備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學一輪復習(世紀金榜高中全程復習方略數(shù)學人教A版基礎(chǔ)版)課時作業(yè)五十　直線的傾斜角與斜率、直線的方程

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。五十直線的傾斜角與斜率、直線的方程(時間:45分鐘分值:90分)【基礎(chǔ)落實練】1.(5分)(2024·昆明模擬)直線x+y-2023=0的傾斜角為()A.-π4 B.π4 C.π2【解析】選D.由于直線x+y-2023=0的斜率為-1,傾斜角范圍是[0,π),所以傾斜角為3π42.(5分)(2024·重慶模擬)斜拉橋是橋梁建筑的一種形式,在橋梁平面上有多根拉索,所有拉索的合力方向與中央索塔一致.如圖是重慶千廝門嘉陵江大橋,共有10對永久拉索,在索塔兩側(cè)對稱排列.已知拉索上端相鄰兩個錨的間距|PiPi+1|(i=1,2,3,…,9)均為3.4m,拉索下端相鄰兩個錨的間距|AiAi+1|(i=1,2,3,…,9)均為16m.最短拉索的錨P1,A1滿足|OP1|=66m,|OA1|=86m,則最長拉索所在直線的斜率為()A.±0.47 B.±0.45C.±0.42 D.±0.40【解析】選C.根據(jù)題意,最短拉索的錨P1,A1滿足|OP1|=66m,|OA1|=86m,且|PiPi+1|(i=1,2,3,…,9)均為3.4m,拉索下端相鄰兩個錨的間距|AiAi+1|(i=1,2,3,…,9)均為16m,則|OA10|=|OA1|+|A1A10|=86+9×16=230,即點A10(230,0),同理B10(-230,0),又|OP10|=|OP1|+|P1P10|=66+9×3.4=96.6,即點P10(0,96.6),所以kA10P10=96.6-00-3.(5分)(2024·南京模擬)已知點A(1,3),B(-2,-1).若直線l:y=k(x-2)+1與線段AB相交,則k的取值范圍是()A.[12B.(-∞,-2]C.(-∞,-2]∪[12D.[-2,12【解析】選D.由已知直線l恒過定點P(2,1),如圖所示,若l與線段AB相交,則kPA≤k≤kPB,因為kPA=3-11-2=-2,kPB所以-2≤k≤12【加練備選】設(shè)點A(2,-3),B(-3,-2),若直線l過點P(1,1)且與線段AB相交,則直線l的斜率k的取值范圍是()A.(-∞,-4]∪[34B.(-∞,-14]∪[3C.[-4,34D.[-34【解析】選A.如圖所示:依題意,kPA=-3-12-1=-4,kPB=-2-1則k≥34或k≤-44.(5分)(2024·涼山模擬)已知直線ax+by+c=0經(jīng)過第一、二、四三個象限,則()A.若c>0,則a>0,b>0B.若c>0,則a<0,b>0C.若c<0,則a>0,b<0D.若c<0,則a>0,b>0【解析】選D.ax+by+c=0經(jīng)過第一、二、四三個象限,則b≠0,故變形為y=-abx-c故-ab<0,-cb>0,則a,b同號,b,若c>0,則a<0,b<0,若c<0,則a>0,b>0,D選項正確,其他三個選項均錯誤.5.(5分)(多選題)關(guān)于直線方程y=kx+2,下列表述正確的有()A.是過點0,B.是過點0,2且斜率為C.當直線到原點距離最遠時,k=0D.當直線在兩坐標軸上截距相等時,k=1【解析】選BC.對于A,直線方程y=kx+2,不能表示斜率不存在時的直線,所以A錯誤;對于B,根據(jù)直線方程y=kx+2,可得直線方程表示過定點0,2,且斜率為k的直線,所以B正確;對于C,易知原點與直線所過定點0,2的連線為直線與原點的最遠距離,此時k=0,所以C正確;對于D,易知直線在y軸上的截距為2,在x軸上的截距為-2k,當直線在兩坐標軸上的截距相等時,則有-6.(5分)(多選題)(2024·邯鄲模擬)已知△ABC的三個頂點A(3,2),B(-2,3),C(4,5),則下列說法正確的是()A.直線AC的斜率為1B.直線AB的傾斜角為銳角C.BC邊的中點坐標為(1,4)D.BC邊上的中線所在的直線方程為x+y-5=0【解析】選CD.對于A,直線AC的斜率為5-對于B,直線AB的斜率為2-33+2=-1對于C,設(shè)BC邊的中點為D(x0,y0),則x0=-2+42=1,y0=3+52對于D,BC邊上的中線AD所在的直線方程為y-24-2=x-7.(5分)(2024·東營模擬)已知直線l:mx+2y+6=0,且向量(1-m,1)是直線l的一個方向向量,則實數(shù)m的值為()A.-1 B.1 C.2 D.-1或2【解析】選D.因為直線l:mx+2y+6=0,直線l的一個方向向量為(-2,m),又因為向量(1-m,1)是直線l的一個方向向量,所以-2-m(1-m)=0,解得m=-1或m=2.8.(5分)若光線沿傾斜角為120°的直線射向x軸上的點A(2,0),經(jīng)x軸反射,則反射直線的點斜式方程是()A.y=-33(x-2) B.y=3(xC.y=-3(x-2) D.y=33(x【解析】選B.光線沿傾斜角為120°的直線射向x軸,經(jīng)x軸反射,則反射直線的傾斜角為60°,反射光線斜率為k=tan60°=3,且反射光線過點A(2,0),則反射光線所在直線的點斜式方程是y=3(x-2).9.(5分)(2024·青島模擬)過點(3,-2)且在x軸,y軸上截距相等的直線方程為.

【解析】由題知,若在x軸,y軸上截距均為0,即直線過原點,又過(3,-2),則直線方程為y=-23x;若截距不為0,設(shè)在x軸,y軸上的截距為a,則直線方程為xa+又直線過點(3,-2),則3a+-2a=1,解得a=1,所以此時直線方程為x+答案:2x+3y=0或x+y=110.(5分)(2024·大連模擬)直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距小1,且過定點A(-3,8),則直線l的方程為.

【解析】設(shè)直線方程的截距式為xa+ya則-3a+8a+1=1,解得則直線方程是x3+y3+1=1或x1即4x+3y-12=0或2x+y-2=0.答案:4x+3y-12=0或2x+y-2=011.(10分)已知直線l:kx-y+2-k=0(k∈R).(1)設(shè)直線l過定點P,O為坐標原點,當直線l⊥OP時,求直線l的方程;【解析】(1)直線l:kx-y+2-k=0可化為y-2=k(x-1)(k∈R),所以直線過定點P(1,2).因為直線l⊥OP,所以kOP·k=-1,所以k=-12所以直線l的方程為-12x-y+2-(-12)=0,即直線l的方程為x+2y(2)若l交x軸正半軸于A,交y軸正半軸于B,△AOB的面積為S,求S取得最小值時直線l的方程.【解析】(2)解法1:設(shè)A(a,0),B(0,b),由直線xa+yb=1過P(1,2)得1a+2b=1(所以1=1a+2b≥22ab,當且僅當1a=2b,即a所以S=12ab≥4,當a=2,b=4時,S此時,直線l的方程為x2+y4=1,即2x+y解法2:由直線l的方程得A(k-2k,0),B(0,2-k所以S=12|OA|·|OB|=12|k-2k|·|2-k|=12×(2-k當且僅當k=-2時取等號.所以S取最小值4時,直線l的方程為2x+y-4=0.【能力提升練】12.(5分)(多選題)直線l:xa+yb=1中,已知a>0,b>0.若l與坐標軸圍成的三角形的面積不小于10,則數(shù)對(a,b)可以是(A.(3,8) B.(1,9) C.(7,4) D.(5,3)【解析】選AC.因為a>0,b>0,所以直線l與坐標軸圍成的三角形的面積為S=12ab,于是12ab≥10,解得ab≥20.13.(5分)(2024·廣州模擬)在平面直角坐標系中,等邊三角形ABC的邊AB所在直線斜率為23,則邊AC所在直線斜率的可能值為.

【解析】設(shè)直線AB的傾斜角為α,由已知得kAB=tanα=23,設(shè)直線AC的傾斜角為θ,則kAC=tanθ,因為在等邊三角形ABC中,∠BAC=60°,所以θ=α±60°,當θ=α+60°,tanθ=tan(α+60°)=tanα+tan60°1-tanαtan60當θ=α-60°,tanθ=tan(α-60°)=tanα-tan60°1+tanαtan60°綜上,kAC=-335或kAC=答案:-33514.(10分)已知在△ABC中,|AB|=|AC|,∠A=120°,A(0,2),邊BC所在的直線方程為3x-y-1=0,求邊AB,AC所在的直線方程.【解析】因為|AB|=|AC|,∠BAC=120°,所以△ABC是等腰三角形,且∠ABC=∠ACB=30°,由3x-y-1=0可知,該直線的斜率為3,所以該直線的傾斜角為60°.當過A(0,2)的直線不存在斜率時,此時該直線方程為x=0,與直線3x-y-1=0的夾角為30°,符合題意;不妨設(shè)B(0,-1).如圖所示:當過A(0,2)的直線存在斜率k時,因為∠CAB=120°,所以直線AC的傾斜角為30°,k=33,直線方程為y=33x+2,所以邊AB,AC所在的直線方程分別是x=0,y=3315.(10分)已知直線l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)求證:直線l過定點;【解析】(1)方法一:設(shè)直線過定點(x0,y0),則kx0-y0+1+2k=0對任意k∈R恒成立,即(x0+2)k-y0+1=0恒成立.所以x0+2=0,-y0+1=0.解得x0=-2,y0=1,故直線l過定點(-2,1).方法二:kx-y+1+2k=0可化為y-1=k(x+2),顯然x=-2,y=1時對任意k∈R方程都成立,故直線過定點(-2,1).(2)若直線l不經(jīng)過第四象限,求k的取值范圍;【解析】(2)直線l的方程為y=kx+2k+1,則直線l在y軸上的截距為2k+1,要使直線l不經(jīng)過第四象限,則k解得k的取值范圍是[0,+∞).(3)若直線與兩坐標軸所圍成三角形面積為4,求直線l的方程;【解析】(3)依題意,直線l在x軸上的截距為-1+2kk,在y軸上的截距為1+2由題意