北師大版2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊強(qiáng)化提分系列專題2.4二次根式【十大題型】學(xué)案(學(xué)生版+解析)

專題2.4二次根式【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1辨別二次根式】 1【題型2二次根式有意義的條件】 2【題型3求二次根式的值】 2【題型4由二次根式的非負(fù)性求字母的值】 3【題型5由二次根式的非負(fù)性求字母的的取值范圍】 3【題型6由二次根式的值求參數(shù)】 3【題型7根據(jù)二次根式是整數(shù)求字母的值】 4【題型8逆用二次根式的性質(zhì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式】 4【題型9根據(jù)含隱含條件的參數(shù)范圍化簡二次根式】 4【題型10復(fù)合型二次根式的化簡求值】 4知識點(diǎn)1：二次根式的概念形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，a叫做二次根號，a叫做被開方數(shù).【題型1辨別二次根式】【例1】（23-24八年級下·湖北隨州·期末）下列式子中，是二次根式的是（

）A．π B．35 C．32 【變式1-1】（23-24八年級下·河北唐山·階段練習(xí)）下列各式中，一定是二次根式的是（

）A．?3 B．x2+0.1 C．31?a【變式1-2】（23-24八年級上·重慶萬州·期末）下列各式中，屬于二次根式的是（

）A．2x B．x+12x C．5 D．【變式1-3】（23-24八年級下·甘肅武威·階段練習(xí)）在式子3、x2+1、a+1a<?3、yA．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)知識點(diǎn)2：二次根式有意義的條件(1)二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)；（2）二次根式具有非負(fù)性：a≥0【題型2二次根式有意義的條件】【例2】（23-24八年級下·浙江杭州·階段練習(xí)）若x=3能使下列二次根式有意義，則這個(gè)二次根式可以是（

）A．x?1 B．12?x C．x?4 D．【變式2-1】（24-25八年級上·全國·假期作業(yè)）“△”表示的是一個(gè)二次根式，則“△”不可能是（）A．－1 B．4 C．2 D．8【變式2-2】（23-24八年級下·廣東惠州·期中）若代數(shù)式12?x有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（

A．x≠2 B．x<2 C．x>2 D．x≥2【變式2-3】（23-24八年級下·四川綿陽·階段練習(xí)）函數(shù)y=12?x?x+1自變量A．

B．

C．

D．

知識點(diǎn)3：二次根式的性質(zhì)性質(zhì)1：a2=a（a≥0性質(zhì)2：a2=a=a（a≥0）【題型3求二次根式的值】【例3】（2024·河北張家口·八年級期末）若a=10，則計(jì)算200a2A．205 B．±205 C．±1002【變式3-1】（23-24八年級下·浙江衢州·期中）當(dāng)x=?2時(shí)，二次根式?3x+10的值為（

）A．2 B．±2 C．4 D．±4【變式3-2】（23-24八年級下·四川綿陽·期末）將一次函數(shù)y=kx+b的圖象向上平移9個(gè)單位得到直線y=3x+6，則?kb的值為（

）A．3 B．36 C．±3 D．【變式3-3】（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）（1）當(dāng)a為時(shí)，2a+1＋1的值最小，為；【變式7-1】（23-24八年級上·全國·單元測試）若36n是整數(shù)，則整數(shù)n的所有可能的值為【變式7-2】（2023·河南周口·八年級期末）若m6屬于真分?jǐn)?shù)，任意寫出一個(gè)符合條件的m的值【變式7-3】（23-24八年級下·遼寧營口·階段練習(xí)）12?n是一個(gè)正整數(shù)，則n的最小正整數(shù)是．【題型8逆用二次根式的性質(zhì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式】【例8】（23-24八年級上·上海普陀·期中）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x2+8x﹣11＝．【變式8-1】（23-24八年級上·全國·單元測試）將3x2?4【變式8-2】（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)x2(2)x3(3)4x(4)x2【變式8-3】（23-24八年級上·江蘇無錫·期中）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x4?9【題型9根據(jù)含隱含條件的參數(shù)范圍化簡二次根式】【例9】（23-24八年級下·湖北荊門·階段練習(xí)）已知xy=3，則yxy【變式9-1】（23-24八年級下·北京昌平·期中）數(shù)軸上表示a，b兩個(gè)數(shù)的點(diǎn)的位置如圖所示：化簡：(a?b)2【變式9-2】（23-24八年級下·浙江杭州·期中）若6，8，m為三角形的三邊長，則化簡2?m2+m的結(jié)果為【變式9-3】（23-24八年級上·上海嘉定·階段練習(xí)）化簡：3a2【題型10復(fù)合型二次根式的化簡求值】【例10】（23-24八年級下·云南昆明·期中）有這樣一類題目：將a+2b化簡，如果你能找到兩個(gè)數(shù)m、n，使m2+n2=a且mn=b，則將a+2(1)例如，5+26∴5+2(2)請仿照上例化簡：11?230【變式10-1】（23-24八年級下·山東濰坊·期中）下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．雙層二次根式的化簡二次根式中有一類帶雙層根號的式子，它們能通過完全平方公式及二次根式的性質(zhì)消掉外面的一層根號．例如：化簡3+22，先思考1+3+32通過計(jì)算，我還發(fā)現(xiàn)設(shè)a+b2=m+n22=m+n2（其中m，n，a，b這樣，我就找到了一種把部分a+b2任務(wù)：(1)文中的“根據(jù)1”是________，b=_______；(2)根據(jù)上面的思路，化簡：14?65(3)已知a+43=x+23，其中a，x均為正整數(shù)，求a【變式10-2】（23-24八年級下·河南信陽·階段練習(xí)）(1)化簡：6?25(2)計(jì)算：3?22【變式10-3】（23-24八年級下·江西新余·期中）化簡：(1)12?235(2)5?24(3)4+15專題2.4二次根式【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1辨別二次根式】 1【題型2二次根式有意義的條件】 3【題型3求二次根式的值】 5【題型4由二次根式的非負(fù)性求字母的值】 6【題型5由二次根式的非負(fù)性求字母的的取值范圍】 8【題型6由二次根式的值求參數(shù)】 10【題型7根據(jù)二次根式是整數(shù)求字母的值】 11【題型8逆用二次根式的性質(zhì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式】 13【題型9根據(jù)含隱含條件的參數(shù)范圍化簡二次根式】 15【題型10復(fù)合型二次根式的化簡求值】 17知識點(diǎn)1：二次根式的概念形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，a叫做二次根號，a叫做被開方數(shù).【題型1辨別二次根式】【例1】（23-24八年級下·湖北隨州·期末）下列式子中，是二次根式的是（

）A．π B．35 C．32 【答案】D【分析】本題考查了二次根式的定義，熟記“形如aa≥0【詳解】解：A、π不是二次根式，不符合題意；B、35C、32D、3是二次根式，符合題意；故選：D【變式1-1】（23-24八年級下·河北唐山·階段練習(xí)）下列各式中，一定是二次根式的是（

）A．?3 B．x2+0.1 C．31?a【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的概念，形如aa≥0【詳解】A、?3，含有二次根號，但被開方數(shù)是負(fù)數(shù)，不是二次根式；B、x2+0.1，含有二次根號，且被開方數(shù)C、31?aD、x+1含有二次根號，但當(dāng)x<?1時(shí)，x+1<0，不是二次根式．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的概念，正確理解二次根式有意義的條件是解答本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（23-24八年級上·重慶萬州·期末）下列各式中，屬于二次根式的是（

）A．2x B．x+12x C．5 D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的定義逐項(xiàng)分析判斷即可，形如a(a≥0)【詳解】解：A.2x不是二次根式，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B.x+12xC.5是二次根式，故該選項(xiàng)正確，符合題意；D.3x故選C【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義，理解定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（23-24八年級下·甘肅武威·階段練習(xí)）在式子3、x2+1、a+1a<?3、yA．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】此題主要考查了二次根式的定義，根據(jù)二次根式的定義：一般地，我們把形如aa≥0【詳解】解：3、x2+1、、y2當(dāng)a<?3，a+1<0，則a+1無意義，綜上，是二次根式的有4個(gè)，故選：D．知識點(diǎn)2：二次根式有意義的條件(1)二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)；（2）二次根式具有非負(fù)性：a≥0【題型2二次根式有意義的條件】【例2】（23-24八年級下·浙江杭州·階段練習(xí)）若x=3能使下列二次根式有意義，則這個(gè)二次根式可以是（

）A．x?1 B．12?x C．x?4 D．【答案】A【分析】本題考查二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件：根號下的數(shù)大于等于零，是解題的關(guān)鍵，根據(jù)二次根式有意義的條件逐一判斷即可得到答案．【詳解】A、x?1有意義的條件是x?1≥0，則x≥1，x=3能使二次根式有意義，故此選項(xiàng)符合題意；B、12?x有意義的條件是12?x≥0，則x≤2C、x?4有意義的條件是x?4≥0，則x≥4，x=3不能使二次根式有意義，故此選項(xiàng)不符合題意；D、?2x有意義的條件是?2x≥0，則x≤0，x=3不能使二次根式有意義，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【變式2-1】（24-25八年級上·全國·假期作業(yè)）“△”表示的是一個(gè)二次根式，則“△”不可能是（）A．－1 B．4 C．2 D．8【答案】A【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，理解二次根式的被開方數(shù)大于等于零成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式有意義的條件可得△≥0，據(jù)此即可解答．【詳解】解：∵“△”表示的是一個(gè)二次根式，∴△≥0，∴A選項(xiàng)中?1不滿足△≥0，符合題意．故選：A．【變式2-2】（23-24八年級下·廣東惠州·期中）若代數(shù)式12?x有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（

A．x≠2 B．x<2 C．x>2 D．x≥2【答案】B【分析】根據(jù)分式有意義的條件2?x≠0，形如aa≥0的式子叫作二次根式解答．本題考查了二次根式有意義條件，正確理解2?x≥0【詳解】根據(jù)題意，得2?x≠0，且2?x≥0，解得x≤2，且x≠2，故x<2，故選B．【變式2-3】（23-24八年級下·四川綿陽·階段練習(xí)）函數(shù)y=12?x?x+1自變量A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】本題考查了求函數(shù)自變量取值范圍，二次根式有意義的條件及分式有意義的條件、一元一次不等式組的解集在數(shù)軸上的表示．利用二次根式有意義的條件及分式有意義的條件即可求得x>1，把解集在數(shù)軸上表示出來即可求解．【詳解】解：由題意得：2?x>0x+1≥0解得：?1≤x<2，把?1≤x<2在數(shù)軸上表示為：

，知識點(diǎn)3：二次根式的性質(zhì)性質(zhì)1：a2=a（a≥0性質(zhì)2：a2=a=a（a≥0）【題型3求二次根式的值】【例3】（2024·河北張家口·八年級期末）若a=10，則計(jì)算200a2A．205 B．±205 C．±1002【答案】A【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)和化簡，先根據(jù)a=10求出a【詳解】∵a=∴a∴200故選：A．【變式3-1】（23-24八年級下·浙江衢州·期中）當(dāng)x=?2時(shí)，二次根式?3x+10的值為（

）A．2 B．±2 C．4 D．±4【答案】C【分析】本題考查求二次根式的值，先將x=?2代入，再利用二次根式的性質(zhì)化簡求解即可．【詳解】當(dāng)x=?2時(shí)，?3x+10=故選：D．【變式3-2】（23-24八年級下·四川綿陽·期末）將一次函數(shù)y=kx+b的圖象向上平移9個(gè)單位得到直線y=3x+6，則?kb的值為（

）A．3 B．36 C．±3 D．【答案】A【分析】先根據(jù)平移的性質(zhì)和規(guī)律求出k、b，然后把k、b的值代入所求式子計(jì)算即可．【詳解】解：∵將一次函數(shù)y=kx+b的圖象向上平移9個(gè)單位得到直線y=3x+6，∴k=3，b=?3，∴?kb=故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了直線的平移和二次根式的求值運(yùn)算，直線的平移不改變k的值，遵循上加下減、左加右減的規(guī)律，熟練掌握上述知識是關(guān)鍵．【變式3-3】（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）（1）當(dāng)a為時(shí)，2a+1＋1的值最小，為；（2）當(dāng)a為時(shí)，4?(a+2)2的值最大，為【答案】?121【分析】本題主要考查二次根式的性質(zhì)：（1）根據(jù)2a+1≥0即可求出a（2）根據(jù)a+22≥0即可求出【詳解】解：（1）∵2a+1≥0∴2a+1+1≥1∴2a+1+1此時(shí)2a+1=0，解得a=?1所以，當(dāng)a=?12時(shí)，故答案為：?1（2）∵a+22∴4?a+2∴4?a+2此時(shí)a+22=0，解得所以，當(dāng)a=?2時(shí)，4?a+2故答案為：?2，2【題型4由二次根式的非負(fù)性求字母的值】【例4】（23-24八年級下·浙江·階段練習(xí)）已知2012?a+a?2013=a，則a?A．2011 B．2012 C．2013 D．2014【答案】C【分析】本題考查了二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子aa≥0叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義．根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、絕對值的計(jì)算法則求得a?2013的值，將其代入求值即可．【詳解】解：∵2012?a+∴a?2013≥0，∴a≥2013，則2012?a<0，∴2012?a+∴a?2013=2012∴a?2013=2012∴a?2012故選C．【變式4-1】（23-24八年級上·湖北十堰·期末）已知a、b分別為等腰三角形的兩條邊長，且a、b滿足a=5b?6?412?2b【答案】15【分析】本題考查了二次根式的意義、三角形三邊關(guān)系、等腰三角形的定義等知識，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由a=5則b?6≥0,12?2b≥0即b≥6,b≤6∴b=6∴a=5a、b分別為等腰三角形的兩條邊長∵3+3=6故該等腰三角形是以b=6為腰，a=3為底故周長為：6+6+3=15故答案為：15．【變式4-2】（23-24八年級下·安徽池州·期末）已知：2x+y+2027+x+2y?2024=【答案】1【分析】題目主要考查被開方數(shù)的非負(fù)性，不等式組及二元一次方程組，根據(jù)題意得出(m?n)?2024≥02024?(m?n)≥0，繼而得出m?n=2024，2x+y+2027=0【詳解】解：由題意可知：(m?n)?2024≥0∴(m?n)?2024=0，即m?n=2024．且2x+y+2027+∴2x+y+2027=0x+2y?2024=0①+②÷3∴(x+y)【變式4-3】（23-24八年級下·安徽淮北·期末）已知3x?6+6?3x+y=2024，則2024xyA．20243 B．20242 C．2024 【答案】B【分析】本題主要考查二次根式有意義的條件，掌握被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)非負(fù)性求出x、y的值即可得到答案．【詳解】解：由題意得：3x?6≥06?3x≥0解得x=2，∵2x?6+∴y=2024，∴2024xy故選B．【題型5由二次根式的非負(fù)性求字母的的取值范圍】【例5】（23-24八年級下·湖北恩施·期末）點(diǎn)(m,n)在第一象限，m，n均為整數(shù)，且滿足n=53m?1?3?mA．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的非負(fù)性列出不等式組，解不等式組之后依據(jù)m，n均為整數(shù)代入求值就能求出m，n的值，再計(jì)算m+n即可．【詳解】解：∵n=5∴{5解不等式①，得：m≥3解不等式②，得：m≤3∴原不等式組的解集為35∵m為整數(shù)，∴m=1或2或3．又∵n為整數(shù)，∴當(dāng)m=3時(shí)，n=2，∴m+n=5，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的非負(fù)性和解不等式組，依據(jù)限制條件求出相應(yīng)的參數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2024八年級下·廣東·專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)m滿足m?12=1?m，則m的取值范圍是【答案】m≤1/1≥m【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出m的取值范圍．理解a2【詳解】解：由題意可知：m?1≤0，解得：m≤1，故答案為：m≤1．【變式5-2】（23-24八年級下·四川自貢·期中）如果a+a2?6a+9A．a(chǎn)≤0 B．a(chǎn)≤3 C．a(chǎn)≥?3 D．a(chǎn)≥3【答案】B【詳解】∵a+a∴a2?6a+9∴a?3≤0，∴a≤3.故選B.【變式5-3】（23-24八年級下·浙江杭州·期末）若a?a2=?2a，則【答案】a?0【分析】根據(jù)最簡式的結(jié)果為2a，可知a的取值為非正時(shí)滿足條件．【詳解】解：∵=a?=?2a∴a?0，故答案為a?0．【點(diǎn)睛】本題主要考查將根式化為最簡二次根式，解題關(guān)鍵為去根式要考慮其值究竟為非正還是非負(fù)．【題型6由二次根式的值求參數(shù)】【例6】（23-24八年級下·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）若31×53×A．40 B．50 C．60 D．70【答案】C【分析】本題考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法運(yùn)算、二次根式定義及解一元一次方程等知識，熟練掌握二次根式定義是解決問題的關(guān)鍵．先由二次根式乘法運(yùn)算化簡，再由二次根式定義得到方程2n+1=121，解一元一次方程即可得到答案．【詳解】解：31∵31∴2n+1=11，即2n+1=121，解得故選：D．【變式6-1】（23-24八年級上·河南開封·期末）1?a＝2，則a＝．【答案】?3【分析】首先根據(jù)二次根式有意義的條件得到a≤1，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵1?a=2∴{1?a≥01?a=4，解得故答案為：a=?3．【點(diǎn)睛】本題考查解方程，涉及到二次根有意義的條件和算術(shù)平方根的定義，熟練掌握二次根式的定義及性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式6-2】（23-24八年級下·江蘇揚(yáng)州·期末）已知x=3,那么x2【答案】81【分析】先求出x值，再求平方即可．【詳解】解：∵x=3∴x=9，∴x2故答案為：81．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的意義，掌握二次根式的意義和運(yùn)算方法是正確求解的基本方法．【變式6-3】（2023八年級下·江蘇·周測）已知a為整數(shù)，且滿足a?1<5<a+1，則a的值為【答案】25【分析】利用二次根式的性質(zhì)把5寫成二次根式的形式，再解不等式組求出a的范圍得解．【詳解】解：∵5=25∴a?1<∴24<a<26，又∵a為整數(shù)，∴a=25．故答案為：25．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和不等式組的解法是解決本題的關(guān)鍵．【題型7根據(jù)二次根式是整數(shù)求字母的值】【例7】（23-24八年級上·河北邯鄲·期中）已知6n+4是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)6n+4是整數(shù)，n>0，推出6n+4是完全平方數(shù)，設(shè)6n+4=m2，得到6n=m2?4=m+2m?2，根據(jù)m+2與m?2同奇同偶，m+2=6，m?2=n，或m?2=6，m+2=n【詳解】∵6n+4是整數(shù)，且n>0，∴6n+4是完全平方數(shù)，設(shè)6n+4=m2（則6n=m∵m+2與m?2同奇同偶，∴m+2=6m?2=n，或m?2=6∴m=4n=2，或m=8∴n=2，∴n的最小正整數(shù)值是2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方數(shù)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式分解因式，數(shù)的奇偶性，解方程組．【變式7-1】（23-24八年級上·全國·單元測試）若36n是整數(shù)，則整數(shù)n的所有可能的值為【答案】1，4，9，36【分析】36n是整數(shù)，則36n≥0，且36【詳解】解：∵36n∴36n≥0，且∴①36n=1，即②36n=4，即③36n=9，即④36n=36，即綜上所述，整數(shù)n的所有可能的值為1，4，9，36．故答案是：1，4，9，36．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義，理解36n【變式7-2】（2023·河南周口·八年級期末）若m6屬于真分?jǐn)?shù)，任意寫出一個(gè)符合條件的m的值【答案】25（答案不唯一）【分析】m6屬于真分?jǐn)?shù)，則m<6是整數(shù)，且不能為【詳解】∵m6∴m<6∴可以取m=5，即m=25故答案為：25（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)，理解真分?jǐn)?shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（23-24八年級下·遼寧營口·階段練習(xí)）12?n是一個(gè)正整數(shù)，則n的最小正整數(shù)是．【答案】3【分析】根據(jù)二次根式的定義可得12?n≥0，解得n≤12，再根據(jù)12?n是一個(gè)正整數(shù)，可得12?n=1或4或9，即可得到答案．【詳解】解：由二次根式的定義可得12?n≥0，解得：n≤12，∵12?n是一個(gè)正整數(shù)，∴12?n=1或4或9，解得：n=11或8或3，∴n的最小正整數(shù)是3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義，求得12?n=1或4或9是解題的關(guān)鍵．【題型8逆用二次根式的性質(zhì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式】【例8】（23-24八年級上·上海普陀·期中）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x2+8x﹣11＝．【答案】x+4+33x+4?3【分析】先將x2+8x配方，然后根據(jù)平方差公式求解即可．【詳解】解：x2+8x﹣11＝x2+8x+16﹣16﹣11＝（x+4）2﹣27＝（x+4+33）（x+4﹣33）．故答案為：（x+4+33）（x+4﹣33）．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟練掌握公式法分解因式是解答的關(guān)鍵．【變式8-1】（23-24八年級上·全國·單元測試）將3x2?4【答案】3【分析】利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可．【詳解】解：3故答案為：3x+2【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解常用的方法是解題關(guān)鍵【變式8-2】（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)x2(2)x3(3)4x(4)x2【答案】(1)x+(2)x(3)2x+(4)x?【分析】（1）首先將7化為72（2）首先提取公因式x，將5化為52（3）首先將4x2化為2x2（4）首先將3化為32【詳解】（1）解：x2?7=（2）解：x3?5x（3）解：4x2?11=（4）解：x2?23【點(diǎn)睛】此題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行分解因式，熟練掌握，即可解題．【變式8-3】（23-24八年級上·江蘇無錫·期中）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x4?9【答案】(x+2)(x?2)(x+【分析】先把x2【詳解】x=(=(=(x+2)(x?2)(x+故答案為(x+2)(x?2)(x+【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式主要利用a=(【題型9根據(jù)含隱含條件的參數(shù)范圍化簡二次根式】【例9】（23-24八年級下·湖北荊門·階段練習(xí)）已知xy=3，則yxy【答案】±2【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)將原式進(jìn)行化簡，注意要結(jié)合二次根式有意義的條件進(jìn)行分情況討論【詳解】求解．解：∵xy=3，∴x與y同號，①當(dāng)x>0，y>0時(shí)，原式=y?===23②當(dāng)x<0，y<0時(shí)，原式=y?=?=?=?23故答案為：±23【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用二次根式有意義的條件．【變式9-1】（23-24八年級下·北京昌平·期中）數(shù)軸上表示a，b兩個(gè)數(shù)的點(diǎn)的位置如圖所示：化簡：(a?b)2【答案】2【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡、整式的加減、數(shù)軸，正確得出a，b的符號是解題關(guān)鍵．觀察數(shù)軸可得?2<a<?1,1<b<2，從而得到a?b<0,a+1<0,b?1>0，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，即可求解．【詳解】解：由數(shù)軸可得?2<a<?1,1<b<2，∴a?b<0,a+1<0,b?1>0，∴(a?b)==?a+b+a+1?b+1=2．【變式9-2】（23-24八年級下·浙江杭州·期中）若6，8，m為三角形的三邊長，則化簡2?m2+m的結(jié)果為【答案】2m?2/?2+2m【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系及二次根式的性質(zhì)，掌握三角形的三邊關(guān)系及二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定m的取值范圍，根據(jù)a2【詳解】解：∵6，8，m為三角形的三邊長，∴2<m<14，∴2?m2