拓展拔高1　一元二次方程根的分布

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。拓展拔高1一元二次方程根的分布設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根為x1,x2,而m,n,k為常數(shù),令f(x)=ax2+bx+c,結(jié)合二次函數(shù)的圖象,以a>0的情形為例,對于一元二次方程根的分布的討論常見情形總結(jié)如下:(1)若方程有兩個(gè)均大于m的實(shí)根,即x1,x2∈(m,+∞),則有f(2)若方程在[m,n]內(nèi)有兩根,即x1,x2∈[m,n],則有f(3)若方程有兩根,一根比m大,一根比m小,即x1<m<x2,則有f(m)<0.(4)若m<x1<n<x2<k,則有f(5)若方程有兩個(gè)不同的根,且在(m,n)內(nèi)有且僅有一個(gè)根,則f(m)·f(n)<0或f(m)=0,另一根在(m,n)內(nèi),或f(n)=0,另一根在(m,n)內(nèi).視角一已知兩根與實(shí)數(shù)k的大小關(guān)系[例1](1)若關(guān)于x的方程ax2-2ax+1=0有兩個(gè)不同的正根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(0,1) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(-∞,0)【解析】選C.因?yàn)殛P(guān)于x的方程ax2-2ax+1=0有兩個(gè)不同的正根,所以a≠0Δ=4故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,+∞).(2)已知關(guān)于x的二次方程(2m+1)x2-2mx+m-1=0有一正根和一負(fù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

【解析】方法一:顯然2m+1≠0,令f(x)=x2-2m2m+1x+m-12m+1,則f(0)<0,即m-方法二:設(shè)x1,x2是方程(2m+1)x2-2mx+m-1=0的兩個(gè)根,則x1x2=m-解得-12<m<1答案:(-12思維升華當(dāng)方程中二次項(xiàng)系數(shù)有字母參數(shù)時(shí),為避免討論對應(yīng)二次函數(shù)圖象的開口方向,可將方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù),從而只需研究開口向上的情況,當(dāng)然需要先判斷二次項(xiàng)系數(shù)能否為0.【加練備選】若關(guān)于x的方程x2-kx+2=0的一根大于-1,另一根小于-1,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為.

【解析】由題意,關(guān)于x的方程x2-kx+2=0的一根大于-1,另一根小于-1,設(shè)f(x)=x2-kx+2,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得f(-1)=k+3<0,解得k<-3,所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(-∞,-3).答案:(-∞,-3)視角二已知兩根所在的區(qū)間[例2](1)關(guān)于x的方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根在區(qū)間(0,1)內(nèi),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.[12,32] B.(12,23] C.[12,2) D.(12,【解析】選D.將方程x2+(m-2)x+2m-1=0對應(yīng)的二次函數(shù)設(shè)為f(x)=x2+(m-2)x+2m-1,因?yàn)榉匠蘹2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根在區(qū)間(0,1)內(nèi),則需要滿足:①f(0)·f(1)<0,即(2m-1)(3m-2)<0,解得12<m<2②函數(shù)f(x)剛好經(jīng)過點(diǎn)(0,0)或者點(diǎn)(1,0),另一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(0,1)內(nèi),把點(diǎn)(0,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1,解得m=12此時(shí)方程為x2-32x=0,兩根為0,3而32?把點(diǎn)(1,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1,解得m=23此時(shí)方程為3x2-4x+1=0,兩根為1,13而13∈③函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),其橫坐標(biāo)在區(qū)間(0,1)內(nèi),Δ=(m-2)2-4(2m-1)=0,解得m=6±27,當(dāng)m=6+27時(shí),方程x2+(m-2)x+2m-1=0的根為-2-7?(0,1),不合題意;若m=6-27,方程x2+(m-2)x+2m-1=0的根為7-2,符合題意.綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍為(12,23]∪{6-27(2)已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.①若方程有兩根,其中一根在區(qū)間(-1,0)內(nèi),另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為;

【解析】①設(shè)函數(shù)f(x)=x2+2mx+2m+1,則其圖象與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(-1,0)和(1,2)內(nèi),畫出示意圖如圖,由題意,得f即m解得-56<m<-1②若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

【解析】②由題意知函數(shù)f(x)=x2+2mx+2m+1的圖象與x軸的交點(diǎn)落在區(qū)間(0,1)內(nèi),畫出示意圖如圖,由題意,得f即m解得-12<m≤1-2答案:①(-56,-12)②(-12思維升華求解二次方程根的分布問題,最重要的是數(shù)形結(jié)合,即結(jié)合對應(yīng)二次函數(shù)的圖象,從以下角度考慮:①開口方向;②對稱軸;③判別式;④在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值.提醒:注意以下兩點(diǎn):一是特殊點(diǎn)(含參的二次函數(shù)過的一些定點(diǎn)(比如與x,y軸的交點(diǎn))或某些函數(shù)值的正負(fù))的應(yīng)用;二是對于一些特殊情況,還可以利用根與系數(shù)的關(guān)系、因式分解求出根再求解等方法.視角三可轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布的問題[例3](1)(2023·黃山模擬)若函數(shù)f(x)=4x-m·2x+m+3有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,且x1∈(0,1),x2∈(2,+∞),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A.(-∞,-2)B.(-∞,-2)∪(6,+∞)C.(7,+∞)D.(-∞,-3)【解析】選C.設(shè)t=2x,則t>0,則轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)=t2-mt+m+3有兩個(gè)不同的零點(diǎn)t1,t2,且t1∈(1,2),t2∈(4,+∞),所以g即1解得m>7.(2)(2023·石家莊模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=-32cos2x+asinx+a+92,若方程f(x)=0在(0,π)上有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【解析】f(x)=-32(1-2sin2x)+asinx+a+92=3sin2x+asinx+a+3,x∈(0,π),令sinx=t,t∈(0,1],h(t)=3t2+at+a+3,當(dāng)0<t<1時(shí),sinx=t有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,當(dāng)t=1時(shí),sinx=t有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根,因?yàn)榉匠蘤(x)=0在(0,π)上有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以原問題等價(jià)于h(t)=3t2+at+a解得-3<a<6-62.答案:(-3,6-62)思維升華