2025年高考數學一輪復習講義 考點歸納與方法總結 第01練 集合（精練：基礎+重難點）（含解析）

2025年高考數學一輪復習講義及高頻考點歸納與方法總結（新高考通用）第01練集合（精練）1.了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關系，能用自然語言、圖形語言、集合語言列舉法或描述法描述不同的具體問題.2.理解集合間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.在具體情境中，了解全集與空集的含義.3.理解兩個集合的并集、交集與補集的含義，會求兩個簡單集合的并集、交集與補集.能使用Venn圖表示集合間的基本關系及集合的基本運算.一、單選題1．（2023·全國·高考真題）設全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得的值，然后計算即可.【詳解】由題意可得，則.故選：A.2．（2023·全國·高考真題）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據交集的運算解出．方法二：將集合中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出．【詳解】方法一：因為，而，所以．故選：C．方法二：因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選：C．3．（2023·全國·高考真題）設集合，，若，則（

）．A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根據包含關系分和兩種情況討論，運算求解即可.【詳解】因為，則有：若，解得，此時，，不符合題意；若，解得，此時，，符合題意；綜上所述：.故選：B.4．（2023·全國·高考真題）設全集,集合，（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據整數集的分類，以及補集的運算即可解出．【詳解】因為整數集，，所以，．故選：A．5．（2023·全國·高考真題）已知等差數列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．【答案】B【分析】根據給定的等差數列，寫出通項公式，再結合余弦型函數的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.【詳解】依題意，等差數列中，，顯然函數的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，則在中，或，于是有，即有，解得，所以，.故選：B6．（2022·全國·高考真題）設全集，集合M滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先寫出集合,然后逐項驗證即可【詳解】由題知,對比選項知，正確,錯誤故選:7．（2022·全國·高考真題）若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選：D8．（2022·全國·高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：求出集合后可求.【詳解】[方法一]：直接法因為，故，故選：B.[方法二]：【最優(yōu)解】代入排除法代入集合，可得，不滿足，排除A、D；代入集合，可得，不滿足，排除C.故選：B.【整體點評】方法一：直接解不等式，利用交集運算求出，是通性通法；方法二：根據選擇題特征，利用特殊值代入驗證，是該題的最優(yōu)解．【A級

基礎鞏固練】一、單選題1．（2024·北京豐臺·一模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式化簡結合，結合并集的概念即可求解.【詳解】因為，，所以.故選：A.2．（2024·北京順義·二模）設集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出全集，然后根據補集運算可得.【詳解】因為，，所以.故選：D3．（2024·山東·二模）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化簡集合，再利用交集運算求解.【詳解】由可得，所以.故選：B4．（23-24高三下·四川成都·階段練習）已知集合，則集合的子集個數為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】計算出集合的元素后可得其子集的個數.【詳解】，故其子集的個數為8，故選：D.5．（2024·陜西安康·模擬預測）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合，再根據交集的定義即可得解.【詳解】，所以.故選：D.6．（23-24高三下·四川雅安·階段練習）若集合，，則中元素的最大值為（

）A．4 B．5 C．7 D．10【答案】C【分析】根據B中元素的特征，只需滿足即可得解.【詳解】由題意，.故選：C7．（2024·四川成都·三模）設全集，若集合滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據給定條件，利用集合的包含關系及補集的定義判斷即得.【詳解】全集，由，知，則，A錯誤，B正確；不能判斷，也不能判斷，CD錯誤.故選：B8．（2024·河北滄州·模擬預測）已知集合，，，則集合的子集共有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．8個【答案】C【分析】首先用列舉法表示出集合、，即可求出集合，再求出其子集個數.【詳解】因為，又，所以，所以，則集合的子集共有個．故選：C9．（2024·全國·模擬預測）若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】化簡集合,根據集合的運算的定義求.【詳解】由題意，得因為，即，解得或則，所以.故選:D.10．（2024·四川瀘州·三模）已知集合，，若中有且僅有一個元素，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據不等式的解法求得，結合中有且僅有一個元素，即可求解.【詳解】由不等式，即，解得，即，因為，要使得中有且僅有一個元素，則或，即實數的取值范圍為.故選：B.11．（2024·北京東城·一模）如圖所示，是全集，是的子集，則陰影部分所表示的集合是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由給定的韋恩圖分析出陰影部分所表示的集合中元素滿足的條件，再根據集合運算的定義即可得解.【詳解】由韋恩圖可知陰影部分所表示的集合是.故選：D.二、多選題12．（2024·甘肅定西·一模）設集合，則（

）A．B．的元素個數為16C．D．的子集個數為64【答案】BCD【分析】解二次不等式化簡集合，進而求得集合，利用集合的交并運算與常用數集的定義，結合集合子集個數的求法逐一分析各選項即可得解.【詳解】對于ABC，因為，所以，即，所以有個元素，故A錯誤，BC正確；對于D，而有個元素，所以的子集個數為，故D正確.故選：BCD.13．（23-24高一上·陜西西安·階段練習）設集合，，若，則的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】解方程，分情況討論集合與元素的關系.【詳解】因為，所以或或，所以或或，故選：ABD．14．（2024·廣西·二模）若集合和關系的Venn圖如圖所示，則可能是（

）

A．B．C．D．【答案】ACD【分析】根據Venn圖可知，依次判定選項即可.【詳解】根據Venn圖可知，對于A，顯然，故A正確；對于B，，則，故B錯誤；對于C，，則，故C正確；對于D，，或，則，故D正確.故選：ACD三、填空題15．（2024高一上·全國·專題練習）已知集合，且，則.【答案】【分析】根據題意，列出方程，求得的值，結合集合元素的互異性，即可求解.【詳解】因為，所以或，解得或，當時，，，集合不滿足元素的互異性，所以舍去；當時，經檢驗，符合題意，所以．故答案為：．16．（2024高三下·全國·專題練習）集合的真子集的個數是.【答案】31【分析】利用列舉法解出該集合，結合真子集的定義即可求解.【詳解】共5個元素，則真子集的個數是.故答案為：3117．（23-24高一上·遼寧大連·期中）設，，若，則實數的值為.【答案】或【分析】依題意可得，分和兩種情況討論.【詳解】因為，又，所以，當時，符合題意；當，則，解得，綜上可得或.故答案為：或18．（2024·安徽合肥·一模）已知集合，若，則的取值范圍是.【答案】【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定義即可求解.【詳解】由，得,解得，所以.因為，所以或，解得或，所以的取值范圍是.故答案為：.19．（2024高三·全國·專題練習）設集合，且，，則實數的取值范圍為．【答案】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根據且得到不等式組，解得即可.【詳解】由，即，解得，即，因為且，所以，解得，即實數的取值范圍為.故答案為：四、解答題20．（23-24高一上·廣東湛江·期末）已知集合，，定義兩個集合P，Q的差運算：．(1)當時，求與；(2)若“”是“”的必要條件，求實數a的取值范圍．【答案】(1)，．(2)【分析】（1）用集合的新定義求解即可；（2）由“”是“”的必要條件得到，再利用范圍求出即可.【詳解】（1），當時，，所以，．（2）因為“”是“”的必要條件，所以，故，解得，即實數a的取值范圍是．21．（2024高三·全國·專題練習）設是由直線上所有點構成的集合,即,在點集上定義運算“”：對任意則．(1)若是直線上所有點的集合,計算的值．(2)對（1）中的點集,能否確定（其中）的值？(3)對（1）中的點集,若,請你寫出實數,,可能的值．【答案】(1)(2)可以,48(3)(答案不唯一)【分析】(1)根據運算“”的定義代入運算即可.(2)由題知點在直線上,代入直線方程,解得,的值,再根據運算“”的定義代入運算即可.(3)根據點在直線是上,求得,,的值與關系,再根據運算“”的定義代入運算,即可求得的范圍,在相關范圍內取值均可.【詳解】（1）由運算“”的定義知,.（2）∵,即點在直線上,∴,得．同理由,得．由運算“”的定義知,．所以可以確定，值為48.（3）由,知,即,且,即.由運算“”的定義知,,解得．取,知,此時,即符合題意．取,知,即也符合題意．【B級

能力提升練】一、單選題1．（2024·全國·模擬預測）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出集合，根據集合交集運算可得結果.【詳解】因為，所以．故選：A．2．（2024·寧夏銀川·一模）設全集，則集合（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由交集，補集和解不等式運算可得.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，故ABD錯誤，故C正確；故選：C3．（23-24高三上·內蒙古赤峰·階段練習）已知集合，集合，若，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合，然后根據，即可求解.【詳解】由，得，所以，因為，，所以，故D正確.故選：D.4．（23-24高一上·全國·期末）已知，，若集合，則的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根據題意，由集合相等列出方程，即可求得，代入計算，即可得到結果.【詳解】因為，所以，解得或當時，不滿足集合元素的互異性，故，，.故選：B.5．（23-24高三下·湖南長沙·階段練習）已知全集，，則集合B的元素個數為（

）A．6 B．7 C．8 D．不確定【答案】B【分析】由已知求出全集，再由可知中肯定有1，3，5，7，中肯定沒有1，3，5，7，從而可求出中的元素.【詳解】因為全集，，所以中肯定有1，3，5，7，中肯定沒有1，3，5，7，和中都有可能有0，2，4，6，8，9，10，且除了1，3，5，7，中有的其他數字，中也一定會有，中沒有的數字，中也一定會有，所以，故選：B6．（23-24高三下·甘肅·階段練習）如果集合U存在一組兩兩不交（兩個集合交集為空集時，稱為不交）的非空子集，且滿足，那么稱子集組構成集合U的一個k劃分．若集合I中含有4個元素，則集合I的所有劃分的個數為（

）A．7個 B．9個 C．10個 D．14個【答案】D【分析】分別計算2劃分，3劃分和4劃分的個數，再相加即可.【詳解】不妨設，則：的2劃分有，，，，，，；的3劃分有，，，，，；的4劃分只有.綜上，的劃分共有個，D正確.故選：D.二、多選題7．（2024·江蘇泰州·模擬預測）對任意，記，并稱為集合的對稱差．例如：若，則．下列命題中，為真命題的是（

）A．若且，則B．若且，則C．若且，則D．存在，使得【答案】AB【分析】集合的新定義，結合選項以及交并補的性質逐一判斷即可.【詳解】對于A,因為⊕，所以，，所以，且中的元素不能出現在中，因此，即A正確；對于B，因為⊕，所以，，即與是相同的，所以，B正確；對于C,因為⊕，所以，，所以，即C錯誤；對于D由于，而，故，即D錯誤．故選：AB．三、填空題8．（2024·浙江紹興·二模）已知集合，，且有4個子集，則實數的最小值是.【答案】/0.5【分析】根據的子集個數，得到元素個數，分和討論，進而得到實數m的取值范圍.【詳解】由有4個子集，所以中有2個元素，所以，所以，所以滿足，或，綜上，實數的取值范圍為，或，故答案為：9．（2024·湖南·二模）對于非空集合，定義函數已知集合，若存在，使得，則實數的取值范圍為.【答案】【分析】根據題意，由函數的定義可得可取，即可得到的取值范圍.【詳解】由題知：可取，若.則，即集合，得，即的取值范圍為.故答案為：【C級

拓廣探索練】一、單選題1．（2023·上海普陀·一模）設、、、、是均含有個元素的集合，且，，記，則中元素個數的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后對的取值由小到大進行分析，驗證題中的條件是否滿足，即可得解.【詳解】解：設、、、是集合互不相同的元素，若，則，不合乎題意.①假設集合中含有個元素，可設，則，，這與矛盾；②假設集合中含有個元素，可設，，，，，滿足題意.綜上所述，集合中元素個數最少為.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題考查集合元素個數的最值的求解，解題的關鍵在于對集合元素的個數由小到大進行分類，對集合中的元素進行分析，驗證題中條件是否成立即可.二、多選題2．（2024·浙江寧波·二模）指示函數是一個重要的數學函數，通常用來表示某個條件的成立情況.已知為全集且元素個數有限，對于的任意一個子集，定義集合的指示函數若，則（

）注：表示中所有元素所對應的函數值之和（其中是定義域的子集）.A．B．C．D．【答案】BCD【分析】根據的定義，即可結合選項逐一求解.【詳解】對于A，由于,所以故，故A錯誤，對于B，若,則，此時滿足，若且時，，若且時，，若且時，，綜上可得，故B正確，對于C，而，由于，所以故,C正確，,當時，此時中至少一個為1，所以，當時，此時均為0，所以，故,故D正確，故選：BCD【點睛】關鍵點點睛：充分利用的定義以及的定義，由此可得時，此時均為0，時，此時中至少一個為1，結合的定義化簡求解.三、填空題3．（23-24高三上·江西·期末）定義：有限集合，則稱為集合的“元素和”，記為.若集合，集合的所有非空子集分別為，，…，，則.【答案】【分析】根據錯位相減可得中的元素和，根據每一個元素在子集中出現的次數為，因此，即可求解．【詳解】由題意知集合中的元素分別為，，，，，設①，則②，①②，得，所以．由于集合中每一個元素在子集中出現的次數為，所以．故答案為：．四、解答題4．（2024·浙江臺州·二模）設A，B是兩個非空集合，如果對于集合A中的任意一個元素x，按照某種確定的對應關系，在集合B中都有唯一確定的元素y和它對應，并且不同的x對應不同的y；同時B中的每一個元素y，都有一個A中的元素x與它對應，則稱：為從集合A到集合B的一一對應，并稱集合A與B等勢，記作.若集合A與B之間不存在一一對應關系，則稱A與B不等勢，記作.例如：對于集合，，存在一一對應關系，因此.(1)已知集合，，試判斷是否成立?請說明理由；(2)證明：①；②.【答案】(1)成立，理由見解析(2)①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）根據新定義判斷即可；（2）①取特殊函數滿足定義域為，值域為即可利