第十一章　第一節(jié)　排列與組合

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第一節(jié)排列與組合【課標(biāo)解讀】【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.了解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.2.理解排列、組合的概念;能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.【命題說明】考向考法高考命題常以現(xiàn)實(shí)生活為載體,考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合;排列與組合的應(yīng)用是高考熱點(diǎn),常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).預(yù)測(cè)預(yù)計(jì)2025年高考仍會(huì)在排列、組合中出題,可能會(huì)與概率交匯命題.【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】知識(shí)梳理·歸納1.計(jì)數(shù)原理(1)完成一件事,如果有n類方案,且第1類方案中有m1種不同的方法,第2類方案中有m2種不同的方法……第n類方案中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.

(2)完成一件事,如果需要分成n個(gè)步驟,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.

2.排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素按照一定的順序排成一列

組合作為一組微思考排列與組合的區(qū)別是什么?提示:排列與順序有關(guān),而組合與順序無關(guān).3.排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù):從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù),用符號(hào)

Anm(2)組合數(shù):從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),用符號(hào)

Cnm微思考排列數(shù)與組合數(shù)有什么聯(lián)系?提示:Anm=Cn4.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=Cnm=Anm性質(zhì)0!=1,Ann=n

Cnm=Cnn-m,

C常用結(jié)論若Cnx=Cny,則x=y或x基礎(chǔ)診斷·自測(cè)類型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)12341.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中,每類方案中的方法都能直接完成這件事.(√)(2)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中,只有各步驟都完成后,這件事情才算完成.(√)(3)Cnm=n(n-1)(n-2)…(n-m).(×(4)Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m).(×2.(選修第三冊(cè)P27T13改編)從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項(xiàng)活動(dòng),則男、女同學(xué)都有的選法種數(shù)是()A.18 B.24 C.30 D.36【解析】選C.選出的3人中有2名男同學(xué)1名女同學(xué)的選法有C42C31=18(種),選出的3人中有1名男同學(xué)2名女同學(xué)的選法有C43.(忽視隱含條件)隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,私家車成為居民的標(biāo)配.某小區(qū)為了適應(yīng)這一變化,在小區(qū)建設(shè)過程中預(yù)留了7個(gè)排成一排的備用車位.現(xiàn)有3位私家車車主要使用這些備用車位.現(xiàn)規(guī)定3位私家車車主隨機(jī)停車,任意兩輛車都不相鄰,則共有不同停車種數(shù)為()A.144 B.24 C.72 D.60【解析】選D.由題可知7個(gè)車位停3輛車,則會(huì)產(chǎn)生4個(gè)空位,故可先擺好4個(gè)空車位,4個(gè)空車位會(huì)產(chǎn)生5個(gè)空隙可供3輛車選擇停車.因此,任意兩輛車都不相鄰的停車種數(shù)共有A534.(2023·新高考Ⅱ卷)某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況,用比例分配的分層隨機(jī)抽樣法作抽樣調(diào)查,擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生,已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生,則不同的抽樣結(jié)果共有()A.C40045·C20015種 B.C.C40030·C20030種 D.【解析】選D.根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60×400600=40人,高中部共抽取60×200600=20人,根據(jù)組合數(shù)公式和分步乘法計(jì)數(shù)原理,則不同的抽樣結(jié)果共有C40040【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用[例1](1)(2023·濟(jì)寧模擬)某省新高考采用“3+1+2”模式:“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)、外語,所有學(xué)生必考;“1”為首選科目,考生須在物理、歷史科目中選擇1個(gè)科目;“2”為再選科目,考生可在思想政治、地理、化學(xué)、生物4個(gè)科目中選擇2個(gè)科目.已知小明同學(xué)必選化學(xué),那么他可選擇的方案共有()A.4種 B.6種 C.8種 D.12種【解析】選B.根據(jù)題意得,分兩步進(jìn)行分析:①小明必選化學(xué),則必須在思想政治、地理、生物中再選出1個(gè)科目,選法有3種;②小明在物理、歷史科目中選出1個(gè),選法有2種.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,小明可選擇的方案共有3×2=6(種).(2)如圖所示,在由正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形中,與正八邊形有公共邊的三角形有個(gè)(用數(shù)字作答).

【解析】把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類:第一類,有一條公共邊的三角形,共有8×4=32(個(gè));第二類,有兩條公共邊的三角形,共有8個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理可知,共有32+8=40(個(gè)).答案:40解題技法利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn)(1)當(dāng)題目無從下手時(shí),可考慮要完成的這件事是什么,即怎樣做才算完成這件事.(2)分類時(shí),標(biāo)準(zhǔn)要明確,做到不重不漏,有時(shí)要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖.(3)對(duì)于復(fù)雜問題,一般是先分類再分步.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.由于用具簡(jiǎn)單、趣味性強(qiáng),象棋成為流行極為廣泛的棋藝活動(dòng).某棋局的一部分如圖所示,若不考慮這部分以外棋子的影響,且“馬”和“炮”不動(dòng),“兵”只能往前走或左右走,每次只能走一格,從“兵”吃掉“馬”的最短路線中隨機(jī)選擇一條路線,其中也能把“炮”吃掉的可能路線有()A.10條 B.8條 C.6條 D.4條【解析】選C.由題意可知,“兵”吃掉“馬”的最短路線需橫走三步,豎走兩步;其中也能把“炮”吃掉的路線可分為兩步:第一步,橫走兩步,豎走一步,有3種走法;第二步,橫走一步,豎走一步,有2種走法.所以所求路線共有3×2=6(條).2.(2023·南平質(zhì)檢)甲與其他四位同事各有一輛私家車,車牌尾數(shù)分別是9,0,2,1,5,為遵守當(dāng)?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定(奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行,偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行),五人商議拼車出行,每天任選一輛符合規(guī)定的車,但甲的車最多只能用一天,則不同的用車方案種數(shù)為.

【解析】5日至9日,日期分別為5,6,7,8,9,有3天是奇數(shù)日,2天是偶數(shù)日.第一步,安排偶數(shù)日出行,每天都有2種選擇,共有2×2=4(種)用車方案;第二步,安排奇數(shù)日出行,分兩類,第一類,選1天安排甲的車,另外2天安排其他車,有3×2×2=12(種)用車方案,第二類,不安排甲的車,每天都有2種選擇,共有23=8(種)用車方案,共計(jì)12+8=20(種)用車方案.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,不同的用車方案種數(shù)為4×20=80.答案:80【加練備選】1.有5個(gè)不同的棱柱、3個(gè)不同的棱錐、4個(gè)不同的圓臺(tái)、2個(gè)不同的球,若從中取出2個(gè)幾何體,使多面體和旋轉(zhuǎn)體各一個(gè),則不同的取法種數(shù)是()A.14 B.23 C.48 D.120【解析】選C.分兩步:第1步,取多面體,有5+3=8(種)不同的取法;第2步,取旋轉(zhuǎn)體,有4+2=6(種)不同的取法.所以不同的取法種數(shù)是8×6=48.2.(2023·宿州模擬)如果一條直線與一個(gè)平面垂直,那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中,由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)為()A.12 B.24 C.36 D.48【解析】選C.第1類,對(duì)于每一條棱,都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”,這樣的“正交線面對(duì)”有2×12=24(個(gè));第2類,對(duì)于每一條面對(duì)角線,都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”,這樣的“正交線面對(duì)”有12個(gè).所以正方體中“正交線面對(duì)”共有24+12=36(個(gè)).考點(diǎn)二排列與組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用角度1排列問題[例2](2024·泉州模擬)將0,1,2,3,10任意排成一行,可以組成個(gè)不同的6位數(shù).(用數(shù)字作答)

【解析】將0,1,2,3,10任意排成一行,且數(shù)字0不在首位,則有4A4數(shù)字1和0相鄰且1在0之前的排法有A44=24種,故所求滿足題意的6位數(shù)有96-24答案:84解題技法對(duì)于有限制條件排列問題的解題策略(1)分析問題時(shí),有位置分析法、元素分析法;(2)在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí),先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置,對(duì)于分類過多的問題可以采用間接法.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8人站成前后兩排,每排4人,其中甲、乙兩人必須在前排,丙在后排,則共有種排法.

【解析】先排甲、乙,有A42種排法,再排丙,有A41種排法,其余5人有A答案:5760【加練備選】現(xiàn)有0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字,可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)?【解析】當(dāng)組成的數(shù)是一位數(shù)時(shí),一位偶數(shù)有C3當(dāng)組成的數(shù)是兩位數(shù)時(shí),可分兩類:末位是0時(shí),有A51=5個(gè),末位是2或4時(shí),有當(dāng)組成的數(shù)是三位數(shù)時(shí),可分兩類:末位是0時(shí),有A5有C2當(dāng)組成的數(shù)是四位數(shù)時(shí),可分兩類:末位是0時(shí),有A5有C2當(dāng)組成的數(shù)是五位數(shù)時(shí),可分兩類:末位是0時(shí),有A5有C2當(dāng)組成的數(shù)是六位數(shù)時(shí),可分兩類:末位是0時(shí),有A5有C2綜上,組成的沒有重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)的個(gè)數(shù)為3+13+52+156+312+312=848.角度2組合問題[例3](2023·新高考Ⅰ卷)某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課,學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課,并且每類選修課至少選修1門,則不同的選課方案共有種(用數(shù)字作答).

【解析】若選修2門課,則需要從體育類和藝術(shù)類中各選擇1門,共有C41C41=16種;若選修3門課,則分為兩種情況,2門體育類1門藝術(shù)類或2門藝術(shù)類1門體育類,共有2答案:64解題技法組合問題兩類題型的解題策略(1)“含有”或“不含有”問題:“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補(bǔ)足;“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中選取.(2)“至少”或“最多”問題:用直接法和間接法都可以求解;通常用直接法,分類復(fù)雜時(shí),考慮逆向思維,用間接法處理.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.(2023·茂名模擬)將4個(gè)6和2個(gè)8隨機(jī)排成一行,則2個(gè)8不相鄰的情況有()A.480種 B.240種 C.15種 D.10種【解析】選D.將2個(gè)8插空放入不相鄰的5個(gè)空位(4個(gè)6之間及首尾有5個(gè)空位)中有C522.(2024·廣州模擬)某校擬從2名教師和4名學(xué)生共6名黨史知識(shí)學(xué)習(xí)優(yōu)秀者中隨機(jī)選取3名,組成代表隊(duì),參加市黨史知識(shí)競(jìng)賽,則代表隊(duì)中既有教師又有學(xué)生的選法共有種.

【解析】由題意得從6名黨史知識(shí)學(xué)習(xí)優(yōu)秀者中隨機(jī)選取3名,其中有1名教師和2名學(xué)生的選法有C21C故代表隊(duì)中既有教師又有學(xué)生的選法共有12+4=16(種).答案:16【加練備選】如圖是由6個(gè)正方形拼成的矩形圖案,從圖中的12個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)作為一組.其中可以構(gòu)成三角形的組數(shù)為()A.208 B.204 C.200 D.196【解析】選C.任取的3個(gè)頂點(diǎn)不能構(gòu)成三角形的情形有3種:一是3條橫線上的4個(gè)點(diǎn),其組數(shù)為3C43;二是4條豎線上的3個(gè)點(diǎn),其組數(shù)為4C33;三是4條對(duì)角線上的3個(gè)點(diǎn),其組數(shù)為4C33,所以可以構(gòu)成三角形的組數(shù)為C考點(diǎn)三排列與組合的綜合問題角度1相鄰與不相鄰問題[例4](多選題)有3名男生,4名女生,在下列不同條件下,正確的是()A.全體站成一排,女生必須站在一起有144種排法B.全體站成一排,男生互不相鄰有1440種排法C.任選其中3人相互調(diào)整座位,其余4人座位不變,則不同的調(diào)整方案有70種D.全體站成一排,甲不站排頭,乙不站排尾有3720種排法【解析】選BCD.對(duì)于A,將女生看成一個(gè)整體,考慮女生之間的順序,有A44種排法,再將女生的整體與3名男生在一起進(jìn)行全排列,有A44種排法,故共有對(duì)于B,先排女生,將4名女生全排列,有A44種排法,再排男生,由于男生互不相鄰,可以在女生之間及首尾空出的5個(gè)空位中任選3個(gè)空位排男生,有A53種排法,故共有對(duì)于C,任選其中3人相互調(diào)整座位,其余4人座位不變,則不同的調(diào)整方案有C7對(duì)于D,若甲站在排尾,則有A66種排法,若甲不站在排尾,則有A51A5解題技法1.相鄰問題的求解策略把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列,同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列(捆綁法).2.不相鄰問題的求解策略對(duì)于不相鄰問題,先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面已經(jīng)排列元素的空檔中(插空法).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.六名同學(xué)暑期相約去都江堰采風(fēng)觀景,結(jié)束后六名同學(xué)排成一排照相留念,若甲與乙相鄰,丙與丁不相鄰,則不同的排法共有()A.48種 B.72種 C.120種 D.144種【解析】選D.甲和乙相鄰,捆綁在一起有A22種,再與丙和丁外的兩人排列有A33種,再排丙和丁有A2.將A,B,C,D,E,F六個(gè)字母排成一排,若A,B,C均互不相鄰,則不同的排法有種.(用數(shù)字作答)

【解析】先排除A,B,C外的三個(gè)字母,再將A,B,C排在形成的4個(gè)空檔中,則不同的排法共有A33答案:144【加練備選】某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞節(jié)目,2個(gè)小品節(jié)目和1個(gè)相聲節(jié)目的演出順序,同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A.72 B.120 C.144 D.168【解析】選B.先安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目,然后讓歌舞節(jié)目去插空.安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順序有三種:“小品,小品,相