2025年高考數(shù)學一輪復習講義 考點歸納與方法總結 第05練 一元二次不等式及其應用（精練：基礎+重難點）（含解析）

2025年高考數(shù)學一輪復習講義及高頻考點歸納與方法總結（新高考通用）第05練一元二次不等式及其應用（精練）1.會從實際情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義.2.結合二次函數(shù)的圖象，會判斷一元二次方程根的個數(shù)，以及二次函數(shù)的零點與方程根的關系.3.掌握利用二次函數(shù)的圖象解一元二次不等式.一、單選題1．（2023·全國·高考真題）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運算解出．方法二：將集合中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出．【詳解】方法一：因為，而，所以．故選：C．方法二：因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選：C．【A級

基礎鞏固練】一、單選題1．（2024·北京朝陽·二模）已知集合則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得，結合交集的定義與運算即可求解.【詳解】由題意知，，又，所以.故選：B2．（23-24高三下·云南·階段練習）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分別求出集合，再根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】由題意，，或所以.故選：A．3．（2024·山西·二模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出兩個集合，再根據(jù)交集的定義即可得解.【詳解】或，，所以.故選：D.4．（2024·全國·模擬預測）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先解對數(shù)不等式求出集合，再解一元二次不等式求出集合，最后根據(jù)并集的定義計算可得．【詳解】由得，解得，所以．由解得，即，所以.故選：B．5．（23-24高三下·湖南·階段練習）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解集合中的不等式，得到這兩個集合，再由交集的定義求解.【詳解】不等式解得，不等式，即，解得，可得.故選：D.6．（2024高三下·全國·專題練習）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】計算出集合、后，結合交集與補集的定義即可得.【詳解】由，得，則，則或，由，得，則，所以.故選：C．7．（23-24高一上·云南昆明·階段練習）設一元二次不等式的解集為，則的值為（

）A． B． C．12 D．7【答案】C【分析】由一元二次不等式解集求參數(shù)，即可得結果.【詳解】由題設是的兩個根，且，所以，故.故選：C8．（23-24高三上·山東濱州·期末）若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，分離參數(shù)再利用基本不等式求出最小值即得.【詳解】不等式對任意恒成立，則，成立，而，當且僅當，即時取等號，因此，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B9．（23-24高三上·河北邢臺·階段練習）“不等式恒成立”的一個充分不必要條件是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】分和兩種情況討論求出的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】當時，恒成立，當時，則，解得，綜上所述，不等式恒成立時，，所以選項中“不等式恒成立”的一個充分不必要條件是.故選：D.10．（2024·重慶·模擬預測）已知集合，，若，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)不等式的解法，求得或，分類討論求得集合，結合，利用集合的運算，即可求解.【詳解】由不等式，解得或，所以或，又由不等式，當時，不等式解集為空集，不滿足，不符合題意，舍去；當時，解得，即，此時不滿足，不符合題意，舍去；當時，解得，即，要使得，則滿足，綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.故選：A.二、多選題11．（23-24高三上·甘肅·階段練習）下列不等式的解集為的是（

）A． B．C． D．（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】ABD【分析】利用一元二次不等式的解法判斷ABC；利用指數(shù)函數(shù)的值域判斷D.【詳解】對于A，恒成立，不等式的解集為，A是；對于B，恒成立，不等式的解集為，B是；對于C，，則或，不等式的解集不是，C不是；對于D，函數(shù)的值域為，即，，D是.故選：ABD12．（23-24高三上·黑龍江·期中）關于的不等式對任意恒成立的充分不必要條件有（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】先求二次不等式恒成立的充要條件，得解集，則充分不必要條件是集合的非空真子集，驗證選項即可.【詳解】當不等式對任意恒成立時，有，解得，記.當?shù)娜≈捣秶羌系姆强照孀蛹瘯r，即為不等式對任意恒成立的充分不必要條件，AB選項中的范圍滿足題意.故選：AB三、填空題13．（23-24高三下·上?！ら_學考試）不等式的解集是．【答案】或【分析】由已知結合分式不等式的求法即可求解．【詳解】由,可得，即，解得或．故答案為：或．14．（23-24高三下·安徽·開學考試）已知集合，則．【答案】【分析】列舉法表示M，由交集的定義求.【詳解】因為，又，所以．故答案為：15．（23-24高三上·重慶長壽·期末）關于的不等式的解集為，則..【答案】【分析】由題意可得為方程的根，再由根與系數(shù)的關系求解即可.【詳解】由的不等式的解集為，可得為方程的根，所以，解得：，所以.故答案為：.16．（23-24高三下·上海浦東新·階段練習）若關于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)一元二次不等式解集的性質進行求解即可.【詳解】當時，不等式為，顯然不符合題意；當時，因為關于的不等式的解集為，所以有，所以實數(shù)的取值范圍是，故答案為：17．（23-24高三下·北京·開學考試）關于的不等式的解集中至多包含1個整數(shù)，寫出滿足條件的一個的取值范圍.【答案】【分析】把不等式化為,討論和時,求出不等式的解集,即可得出滿足題意的取值范圍.【詳解】關于的不等式可化為,當時,解不等式得,當時,解不等式得,因為不等式的解集中至多包含1個整數(shù),所以或,當時，不等式的解集為，也滿足題意；所以的取值范圍是.故答案為:.四、解答題18．（23-24高三上·湖北·階段練習）已知(1)若，求；(2)若是的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意結合一元二次不等式求集合，再求；（2）由題意可知：集合B是集合A的真子集，分、和三種情況，根據(jù)包含關系運算求解.【詳解】（1）由題意可得：，當時，，所以.（2）由題意可知：集合B是集合A的真子集，因為不等式等價于，則有：當時，，滿足題意；當時，，則；當時，；綜上所述：實數(shù)m的取值范圍.19．（23-24高一上·重慶·期中）已知關于的方程有實根，集合.(1)求的取值集合；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）分，兩種情況討論，結合判別式求解；（2）若，則，分，兩種情況討論，列出不等式求解即可.【詳解】（1）方程有實根，若，該方程無解；若，則，解得或，綜上，.（2）若，則，當時，，符合題意；當時，，∵，∴或，∴，綜上，.20．（23-24高一上·山東青島·期中）已知，不等式的解集是．(1)求的解析式；(2)不等式組的正整數(shù)解僅有2個，求實數(shù)取值范圍；【答案】(1)(2)【分析】（1）依題意可得，是關于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，利用韋達定理得到方程組，解得即可；（2）依題意可得，分別解出各不等式，再由正整數(shù)解的個數(shù)確定該正整數(shù)解為?，從而得到，解得即可.【詳解】（1）因為，不等式的解集是，所以，是關于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，可得，解得，所以；（2）不等式，即，由，解得或，由，即，解得，因為不等式組的正整數(shù)解僅有個，可得該正整數(shù)解為?，所以，解得，則實數(shù)取值范圍是；【B級

能力提升練】一、單選題1．（23-24高三下·江西贛州·期中）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合，再由交集的定義求解即可.【詳解】因為可得，由可得：或，解得：或因為或，所以.故選：C.2．（2024·天津河西·一模）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)分式不等式和一元二次不等式的解法，結合充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】由得，解得，由得，所以，解得，所以“”是“”成立的必要不充分條件.故選：B3．（2024·全國·模擬預測）已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由不等式的解法和集合的運算，求得或，結合，列出不等式組，即可求解.【詳解】由集合，且，所以或，因為，可得，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：D．4．（2024·廣東·一模）已知且，則“的解集為”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)一元二次不等式的解及充分條件、必要條件求解.【詳解】由題意，二次不等式的解集為，則等價于，即，即，當時，不能推出，所以“的解集為”是“”的充分不必要條件，故選：A5．（23-24高三上·內蒙古通遼·階段練習）已知命題，，若命題是假命題，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用含有一個量詞命題的否定轉化為不等式對恒成立，根據(jù)判別式可求得.【詳解】根據(jù)題意可知，命題的否定為“，”為真命題；即不等式對恒成立，所以，解得；可得的取值范圍為.故選：C6．（2023高三·全國·專題練習）若關于x的不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二次函數(shù)的圖象及根的分布計算即可.【詳解】易知恒成立，即有兩個不等實數(shù)根，又，即二次函數(shù)有兩個異號零點，所以要滿足不等式在區(qū)間上有解，所以只需，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是．故選A．7．（2024高三·全國·專題練習）關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，那么的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】說明時，不合題意，從而將化為，令，結合其與x軸有兩個交點，且分布在1的兩側，可列不等式即可求得答案.【詳解】當時，即為，不符合題意；故，即為，令，由于關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，則與x軸有兩個交點，且分布在1的兩側，故時，，即，解得，故，故選：D二、多選題8．（2024·廣東深圳·模擬預測）下列說法正確的是（

）A．不等式的解集是B．不等式的解集是C．若不等式恒成立，則a的取值范圍是D．若關于x的不等式的解集是，則的值為【答案】CD【分析】對于AB，直接解一元二次不等式即可判斷；對于C，對分類討論即可判斷；對于D，由一元二次不等式的解集與一元二次方程的根的關系，先求得，然后即可判斷.【詳解】對于A，或，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；若不等式恒成立，當時，是不可能成立的，所以只能，而該不等式組無解，綜上，故C正確；對于D，由題意得是一元二次方程的兩根，從而，解得，而當時，一元二次不等式滿足題意，所以的值為，故D正確.故選：CD.9．（23-24高一上·陜西西安·期中）已知關于的不等式的解集為或，則以下選項正確的有（）A．B．不等式的解集為C．D．不等式的解集為或【答案】ABD【分析】求得a的取值范圍判斷選項A；求得不等式的解集判斷選項B；求得的取值范圍判斷選項C；求得不等式的解集判斷選項D.【詳解】關于的不等式的解集為或，則和是方程的二根，且則，解之得，由，可得選項A判斷正確；選項B：不等式可化為，解之得，則不等式解集為.判斷正確；選項C：.判斷錯誤；選項D：不等式可化為，即，解之得或.則不等式的解集為或.判斷正確.故選：ABD10．（2024高三·全國·專題練習）(多選)下列命題正確的是（

）A．若不等式ax2＋bx＋c<0的解集為(x1，x2)，則必有a>0B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為RC．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0D．若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向下，則不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集【答案】AD三、填空題11．（2024·陜西西安·模擬預測）當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】.【分析】根據(jù)題意分離參數(shù)，進而構造函數(shù)求定區(qū)間的最值即可.【詳解】當時，不等式恒成立，所以當時，恒成立，則，令，則在單調遞增，所以，所以.故答案為：.12．（23-24高三上·上海靜安·階段練習）設集合，，則，則實數(shù)a的取值范圍為.【答案】【分析】由題意可以先將所給集合化簡，若滿足，則，故只需根據(jù)包含關系列出不等式組求出參數(shù)范圍即可.【詳解】由題意，或，若滿足，則，又因為，所以，解得.故答案為：.13．（2022高三上·河南·專題練習）已知，，若是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】先對求解得，對化簡得，再結合是的必要不充分條件，對進行分類討論，即可求解.【詳解】由，解得，所以，對于，即，若，解得，要使是的必要不充分條件，則，所以；若，解得，要使是的必要不充分條件，則，所以；若，則為，符合題意，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14．（23-24高一上·湖北荊州·期末）若命題為真命題，則m的取值范圍為.【答案】【分析】利用二次函數(shù)性質求解可得.【詳解】由題意，不等式有解，即不等式有解，設，則函數(shù)圖象開口向上，要使不等式有解，則函數(shù)圖象與軸有交點，則，化簡得，解得或．故答案為：四、解答題15．（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習）設.(1)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)已知解關于的不等式【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)題意，轉化為對一切實數(shù)恒成立，分和，兩種情況討論，列出不等式組，即可求解；（2）根據(jù)題意，求得的兩個根為，分類討論，即可求解.【詳解】（1）解：由對一切實數(shù)恒成立，即對一切實數(shù)恒成立，當時，，不滿足題意；當時，則滿足，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.（2）解：由不等式，即，方程的兩個根為，①當時，不等式的解集為②當時，不等式的解集為③當時，不等式的解集為.綜上所述，當時，不等式的解集為；當時，解集為.16．（23-24高一上·遼寧朝陽·期中）已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)若在上的最小值為0，求a的值．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）由題意可得，分類討論a的取值范圍即可得出對應的解集；（2）易知對稱軸為，根據(jù)二次函數(shù)的性質，分類討論，求出當、、時的表達式，列方程，解之即可求解.【詳解】（1），當時，不等式的解集為；當時，，不等式的解集為；當時，，不等式的解集為．（2）因為的對稱軸為，當即時，在上單調遞增，此時，解得或，又因為，所以不存在這樣的a；當即時，在上單調遞減，在上單調遞增，此時，解得，此時滿足，所以成立；當即時，在上單調遞減，此時，解得或，又因為，所以不存在這樣的a；綜上：在上的最小值為0時，．17．（23-24高一上·浙江寧波·階段練習）（1）解關于x不等式；（2）若對于，不等式恒成立，求x的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）【分析】（1）分類討論的取值情況，結合二次不等式的解法即可得解；（2）將問題轉化為對于恒成立，利用主元法即可得解.【詳解】（1）因為，所以，即，①當時，不等式化為，解得；②當時，方程的兩根分別為，當時，不等式化為，則其解集為，當時，不等式化為，當，即時，不等式的解集為，當，即時，不等式的解集為，當，即時，不等式的解集為，綜上所述：當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；（2）因為對于，恒成立，所以對于恒成立，則，解得，故的取值范圍為.18．（23-24高一上·浙江·期中）已知函數(shù)．(1)若對，都有成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)解關于x的不等式．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）化簡不等式，根據(jù)的符號進行分類討論，由此求得的取值范圍.（2）化簡不等式，對進行分類討論，由此求得不等式的解集.【詳解】（1）對，都有成立，即成立，①，無解；②，解得：或．綜上，．（2），即，①當時，，∴；②當時，，∴；③當時，，∴；④當或時，，∴或．綜上，當時，原不等式解集為；當時，原不等式解集為；當時，原不等式解集為；當或時，原不等式解集為．【C級

拓廣探索練】一、單選題1．（貴州省銅仁市2023-2024學年高一上學期1月期末質量監(jiān)測數(shù)學試題）當時，不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對二項式系數(shù)進行分類，結合二次函數(shù)定義的性質，列出關系式求解.【詳解】當時，不等式恒成立，當時，滿足不等式恒成立；當時，令，則在上恒成立，函數(shù)的圖像拋物線對稱軸為，時，在上單調遞減，在上單調遞增，則有，解得；時，在上單調遞增，在上單調遞減，則有，解得.綜上可知，的取值范圍是.故選：D.【點睛】方法點睛：分類討論思想是高中數(shù)學一項重要的考查內容，分類討論思想要求在不能用統(tǒng)一的方法解決問題的時候，將問題劃分成不同的模塊，通過分塊來實現(xiàn)問題的求解，體現(xiàn)了對數(shù)學問題的分析處理能力和解決能力.二、多選題2．（山東省菏澤第一中學南京路校區(qū)2023-2024學年高一上學期1月月考數(shù)學試題）下列命題正確的是（

）A．若關于x的方程的一根比1大且另一根比1小，則a的取值范圍是B．若關于x的不等式在上恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是C．若關于x的不等式的解集是，則關于x的不等式的解集是或D．若，則的最小值為【答案】ACD【分析】對于A，原問題等價于，解一元二次不等式即可驗證；對于B，原問題等價于在上恒成立，由此即可驗證；對于C，首先得，然后解分式不等式即可驗證；對于D，首先由基本不等式得，然后由即可驗證，注意取等條件是否成立.【詳解】對于A，二次函數(shù)，開口向上，若關于x的方程的一根比1大且另一根比1小，則，解得，故A正確；對于B，若關于x的不等式在上恒成立，則只需，即在上恒成立即可，則實數(shù)k的取值范圍是，故B錯誤；對于C，若關于x的不等式的解集是，則，所以關于x的不等式或，故C正確；‘對于D，若，則，解得，等號成立當且僅當，所以，等號成立當且僅當，故D正確.故選：ACD.【點睛】關鍵點睛：A選項的關鍵是得，B選項的關鍵是得在上恒成立，C選項的關鍵是得，D選項的關鍵是利用基本不等式得，然后適當變形即可求解.三、填空題3．（第