎn)P到直線的距離d1∈[2,32].依據(jù)直線的方程可知A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,0),B(0,-2),所以|AB|=22,所以△ABP的面積S=12|AB|·d1=2d1.因?yàn)閐1∈[2,32],所以S5.D由☉M:x2+y2-2x-2y-2=0①,得☉M:(x-1)2+(y-1)2=4,所以圓心M(1,1).如圖D9-2-1,連接AM,BM,易知PM⊥AB,所以四邊形PAMB的面積為12|PM|·|AB|,欲使|PM|·|AB|最小,只需四邊形PAMB的面積最小,即只需△PAM的面積最小.因?yàn)閨AM|=2,所以只需|PA|最小因?yàn)閨PA|=|PM|2-|AM|2=|PM|2-4,所以只需直線2x+y+2=0上的動點(diǎn)P到M由2x+y+2=0,x-2y+1=0,得x=-1,y=0,所以P(-1,0).因?yàn)椤螾AM=∠PBM=90°,所以A,B在以PM為直徑的圓上.所以此圓的方程為x2+(y-由①-②得,直線AB的方程為2x+y+1=0,故選D.6.4設(shè)圓心到直線l:mx+y+3m-3=0的距離為d,則弦長|AB|=212-d2=23,解得d=3,即|3m-3|m2+1=3,解得m=-33,則直線7.(x-1)2+y2=4因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x,所以焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線l的方程為x=-1.因?yàn)樗蟮膱A以F為圓心,且與準(zhǔn)線l相切,故圓的半徑r=2,所以圓的方程為(x-1)2+y2=4.8.-25解法一設(shè)過點(diǎn)A(-2,-1)且與直線2x-y+3=0垂直的直線l的方程為x+2y+t=0,所以-2-2+t=0,所以t=4,所以l的方程為x+2y+4=0.將(0,m)代入,解得m=-2,則r=(-2解法二因?yàn)橹本€2x-y+3=0與以點(diǎn)(0,m)為圓心的圓相切,且切點(diǎn)為A(-2,-1),所以m+10+2×2=-1,所以m=-2,r=1.(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由x=my+2,y2=2x可得y2-2又x1=y122,x2=y222,故x1則OA·OB=x1x2+y1y2=0,所以O(shè)A⊥OB.又圓M是以線段AB為直徑的圓,故坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圓心M的坐標(biāo)為(m2+2,m),圓M的半徑r=(m由于圓M過點(diǎn)P(4,-2),因此AP·BP=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-12當(dāng)m=1時,直線l的方程為x-y-2=0,圓心M的坐標(biāo)為(3,1),圓M的半徑為10,圓M的方程為(x-3)2+(y-1)2=10.當(dāng)m=-12時,直線l的方程為2x+y-4=0,圓心M的坐標(biāo)為(94,-12),圓M的半徑為854,圓M的方程為(x-94)2+(y+12.52-4依題意知,拋物線x2=4y的準(zhǔn)線方程為y=-1,則圓C1關(guān)于直線y=-1的對稱圓的圓心為C3(1,-5),半徑為3.圓C2的圓心為(0,2),半徑為1,連接C2C3,由圖象可知(圖略),當(dāng)P,C2,C3三點(diǎn)共線時,|PM|+|PN|取得最小值,其最小值為圓C3與圓C2的圓心距減去兩個圓的半徑之和,即(|PM|+|PN|)min=|C2C3|-3-1=1+49-4=52-4.3.B將圓C的方程配方,得(x+12)2+(y-3)2=37-4m4,則有37-4m4>0,解得m<374.因?yàn)橹本€l與圓C無公共點(diǎn),所以圓心(-12,3)到直線x+2y-3=0的距離大于半徑,即|-12+2×34.2由題意知,|C1C2|=k2+(-k+4)2=2(k因?yàn)镻Q為圓C2的切線,所以PQ⊥C2Q,由勾股定理,得|PQ|=|PC2|2-1明顯當(dāng)點(diǎn)P為C1C2與圓C1的交點(diǎn)時,|PC2|最小,此時|PC2|=|C1C2|-1,所以當(dāng)|C1C2|最小時,|PC2|最小.易知當(dāng)k=2時,|C1C2|取最小值,即|PQ|最小.5.x-2y+4=025聯(lián)立兩圓的方程,得x2+y2-2x+10y-解法一設(shè)兩圓相交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿意方程組x-2y+4=0所以|AB|=(0+4)2+(解法二由x2+y2-2x+10y-24=0,得(x-1)2+(y+5)2=50,其圓心坐標(biāo)為(1,-5),半徑r=52,圓心到直線x-2y+4=0的距離d=|1-2×設(shè)公共弦長為2l,由勾股定理得r2=d2+l2,即50=(35)2+l2,解得l=5,故公共弦長2l=25.6.(1)B解法一(常規(guī)解法)由圓C:(x-1)2+y2=1的方程可知其圓心為C(1,0),半徑為1.連接CD,以線段CD為直徑的圓的方程為(x-1)(x-1)+(y+2)(y-0)=0,整理得(x-1)2+(y+1)2=1.將兩圓的方程相減,可得公共弦AB所在直線的方程為2y+1=0.故選B.解法二(結(jié)論解法)由與圓的切線有關(guān)的結(jié)論(詳見主書P196【思維拓展】(2))得弦AB所在直線的方程為(1-1)(x-1)+(-2)y=1,即2y+1=0.故選B.(2)①(6-2)x-y=0或(6+2)x+y=0或x+y-1=0或x+y-5=0圓C的方程可化為(x-1)2+(y-2)2=2,當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為零時,設(shè)直線方程為y=kx(k≠0),由直線與圓相切,得|k-2|k2所以切線方程為y=(-2+6)x或y=(-2-6)x.當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零時,設(shè)直線方程為x+y-a=0,由直線與圓相切,得|1+2-a|2=所以切線方程為x+y-1=0或x+y-5=0.綜上所述,所求的切線方程為(-2+6)x-y=0或(2+6)x+y=0或x+y-1=0或x+y-5=0.②3510由|PM|=|PO|,得(x1-1)2+(y1-2)2-2=x又|PM|=|CP|2-r2,所以要使|PM|取得最小值,只需|CP|取得最小值,記圓心C(1,2)到直線l:2x+4y-3=0的距離為d,可知d≤|CP|,當(dāng)且僅當(dāng)d因?yàn)閐=|2×1+4×2-3|22+7.C①當(dāng)點(diǎn)M在x軸上時,點(diǎn)