2024屆遼寧省北鎮(zhèn)市高中高三上學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)試題及答案

2023～2024學(xué)年度第一學(xué)期第四次月考高三數(shù)學(xué)試卷考試時間120分鐘試卷滿分150分一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分）27,xAx3xBxZ2x2AB1.設(shè)集合，，則（）22x2x30,1A.B.C.）C.D.，則（z342.已知復(fù)數(shù)z滿足z145255A.B.D.D.5553.若圓錐的母線長為6，其側(cè)面展開圖的面積為12π，則這個圓錐的體積為（）2πA.24πB.8πC.162π3aab4.已知a，b是單位向量，若1，則在b上的投影向量為（a）11a13abbD.A.B.C.3335.設(shè)aR,若直線l:ax2y801與直線l:x(ay402a平行,則的值為A.1B.11C.2或1D.1或2x16.已知函數(shù)f(x)sin2sinx(0)，xR.若f(x)在區(qū)間,2)內(nèi)沒有零點，則的取值范222圍是1815,158115,A.B.C.D.488487.折扇（圖1）是具有獨特風格的中國傳統(tǒng)工藝品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣．圖COD2中的扇形OCD為一把折扇展開后的平面圖，其中，1，設(shè)向量3mOCOD，nOCkOD，若mn11，則實數(shù)的值為（k）A.1B.3C.7D.14xaexa恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（8.若A.）x1e,D.,B.C.e4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間上是減函數(shù)的是（）1fxexfxC.f(x)x32xD.fxsinxA.B.x10.已知、、l是三條不重合的直線，，是兩個不重合的平面，則下列說法正確的是（）mnA.若//，mm//，則mn，//，B.若，則m//nC.若m//n，m，則nmnm/n/，lm且ln，則l是異面直線，，D.若、中，，，則（）aa251811.在等比數(shù)列nA.n1的公比為4log2an的前20項和為170B.aan3的前項積為an1的前項和為n11aa2C.10235D.nnn212.已知定義在R上的函數(shù)滿足fx2f(x)f(x)，在下列不等關(guān)系中，一定成立的是（）e2ff2e2ff2A.C.B.D.fee2e4f2fee2e4f2三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.，則213.已知銳角滿足tan_______________.的前項和為，若，，則aSn12an13SnNa414.數(shù)列15.在三棱錐n______．nnPABCPA中，是邊長為2的等邊三角形，平面，若P，A，B，C四點都在表面積為16π的球的球面上，則三棱錐PABC的體積為______．A的最大值是,B,Ca,b,c3sinA2sinBcosC，a116.所對邊分別為_______________四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.是首項為的等比數(shù)列，且91，2，a3成等差數(shù)列.a17.已知1n（1）求數(shù)列的通項公式；anbacabc的前項和，求數(shù)列nnSn（2）設(shè)，.n3n1nnnπfxAsin（A0，0，）x018.已知函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為2π．函數(shù)的最大值為2，且______．fx2π6fxx0時fx3；③請從以下3個條件中任選一個，補充在上面橫線上，①為奇函數(shù)；②當πx的一條對稱軸．并解答下列問題：fx是函數(shù)12（1）求函數(shù)的解析式；fxbAfA3，c3，ac中，、，分別是角，B，C（2）在的對邊，若的面積S33a，求的值．-ABCAB，BB1的中點，且AA1ACBC2，19.如下圖，在直三棱柱AB22.中，D，E分別為111ECD（1）求三棱錐的（2）求直線體積；ACD所成角與平面的余弦值.1的前項和為SnSn2an2n6nN．，a*20.設(shè)數(shù)列nn（1）求證數(shù)列a2為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式an．nnn12127258項和T，求m的值，（2）若數(shù)列的前maamnn1中,B,Ca,b,c21.在銳角，內(nèi)角的對邊分別為，且sinCsinBaBbA.absinAsinB（1）求角A的大??；b2c2（2）若外接圓的半徑為3，求的取值范圍.a2hxxax22.已知（1）若有兩個零點，求的取值范圍；hxae1x2e2h0（2）若方程有兩個實根x1、x2，且21，證明：2.axelnxxx2023～2024學(xué)年度第一學(xué)期第四次月考高三數(shù)學(xué)試卷考試時間120分鐘試卷滿分150分一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分）27,xAx3xBxZ2x2AB1.設(shè)集合，，則（）220,1x2x3A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】解指數(shù)不等式化簡集合A，用列舉法表示集合，再進行并集運算即可.Ax3x27,xNxxxN2，【詳解】由題意知BxZ2x20,1，AB2.所以故選：A.，則（）2.已知復(fù)數(shù)z滿足z34z154525A.B.C.D.555【答案】B【解析】zz【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，求出復(fù)數(shù)，然后利用z即可求解.43433342，所以z【詳解】因為復(fù)數(shù)滿足z34zi，552242255所以zz.55故選：B.3.若圓錐的母線長為6，其側(cè)面展開圖的面積為12π，則這個圓錐的體積為（）2πA.24πB.8πC.162πD.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓錐母線即側(cè)面展開圖可求得底面圓半徑，再利用勾股定理可求得圓錐的高為h42，由體積公式即可得結(jié)果.【詳解】由題可知圓錐的側(cè)面展開圖扇形的半徑l6，162r12π42，，解得r2，設(shè)底面圓的半徑為r，則2所以圓錐的高hl2r21162π所以該圓錐的體積V故選：D.π2242.33，則在b上的投影向量為（aab4.已知a，b是單位向量，若1a）11a13abbD.A.B.C.333【答案】D【解析】13ab【分析】根據(jù)已知可推得，進而即可求出投影向量.aabaab1ab0，2【詳解】根據(jù)已知可得13ab所以，.13abbb所以，a在b上的投影向量為故選：D..bb5.設(shè)aR,若直線l:ax2y801與直線l:x(ay402a平行,則的值為2或1D.1或2A.1B.1C.【答案】B【解析】【分析】由a（a+1）﹣2=0，解得a．經(jīng)過驗證即可得出．【詳解】由a（a+1）﹣2=0，解得a=﹣2或1．經(jīng)過驗證：a=﹣2時兩條直線重合，舍去．∴a=1．故選B．【點睛】本題考查了兩條直線平行的充要條件，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．x121,2)內(nèi)沒有零點，則的取值范xR6.已知函數(shù)f(x)sin2sinx(0)，.若f(x)在區(qū)間22圍是1815,158115,A.B.C.D.48848【答案】D【解析】24k+【分析】先把化成f(x)sinx的零點的一般形式為fx，fx，求出4x,kZ2,2)根據(jù)f(x)在區(qū)間k內(nèi)沒有零點可得關(guān)于的不等式組，結(jié)合為整數(shù)可得其相應(yīng)的取值，從而得到k所求的取值范圍.111224【詳解】由題設(shè)有f(x)xsinxsinx，222k+fx0，則有xk,kZ令即4.x,kZ4,2)因為f(x)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，4，k+k+k故存在整數(shù)，使得4145k1k5即，因為0，所以，k1且k，故k1或0k，k42828114580所以故選：D.或8【點睛】本題考查三角函數(shù)在給定范圍上的零點的存在性問題，此類問題可轉(zhuǎn)化為不等式組的整數(shù)解問題，本題屬于難題.7.折扇（圖1）是具有獨特風格的中國傳統(tǒng)工藝品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣．圖COD，1，設(shè)向量2中的扇形OCD為一把折扇展開后的平面圖，其中3mOCOD，nOCkOD，若mn11，則實數(shù)的值為（k）A.1B.3C.7D.14【答案】D【解析】1【分析】先利用題意算出，然后利用數(shù)量積的運算律對2mnkOD11進行化簡，即可求解COD1【詳解】因為，，312所以，3因為向量mOCOD，nOCkOD，mn11，22所以kOD6k42k11，16k42k11，解得k14即2故選：Dxaexa恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（8.若）x1ee,,A.B.C.D.【答案】A【解析】xaexae(e(xx變形為，通過構(gòu)造函數(shù)【分析】將xg(x)(xx(x0)g(x)(xx(x0)g(x)，對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，得到x(0,)單調(diào)遞增，從而得到eaexa恒成x，進而將在區(qū)間xxxa恒立，構(gòu)造函數(shù)G(x)，再對G(x)進行求導(dǎo)，求出G(x)的立轉(zhuǎn)化成ex恒成立，也即xx單調(diào)區(qū)間，即可求出結(jié)果.x【詳解】易知，x0，由aexa，x得到exxxax0，可變形為lne(e(xx0，即e(e(x，xxaexae(e(xx恒成立，即恒成立，所以xx1g(x)(xx(x0)x1g(x)x令令當即，則，x11x1h(x)xh(x)2，則，xxxx2xh(x)0，x)h(x)0時，，時，h(x)(h(x)h20)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,)上恒成立，g(x)0所以，即在區(qū)間g(x)(xx(x0)(0,)上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間又e(e(，所以exxaxx恒成立，x恒成立，也即xa又x0，所以恒立，xx1x令G(x)，則G(x)，xx2x(0,e)Gx0x(e,)Gx時，0當時，，當，即G(x)在區(qū)間(0,e)(e,)上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，1e1故G(x)G(e)，所以a，e故選：A.xaexae(e(xxx【點睛】關(guān)鍵點晴：將變形為，通過構(gòu)造函數(shù)xg(x)(xx(x0)xa，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，得到恒立，再轉(zhuǎn)化成求函數(shù)xG(x)的最值即可解決問題.x4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間上是減函數(shù)的是（）1fxexfxC.f(x)x32xD.fxsinxA.B.x【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)所給條件，逐一分析各選項中函數(shù)的奇偶性及其在區(qū)間上的增減性即可.【詳解】對于A，函數(shù)fxex的定義域為R，是增函數(shù)，A不對；對于B，函數(shù)fxsinx上單調(diào)遞減，B對；的定義域為R，是奇函數(shù)，并且在1，是奇函數(shù)，并且在上單調(diào)遞減，C對；fx(,0)(0,)對于C，函數(shù)對于D的定義域為x2xfxf(x)x32x的定義域為Rf(x)x32xx3f(x)3x2，2數(shù)求導(dǎo)66，函數(shù)單調(diào)遞減，即3x220，解得f(x)0xf(x)x2x遞減區(qū)間是3當，所以3366(,).D不對．33故選：BCmn、l是三條不重合的直線，、，10.已知是兩個不重合的平面，則下列說法正確的是（）A.若//，mm//，則mn，//，B.若，則m//nC.若m//n，m，則nmnm/n/，lm且ln，則l是異面直線，，D.若、【答案】ACD【解析】【分析】由線面、面面的位置關(guān)系對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】若//，mm//，由面面平行的性質(zhì)定理可得成立，故A正確；兩個平行平面內(nèi)的兩條直線位置是平行或異面，即m//n不一定正確，故B錯誤；n若m//n，且m，則，故C正確；am/a，所以存在直線，a//m，又lm，所以la，如圖，因為且滿足同理存在直線b，b且滿足b//n，又ln，所以lb，abAmna是異面直線，所以與相交，設(shè)bab，又，，因為、所以l，故D正確.故選：ACD.中，，，則（）aa251811.在等比數(shù)列nA.n1的公比為4log2an的前20項和為170B.aan3的前項積為an1的前項和為n11aa2C.10235D.nnn2【答案】ABC【解析】【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式計算即可.522q12q38q1【詳解】由題意可知，所以，aa12n12n2n1n2q24a所以，，A對；nnn12an2aaa1018170由上可知：，所以，2n2122220B對；22108235aa10而，C對；1記的前n項和為，則aSnn121212n12n1an1的前n項和，a12322nnSnSn111212D錯，故選：ABC.12.已知定義在R上的函數(shù)滿足2f(x)f(x)，在下列不等關(guān)系中，一定成立的是（）fxe2ff2e2ff2A.C.B.D.fee2e4f2fee2e4f2【答案】AD【解析】fxgx在R上單調(diào)遞減，然后根據(jù)單調(diào)性比較大小即可.【分析】構(gòu)造函數(shù)gx，求導(dǎo)得到e2x2fxfx，所以xf2fx0【詳解】因為fx2fxfx令gx，則gx，e2xe2x因為，，所以，所以在gxR上單調(diào)遞減，f2fxx0e2x0gx0f2f1，即g1g2，即2，故A正確，B錯；ef1f2e2e4fe2ef2，即geg2，即24，故C錯，D正確.f2fee4故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知銳角滿足tan4sin，則2_______________.7【答案】【解析】8【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系及倍角公式變形計算即可.sincostan4sin，又為銳角，【詳解】因為，所以1cos1所以所以4，即，412722cos21214.87故答案為：8的前項和為，若Sn，，則a4a12an13SnN14.數(shù)列n______．nn【答案】96【解析】1,n1anan14an2a3S6，求出，從而得到答案.21【分析】根據(jù)求出，SS,n2nnn1【詳解】②，an13SnN①，a3Sn1n2nn兩式相減得a，故a4an2，，n1nan1a3SSnnn1nan13Sn1得，a3S6令中，n21aa4261696.所以42故答案為：9615.在三棱錐PABCPA，若P，A，B，C四點都中，是邊長為2的等邊三角形，平面在表面積為16π的球的球面上，則三棱錐PABC的體積為______．4242【答案】【解析】##33PA三棱錐體積公式即可求得答案.【詳解】設(shè)O為正的中心，M為的中點，1過點O作平面的垂線l，由于PA，故l∥PA平面，1在l,PA確定的平面內(nèi)作l，垂足為O，則四邊形OO1AMOAOBOC為矩形，O,OB,OC連接，則，111111故，則O即為三棱錐PABC外接球的球心，因為P，A，B，C四點都在表面積為16π的球的球面上，4R16,R2，2設(shè)外接球半徑為R，故23233是邊長為2的等邊三角形，故1A2,322233463故PA2R2AO2124，11134642PABCV(2)所以三棱錐故答案為：的體積2，32233423A的最大值是,B,Ca,b,c3sinA2sinBcosC，a116.所對邊分別為_______________π【答案】##o6【解析】【分析】由題意，利用正弦定理將3sinAcosA的范圍，得解；或利用三角恒等變換結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)即得.2sinBcosC角化邊，再結(jié)合余弦定理可得b2c22a2，代入cosAa消去，利用基本不等式求出【詳解】解法一：3sinA2sinBC，a2b2c2cosCCabcosC代入，可得由正弦定理得abcosC，由余弦定理得，將2abb2c22a2，132bcb2c2a2b2c2而A，消去a2可得1bc3，22A=（+bc4cb當且僅當byxc時取等號.(0,π)在上單調(diào)遞減，π.6sinAsin(BC)sinBCBsinC，又3sinA2sinBcosC，C0，C為銳角，且sinBC3cosBsinC0，tanB3tanCB即為鈍角，A為銳角，BtanC1BtanC13tanC2tanC23Atan(BC)≤而21，33tanCtanCπyx在上單調(diào)遞增，2π.6π故答案為：6四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.是首項為的等比數(shù)列，且91，2，a3成等差數(shù)列.a17.已知1n（1）求數(shù)列的通項公式；anbacab的前項和cnSn.（2）設(shè)，，求數(shù)列n3n1nnnnan1【答案】（1）n32n1n13S（2）n44【解析】1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知根據(jù)等差中項的性質(zhì)列出關(guān)系式，求解即可得出qanq3；bncn3，然后根據(jù)錯位相減法求和，即可得出答案.n（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得出【小問1詳解】，nn設(shè)等比數(shù)列的公比為，qq0，an91，aa因為所以，成等差數(shù)列，236a9aa6aq9aaq2，即，21311120，解得q3.6q9q3q2化簡可得a11又，所以數(shù)列的通項公式為a1n1n1.nan【小問2詳解】balog33nn因為所以，n3n1cabn3n，nnnS131232333n3n則，①，n3Sn13Lnn12233334，②313n31nn1nn1nn1，①-②得2S3132333nn132232n1n13S所以.n44πfxAsin（A0，0，0）的圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為x18.已知函數(shù)2π．函數(shù)的最大值為2，且______．fx2π6fxx0時fx請從以下3個條件中任選一個，補充在上面橫線上，①為奇函數(shù)；②當3；③πx的一條對稱軸．并解答下列問題：fx是函數(shù)12（1）求函數(shù)的解析式；fxbAfA3，c3，ac中，、，分別是角，B，C（2）在的對邊，若的面積S33a，求的值．π3fx2sin2x【答案】（1）（2）21【解析】π1）由最大值確定A，根據(jù)相鄰兩條對稱軸間的距離為確定最小正周期，從而確定，選①，26ff0=3，求解即可；選②，，求解即可；選③，整體思想可得ππ2π(xZ)，求解即可.122（2）利用面積公式求出b，結(jié)合余弦定理即可求解.【小問1詳解】TπA由題意得，222π∴最小正周期Tπ，則2，T∴fx2sin2x.66fxf，若選①，為奇函數(shù)，則π3π32sin0sin0∴，即πππ0∵∴，即，2336ππ0即，33π∴fx2sin2x.3若選②，當x0時fx3，3∴2sin3即sin，20∵，2π∴，3π∴fx2sin2x.3πx的一條對稱軸，fx若選③，是函數(shù)12πππ2π(xZ)即π(xZ)∴∵12230，2π∴，3π∴fx2sin2x.3【小問2詳解】fA3，∵π3π332sin2A3sin2A∴,即，2ππ7π333A(0,π)2A,∵∴即，π2ππ2AA，即，336S33，又∵c3，的面積1bcsinA33∴在得b43，2中，由余弦定理得：a2b22cbcA，解得a21.-ABCAB，BB1的中點，且AA1ACBC2，19.如下圖，在直三棱柱中，D，E分別為111AB22.ECD（1）求三棱錐的體積；（2）求直線【答案】（1）110與平面ACD所成角1的余弦值.（2）5【解析】A為底面，CD1ECD的體積；1）以為高，可求得三棱錐（2）利用坐標法求線面夾角正弦值，進而可得余弦值.【小問1詳解】三棱柱-ABC為直三棱柱，1111A為矩形，1ABBAABB1AABCAB平面，即平面平面平面，且平面111AA1ACBC2，AB22，且點D為AB中點，CDAB，且為直角三角形，CD，2\CD^1A，1平面BB又點E為中點，12BD2BE22132，21DAA21AD22226，3，2AEAB211E22212111E221D2AD1，即，11111所以VC1DESCDADCD6321；ECD1DE133232【小問2詳解】如圖所示，以點C為坐標原點，x為軸，為y軸，CCz為軸，1則A2,0,2，，，，C0,0,0D0E2,11CA2,0,2CD0CE2,1，，，1設(shè)平面的法向量為，ACD1nx,y,zCAn2x2z01，令x1，則，1n則CDnxy0155012111CE,n所以，2202212212155即sinθ，5所以cos，10即直線與平面ACD所成角1的余弦值為.5的前項和為SnSn2an2n6nN．，a*20.設(shè)數(shù)列nn（1）求證數(shù)列a2為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式an．nnn12127258（2）若數(shù)列的前m項和Tm，求m的值，aan1na2nn2【答案】（1）證明見解析，（2）7【解析】an2an122a2為等比數(shù)列，可求數(shù)列nSan1）利用數(shù)列中與的關(guān)系，得，可證明數(shù)列n的通項公式an．nn12127項和T，由Tm求m的值.（2）利用裂項相消求數(shù)列的前mmaa258n1n【小問1詳解】S2a2n6n1時，S2a4a4，解得．1因為，所以當nn11當n2時，S2an12n8，則SS2an2an12，n1nn1an2an12a2a22a221整理得，故，，nn1所以數(shù)列a2是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以a222n12．所以nna22nnn【小問2詳解】2n12n12121n2，2n12n2n12anan122n數(shù)列的前m項和bn11111111m121421m112222m1m2L2，4661010142m22212212722，則2m1256，解得m7則，則，故m的值為7．2m122582m12258中,B,Ca,b,c，21.在銳角，內(nèi)角的對邊分別為且sinCsinBaBbA.absinAsinB（1）求角A的大??；b2c2（2）若外接圓的半徑為3，求的取值范圍.a2π【答案】（1）A353,2（2）.【解析】12abc，即可得A1）根據(jù)題意由正弦定理以及兩角和的正弦公式可得b2c22，結(jié)合π角的范圍可得A；3（2）利用正弦定理可得a3，b23sinB，c23sinC，代入表達式利用三角恒等變換可得b2c2432πb2c253sin2B,2，再根據(jù)角的范圍由三角函數(shù)值域即可得6.a23a2【小問1詳解】因為absinAsinBsinCsinBaBbA，由正弦定理得sinAsinBsinAsinBsinCsinBsinABsinBAsinCsinBsinABsinCsinBsinC，由正弦定理得ababcbc，所以b2c22abc，b2c2a2bc12由余弦定理得A，bcbcπAπA又，所以.23【小問2詳解】abc23，由正弦定理得sinAsinBsinC所以a23sinA3，b23sinB，c23sinC，2ππ224sin2B4sin2B4sin2B4sin2B23sinB23sinC所以b2c233a293314142π1因為所以2sin2B3sin2B3sin2B2Bsin2B，633333ππABB是銳角三角形，所以，所以，226ππ5π666π12B,sin2B,1，所以，62b2c253,2，所以a2bc2253,2即的取值范圍是.a2hxxax22.已知（1）若有兩個零點，求的取值范圍；hxae1x2e20（2）若方程axexlnxx有兩個實根x、xx，且22x1，證明：h.1210a【答案】（1）e（2）證明見解析【解析】xyafx1與函數(shù)的圖象有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)分x析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可求得實數(shù)的取值范圍；fxaa的分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性與極最值，通過分析原函數(shù)圖a象，數(shù)形結(jié)合求得實數(shù)的取值范圍.txeaxexxextxe1，11（2x1t1t2tt1的兩個零點，進而可得ahx2，要證，即證txe2h120h是222a121t2k1k121t2tttktt2t1kk112212t21t21t2t21t21進行證明即可；tt1是的兩個零點，證，txe1txe2hxh120h解法二：首先根據(jù)已知條件、11222a2212ttt2t2即證，然后分和兩種情況進行分類討論，最終構(gòu)