人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)舉一反三23.1圖形的旋轉(zhuǎn)【十大題型】(學(xué)生版+解析)

專題23.1圖形的旋轉(zhuǎn)【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象】 1【題型2判斷一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)而成的圖案】 2【題型3找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對(duì)應(yīng)點(diǎn)】 3【題型4利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明】 4【題型5利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解】 6【題型6判斷旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形】 7【題型7作圖-旋轉(zhuǎn)變換】 9【題型8求饒某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)】 11【題型9旋轉(zhuǎn)中的規(guī)律探究】 12【題型10旋轉(zhuǎn)中的最值問題】 13【知識(shí)點(diǎn)1旋轉(zhuǎn)的定義】在平面內(nèi)，把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。我們把旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向稱為旋轉(zhuǎn)的三要素?！绢}型1生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象】【例1】（2023春·廣東揭陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列現(xiàn)象：①地下水位逐年下降，②傳送帶的移動(dòng)，③方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)，④水龍頭的轉(zhuǎn)動(dòng)；其中屬于旋轉(zhuǎn)的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式1-1】（2023春·江蘇·九年級(jí)期中）將數(shù)字“6”旋轉(zhuǎn)180°，得到數(shù)字“9”，將數(shù)字“9”旋轉(zhuǎn)180°，得到數(shù)字“6”，現(xiàn)將數(shù)字“689”整體旋轉(zhuǎn)180°，得到的數(shù)字是【變式1-2】（2021春·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）“玉兔”在月球表面行走的動(dòng)力主要來自太陽(yáng)光能，要使接收太陽(yáng)光能最多，就要使光線垂直照射在太陽(yáng)光板上．現(xiàn)在太陽(yáng)光如圖照射，那么太陽(yáng)光板繞支點(diǎn)A逆時(shí)針最小旋轉(zhuǎn)（

）可以使得接收光能最多．A．46° B．44° C．36° D．54°【變式1-3】（2020秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）摩天輪上以等間隔的方式設(shè)置36個(gè)車廂，車廂依順時(shí)針方向分別編號(hào)為1號(hào)到36號(hào)，且摩天輪運(yùn)行時(shí)以逆時(shí)針方向等速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一圈花費(fèi)30分鐘，若圖2表示21號(hào)車廂運(yùn)行到最高點(diǎn)的情形，則此時(shí)經(jīng)過多少分鐘后，3號(hào)車廂才會(huì)運(yùn)行到最高點(diǎn)？（

）A．14分鐘 B．20分鐘 C．15分鐘 D．452【知識(shí)點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)】（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。理解以下幾點(diǎn)：（1）圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等。（3）圖形的大小與形狀都沒有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置?！绢}型2判斷一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)而成的圖案】【例2】（2020春·山西晉城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如果齒輪A以逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，齒輪E旋轉(zhuǎn)的方向（）A．順時(shí)針 B．逆時(shí)針C．順時(shí)針或逆時(shí)針 D．不能確定【變式2-1】（2022秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，圖2是由圖1經(jīng)過平移得到的，圖2還可以看作是由圖1經(jīng)過怎樣的變換得到的？現(xiàn)給出兩種變換方式：①2次旋轉(zhuǎn)；②2次軸對(duì)稱．下面說法正確的是（

）A．①②都不可行 B．①②都可行 C．只有①可行 D．只有②可行【變式2-2】（2022秋·上海浦東新·九年級(jí)校聯(lián)考期末）圖2是由圖1經(jīng)過某一種圖形的運(yùn)動(dòng)得到的，這種圖形的運(yùn)動(dòng)是（

）A．平移 B．翻折 C．旋轉(zhuǎn) D．以上三種都不對(duì)【變式2-3】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，下列的圖案是由什么基本圖案經(jīng)怎樣的旋轉(zhuǎn)得到的，把它畫出來？【題型3找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對(duì)應(yīng)點(diǎn)】【例3】（2023春·福建漳州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在7×5方格紙中，格點(diǎn)三角形甲經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后得到格點(diǎn)三角形乙，則其旋轉(zhuǎn)中心是（

）

A．點(diǎn)M B．點(diǎn)N C．點(diǎn)P D．點(diǎn)Q【變式3-1】（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，ΔABC和ΔADC都是等邊三角形.（1）ΔABC沿著______所在的直線翻折能與ΔADC重合；（2）如果ΔABC旋轉(zhuǎn)后能與ΔADC重合，則在圖形所在的平面上可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)是______；（3）請(qǐng)說出2中一種旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)______.【變式3-2】（2022秋·河北石家莊·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD旋轉(zhuǎn)后能與正方形CDEF重合，那么點(diǎn)A，B，C，D中，可以作為旋轉(zhuǎn)中心的有個(gè)．【變式3-3】（2023春·山東菏澤·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)A、B都在格點(diǎn)上．線段AB繞著某一定點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α0°<α<180°后，得到線段A'B'（點(diǎn)A'、B'分別是A、

【題型4利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明】【例4】（2023春·河南南陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°，點(diǎn)D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AD、CD．

(1)把△ACD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到了△CBE如圖1，旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)______，旋轉(zhuǎn)角是______．(2)在（1）的條件下，延長(zhǎng)AD交BE于F，求證：AF⊥BE．(3)在圖1中，若∠CAD=30°，把△ACD繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ECB，如圖2，若旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角是多少度時(shí)，DE∥【變式4-1】（2023秋·山西陽(yáng)泉·九年級(jí)?？计谀┌褍蓚€(gè)全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角邊均為4）疊放在一起（如圖1），且使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，現(xiàn)將三角板EFG繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角α滿足條件：0°<α<90°），四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角形的重疊部分（如圖2）．在上述旋轉(zhuǎn)過程中．

(1)BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系?(2)四邊形CHGK的面積有何變化?請(qǐng)證明你的發(fā)現(xiàn)．【變式4-2】（2023秋·山西晉城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與探究在△ABC中，AB=AC，∠CAB的角度記為α．(1)操作與證明；如圖①，點(diǎn)D為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α至AE位置，連接DE，CE．求證：BD=CE；(2)探究與發(fā)現(xiàn)：如圖②，若α=90°，點(diǎn)D變?yōu)锽C延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α至AE位置，連接DE，CE．可以發(fā)現(xiàn)：線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系是___________；(3)判斷與思考；判斷（2）中線段BD和CE的位置關(guān)系，并說明理由．【變式4-3】（2022秋·上海靜安·九年級(jí)上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)?？计谥校┮阎篟t△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，將△ABC繞點(diǎn)B

(1)當(dāng)C轉(zhuǎn)到AB邊上點(diǎn)C'位置時(shí)，A轉(zhuǎn)到A'，（如圖1所示）直線CC'和AA'相交于點(diǎn)D，試判斷線段AD和線段A'D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)將Rt△ABC繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．【題型5利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解】【例5】（2023秋·安徽滁州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，正方形ABCD中，E為DC邊上一點(diǎn)，且DE=2．將AE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接AF，F(xiàn)C．則線段FC的長(zhǎng)度是（

）

A．2 B．22 C．2 D．【變式5-1】（2022秋·河南許昌·九年級(jí)許昌市第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度得到△ADE，當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上時(shí)，則CD的長(zhǎng)為（

A．1.4 B．1.6 C．1.8 D．2【變式5-2】（2023春·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在平行四邊形ABCD中，AD=BD=4，BD⊥AD，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，將DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DF，連接BF．

(1)求證BF=AE；(2)若BF所在的直線交AC于點(diǎn)M，求OM的長(zhǎng)度；(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在△OBC的外部，構(gòu)成四邊形DEMF時(shí)，求四邊形DEMF的面積．【變式5-3】（2022秋·北京大興·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在線段AB上，連接BE．下列結(jié)論：①DC平分∠ADE；②∠BDE=∠BCE；③BD⊥BE；④BC=DE．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是【題型6判斷旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形】【例6】（2020秋·河南許昌·九年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀理解并解決問題：一般地，如果把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度α（α小于360°）后，能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，α叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的一個(gè)旋轉(zhuǎn)角．請(qǐng)依據(jù)上述定義解答下列問題：（1）請(qǐng)寫出一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)圖形有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角是90°，這個(gè)圖形可以是______；（2）為了美化環(huán)境，某中學(xué)需要在一塊正六邊形空地上分別種植六種不同的花草，現(xiàn)將這塊空地按下列要求分成六塊：①分割后的整個(gè)圖形必須既是軸對(duì)稱圖形又是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形；②六塊圖形的面積相同；請(qǐng)你按上述兩個(gè)要求，分別在圖中的兩個(gè)正六邊形中畫出兩種不同的分割方法（只要求畫圖正確，不寫作法）．【變式6-1】（2018春·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某校在暑假放假之前舉辦了交通安全教育圖片展活動(dòng)．下列四個(gè)交通標(biāo)志圖中，旋轉(zhuǎn)對(duì)稱形是（）A． B． C． D．【變式6-2】（2018秋·上海松江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在正三角形、正方形、正五邊形和等腰梯形這四種圖形中，是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式6-3】（2018·山西呂梁·九年級(jí)統(tǒng)考期中）實(shí)踐與操作：一般地，如果把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度α（α小于360°）后，能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，α叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的一個(gè)旋轉(zhuǎn)角，請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：（1）請(qǐng)寫出一個(gè)有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角是90°旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)圖形可以是；（2）尺規(guī)作圖：在圖中的等邊三角形內(nèi)部作出一個(gè)圖形，使作出的圖形和這個(gè)等邊三角形構(gòu)成的整體既是一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形又是一個(gè)軸對(duì)稱圖形（作出的圖形用實(shí)線，作圖過程用虛線，保留痕跡，不寫做法）．【知識(shí)點(diǎn)3利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖】旋轉(zhuǎn)有兩條重要性質(zhì)：任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，它就是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖的關(guān)鍵。步驟可分為：①連：即連接圖形中每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心；②轉(zhuǎn)：即把直線按要求繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過一定角度（作旋轉(zhuǎn)角）③截：即在角的另一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，的到各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；④接：即連接到所連接的各點(diǎn)。【題型7作圖-旋轉(zhuǎn)變換】【例7】（2023秋·甘肅隴南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,1)，B(4,2)，C(3,4)．(1)請(qǐng)畫出△ABC繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°的△A(2)在x軸上求作一點(diǎn)P，使△PAB的周長(zhǎng)最小，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【變式7-1】（2023春·山東棗莊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的位置如圖所示，（每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形）．(1)將△ABC沿x軸方向向左平移6個(gè)單位，畫出平移后得到的△(2)將△ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后得到的△AB(3)△AB2C2可看作由△A1B1C1繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成，點(diǎn)A1，B【變式7-2】（2023春·河南平頂山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，小正方形的頂點(diǎn)稱作格點(diǎn)，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，把△ABC先向右平移6個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位得△A1B1C1，再將△A

(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出△A1B(2)圖中的△A2B2C1能不能通過順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ABC得到？如果可以，請(qǐng)寫出旋轉(zhuǎn)中心【變式7-3】（2022春·四川達(dá)州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有A?1,2，B?3,1，(1)畫出△ABC向右平移三個(gè)單位的△A1B(2)將△ABC繞C點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2B(3)求（1）中△ABC所掃過的面積．【題型8求饒某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)】【例8】（2022秋·黑龍江牡丹江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）菱形OABC如圖放置，點(diǎn)C坐標(biāo)是(3，4)，先將菱形向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，然后沿x軸翻折，最后繞坐標(biāo)原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°得到菱形OABC的對(duì)角線交點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是．【變式8-1】（2018·河北保定·九年級(jí)校聯(lián)考期末）正方形ABCD在坐標(biāo)系中的位置如圖所示，將正方形ABCD繞D點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，2） B．（2，0） C．（2，1） D．（2，﹣1）【變式8-2】（2023春·遼寧錦州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將等邊△OAB放在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)1，0，將△OAB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'

【變式8-3】（2022秋·浙江金華·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，直線y=?43x+4與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，把△AOB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°后得到△AO'【題型9旋轉(zhuǎn)中的規(guī)律探究】【例9】（2022秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知菱形OABC的頂點(diǎn)O0,0，B2,2，若菱形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45°，則第60秒時(shí)，菱形的對(duì)角線交點(diǎn)D的坐標(biāo)為【變式9-1】（2020秋·黑龍江·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，將邊長(zhǎng)為1的正三角形AOP沿x軸正方向作無滑動(dòng)的連續(xù)反轉(zhuǎn)，點(diǎn)P依次落在點(diǎn)P1，P2，P3???P【變式9-2】（2021秋·廣東東莞·九年級(jí)東莞市光明中學(xué)?？计谥校┤鐖D，把正方形鐵片OABC置于平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P1,2在正方形鐵片上，將正方形鐵片繞其右下角的頂點(diǎn)按順時(shí)針方向依次旋轉(zhuǎn)90°，第一次旋轉(zhuǎn)至圖①位置，第二次旋轉(zhuǎn)至圖②位置，…，則正方形鐵片連續(xù)旋轉(zhuǎn)2019次后，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為【變式9-3】（2022秋·甘肅慶陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．現(xiàn)將菱形OABC沿x軸的正方向無滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)，每次翻轉(zhuǎn)60°，連續(xù)翻轉(zhuǎn)2023次，點(diǎn)B的落點(diǎn)依次為B1,B【題型10旋轉(zhuǎn)中的最值問題】【例10】（2023春·廣東深圳·九年級(jí)?？计谀﹩栴}情境：在學(xué)習(xí)《圖形的平移和旋轉(zhuǎn)》時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，點(diǎn)D為等邊△ABC的邊BC上一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，連接CE．

(1)【猜想證明】試猜想BD與CE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(2)【探究應(yīng)用】如圖2，點(diǎn)D為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，連接CE，若B、D、E三點(diǎn)共線，求證：EB平分∠AEC；(3)【拓展提升】如圖3，若△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，連接CE．點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中，△DEC的周長(zhǎng)最小值=__________（直接寫答案）【變式10-1】（2023春·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶南開中學(xué)?？计谥校┤鐖D，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3，BC=4，E為BC上一點(diǎn)，且BE=1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，將EF繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到EG的位置，連接FG和CG，則CG【變式10-2】（2023秋·遼寧遼陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，AB=6，BC=8，在BC的延長(zhǎng)線上有一動(dòng)點(diǎn)E，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段DF，連接OF，則線段OF的最小值為

【變式10-3】（2021秋·浙江寧波·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Q是一次函數(shù)y=-12x+4的圖象上一動(dòng)點(diǎn)，將Q繞點(diǎn)C（2，0）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)P，連接PO，設(shè)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則P點(diǎn)坐標(biāo)為

專題23.1圖形的旋轉(zhuǎn)【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象】 1【題型2判斷一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)而成的圖案】 3【題型3找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對(duì)應(yīng)點(diǎn)】 5【題型4利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明】 8【題型5利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解】 15【題型6判斷旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形】 21【題型7作圖-旋轉(zhuǎn)變換】 23【題型8求饒某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)】 30【題型9旋轉(zhuǎn)中的規(guī)律探究】 35【題型10旋轉(zhuǎn)中的最值問題】 38【知識(shí)點(diǎn)1旋轉(zhuǎn)的定義】在平面內(nèi)，把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。我們把旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向稱為旋轉(zhuǎn)的三要素?！绢}型1生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象】【例1】（2023春·廣東揭陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列現(xiàn)象：①地下水位逐年下降，②傳送帶的移動(dòng)，③方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)，④水龍頭的轉(zhuǎn)動(dòng)；其中屬于旋轉(zhuǎn)的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的概念解答即可．【詳解】解：①地下水位逐年下降，不是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象；②傳送帶的移動(dòng)，不是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象；③方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)，是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象；④水龍頭的轉(zhuǎn)動(dòng)，是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的概念：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某一個(gè)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)．【變式1-1】（2023春·江蘇·九年級(jí)期中）將數(shù)字“6”旋轉(zhuǎn)180°，得到數(shù)字“9”，將數(shù)字“9”旋轉(zhuǎn)180°，得到數(shù)字“6”，現(xiàn)將數(shù)字“689”整體旋轉(zhuǎn)180°，得到的數(shù)字是【答案】689【分析】直接利用中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)結(jié)合“689”的特點(diǎn)得出答案．【詳解】解：將數(shù)字“689”整體旋轉(zhuǎn)180°，得到的數(shù)字是：689．故答案為：689．【點(diǎn)睛】此題主要考查了生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，能夠想象出旋轉(zhuǎn)后的圖形是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（2021春·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）“玉兔”在月球表面行走的動(dòng)力主要來自太陽(yáng)光能，要使接收太陽(yáng)光能最多，就要使光線垂直照射在太陽(yáng)光板上．現(xiàn)在太陽(yáng)光如圖照射，那么太陽(yáng)光板繞支點(diǎn)A逆時(shí)針最小旋轉(zhuǎn)（

）可以使得接收光能最多．A．46° B．44° C．36° D．54°【答案】B【分析】根據(jù)垂直的定義和旋轉(zhuǎn)方向，計(jì)算可得．【詳解】解：由題意可得：若要太陽(yáng)光板于太陽(yáng)光垂直，則需要繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°-（180°-134°）=44°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)際生活中的垂直的定義，旋轉(zhuǎn)的定義，解題的關(guān)鍵是理解旋轉(zhuǎn)分為順時(shí)針和逆時(shí)針．【變式1-3】（2020秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）摩天輪上以等間隔的方式設(shè)置36個(gè)車廂，車廂依順時(shí)針方向分別編號(hào)為1號(hào)到36號(hào)，且摩天輪運(yùn)行時(shí)以逆時(shí)針方向等速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一圈花費(fèi)30分鐘，若圖2表示21號(hào)車廂運(yùn)行到最高點(diǎn)的情形，則此時(shí)經(jīng)過多少分鐘后，3號(hào)車廂才會(huì)運(yùn)行到最高點(diǎn)？（

）A．14分鐘 B．20分鐘 C．15分鐘 D．452【答案】C【分析】先求出從21號(hào)旋轉(zhuǎn)到3號(hào)旋轉(zhuǎn)的角度占圓大小比例，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)一圈花費(fèi)30分鐘解答即可．【詳解】解：36?21+336所以經(jīng)過20分鐘后，3號(hào)車廂才會(huì)運(yùn)行到最高點(diǎn)．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，理清題意，得出從21號(hào)旋轉(zhuǎn)到3號(hào)旋轉(zhuǎn)的角度占圓大小比例是解答本題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)】（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。理解以下幾點(diǎn)：（1）圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等。（3）圖形的大小與形狀都沒有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置?！绢}型2判斷一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)而成的圖案】【例2】（2020春·山西晉城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如果齒輪A以逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，齒輪E旋轉(zhuǎn)的方向（）A．順時(shí)針 B．逆時(shí)針C．順時(shí)針或逆時(shí)針 D．不能確定【答案】B【分析】根據(jù)圖示進(jìn)行分析解答即可．【詳解】齒輪A以逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，齒輪B以順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，齒輪C以逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，齒輪D以順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，齒輪E以逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，故選B．【點(diǎn)睛】此題考查旋轉(zhuǎn)問題，關(guān)鍵是根據(jù)圖示進(jìn)行解答．【變式2-1】（2022秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，圖2是由圖1經(jīng)過平移得到的，圖2還可以看作是由圖1經(jīng)過怎樣的變換得到的？現(xiàn)給出兩種變換方式：①2次旋轉(zhuǎn)；②2次軸對(duì)稱．下面說法正確的是（

）A．①②都不可行 B．①②都可行 C．只有①可行 D．只有②可行【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱的概念判斷即可．【詳解】如圖，圖1繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°得到右邊倒著的圖1，然后把此圖繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得到圖2；如圖，把圖1沿著直線AB對(duì)稱得到右邊的圖1，然后把此圖沿直線CD對(duì)稱得到圖2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱變換，掌握旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022秋·上海浦東新·九年級(jí)校聯(lián)考期末）圖2是由圖1經(jīng)過某一種圖形的運(yùn)動(dòng)得到的，這種圖形的運(yùn)動(dòng)是（

）A．平移 B．翻折 C．旋轉(zhuǎn) D．以上三種都不對(duì)【答案】C【詳解】解：根據(jù)圖形可知，這種圖形的運(yùn)動(dòng)是旋轉(zhuǎn)而得到的，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，熟記圖形的旋轉(zhuǎn)的定義（把一個(gè)平面圖形繞平面內(nèi)某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，叫做圖形的旋轉(zhuǎn)）是解題關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，下列的圖案是由什么基本圖案經(jīng)怎樣的旋轉(zhuǎn)得到的，把它畫出來？【答案】見解析【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）；（2）；（3）；以上基本圖案繞著對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周得到．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)正確作圖是解本題的關(guān)鍵．【題型3找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對(duì)應(yīng)點(diǎn)】【例3】（2023春·福建漳州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在7×5方格紙中，格點(diǎn)三角形甲經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后得到格點(diǎn)三角形乙，則其旋轉(zhuǎn)中心是（

）

A．點(diǎn)M B．點(diǎn)N C．點(diǎn)P D．點(diǎn)Q【答案】A【分析】先確定點(diǎn)A與點(diǎn)E為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)F為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得旋轉(zhuǎn)中心在AE的垂直平分線上，也在BF的垂直平分線上，所以作AE的垂直平分線和BF的垂直平分線，它們的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．【詳解】解：∵甲經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后得到乙，∴點(diǎn)A與點(diǎn)E為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)F為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，∴旋轉(zhuǎn)中心在AE的垂直平分線上，也在BF的垂直平分線上，作AE的垂直平分線和BF的垂直平分線，它們的交點(diǎn)為M點(diǎn)，如圖，

即旋轉(zhuǎn)中心為M點(diǎn)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．【變式3-1】（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，ΔABC和ΔADC都是等邊三角形.（1）ΔABC沿著______所在的直線翻折能與ΔADC重合；（2）如果ΔABC旋轉(zhuǎn)后能與ΔADC重合，則在圖形所在的平面上可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)是______；（3）請(qǐng)說出2中一種旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)______.【答案】（1）AC；（2）.點(diǎn)A、點(diǎn)C或者線段AC的中點(diǎn)；（3）60°【分析】(1)因?yàn)棣BC和ΔADC有公共邊AC，翻折后重合，所以沿著直線AC翻折即可；（2）將△ABC旋轉(zhuǎn)后與ΔADC重合，可以以點(diǎn)A、點(diǎn)C或AC的中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心；（3）以點(diǎn)A、點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心時(shí)都旋轉(zhuǎn)60°，以AC中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)旋轉(zhuǎn)180°.【詳解】(1)∵ΔABC和ΔADC都是等邊三角形，∴ΔABC和ΔADC是全等三角形，∴△ABC沿著AC所在的直線翻折能與△ADC重合.故填A(yù)C;(2)將△ABC旋轉(zhuǎn)后與ΔADC重合，則可以以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°或以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，或以AC的中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°即可；（3）以點(diǎn)A、點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心時(shí)都旋轉(zhuǎn)60°，以AC中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)旋轉(zhuǎn)180°.【點(diǎn)睛】此題考查平移的對(duì)稱軸確定的方法、旋轉(zhuǎn)中心確定的方法，依照平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)來確定即可.【變式3-2】（2022秋·河北石家莊·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD旋轉(zhuǎn)后能與正方形CDEF重合，那么點(diǎn)A，B，C，D中，可以作為旋轉(zhuǎn)中心的有個(gè)．【答案】2．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分類討論確定旋轉(zhuǎn)中心．【詳解】解：把正方形ABCD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°能與正方形CDEF重合，則旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)D；把正方形ABCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°能與正方形CDEF重合，則旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)C；綜上，可以作為旋轉(zhuǎn)中心的有2個(gè)．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)．【變式3-3】（2023春·山東菏澤·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)A、B都在格點(diǎn)上．線段AB繞著某一定點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α0°<α<180°后，得到線段A'B'（點(diǎn)A'、B'分別是A、

【答案】90°【分析】首根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)O，即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接AA',BB'∴點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，∴∠AOA'=90°

故答案為：90°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)角度的確定，畫出圖形能快速解決問題．【題型4利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明】【例4】（2023春·河南南陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°，點(diǎn)D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AD、CD．

(1)把△ACD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到了△CBE如圖1，旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)______，旋轉(zhuǎn)角是______．(2)在（1）的條件下，延長(zhǎng)AD交BE于F，求證：AF⊥BE．(3)在圖1中，若∠CAD=30°，把△ACD繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ECB，如圖2，若旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角是多少度時(shí)，DE∥【答案】(1)C，90°(2)證明見解析(3)30°或210°【分析】（1）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的概念回答即可；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠CAD=∠CBE，對(duì)頂角∠AMC=∠FMB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理推出∠AFB=∠ACB=90°，結(jié)論即可得證；（3）結(jié)合圖形，由平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：在圖1中，點(diǎn)C是三角形ACD的旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角為90°；故答案為：C，90°（2）證明：由△ACD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到了△CBE可知，∠CBE=∠CAD在△CAM中，∠ACB=180°?∠CAD?∠AMC，在△FMB中，∠MFB=180°?∠CBE?∠FMB，而∠AMC=∠FMB∴∠MFB=∠ACB=90°，即AF⊥BE（3）解：如圖，依題意得∠CED=30°，當(dāng)點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部時(shí)，∵DE∥AC，∴∠ACE=∠CED=30°，當(dāng)點(diǎn)D'在△ABC∵D'E'∥AC，∴∠ACE∴△D'CE'繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)360°?∠ACE綜上所述，當(dāng)△ACD旋轉(zhuǎn)角是30°或210°時(shí)，DE∥故答案為：30°或210°

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)及性質(zhì)，垂直定義，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，正確理解相關(guān)的概念及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023秋·山西陽(yáng)泉·九年級(jí)?？计谀┌褍蓚€(gè)全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角邊均為4）疊放在一起（如圖1），且使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，現(xiàn)將三角板EFG繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角α滿足條件：0°<α<90°），四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角形的重疊部分（如圖2）．在上述旋轉(zhuǎn)過程中．

(1)BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系?(2)四邊形CHGK的面積有何變化?請(qǐng)證明你的發(fā)現(xiàn)．【答案】(1)BH=CK(2)四邊形CHGK的面積在旋轉(zhuǎn)過程中沒有變化，始終為4，證明見解析【分析】（1）先由ASA證出△CGK≌△BGH，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BH=CK．（2）四邊形CHGK的面積不變，面積為4．利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．【詳解】（1）解：結(jié)論：BH=CK．理由：∵點(diǎn)O是等腰直角三角板ABC斜邊中點(diǎn)，∴∠B=∠GCK=45°，BG=CG，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，知∠BGH=∠CGK，∴△BGH≌△CGK(ASA∴BH=CK．（2）四邊形CHGK的面積不變，面積為4．理由：∵△BGH≌△CGK，∴S∴S【點(diǎn)睛】此題是幾何變換的綜合題，主要考查了全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有改變．【變式4-2】（2023秋·山西晉城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與探究在△ABC中，AB=AC，∠CAB的角度記為α．(1)操作與證明；如圖①，點(diǎn)D為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α至AE位置，連接DE，CE．求證：BD=CE；(2)探究與發(fā)現(xiàn)：如圖②，若α=90°，點(diǎn)D變?yōu)锽C延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α至AE位置，連接DE，CE．可以發(fā)現(xiàn)：線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系是___________；(3)判斷與思考；判斷（2）中線段BD和CE的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)BD=CE(3)BD⊥CE，理解見解析【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=AE，∠DAE=∠CAB，從而證明△BAD≌△CAE，即可得到結(jié)論；（2）同第（1）小題的方法，證明△BAD≌△CAE，即可得到結(jié)論；（3）由（2）可得△BAD≌△CAE，從而得∠B=∠ACE=45°，進(jìn)而即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α至AE位置，∠CAB=α，∴AD=AE，∠DAE=∠CAB=α，∴∠CAB?∠CAD=∠DAE?∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE．（2）解：∵α=90°，由旋轉(zhuǎn)可知：AD=AE，∠DAE=∠CAB=90°，∴∠CAB+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE．故答案為：BD=CE．（3）BD⊥CE，理由如下：∵∠CAB=α=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，由（2）可得：△BAD≌△CAE，∴∠ACE=∠B=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，∴BD⊥CE．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．掌握三角形全等的證明是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022秋·上海靜安·九年級(jí)上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)校考期中）已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，將△ABC繞點(diǎn)B

(1)當(dāng)C轉(zhuǎn)到AB邊上點(diǎn)C'位置時(shí)，A轉(zhuǎn)到A'，（如圖1所示）直線CC'和AA'相交于點(diǎn)D，試判斷線段AD和線段A'D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)將Rt△ABC繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)AD=A'D，理由見詳解(2)仍然成立，理由見詳解【分析】（1）易證△BCC'和△BAA'都是等邊三角形，從而可以求出∠AC'D=∠BAD=60°，∠DC'A'=∠DA'C'=30°，進(jìn)而可以證到AD=DC'=A'D；（2）過點(diǎn)A作AE∥A'C'，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由“ASA”可證△ADE≌△A'DC'，可得AD=A【詳解】（1）AD=A'D．理由如下：如圖1，∵Rt△A'BC'≌∴BC=BC'，BA=BA'，∵∠A'BC'=∠ABC=60°，∴△BCC'和△BAA'都是等邊三角形，∴∠BAA'=∠BC'C=60°，∵∠A'C'B=90°，∴∠DC'A'=30°，∵∠AC'D=∠BC'C=60°，∴∠ADC'=60°，∴∠DA'C'=30°，∴∠DAC'=∠DC'A，∠DC'A'=∠DA'C'，∴AD=DC'，DC'=DA'，∴AD=A'D；（2）仍然成立：AD=A'D，如圖2：過點(diǎn)A作AE∥A'C'，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則∠1=∠2，∠E=∠3，

由旋轉(zhuǎn)可得，AC=A'C'，BC=BC'，∴∠4=∠5，∵∠ACB=∠A'C'B=90°，∴∠5+∠6=∠3+∠4=90°，∴∠3=∠6，∴∠E=∠6，∴AE=AC=A'C'，在△ADE與△A'DC'中，∠1=∠2AE=∴△ADE≌△A'DC'(ASA∴AD=A'D；【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【題型5利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解】【例5】（2023秋·安徽滁州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，正方形ABCD中，E為DC邊上一點(diǎn)，且DE=2．將AE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接AF，F(xiàn)C．則線段FC的長(zhǎng)度是（

）

A．2 B．22 C．2 D．【答案】B【分析】延長(zhǎng)DC，過點(diǎn)F作FH⊥DC于點(diǎn)H，證明△ADE≌△EHF，得出FH=DE=2，AD=EH，證明CH=DE，根據(jù)勾股定理求出CF=C【詳解】解：延長(zhǎng)DC，過點(diǎn)F作FH⊥DC于點(diǎn)H，如圖所示：

則∠H=90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，AE=EF，∠AEF=90°，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠D=90°，AD=CD，∴∠AED+∠FEH=∠FEH+∠EFH=90°，∴∠AED=∠EFH，∵∠D=∠H=90°，∴△ADE≌△EHF，∴FH=DE=2，AD=EH，∵AD=CD，∴EH=CD，∴DC?EC=EH?EC，∴CH=DE，∴在Rt△CFH中，根據(jù)勾股定理得：CF=故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，證明△ADE≌△EHF．【變式5-1】（2022秋·河南許昌·九年級(jí)許昌市第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度得到△ADE，當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上時(shí)，則CD的長(zhǎng)為（

A．1.4 B．1.6 C．1.8 D．2【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到AD=AB，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AD=AB，∵∠B=60°，∴△ADB為等邊三角形，∴BD=AB=2，∴CD=CB?BD=1.6，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在平行四邊形ABCD中，AD=BD=4，BD⊥AD，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，將DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DF，連接BF．

(1)求證BF=AE；(2)若BF所在的直線交AC于點(diǎn)M，求OM的長(zhǎng)度；(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在△OBC的外部，構(gòu)成四邊形DEMF時(shí)，求四邊形DEMF的面積．【答案】(1)見解析(2)2(3)16【分析】（1）由“SAS”可證△ADE≌△BDF，可得BF=AE；（2）過D作DN⊥AO于N，由“AAS”可證△DON≌△BOM，可得OM=ON，由勾股定理可求AO的長(zhǎng)，由面積法可求DN的長(zhǎng)，由勾股定理可求解；（3）將△DEN繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DFG，通過證明四邊形DNMG為正方形，即可求解．【詳解】（1）解：證明：∵DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DF，∴DE=DF，∠EDF=90°，∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，∴∠ADE=∠BDF，∵AD=BD，∴△ADE≌△BDF(SAS∴BF=AE；（2）如圖，過D作DN⊥AO于N，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO，BO=DO=2，∵△ADE≌△BDF，∴∠DAE=∠DBF，∵∠ADB=90°，∠AOD=∠BOC，∴∠DAE+∠AOD=∠DBF+∠BOC=90°，∴∠BMO=90°，∵∠DNO=∠BMO=90°，∠DON=∠BOM，BO=DO，∴△DON≌△BOM(AAS∴OM=ON，∵AD=4，DO=2，∠ADB=90°，∴AO=A∵S∴DN=2×4∴NO=D∴OM=ON=2（3）如圖，過D作DN⊥AO于N，將△DEN繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DFG，

∴DG=DN，∠DNE=∠DGF=90°，∠DEN=∠DFG，∵∠EDF=∠FME=90°，∴∠DEM+∠DFM=180°，∴∠DFG+∠DFM=180°，∴點(diǎn)G，點(diǎn)F，點(diǎn)M三點(diǎn)共線，∵∠DGF=∠DNM=∠FMN=90°，∴四邊形DNMG是矩形，又∵DN=DG，∴四邊形DNMG為正方形，∴S【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022秋·北京大興·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在線段AB上，連接BE．下列結(jié)論：①DC平分∠ADE；②∠BDE=∠BCE；③BD⊥BE；④BC=DE．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是【答案】①②③【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)不變性得出∠A=∠CDA，∠A=∠CDE，得出∠CDA=∠CDE，即可判斷①，設(shè)BC,DE交于點(diǎn)F，根據(jù)外角的性質(zhì)得出∠BFE=∠FCE+∠FEC=∠FDB+∠FBD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠ABC=∠DEC，進(jìn)而即可判斷②，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，證明∠DBE+∠DCE=180°，即可判斷③，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，DE=AB，而AB≠BC，即可判斷④，即可求解．【詳解】解：∵△DCE是由△ACB旋轉(zhuǎn)得到，∴CA=CD，∴∠A=∠CDA，∴∠CDA=∠CDE，∴CD平分∠ADE；故①正確，如圖，設(shè)BC,DE交于點(diǎn)F，∴∠BFE=∠FCE+∠FEC=∠FDB+∠FBD∵旋轉(zhuǎn)，∴∠ABC=∠DEC，∴∠BDE=∠BCE，故②正確；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠ACD=∠BCE，∵CA=CD，∴∠CAD=∠CDA=∠CBE=∠CEB，∵∠ABC+∠CAB+∠ACD+∠DCB=180°，∴∠ABC+∠CBE+∠DCB+∠BCE=180°，∴∠DCE+∠DBE=180°，∵∠DCE=90°，∴∠DBE=90°，∴BE⊥AB；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，DE=AB，而AB≠BC，∴BC≠DE，故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【題型6判斷旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形】【例6】（2020秋·河南許昌·九年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀理解并解決問題：一般地，如果把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度α（α小于360°）后，能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，α叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的一個(gè)旋轉(zhuǎn)角．請(qǐng)依據(jù)上述定義解答下列問題：（1）請(qǐng)寫出一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)圖形有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角是90°，這個(gè)圖形可以是______；（2）為了美化環(huán)境，某中學(xué)需要在一塊正六邊形空地上分別種植六種不同的花草，現(xiàn)將這塊空地按下列要求分成六塊：①分割后的整個(gè)圖形必須既是軸對(duì)稱圖形又是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形；②六塊圖形的面積相同；請(qǐng)你按上述兩個(gè)要求，分別在圖中的兩個(gè)正六邊形中畫出兩種不同的分割方法（只要求畫圖正確，不寫作法）．【答案】（1）正方形(答案不唯一，例如正八邊形、圓等)；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的定義解答即可；（2）先作出正六邊形的旋轉(zhuǎn)中心，再根據(jù)圖形既是軸對(duì)稱圖形又是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形進(jìn)行作圖即可．【詳解】解：(1)正方形(答案不唯一，例如正八邊形、圓等)；故答案為：正方形(答案不唯一，例如正八邊形、圓等)；(2)如圖所示：【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的定義及作圖，正確理解題意、熟練掌握基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2018春·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某校在暑假放假之前舉辦了交通安全教育圖片展活動(dòng)．下列四個(gè)交通標(biāo)志圖中，旋轉(zhuǎn)對(duì)稱形是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱形和各圖形的特點(diǎn)即可求解A、B、C無論旋轉(zhuǎn)多少度都不能與原圖形重合，只有D旋轉(zhuǎn)60°能夠和原來的圖形重合，故選D.點(diǎn)睛：本題考查了旋轉(zhuǎn)對(duì)稱形：繞一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一個(gè)度數(shù)后，仍然與原來的圖形重合，解題的關(guān)鍵是充分理解旋轉(zhuǎn)對(duì)稱形的性質(zhì).【變式6-2】（2018秋·上海松江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在正三角形、正方形、正五邊形和等腰梯形這四種圖形中，是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角，解答即可．【詳解】解：在正三角形、正方形、正五邊形和等腰梯形，只有等邊三角形、正方形、正五邊形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，共3個(gè)．故選C【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的概念：把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角．【變式6-3】（2018·山西呂梁·九年級(jí)統(tǒng)考期中）實(shí)踐與操作：一般地，如果把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度α（α小于360°）后，能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，α叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的一個(gè)旋轉(zhuǎn)角，請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：（1）請(qǐng)寫出一個(gè)有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角是90°旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)圖形可以是；（2）尺規(guī)作圖：在圖中的等邊三角形內(nèi)部作出一個(gè)圖形，使作出的圖形和這個(gè)等邊三角形構(gòu)成的整體既是一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形又是一個(gè)軸對(duì)稱圖形（作出的圖形用實(shí)線，作圖過程用虛線，保留痕跡，不寫做法）．【答案】正方形（或正八邊形或圓等）【詳解】試題分析：（1）根據(jù)一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°后，能夠與原來的圖形重合，進(jìn)行判斷即可；（2）先作出正三角形的旋轉(zhuǎn)中心，再根據(jù)圖形既是一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，又是一個(gè)軸對(duì)稱圖形進(jìn)行作圖即可．試題解析：（1）有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角是90°旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)圖形可以是正方形或正八邊形或圓等（答案不唯一），（2）如圖所示，（答案不唯一）點(diǎn)睛：如果某一個(gè)圖形圍繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于360°）后能與原圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形．常見的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形有：線段，正多邊形，平行四邊形，圓等．【知識(shí)點(diǎn)3利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖】旋轉(zhuǎn)有兩條重要性質(zhì)：任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，它就是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖的關(guān)鍵。步驟可分為：①連：即連接圖形中每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心；②轉(zhuǎn)：即把直線按要求繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過一定角度（作旋轉(zhuǎn)角）③截：即在角的另一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，的到各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；④接：即連接到所連接的各點(diǎn)?！绢}型7作圖-旋轉(zhuǎn)變換】【例7】（2023秋·甘肅隴南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,1)，B(4,2)，C(3,4)．(1)請(qǐng)畫出△ABC繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°的△A(2)在x軸上求作一點(diǎn)P，使△PAB的周長(zhǎng)最小，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)見解析，坐標(biāo)為：A2(?1,?1)，B2(2)(2,0)【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A2、B2、（2）找出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B與x軸相交于一點(diǎn)，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，然后利用待定系數(shù)法求A'B的解析式，求出A【詳解】（1）∵△ABC繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△A2B2C2，即點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為又A1,1，B4,2，∴A2?1,?1，B2如圖：順次鏈接A2、B2、C2（2）如圖，作點(diǎn)A1,1關(guān)于x軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'1,?1，連接A'B，點(diǎn)P即為A'B設(shè)A'B的解析式為y=kx+b，過點(diǎn)A'?1=k+b2=4k+b解得k=1b=?2A'B的解析式為當(dāng)y=0時(shí)，x?2=0，解得x=2．此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為2,0．【點(diǎn)睛】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，利用平移變換作圖，軸對(duì)稱確定最短路線問題，待定系數(shù)法求直線解析式，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·山東棗莊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的位置如圖所示，（每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形）．(1)將△ABC沿x軸方向向左平移6個(gè)單位，畫出平移后得到的△(2)將△ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后得到的△AB(3)△AB2C2可看作由△A1B1C1繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成，點(diǎn)A1，B【答案】(1)見解析(2)見解析(3)?2【分析】（1）先找到A、B、C對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、B（2）先找到B、C對(duì)應(yīng)點(diǎn)B2、C（3）根據(jù)點(diǎn)P一定在AA1的垂直平分線上，也在B1B2的垂直平分線上，可得到點(diǎn)P【詳解】（1）解：如圖所示，△A（2）解：如圖所示，△AB（3）解：由（1）（2）可知A1∵旋轉(zhuǎn)中心一定在AA1的垂直平分線上，也在∴點(diǎn)P即為AA1的線段垂直平分線和∴點(diǎn)P在直線x=?5+1設(shè)P?2∴PB∵PB∴4?m2∴m2解得m=?2，∴P?2故答案為：?2，【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化——平移和旋轉(zhuǎn)，畫旋轉(zhuǎn)圖形和平移圖形，找旋轉(zhuǎn)中心，勾股定理等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·河南平頂山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，小正方形的頂點(diǎn)稱作格點(diǎn)，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，把△ABC先向右平移6個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位得△A1B1C1，再將△A

(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出△A1B(2)圖中的△A2B2C1能不能通過順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ABC得到？如果可以，請(qǐng)寫出旋轉(zhuǎn)中心【答案】(1)見解析(2)能，D1,?2，【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、B（2）利用旋轉(zhuǎn)方式分別作出A1、B1、（3）旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的中垂線的的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：△A1B

（2）解：如圖所示，△ABC可以繞點(diǎn)D1,?2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到△∴旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為D1,?2，旋轉(zhuǎn)角度α=90°【點(diǎn)睛】本題考查作圖—旋轉(zhuǎn)變換，平移變換等知識(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都交于一點(diǎn)，交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心；確定平移后圖形的基本要素有兩個(gè)：平移方向、平移距離；作圖時(shí)要先找到圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，分別把這幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)按照平移的方向和距離確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)后，再順次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可得到平移后的圖形．解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，平移變換的性質(zhì)．【變式7-3】（2022春·四川達(dá)州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有A?1,2，B?3,1，(1)畫出△ABC向右平移三個(gè)單位的△A1B(2)將△ABC繞C點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2B(3)求（1）中△ABC所掃過的面積．【答案】(1)圖見解析，B(2)圖見解析，B(3)12.5【分析】（1）直接將三角形向右平移三格，再根據(jù)圖中可直接得到答案；（2）將三角形繞C點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°，再根據(jù)圖中可直接得到答案；（3）由題意可得掃過的面積可表示為平行四邊形AA【詳解】（1）△A1B故答案為：0，（2）△A2B2C2即為故答案為：?2（3）由題意可得掃過的面積可表示為平行四邊形AA而三角形面積可用包圍住本身的一個(gè)正方形減去三個(gè)小三角形的面積，則面積為：3×3+3×3?∴△ABC掃過的面積：12.5．【點(diǎn)睛】本題考查的是作圖旋轉(zhuǎn)變換，熟知圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【題型8求饒某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)】【例8】（2022秋·黑龍江牡丹江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）菱形OABC如圖放置，點(diǎn)C坐標(biāo)是(3，4)，先將菱形向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，然后沿x軸翻折，最后繞坐標(biāo)原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°得到菱形OABC的對(duì)角線交點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是．【答案】（-3，2）或（3，-2）【分析】先由菱形的性質(zhì)求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出對(duì)角線交點(diǎn)M坐標(biāo)以及平移以后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，最后根據(jù)繞坐標(biāo)原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】延長(zhǎng)BC交y軸于N，連接OB、AC交于點(diǎn)M，∵點(diǎn)C坐標(biāo)是(3，4)，∴ON=4,CN=3，∴OC=5，∵菱形OABC，∴OC=OA=5，M為AC中點(diǎn)，∴A點(diǎn)坐標(biāo)（5,0），∴M點(diǎn)坐標(biāo)(4,2)，∴將菱形向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后M點(diǎn)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為(?2,3)，∴再把點(diǎn)(?2,3)沿x軸翻折后對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(?2,?3)，∵在坐標(biāo)平面內(nèi)繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°，∴對(duì)應(yīng)點(diǎn)橫縱坐標(biāo)絕對(duì)值互換作為對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)絕對(duì)值，再根據(jù)所在象限確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)∴若是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限，坐標(biāo)為（-3，2），若是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，坐標(biāo)為（3，-2），綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，2）或（3，-2），故答案為：（-3，2）或（3，-2）．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的變化，熟練掌握菱形的性質(zhì)以及平移、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2018·河北保定·九年級(jí)校聯(lián)考期末）正方形ABCD在坐標(biāo)系中的位置如圖所示，將正方形ABCD繞D點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，2） B．（2，0） C．（2，1） D．（2，﹣1）【答案】D【分析】利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出正方形ABCD繞D點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后所得的正方形CEFD，則可得到C點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】如圖，正方形ABCD繞D點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到正方形CEFD，則C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F（2，﹣1），故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)：圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)．常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．【變式8-2】（2023春·遼寧錦州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將等邊△OAB放在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)1，0，將△OAB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'

【答案】3【分析】如圖所示，過點(diǎn)B作BH⊥OA于H，先由等邊三角形的性質(zhì)得到OA=OB=AB=1，∠OAB=∠AOB=60°，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠ABB'=∠AOB=60°，BB'【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)B作BH⊥OA于H．

∵A1，0∴OA=OB=AB=1，∠OAB=∠AOB=60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ABB∴∠ABB∴BB∵BH⊥OA，∴OH=AH=1∴BH=O∴B'1故答案為：32【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．【變式8-3】（2022秋·浙江金華·九年級(jí)校考期中）如圖所示，直線y=?43x+4與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，把△AOB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°后得到△AO'【答案】7,3【分析】先確定A3,0，B0,4得到OA=3,OB=4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得到O'【詳解】∵直線y=?43x+4與x軸，y軸分別交于A∴A3,0，B∴OA=3,OB=4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得到O'A=3,O∴O'作B'C⊥x軸，垂足為∴四邊形AO∴O'∴OC=OA+AC=4+3=7，∴點(diǎn)B'的坐標(biāo)是7,3故答案為：7,3．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型9旋轉(zhuǎn)中的規(guī)律探究】【例9】（2022秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知菱形OABC的頂點(diǎn)O0,0，B2,2，若菱形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45°，則第60秒時(shí)，菱形的對(duì)角線交點(diǎn)D的坐標(biāo)為【答案】?1,?1【分析】轉(zhuǎn)動(dòng)前根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得D的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得轉(zhuǎn)動(dòng)后D的坐標(biāo)．【詳解】∵轉(zhuǎn)動(dòng)前菱形OABC的頂點(diǎn)O0,0，B∴D的坐標(biāo)1,1，每秒旋轉(zhuǎn)45°，則第60秒時(shí)得，45°×60=2700°，∵2700°÷360°=7.5周，∴OD與轉(zhuǎn)動(dòng)前位置比，移動(dòng)了半周，∴此時(shí)D的坐標(biāo)為?1,?1．故答案為?1,?1．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2020秋·黑龍江·九年級(jí)校考期中）如圖，將邊長(zhǎng)為1的正三角形AOP沿x軸正方向作無滑動(dòng)的連續(xù)反轉(zhuǎn)，點(diǎn)P依次落在點(diǎn)P1，P2，P3???P【答案】(2020,0)【分析】根據(jù)圖形的翻轉(zhuǎn)，分別得出P1、P2、【詳解】解：由題意可知P1、P2的橫坐標(biāo)是1，P3的橫坐標(biāo)是2.5，P4、P5的橫坐標(biāo)是依此類推下去，P2017、P2018的橫坐標(biāo)是2017，P2019的橫坐標(biāo)是2018.5，P∴P2020的坐標(biāo)是故答案為(2020,0)．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，等邊三角形的性質(zhì)及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，根據(jù)題意得出P1、P2、【變式9-2】（2021秋·廣東東莞·九年級(jí)東莞市光明中學(xué)校考期中）如圖，把正方形鐵片OABC置于平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P1,2在正方形鐵片上，將正方形鐵片繞其右下角的頂點(diǎn)按順時(shí)針方向依次旋轉(zhuǎn)90°，第一次旋轉(zhuǎn)至圖①位置，第二次旋轉(zhuǎn)至圖②位置，…，則正方形鐵片連續(xù)旋轉(zhuǎn)2019次后，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為【答案】（6058，1）【分析】首先求出P1～P5的坐標(biāo)，探究規(guī)律后，利用規(guī)律解決問題．【詳解】解：第一次P1（5，2），第二次P2（8，1），第三次P3（10，1），第四次P4（13，2），第五次P5（17，2），…發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的位置4次一個(gè)循環(huán)，∵2019÷4=504…3，P2019的縱坐標(biāo)與P3相同為1，橫坐標(biāo)為12×504+10=6058，∴P2019（6058，1），故答案為（6058，1）．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形的變化、規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)從特殊到一般的探究規(guī)律的方法，屬于中考常考題型．【變式9-3】（2022秋·甘肅慶陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．現(xiàn)將菱形OABC沿x軸的正方向無滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)，每次翻轉(zhuǎn)60°，連續(xù)翻轉(zhuǎn)2023次，點(diǎn)B的落點(diǎn)依次為B1,B【答案】2699【分析】連接AC，根據(jù)條件可以求出AC，畫出第5次、第6次、第7次翻轉(zhuǎn)后的圖形，容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每翻轉(zhuǎn)6次，圖形向右平移4，由于2023?1=337×6，因此點(diǎn)B1向右平移1348（即337×4），即可到達(dá)點(diǎn)B2023，根據(jù)點(diǎn)B1【詳解】解：連接AC，如圖所示：∵四邊形OABC是菱形，∴OA=AB=BC=OC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC=AB，∴AC=OA，∵OA=1，∴AC=1，畫出第5次、第6次、第7次翻轉(zhuǎn)后的圖形，如圖所示：由圖可知：每翻轉(zhuǎn)6次，圖形向右平移4，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)保持不變，∵2023?1=337×6，∴點(diǎn)B1向右平移1348(即337×4)到點(diǎn)B結(jié)合圖形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求出B1的坐標(biāo)為3∴B2023的坐標(biāo)為1348+故答案為：26992【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，考查了操作、探究、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力，發(fā)現(xiàn)“每翻轉(zhuǎn)6次，圖形向右平移4”是解決本題的關(guān)鍵．【題型10旋轉(zhuǎn)中的最值問題】【例10】（2023春·廣東深圳·九年級(jí)?？计谀﹩栴}情境：在學(xué)習(xí)《圖形的平移和旋轉(zhuǎn)》時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，點(diǎn)D為等邊△ABC的邊BC上一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，連接CE．

(1)【猜想證明】試猜想BD與CE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(2)【探究應(yīng)用】如圖2，點(diǎn)D為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，連接CE，若B、D、E三點(diǎn)共線，求證：EB平分∠AEC；(3)【拓展提升】如圖3，若△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，連接CE．點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中，△DEC的周長(zhǎng)最小值=__________（直接寫答案）【答案】(1)BD=CE，證明見解析(2)見解析(3)2+【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD=AE，∠DAE=60°，由“SAS”可證△ABD≌△ACE，可得BD=CE；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD=AE，∠DAE=60°，由“SAS”可證△ABD≌△ACE，可得∠ADB=∠AEC=120°，從而求得∠AEB=∠BEC=60°，即可得出結(jié)論；（3）連接AE，由旋轉(zhuǎn)可得AD=DE，∠DD