第六章　第五節(jié)　第1課時(shí)　余弦定理、正弦定理

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第五節(jié)解三角形第1課時(shí)余弦定理、正弦定理【課標(biāo)解讀】【課程標(biāo)準(zhǔn)】借助向量的運(yùn)算,探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系,掌握余弦定理、正弦定理.【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.【命題說(shuō)明】考向考法本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容,考查正、余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用,同時(shí)也結(jié)合三角函數(shù)及三角恒等變換等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考查.預(yù)測(cè)預(yù)計(jì)高考仍以利用正弦定理、余弦定理解三角形為主,與三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)、三角恒等變換、三角形中的幾何計(jì)算交匯考查.【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】知識(shí)梳理·歸納1.正弦定理?xiàng)l件在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,R為△ABC的外接圓半徑內(nèi)容asinA=bsinB變形(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=微點(diǎn)撥已知兩邊及一邊的對(duì)角,利用正弦定理解三角形時(shí),注意解的個(gè)數(shù)討論,可能有一解、兩解或無(wú)解.2.余弦定理?xiàng)l件在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c內(nèi)容a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC變形cosA=b2cosB=c2cosC=a3.在△ABC中,已知a,b和A時(shí),解的情況如下:A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無(wú)解4.三角形常用面積公式(1)S=12a·ha(ha表示a邊上的高)(2)S=12absinC=12acsinB=12bcsinA(3)S=12r(a+b+c)(r為內(nèi)切圓半徑)常用結(jié)論在△ABC中,常有以下結(jié)論:(1)A+B+C=π.(2)任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.(3)a>b?A>B?sinA>sinB,cosA<cosB.(4)三角形中的三角函數(shù)關(guān)系sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC;sinA+B2cosA+B2(5)三角形中的射影定理:在△ABC中,a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=bcosA+acosB.基礎(chǔ)診斷·自測(cè)類型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)13241.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)在△ABC的六個(gè)元素中,已知任意三個(gè)元素可求其他元素.()提示:(1)已知三角時(shí),不可求三邊.(2)在△ABC中,若sinA>sinB,則A>B.()(3)在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,則a∶b∶c=1∶2∶3.()提示:(3)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角的正弦值之比.(4)當(dāng)b2+c2-a2>0時(shí),△ABC為銳角三角形;當(dāng)b2+c2-a2=0時(shí),△ABC為直角三角形;當(dāng)b2+c2-a2<0時(shí),△ABC為鈍角三角形.()提示:(4)當(dāng)b2+c2-a2>0時(shí),△ABC不一定為銳角三角形.答案:(1)×(2)√(3)×(4)×2.(應(yīng)用正弦定理求角時(shí)漏解)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=1,b=2,A=30°,則B等于()A.30° B.45°C.30°或150° D.45°或135°【解析】選D.由正弦定理asinA=bsinB得1sin30°=2sinB,sinB=22又因?yàn)?°<B<150°,所以B=45°或135°.3.(必修第二冊(cè)P48練習(xí)T2·變條件)在△ABC中,a=6,b=63,A=30°,則最長(zhǎng)邊c=.

【解析】在△ABC中,a=6,b=63,A=30°,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,36=108+c2-123×32c化簡(jiǎn)得c2-18c+72=0,解得c=6或c=12,因?yàn)閏是最長(zhǎng)的邊,所以c=12.答案:124.(2023·上海高考)已知△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊a=4,b=5,c=6,則sinA=.

【解析】a=4,b=5,c=6,由余弦定理得,cosA=b2+c2-又因?yàn)锳∈(0,π),所以sinA>0,所以sinA=1-cos2A答案:7【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一利用正、余弦定理解三角形1.在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,則此三角形的解的情況是()A.有一解 B.有兩解C.無(wú)解 D.有解但解的個(gè)數(shù)不確定【解析】選C.由正弦定理得bsinB=所以sinB=bsinCc=40×所以B不存在,即滿足條件的三角形不存在.2.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=3,sinB=32,C=π6,則c=(A.3 B.3或3C.32或3 D.【解析】選B.由正弦定理知asinA=則c=asinCsinsinA=sin(π-B-C)=sin(B+C),因?yàn)閟inB=32所以cosB=±1-sin2B=±12,故B又C=π6,故均滿足題設(shè)當(dāng)B=π3時(shí),sinA=1,此時(shí)c=3當(dāng)B=2π3時(shí),sinA=12,此時(shí)c=3.(2023·北京高考)在△ABC中,(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),則C=()A.π6 B.π3 C.2π3【解析】選B.由正弦定理知,(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB)可化為(a+c)(a-c)=b(a-b),即a2+b2-c2=ab,所以cosC=a2+b2-c22ab=ab24.(2023·全國(guó)乙卷)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若acosB-bcosA=c,且C=π5,則∠B=(A.π10 B.π5 C.3π10 D【解析】選C.由題意結(jié)合正弦定理可得sinAcosB-sinBcosA=sinC,即sinAcosB-sinBcosA=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,整理可得sinBcosA=0,由于B∈(0,π),故sinB>0,據(jù)此可得cosA=0,A=π2則B=π-A-C=π-π2-π5=5.(2023·天津高考)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知a=39,b=2,A=120°.(1)求sinB的值;【解析】(1)a=39,b=2,A=120°,則sinB=bsinAa=2×(2)求c的值;【解析】(2)a=39,b=2,A=120°,則a2=b2+c2-2bc·cosA=4+c2+2c=39,化簡(jiǎn)整理可得,(c+7)(c-5)=0,解得c=5(負(fù)值舍去);(3)求sin(B-C)的值.【解析】(3)因?yàn)閍>c>b,所以B,C為銳角,所以cosB=1-sinc=5,a=39,A=120°,則sinC=csinAa=5×故cosC=1-sin所以sin(B-C)=sinBcosC-sinCcosB=1313×33926-51326解題技法應(yīng)用正弦、余弦定理的解題技巧(1)求邊:利用正弦定理變形公式a=bsinAsinB等或余弦定理a2=b2+c2-2bc(2)求角:利用正弦定理變形公式sinA=asinBb等或余弦定理變形公式cosA=(3)利用式子的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化:如出現(xiàn)a2+b2-c2=λab的形式用余弦定理,等式兩邊是關(guān)于邊或角的正弦的齊次式用正弦定理.考點(diǎn)二利用正、余弦定理判斷三角形形狀[例1](1)(2023·綏化模擬)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若acosA=bcosB=ccosC,則△ABC的形狀是()A.直角三角形B.等邊三角形C.鈍角三角形D.三邊比為1∶2∶3的三角形【解析】選B.因?yàn)閍cosA=bcosB,由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.因?yàn)锳,B為三角形的內(nèi)角,所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=π2同理可得B=C或B+C=π2當(dāng)A=B時(shí),B+C=π2不可能成立(三角形內(nèi)角和不等于π);當(dāng)B=C時(shí),A+B=π當(dāng)A+B=π2時(shí),B+C=π所以只有A=B=C,即△ABC為等邊三角形.(2)(2023·重慶模擬)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a-b+①求A;【解析】①由a-b+bc=b2+c2-a2,由余弦定理可得cosA=b2+c2-又0<A<π,所以A=π3②若b-c=33a,證明:△ABC是直角三角形【解析】②由b-c=33a及正弦定理可得,sinB-sinC=33sinA=所以sinB-sin(2π3-B)=sinB-32cosB-12sinB=12sinB-32cosB=sin(B因?yàn)锽∈(0,2π3),所以B-π3∈(-π3所以B-π3=π所以B=π2,即△ABC是直角三角形解題技法三角形形狀的判定方法(1)通過(guò)正弦定理和余弦定理,化邊為角,如a=2RsinA,a2+b2-c2=2abcosC等,利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.此時(shí)注意一些常見(jiàn)的三角等式所體現(xiàn)的內(nèi)角關(guān)系,如sinA=sinB?A=B;sin(A-B)=0?A=B;sin2A=sin2B?A=B或A+B=π2等(2)利用正弦定理、余弦定理化角為邊,如sinA=a2R,cosA=b提醒:1.注意無(wú)論是化邊還是化角,在化簡(jiǎn)過(guò)程中是否出現(xiàn)公因式;2.在判斷三角形形狀時(shí)一定要注意解是否唯一,并注意挖掘隱含條件.另外,在變形過(guò)程中要注意角A,B,C的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.在△ABC中,sinA=45,cosB=413,則該三角形是(A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.無(wú)法判斷【解析】選A.根據(jù)題意,sinB=31713>45于是B>A,從而A,B為銳角.又sinA=45>22=sin于是A+B>2A>π2因此C為銳角,所以△ABC為銳角三角形.2.(多選題)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足c2-a2+b2=(4ac-2bc)cosA,則()A.△ABC一定為直角三角形B.△ABC可能為等腰三角形C.角A可能為直角D.角A可能為鈍角【解析】選BC.由余弦定理可得2bccosA=(4ac-2bc)cosA,化簡(jiǎn)可得bcosA=(2a-b)cosA.當(dāng)cosA=0時(shí),A=90°,此時(shí)△ABC為直角三角形;當(dāng)cosA≠0時(shí),可得b=2a-b,即a=b,此時(shí)△ABC為等腰三角形,cosA=b2+c2考點(diǎn)三正、余弦定理的綜合應(yīng)用考情提示正、余弦定理在高考中一般綜合考查,主要考查三角形的面積、周長(zhǎng)、與邊有關(guān)或與角有關(guān)的最值范圍問(wèn)題.角度1三角形面積問(wèn)題[例2](1)(2021·全國(guó)乙卷)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,面積為3,B=60°,a2+c2=3ac,則b=.

【解析】由題意得S△ABC=12acsinB=34ac=3,則ac=4,所以a2+c2=3ac=3×4=12,所以b2=a2+c2-2accosB=12-2×4×12=8,則b答案:22(2)(2022·新高考Ⅱ卷)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,分別以a,b,c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為S1,S2,S3,已知S1-S2+S3=32,sinB=1①求△ABC的面積;【解析】①由題意得S1=12·a2·32=34S2=34b2,S3=34c則S1-S2+S3=34a2-34b2+34c2即a2+c2-b2=2.由余弦定理得cosB=a2+c2-b22又sinB=13,則cosB=1-(ac=1cosB=324,則S△ABC=12ac②若sinAsinC=23,求【解析】②由正弦定理得bsinB=asin則b2sin2B=asinA·csinC=acsinAsinC=324解題技法三角形面積問(wèn)題的常見(jiàn)類型(1)求三角形面積:一般要先利用正弦定理、余弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)公式等,求出角與邊,再求面積;(2)已知三角形面積解三角形:常選用已知鄰邊求出其夾角,或利用已知角求出角的兩邊間的關(guān)系;(3)已知與三角形面積有關(guān)的關(guān)系式:常選用關(guān)系式中的角作為面積公式中的角,化為三角形的邊角關(guān)系,再解三角形.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練在△ABC中,a+b=11,再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,求:(1)a的值;【解析】選條件①:c=7,cosA=-17,且a+b=11(1)在△ABC中,由余弦定理,得cosA=b2+c2-解得a=8.(2)sinC和△ABC的面積.條件①:c=7,cosA=-17條件②:cosA=18,cosB=9注:如果選擇條件①和條件②分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】選條件①:c=7,cosA=-17,且a+b=11(2)因?yàn)閏osA=-17,A∈所以sinA=1-cos2A在△ABC中,由正弦定理,得sinC=c·sinAa=因?yàn)閍+b=11,a=8,所以b=3,所以S△ABC=12absinC=12×8×3×32選條件②:cosA=18,cosB=916,且a+b(1)因?yàn)锳∈(0,π),B∈(0,π),cosA=18,cosB=9所以sinA=1-cos2A=1-164=37在△ABC中,由正弦定理,可得ab=sinAsinB=又因?yàn)閍+b=11,所以a=6,b=5.(2)sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=378×916+18×57所以S△ABC=12absinC=12×6×5×74角度2三角形中的最值與范圍問(wèn)題[例3]銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知3bcosC=2asinA-3ccosB.(1)求A;【解析】(1)因?yàn)?bcosC=2asinA-3ccosB,由正弦定理可得3sinBcosC=2sinAsinA-3sinCcosB,則3(sinBcosC+sinCcosB)=2sin2A,即3sin(B+C)=2sin2A,又sin(B+C)=sinA,sinA>0,則sinA=32因?yàn)?<A<π2,所以A=π(2)若b=2,D為AB的中點(diǎn),求CD的取值范圍.【解析】(2)△ACD中,由余弦定理可得CD=AD2+因?yàn)殇J角三角形ABC中,cosB>0,cosC>0,所以a2又a2=c2+4-2c,c>0,所以c2-c故CD的取值范圍為[3,2).解題技法解三角形中的最值或范圍問(wèn)題的兩種解法(1)將問(wèn)題表示為邊的形式,利用基本不等式求得最大值或最小值;(2)將問(wèn)題用三角形某一個(gè)角的三角函數(shù)表示,利用三角函數(shù)的有界性,單調(diào)性再結(jié)合角的范圍確定最值或范圍.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2023·牡丹江模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a+2c=bcosC+3bsinC.(1)求角B;【解析】(1)因?yàn)閍+2c=bcosC+3bsinC,整理得,sinA+2sinC=sinBcosC+3sinBsinC,sin(B+C)+2sinC=sinBcosC+3sinBsinC,c