第九章　第八節(jié)　圓錐曲線中的定點問題

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第八節(jié)圓錐曲線中的定點問題【核心考點·分類突破】角度1橢圓中的直線過定點問題[例1](2024·鄭州模擬)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距為2,圓x2+(1)求橢圓C的標準方程;【解析】(1)設橢圓C的半焦距為c.當圓x2+y2=4在橢圓C的內部時,b=2,c=1,a2=b2+c2=5,橢圓C的方程為x25+y當圓x2+y2=4在橢圓C的外部時,a=2,c=1,b2=a2-c2=3,橢圓C的方程為x24+y(2)已知結論:若點(x0,y0)為橢圓x2a2+y2b2=1上一點,則橢圓在該點處的切線方程為x0xa2+y0yb2=1.若橢圓C【解析】(2)設A(x1,y1),B(x2,y2).因為橢圓C的短軸長小于4,所以C的方程為x24+y23=1.則由已知可得,切線AT的方程為x1x4+y將T(8,t)代入AT,BT的方程整理可得,6x1+ty1-3=0,6x2+ty2-3=0.顯然A,B的坐標都滿足方程6x+ty-3=0,故直線AB的方程為6x+ty-3=0,令y=0,可得x=12,即直線AB過定點(12角度2雙曲線中的直線過定點問題(規(guī)范答題)[例2](12分)(2023·新高考II卷)已知雙曲線C的中心為坐標原點,左焦點為(-25,0),離心率為5.(1)求C的方程;規(guī)范答題微敲點·水到渠成【解析】(1)設雙曲線C的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),由焦點坐標為(-25,0)可知c=25,由e=ca=關鍵點由焦點坐標及離心率可求出c和a.所以雙曲線C的方程為x24-y216(2)記C的左、右頂點分別為A1,A2,過點(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點,M在第二象限,直線MA1與NA2交于P,證明:P在定直線上.規(guī)范答題微敲點·水到渠成【解析】(2)解法1(以直線MA1,NA2的斜率為參數):設M(x1,y1),N(x2,y2),直線MA1:y=m(x+2),直線NA2:y=n(x-2),由y得(4-m2)x2-4m2x-(4m2+16)=0.因為-2x1=4m所以x1=2m2+84-m2,由y得(4-n2)x2+4n2x-(4n2+16)=0.因為2x2=4n所以x2=2n2+8n2-4,由題設知x1+4y掃清障礙利用直線MN的斜率建立關系式,起到承上啟下的作用,為后續(xù)解題起到橋梁和紐帶作用.所以(mn-4)(m+3n)=0,由題意知mn<0,故m=-3n. …………………10分點P(x,y)滿足y=m(x+2)且滿足y=n(x-2),所以x=-1.故P在定直線x=-1上. …………………12分解法2(以直線MN的斜率為參數):設M(x1,y1),N(x2,y2),(i)當MN的斜率存在時,設直線MN:y=k(x+4)(|k|≠2),由y得(4-k2)x2-8k2x-(16k2+16)=0.由于x1+x2=8k24-k2,x1x直線MA1:y=y1x1直線NA2:y=y2x2聯(lián)立方程得,x=2(y1掃清障礙此處如果直接求解運算量會很大,可以對照分式的特征,采用分子+分母,再進行運算,求出和值,即可求出比值.因為2(y1x2+y2x1-2y1+2y2)+(-y1x2+y2x1+2y1+2y2)=4kx1x2+10kx2+10kx1+16k=2k(2x1x2+5x2+5x1+8)=2k[2×16(k2+1=2k[-8(k2-4所以x=-1.(ii)當MN的斜率不存在時,避誤區(qū)解決直線與圓錐曲線綜合問題時,注意分直線斜率存在和不存在兩種情況進行說明,避免造成不必要的失分.直線MN:x=-4,M(-4,43),N(-4,-43).直線MA1:y=-23(x+2),直線NA2:y=233(聯(lián)立方程得P(-1,-23),此時點P在定直線x=-1上.綜上,P在定直線x=-1上.……………12分解法3:設M(x1,y1),N(x2,y2),顯然,直線MN的斜率不為0,所以設直線MN的方程為x=my-4,關鍵點避免對直線MN斜率是否存在進行討論.則x1=my1-4,x2=my2-4.聯(lián)立得x=得(4m2-1)y2-32my+48=0.……………………5分因為直線MN與雙曲線C的左支交于M,N兩點,所以4m2-1≠0,且Δ>0.由根與系數的關系得y1所以y1+y2=2m3y1y2.因為A1,A2分別為雙曲線C的左、右頂點,所以A1(-2,0),A2(2,0).直線MA1的方程為y=y1x1直線NA2的方程為y=y2x2-2因為直線MA1與NA2交于P,可得,x+2x-2=y破題有招求x+2x-2=my1指點迷津構造-2(y1+y2)的巧妙之處是可以運用根與系數的關系求值.=m·484m2由x+2x-解得x=-1,即xP=-1.所以點P在定直線x=-1上.……………12分審題導思破題點·柳暗花明(1)思路:題目給出雙曲線的左焦點坐標和離心率,根據各參數之間的關系,求出曲線的標準方程.(2)思路:考查直線與雙曲線的位置關系,可以從多個角度理解直線MN.選擇確定直線MN的初始參變量不同,將導致解題過程的運算量大小不同.[路徑1]把M,N分別看成直線MA1,NA2與雙曲線的另一個交點.[路徑2,3]把M,N看成直線MN與雙曲線的兩個交點,但路徑2與3的直線MN設法不同.角度3拋物線中的直線過定點問題教考銜接教材情境·研習·探究類[例3](人教A版選擇性必修第一冊P138·T6)如圖,直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A,B兩點,求證:OA⊥OB.【證明】不妨假設A(x1,y1),B(x2,y2),則OA=(x1,y1),OB=(x2,y2),聯(lián)立方程y消x得y2-2y-4=0,由根與系數的關系知y1+y2=2,y1y2=-4,所以x1x2=(y1+2)(y2+2)=y1y2+2(y1+y2)+4=4,所以OA·OB=x1x2+y1y2=4-4=0,因此OA⊥OB.【探究1】將已知條件和結論的位置調換.1.若直線l與拋物線y2=2x相交于A,B兩點,OA⊥OB,求證直線l過定點(2,0).【解析】由題意可設A(x1,y1),B(x2,y2),直線l的方程為x=my+n,其中n≠0,聯(lián)立方程x消去x得y2-2my-2n=0,由根與系數關系知y1+y2=2m,y1y2=-2n,所以x1x2=(my1+n)(my2+n)=m2y1y2+mn(y1+y2)+n2=n2.因為OA⊥OB,所以OA·OB=0,則x1x2+y1y2=n2-2n=0,解得n=2,進而可得直線方程為x=my+2.所以直線l經過定點(2,0).【探究2】將拋物線y2=2x變?yōu)閥2=2px(p>0):2.A,B是拋物線y2=2px(p>0)上異于頂點的兩個動點,O為坐標原點,且OA⊥OB,求證:(1)A,B兩點的橫坐標之積、縱坐標之積為定值.【證明】設A(x1,y1),B(x2,y2),(1)kOA=y1x1,kOB=因為OA⊥OB,所以kOA·kOB=-1,即x1x2+y1y2=0,因為y12=2px1,y22所以y122p·y22因為y1≠0,y2≠0.所以y1y2=-4p2,x1x2=4p2.(2)直線AB過定點.【證明】設A(x1,y1),B(x2,y2),(2)直線AB的方程為x=my+n,其中n≠0,則x-my故y2=2px·x-所以ny2+2pmxy-2px2=0,所以nyx2+2pmyx因為OA⊥OB,所以y1x1·y所以n=2p,則直線AB的方程為x=my+2p,故直線AB過定點2p【探究3】將“kOA·kOB=-1”變?yōu)椤発OA·kOB=t”或“kOA+kOB=t”(t為常數).3.A,B是拋物線y2=2px(p>0)上異于頂點的兩個動點,O為坐標原點,記直線OA,OB的斜率分別為kOA,kOB.(1)若kOA·kOB=t(t為常數),求證直線AB過定點(-2p【證明】設直線AB的方程為x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),類似于探究2可得,可得nyx2+2pmyx則y1x1·y2x2=-2p(1)若kOA·kOB=t,則y1x1·y2x故n=-2p則直線AB的方程為x=my-2p故直線AB過定點-2(2)若kOA+kOB=s(s為常數),求證直線AB過定點(0,2ps【證明】設直線AB的方程為x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),類似于探究2可得,可得nyx2+2pmyx則y1x1·y2x2=-2p(2)若kOA+kOB=s,則y1x1+y2x故n=-2pms,則直線x=my-2pms=m故直線AB過定點0,【探究4】若點O不是坐標原點,而是拋物線上一動點.4.A,B是拋物線y2=2px(p>0)上異于頂點的兩個動點,Mx0,y0為拋物線上一定點,過點M作兩條弦(1)若kMA·kMB=m,則直線AB過定點;【證明】設Ay122p,y1則kMA=2py0+y1,kMB=2則直線AB的方程為y-y1=2p即(y1+y2)y-y1y2-2px=0.①(1)因為kMA·kMB=m,所以2py0+yy1y2=4p2m-y0(y1+y2)-將②代入①得,(y1+y2)(y+y0)+y02-4p2m所以當y=-y0時x=y022即直線AB過定點y0(2)若kMA+kMB=n,則直線AB過定點.【證明】設Ay122p,y1則kMA=2py0+y1,kMB=2則直線AB的方程為y-y1=2p即(y1+y2)y-y1y2-2px=0.①(2)因為kMA+kMB=n,所以2py0+yy1y2=2p-ny0n(y1+將③代入①得,(y1+y2)y-2p-ny0n-4py0-ny02即直線AB過定點y0高考鏈接已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點為F,點P在拋物線E上,點P的橫坐標為1,且|PF|=2,A,B是拋物線E上異于O的兩點.(1)求拋物線E的標準方程;【解析】(1)由題意得,F(p2,0),點P的橫坐標為1,且|PF|=2,則2=1+p2,所以所以拋物線E的方程為y2=4x;(2)若直線OA,OB的斜率之積為-4,求證:直線AB恒過定點.【解析】(2)當直線AB的斜率不存在時,設A(t24,t),B(t24,-因為直線OA,OB的斜率之積為-4,則tt24×-tt所以A(1,t),B(1,-t),此時直線AB的方程為x=1.當直線AB的斜率存在時,設其方程為y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立y2=4xy=kx+b,化簡得ky2-4根據根與系數的關系得y1y2=4b因為直線OA,OB的斜率之積為-4,所以y1x1·y2x2=-4,即y1y2+4x1x2=0,即y1y解得y1y2=0(舍去)或y1y2=-4,所以y1y2=4bk=-4,即b=-k,滿足Δ=16(1-kb)>0,所以y=kx-即y=k(x-1),綜上所述,直線AB過定點(1,0).[溯源點評](1)本題主要考查了直線過定點問題,一般方法是設出直線方程,聯(lián)立圓錐曲線方程,可得根與系數關系式,要結合題設進行化簡得到參數之間的關系式,結合直線方程即可證明直線過定點.(2)解題時也可參考探究過程,利用探究的解題方法進行求解.對點訓練1.(2024·滄州模擬)已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點(1,p),直線l與該拋物線C相交于M,N兩點,過點M作x軸的垂線,與直線y=-x交于點G,點M關于點G的對稱點為P,且O,N,P三點共線.(1)求拋物線C的方程;【解析】(1)因為拋物線C:y2=2px(p>0)過點(1,p),所以p2=2p,所以p=2,所以拋物線C的方程為y2=4x.(2)若過點Q(2,0)作QH⊥l,垂足為H(不與點Q重合),是否存在定點T,使得|HT|為定值?若存在,求出該定點和該定值;若不存在,請說明理由.【解析】(2)設點M(y124,y1),N(y224得G(y124又因為點M關于點G的對稱點為P,所以點P(y124,-y1由O,N,P三點共線,可得kOP=kON,即-y12化簡得2(y1+y2)+y1y2=0,設直線l的方程為x=my+n,聯(lián)立x=my+ny2=4x,消去x則Δ=(4m)2-4×(-4n)>0,即m2+n>0,可得y1+y2=4m,y1y2=-4n,代入2(y1+y2)+y1y2=0,可得8m-4n=0,可得n=2m,所以直線l的方程:x=my+n,即x=my+2m,則x=m(y+2),所以直線l過定點E(0,-2),因為QH⊥l,所以點H的軌跡是以EQ為直徑的圓(除去E,Q兩點),圓心為(1,-1),半徑為2,所以存在定點T(1,-1),使得|HT|為定值,該定值為2.2.(2024·成都模擬)已知橢圓C1:x2a2+y2=1(a>1)與橢圓C2:x212+y2b2=1(0<b<23)的離心率相同,且橢圓C(1)求實數a和b的值;【解析】(1)由橢圓C1的方程可得其焦距為2a2-1由橢圓C2的方程可得其焦距為212-b2由題意知212解得a2=1b2=12(舍)或a2=4(2)若梯形ABCD的頂點都在橢圓C1上,AB∥CD,CD=2AB,直線BC與直線AD相