24版高中同步新教材必修第一冊(cè)蘇教版數(shù)學(xué)備課7-第2-3　全稱量詞命題與存在量詞命題

必修第一冊(cè)

蘇教版高中數(shù)學(xué)2.3全稱量詞命題與存在量詞命題1|全稱量詞與全稱量詞命題知識(shí)點(diǎn)必備知識(shí)清單破全稱量詞“所有”“任意”“每一個(gè)”等表示全體的詞在邏輯學(xué)中稱為全稱量詞,通常用符號(hào)“?x”表示“對(duì)任意x”全稱量詞命題含有全稱量詞的命題稱為全稱量詞命題.一般形式可表示為?x∈M,p(x)2|存在量詞與存在量詞命題知識(shí)點(diǎn)存在量詞“存在”“有的”“有一個(gè)”等表示部分或個(gè)體的詞在邏輯學(xué)中稱為存在量詞,通常用符號(hào)“?x”表示“存在x”存在量詞命題含有存在量詞的命題稱為存在量詞命題.一般形式可表示為?x∈M,p(x)1.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定3|全稱量詞命題與存在量詞命題的否定知識(shí)點(diǎn)類型符號(hào)表示否定的符號(hào)表示全稱量詞命題?x∈M,p(x)?x∈M,

p(x)存在量詞命題?x∈M,p(x)?x∈M,

p(x)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.2.命題否定的真假對(duì)一個(gè)命題進(jìn)行否定,就得到了一個(gè)新的命題,這兩個(gè)命題不能同時(shí)為真,也不能同時(shí)

為假,即它們的關(guān)系是“一真一假”或“此假彼真”.1.“三角形內(nèi)角和是180°”是全稱量詞命題還是存在量詞命題?2.在全稱量詞命題和存在量詞命題中,量詞是否可以省略?3.命題“菱形的對(duì)角線互相垂直平分”的否定是什么?真假性呢?知識(shí)辨析1.全稱量詞命題.量詞“所有”省略了.2.存在量詞命題中,量詞不能省略;有些全稱量詞命題的量詞在不影響理解題意的情況下可

以省略.3.“菱形的對(duì)角線互相垂直平分”是指“菱形的對(duì)角線互相垂直且互相平分”,其否定為

“菱形的對(duì)角線不互相垂直或不互相平分”.易知原命題為真命題,所以其否定為假命題.一語(yǔ)破的1.要判定全稱量詞命題“?x∈M,p(x)成立”是真命題,需要對(duì)集合M中每個(gè)元素x驗(yàn)證p(x)

成立.但要判定該命題是假命題,只要能找出集合M中的一個(gè)x=x0,使p(x)不成立即可.要判定

存在量詞命題“?x∈M,p(x)成立”是真命題,只需在集合M中找到一個(gè)x=x0,使p(x)成立即

可;否則,這一命題就是假命題.1|全稱量詞命題、存在量詞命題及其否定的真假判斷定點(diǎn)關(guān)鍵能力定點(diǎn)破2.命題與命題的否定的真假性相反.當(dāng)命題的否定的真假不易判斷時(shí),可以通過判斷原命題

的真假來(lái)得出命題的否定的真假.常用的正面敘述詞語(yǔ)和它的否定詞語(yǔ):原詞語(yǔ)等于(=)小于(<)都是否定詞語(yǔ)不等于(≠)不小于(≥)不都是原詞語(yǔ)至少有一個(gè)至多有一個(gè)至多有n個(gè)否定詞語(yǔ)一個(gè)也沒有至少有兩個(gè)至少有(n+1)個(gè)寫出下列命題的否定,并判斷所得命題的真假.(1)?x∈R,|x|=x;(2)至少有一個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn);(3)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù);(4)?x,y∈Z,使得

x+y=3.典例思路點(diǎn)撥

寫出命題的否定:找到命題含有的量詞,變換量詞,否定結(jié)論.判斷真假:一是直接

判斷;二是利用命題與命題的否定真假相反進(jìn)行判斷.解析

(1)命題的否定是“?x∈R,|x|≠x”.若x=-1,則|-1|≠-1,所以命題的否定是真命題.(2)命題的否定是“所有二次函數(shù)的圖象與x軸都有交點(diǎn)”.如二次函數(shù)y=x2+2x+2,因?yàn)閤2+2x

+2=(x+1)2+1>0,所以?x∈R,y=x2+2x+2≠0,所以命題的否定是假命題.(3)命題的否定是“存在一個(gè)實(shí)數(shù),它的絕對(duì)值不是正數(shù)”.如0的絕對(duì)值是0,所以命題的否

定是真命題.(4)命題的否定是“?x,y∈Z,

x+y≠3”.當(dāng)x=0,y=3時(shí),

x+y=3,所以命題的否定是假命題.解決含有量詞的命題中的參數(shù)問題的思路(1)對(duì)于全稱量詞命題“?x∈M,a>y(或a<y)”求參的問題,一般為“恒成立”問題,通常轉(zhuǎn)

化為求函數(shù)y的最大值(或最小值),即a>ymax(或a<ymin);對(duì)于存在量詞命題“?x∈M,a>y(或a<

y)”求參的問題,一般為“有解”問題,通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y的最小值(或最大值),即a>ymin(或

a<ymax).(2)對(duì)于命題p的有些問題,正面解決很難或者很復(fù)雜,這時(shí)我們可以考慮它的反面,即把與命

題p有關(guān)的問題轉(zhuǎn)化成與命題?p有關(guān)的問題,從而把問題簡(jiǎn)化,即“正難則反”的方法,也就

是“補(bǔ)集思想”的應(yīng)用.2|含有量詞的命題中的參數(shù)問題定點(diǎn)已知命題p:?x∈R,x2+2x+a≥0,命題q:?x∈

,x2-a≥0.若命題p和命題q至少有一個(gè)為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.典例思路點(diǎn)撥

本題若從正面解題需分類討論,情況較多,所以可從結(jié)論的反面入手,即考慮p,q

均為假命題的情況,然后求其補(bǔ)集.解析

命題p和q至少有一個(gè)為真命題的否定為命題p和q均為假命題.當(dāng)命題p為假命題時(shí),

其否定“?x∈R,x2+2x+a<0”為真命題,令y1=x2+2x+a,則(y1)min<0,故a-1<0,即a<1.當(dāng)命題q為

假命題時(shí),其否定“?x∈

x

0≤x≤

,x2-a<0”為真命題,令y2=x2-a,則(y2)max<0在x∈

上恒成立