高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

函數(shù)

映射定義：設(shè)A,B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,

在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)B為從集合A到集合B的一個(gè)映射

傳統(tǒng)定義：如果在某變化中有兩個(gè)變量羽％并且對(duì)于犬在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，

按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系九y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)。那么y就是x的函數(shù)。記作y=f(x).

(近代定義：函數(shù)是從一個(gè)數(shù)集到另一個(gè)數(shù)集的映射。

定義域

函數(shù)及其表示《函數(shù)的三要素《值域

對(duì)應(yīng)法則

解析法

函數(shù)的表示方法《列表法

<圖象法

傳統(tǒng)定義：在區(qū)間可上，若aVx1(為2助,如/'(電)</(》2)，貝!l/(x)在［“，句上遞增,可是

的澗M遞增區(qū)間；如/(司)“(>2)，則/'(x)在反句上遞減,叫是的遞減區(qū)間。

串胴因?qū)?shù)定義：在區(qū)間［a,可上，若/(a)>0,則/'(x)在［a,可上遞增,［a,可是遞增區(qū)間；taf(x)<0

則;'(x)在［a，目上遞減,［a，可是的遞減區(qū)間。

最大值：設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足：(1)對(duì)于任意的xe/,都有/'(x)MM；

函數(shù)<晶指J(2)存在叼e/,使得/'(xoAM。則稱M是函數(shù)y=/(x)的最大值

函數(shù)的基本性質(zhì)

取但［最小值：設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)N滿足：(1)對(duì)于任意的xe/,都有/'(x)2N；

(2)存在叼e/,使得/'(xo)=M則稱N是函數(shù)y=/(x)的最小值

［(1)/(-x)=-/(x),xe定義域D,則/(x)叫做奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

奇偶性~2)/(-x)=f(x),xe定義域D則f(x)叫做偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。

奇偶函數(shù)/定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)森

周期性：在函數(shù)f(x)的定義域上恒有f(x+T)=/(x)(7V0的常數(shù))則f(x)叫做周期函數(shù)，7為周期；

T的最小正值叫做/'(x)的最小正周期，簡(jiǎn)稱周期

(1)描點(diǎn)連線法：列表、描點(diǎn)、連線

向左平移a個(gè)單位：yi=y,x\-a=x=^>y=f(x+a)

向右平移。個(gè)單位：y\=y,x1+a=x^>y=f(x-a)

平移變換<

向上平移Z?個(gè)單位：xi=x,yy+b=y^>y-b=f(x)

向下平移b個(gè)單位：x1=x,y\-b=y=>y+b=f(x)

,橫坐標(biāo)變換：把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)有縮短(當(dāng)卬>1時(shí))或伸長(zhǎng)(當(dāng)Ovw<l時(shí))

到原來的1/w?(縱坐標(biāo)不變)，即

縱坐標(biāo)變換：把各自的縱巫標(biāo)力伸長(zhǎng)(A>1)或縮短(O<A<1)到原柒的A倍

(橫坐標(biāo)不變)，即力=y/A=>y=/(尤)

函數(shù)圖象的畫法,

(2)變換法?

關(guān)于點(diǎn)(X。，NO)對(duì)稱:｛黑京滬隹:缸產(chǎn)2y0-y^\2x0-x)

關(guān)于直線EO對(duì)稱和/2叼耳需產(chǎn)尸一尸〃2卻t)

對(duì)稱變換<

關(guān)于直線y=W對(duì)稱:悔=2NO明晝%-產(chǎn)>07=/(x)

關(guān)于直線y=x對(duì)稱:/-1(x)

[y=yi

附：

一、函數(shù)的定義域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被開方數(shù)大于等于零；3、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零；4、指數(shù)函數(shù)和對(duì)

數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；5、三角函數(shù)正切函數(shù)y=tanx中xH左乃+萬?(keZ)；余切函數(shù)丁=<\)1:%

中；6、如果函數(shù)是由實(shí)際意義確定的解析式，應(yīng)依據(jù)自變量的實(shí)際意義確定其取值范圍。

二、函數(shù)的解析式的常用求法：

1、定義法；2、換元法；3、待定系數(shù)法；4、函數(shù)方程法；5、參數(shù)法；6、配方法

三、函數(shù)的值域的常用求法:

1、換元法；2、配方法；3、判別式法；4、幾何法；5、不等式法；6、單調(diào)性法；7、直接法

四、函數(shù)的最值的常用求法：

1、配方法；2、換元法；3、不等式法；4、幾何法；5、單調(diào)性法

五、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：

1、若/(x),g(x)均為某區(qū)間上的增(減)函數(shù)，則/(x)+g(x)在這個(gè)區(qū)間上也為增(減)函數(shù)

2、若/(%)為增(減)函數(shù)，則一/(%)為減(增)函數(shù)

3、若/(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則y=/［g(x)］是增函數(shù)；若/(x)與g(x)的單調(diào)性不同，則

y=/區(qū)(幻］是減函數(shù)。

4、奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。

5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖象。

六、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：

1、如果一個(gè)奇函數(shù)在x=0處有定義，則/(0)=0,如果一個(gè)函數(shù)y=f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則

/(x)=0(反之不成立)

2、兩個(gè)奇(偶)函數(shù)之和(差)為奇(偶)函數(shù)；之積(商)為偶函數(shù)。

3、一■個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積(商)為奇函數(shù)。

4、兩個(gè)函數(shù)y=/(〃)和"=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個(gè)是偶函數(shù)，那么該復(fù)合函數(shù)就是偶函

數(shù)；當(dāng)兩個(gè)函數(shù)都是奇函數(shù)時(shí)，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。

5、若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(x)可以表示為

/(%)=g"(%)+/(—切+(九)—/(—?jiǎng)?chuàng)，該式的特點(diǎn)是：右端為一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和。

零點(diǎn)：對(duì)于函數(shù)y=f(x),我們把使/?(%)=0的實(shí)數(shù)%叫做函數(shù)y=/(%)的零點(diǎn)。

定理：如果函數(shù)y=/(%)在區(qū)間［a,句上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有/(a)-f(b)<0,

零點(diǎn)與根的關(guān)系《那么，函數(shù)y=/(%)在區(qū)間［。，口內(nèi)有零點(diǎn)。即存在ce(a,b),使得〃c)=0,這個(gè)c也是方

程/(%)=0的根。(反之不成立)

關(guān)系：方程=0有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y=/(%)有零點(diǎn)o函數(shù)y=/(%)的圖象與%軸有交點(diǎn)

函數(shù)與方程<(1)確定區(qū)間［a,b］,驗(yàn)證-f(b)<0,給定精確度￡；

(2)求區(qū)間(出8)的中點(diǎn)c;

函數(shù)的應(yīng)用

⑶計(jì)算/(c)；

二分法求方程的近似解《①若/Xc)=0,則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；

②若/(a)-/(c)<0,則令人=c(此時(shí)零點(diǎn)%0G(a,b))；

③若/(c)-f(b)<0,則令。=c(此時(shí)零點(diǎn)“e(c,Z?))；

(4)判斷是否達(dá)到精確度￡：即若a-b<￡,則得到零點(diǎn)的近似值。(或b);否則重復(fù)2?4o

幾類不同的增長(zhǎng)函數(shù)模型

函數(shù)模型及其應(yīng)用5用已知函數(shù)模型解決問題

建立實(shí)際問題的函數(shù)模型

根式:哈，〃為根指數(shù)，a為被開m

=an

分?jǐn)?shù)指數(shù)塞

指數(shù)的運(yùn)算《61rds=.汗+s(a>O,廠,sE2)

指數(shù)函數(shù)《T生質(zhì)=ars(a>O,廠,s三Q)

(6zZ?)r=c1rbs(a>O,Z?>O,,reQ)

定義：一般地把函數(shù)y=axka>O且。x1）叫做指數(shù)函數(shù)。

指數(shù)函數(shù)

性質(zhì)：見表1

X寸數(shù)：，=logq2V一為底數(shù)，2V為真數(shù)

「log,（.-N）=log^M+logZ;

基本初等函數(shù)<a

M

對(duì)數(shù)的運(yùn)算<log,—=logq—log,N;

性質(zhì)v

對(duì)婁攵函數(shù)Vlog^Mn=nlog^M;(a>O,aX1,M>O,TV>O)

換底公式：log“b=I。、，匕g,c>O_&a,。才1,5>O)

logca

—■般地把函數(shù)y=log^x（a>O且aX1）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)

見表1

一般地，函數(shù)'=叫做塞函數(shù)，不是自變量，，是常數(shù)。

寨函數(shù)

見表2

一、直線與方程

（1）直線的傾斜角

定義：尤軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與X軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的

傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°WaV180°

（2）直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即

k=tancr□斜率反映直線與軸的傾斜程度。

當(dāng)ae時(shí)，>0;當(dāng)ae（90°,180°）時(shí)，k<0:當(dāng)（z=90°時(shí)，左不存在。

②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：k--_—（Xjx2）

注意下面四點(diǎn)：（1）當(dāng)項(xiàng)=/時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；

（2）左與Pi、P2的順序無關(guān)；（3）以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；

（4）求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。

（3）直線方程

①點(diǎn)斜式：丁一切=左（%-％1）直線斜率%,且過點(diǎn)&,%）

注意：當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)，k=0,直線的方程是y=yi。

當(dāng)直線的斜率為90°時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示.但因/上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等

于X1,所以它的方程是X=X1。

②斜截式：y=kx+b,直線斜率為左直線在y軸上的截距為力

③兩點(diǎn)式：—~~—（x1Ax2，％w%）直線兩點(diǎn)&J）,&，%）

④截矩式：土+上=1

ab

其中直線/與x軸交于點(diǎn)（。,0）,與y軸交于點(diǎn)（0,6）,即I與x軸、y軸的截距分別為a,b。

⑤一般式：Ax+By+C=0（A,B不全為o）

注意：①各式的適用范圍②特殊的方程如：

平行于無軸的直線：y=b（6為常數(shù)）；平行于y軸的直線：x=a（a為常數(shù)）；

（5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線

（一）平行直線系

平行于已知直線Ax+dy+Co=0（4,綜是不全為0的常數(shù)）的直線系：AQX+Boy+C=0（C為常

數(shù))

(二)過定點(diǎn)的直線系

(i)斜率為左的直線系：y-_y0=k{x-x0),直線過定點(diǎn)(x。,%)；

(ii)過兩條直線(：A%+gy+G=0，4：4兀+芻丁+。2=0的交點(diǎn)的直線系方程為

(4x+Bly+C1)+2(A2x+B2y+C2)=0(幾為參數(shù))，其中直線4不在直線系中。

(6)兩直線平行與垂直

當(dāng)A:y=kj+白，l2：y=k2x+%時(shí),

6〃，2O匕=k2,仇W人2；6~L，2O左1%2=—1

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。

(7)兩條直線的交點(diǎn)

乙：Ax+gy+G=。4：4%+居丁+。2=。相交

交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組[AX+'J+G=°的一組解。

方程組無解O/"〃2;方程組有無數(shù)解與4重合

(8)兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)A(M，M),5(%,%)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，

則|AB[="々-％)2+(%-城

(9)點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)M%,%)到直線/1:Ax+3y+C=0的距離〃=性竺土迫9上4

JA2+B2

(10)兩平行直線距離公式

在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。

二、圓的方程

1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑。

2、圓的方程

(1)標(biāo)準(zhǔn)方程(x—a)~+(y—b)~=廣，圓心(a,。，半徑為r；

(2)一般方程X'+y?+瓜+份+/=0

當(dāng)。2+七2-4尸〉。時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為12,_￡上半徑為r=J_jD，+E2_4F

當(dāng)。2+石2-4/=。時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)I)?+石2一4/<。時(shí)，方程不表示任何圖形。

(3)求圓方程的方法：

一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，

需求出a,b,r;若利用一般方程，需要求出D,E,F;

另外票注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn)，以此來確定圓心的位置。

3、直線與圓的位置關(guān)系：

直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：

(1)設(shè)直線/：Ax+3y+C=0,圓C:(x_a)2+(y_6)2=/,圓心。卜,可到/的距離為"=叱絲上自，則

VA2+B2

有d>ro/與C相離；4=r<=>/與。相切；d<ro/與C相交

(2)設(shè)直線/:Ax+3y+C=0,圓C:(x-ap+(,一6『=",先將方程聯(lián)立消元，得到一個(gè)一元二次方程之

后，令其中的判別式為A,則有

△<0o/與C相離；A=0o/與C相切；△>?。。/與^相交

注：如果圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式*0+抄0=/去解直線與圓相切的問題，其中(%,%)表示切點(diǎn)坐

標(biāo)，r表示半徑。

(3)過圓上一點(diǎn)的切線方程：

①圓彳2+>2=，，圓上一點(diǎn)為(xo,yo),則過此點(diǎn)的切線方程為尤/+Wo=產(chǎn)(課本命題)?

②圓仇-。尸+華勿2=汽圓上一點(diǎn)為的，yo),則過此點(diǎn)的切線方程為(無0-。)住-0:)+仇-勿伊勿=，(課本命題的推廣).

4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和(差)，與圓心距(d)之間的大小比較來確定。

2222

設(shè)圓G：(x_%『+(>-向)2=>',C2：(%—?2)+(y—^2)=R

兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和(差)，與圓心距(d)之間的大小比較來確定。

當(dāng)+r時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；

當(dāng)d=A+/時(shí)兩圓外切，連心線過切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；

當(dāng)R—r<d<R+r時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線;

當(dāng)—廠時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線；

當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含；當(dāng)d=0時(shí)，為同心圓。

高中數(shù)學(xué)必修4知識(shí)點(diǎn)

"正角:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

1、任意角負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角：不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角

2、角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱a為第幾象限角.

第一象限角的集合為左.360<a<k-36Q+90,kez}

第二象限角的集合為{。,360+90<^-360+180,keZ}

第三象限角的集合為{。卜?360+180<a<k-360+270,左?z}

第四象限角的集合為{。/.360+270<a<^-360+360,kez}

終邊在x軸上的角的集合為{。,=H180，kez}

終邊在y軸上的角的集合為=攵-180+90,kez}

終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為{H。=左?90，keZ}

3、與角a終邊相同的角的集合為{同/?=左-360+%左eZ}

4、已知a是第幾象限角，確定4(〃eN*)所在象限的方法：先把各象限均分〃等份，再從x軸的正半軸的上方

Qf

起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則a原來是第幾象限對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)即為一終邊所落在的區(qū)域.

n

5、長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度.

6、半徑為r的圓的圓心角a所對(duì)弧的長(zhǎng)為/,則角a的弧度數(shù)的絕對(duì)值是.

r

7、弧度制與角度制的換算公式：2==360,1=—,1=|—I土57.3.

1801萬J

8、若扇形的圓心角為。(。為弧度制)，半徑為r,弧長(zhǎng)為/,周長(zhǎng)為C,面積為S,則/=/同，C=2r+Z,

S=-lr=—\a\r2

2211

9＞設(shè)a是一個(gè)任意大小的角，a的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是（羽y）,它與原點(diǎn)的距離是

r\r=Jx2+y2>01,則sina=),cosa=—,tana=)(%wO).

\/rrx

10、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正.

11>三角函數(shù)線：sina—MP,cosa-OM,tana—AT.

12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：(l)sin2a+cos2a=l

/?2i22i,2\/r)\sina

Ism。=1一cosa.cosa=l—sma)；(2)----=tana

'7cosa

(,sina)

sma=tanacosa,cosa----.

ItanaJ

13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：

(1)sin(2kjv+a)=sina,cos(2左乃+a)=cosa,tan(2左乃+a)=tana(kwZ).

(2)sin(乃+a)=_sina,cos(乃+a)=-cosa,tan(萬+a)=tana.

(3)sin(—a)=-sina,cos(-a)=cos。，tan(-a)=-tana.

(4)sin(萬一a)=sina,cos(7r-a)=-cosa,tan(?-a)=-tana.

口訣：函數(shù)名稱不變，符號(hào)看象限.

言-a卜cosa,cos71

（5）sin~~a=sma.

71

(6)sin|—+a-cosa,c0Sr+?二-sma.

212

口訣：正弦與余弦互換，符號(hào)看象限.

14、函數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移網(wǎng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=sin（%+0）的圖象；再將函數(shù)

in（x+”）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來的工倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin

j=sin

G）

的圖象；再將函數(shù)丁=5m（5+0）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變），得到函

數(shù)y=Asin（aa+o）的圖象.

函數(shù)y=sin九的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來的L倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

y=sinGX的圖象；再將函數(shù)y=sin①工的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移」個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)

CD

y=sin（〃式+0）的圖象；再將函數(shù)丁=51!1（5+0）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來的A倍（橫坐

標(biāo)不變），得到函數(shù)y=Asin（〃zv+o）的圖象.

函數(shù)y=Asin（〃沈+0）（A>O⑷>0）的性質(zhì):

21

①振幅：A；②周期：T=—。；③頻率：于=—=B~；④相位：a）x+（p；⑤初相：（p.

CDT271

函數(shù)y=Asin（69%+0）+B,當(dāng)時(shí)，取得最小值為'min；當(dāng)％=%2時(shí)，取得最大值為Xnax，則

11T

A=］（ymax-Vmin），B=5（3縱+Vmin），萬=電一M（石<電）?

15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：

、函標(biāo)y=sinxy=cosxy=tan%

性責(zé)；7人

卜k

yy￥2

圖學(xué)少■

象/4

~04vyx~07

定

7兀1r

義RRXx豐卜兀~\?一,keZ*

域2,

值

[-M][-M]

域R

jr當(dāng)％=2左萬（左￡2）時(shí)，

當(dāng)x-2k7i+—(Z:eZ)

》max=l；當(dāng)％=2左萬+?

最時(shí)，Vmax=1；當(dāng)

值（左eZ）時(shí),ymin=-1.既無最大值也無最小值

x-lkji--

2

(丘Z)時(shí)，爪=-L

周2127171

期

性

奇奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

偶

性

在2k7i--,2k7i+—

_22.在［2k/i-兀,2左句（左￡Z）上

L?7乃、

單￡Z)上是增函數(shù)；是增函數(shù)；在在k兀，&7TH——

調(diào)122）

,7Cc737T［2左》,2左?+"］

性2K71H----,2&7TH------(1?￡Z）上是增函數(shù).

22_（keZ）上是減函數(shù).

(k￡Z)上是減函數(shù).

對(duì)稱中心（左1,0）（左￡Z）對(duì)稱中心對(duì)稱中心

對(duì)［左"+（左€

對(duì)稱軸/,o］Z）（手o/eZ）

稱

性x=k7i+?（keZ）

對(duì)稱軸x=ki〈kGZ）無，對(duì)稱軸

16>向量：既有大小，又有方向的量.

數(shù)量：只有大小，沒有方向的量.

有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.

零向量：長(zhǎng)度為0的向量.

單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.

平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.零向量與任一l向量平行.

相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向

17、向量加法運(yùn)算：

⑴三南形法則的特點(diǎn)：首尾相連.

⑵平行四邊形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn).

⑶三角形不等式：

a+K=AB+BC=AC

⑷運(yùn)算性質(zhì)：①交換律：a+b=b+a②結(jié)合律：

(a+b)+c=2+(b+c)；?a+O=O+a=d.

⑸坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)〃=(再，％),b=(x2,y2)

a+Z>=(%1+x2,j1+y2).

18>向量減法運(yùn)算：

⑴三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量.

⑵坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè),b=(x2,y2)

a-b=(xl-x2,yl-y2).

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(石，％),(x2,y2),則43=(%一%2，%—%)?

19、向量數(shù)乘運(yùn)算：

⑴實(shí)數(shù)X與向量〃的積是一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作Aa.

①=岡同;

②當(dāng)2>0時(shí)，Aa的方向與。的方向相同；當(dāng)2<0時(shí)，Aa的方向與a的方向相反；當(dāng)2=0時(shí)，Aa=0.

(2)運(yùn)算律：①4(//a)=(4〃)a；②(X+〃)a=而+〃〃；③+=+.

⑶坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a=(x,y),貝U而=%(x,y)=(尢.

20、向量共線定理：向量。。0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)X,使b=4a.

設(shè)〃=(%,%),Z?=(x2,y2),其中則當(dāng)且僅當(dāng)為%一々X=0時(shí)，向量〃、6僅w0)共線.

21>平面向量基本定理：如果6、％是同一■平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一■平面內(nèi)的任意向量〃，有且

只有一對(duì)實(shí)數(shù)4、4，使a=4G+462.（不共線的向量令、令作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）

22、分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)P是線段P^2上的一點(diǎn)，Pl、P2的坐標(biāo)分別是（石,%）,（%2，%），當(dāng)Pp=4PP2時(shí),

國(guó)+2X%+71y2

點(diǎn)P的坐標(biāo)是2

1+291+2

23>平面向量的數(shù)量積:

⑴二同卜上058（。wO,bw0,0?8<180）.零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

⑵性質(zhì)：設(shè)〃和/?都是非零向量，則①Q(mào)_LZ?=0.②當(dāng)〃與b同向時(shí)，。仍=同網(wǎng)；當(dāng)〃與/?反向時(shí),

a-b=一同同；a-a二片或同=&.〃.③,同忖.

(3)運(yùn)算律：①a?b=b?a；②=X(a?b)=a?(4b)；③(a+b)?c=a.d+b.c.

⑷坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個(gè)非零向量〃=（西,yj,b=（x2,y2）,則〃?/?=番%+%%,

若〃=(x,y),則|?！憾?2+丁2,或同=+.2.

設(shè)4=(石，％),b=(x2,y2),貝Ia_LZ?ox%+X%=0.

設(shè)〃、/?都是非零向量，〃=（尤］,%）,b=（x2,y2）,。是a與人的夾角，則

cosd*=「一①.

24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式:

(1)cos(cr-/?)=cos6ZCOs/?+sincifsin/?；

(2)cos(or+yff)=coscrcos/3-sinasin(3；

(3)sin(er-yff)=sinorcos(3-cosasin/?；

(4)sin(cr+/?)=sincifcosj3+cosasinp；

tanor-tan/?

(5)tan(df-/?)(tancif-tanyff=tan(of-/?)(1+tantan/?))；

1+tanatan°

⑹tan…=空”也包(tana+tan/=tan(a+/)(l-tanatanA)).

1-tanciftan°

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

(1)sin2o=2sinicosa.

co2.2c211c?2/2COS2df+1.21—COS2a、

(2)cos=coscif-sine=2coscif-l=l-2sina(cosa--------,sina=---------).

22

2tan1

⑶tan2。=

1-tan2a

26、Asino+Bcos。=JA2+B、sin(0+夕),其中tan0=—.

高中數(shù)學(xué)必修5知識(shí)點(diǎn)

1、正弦定理：在AABC中，。、b、c分別為角A、B、。的對(duì)邊，R為AABC的外接圓的半徑，則有

，=上=工=2R.

sinAsinBsinC

2、正弦定理的變形公式：①〃=2RsinA,Z?=27?sinB,c=2RsinC;

.Aa.cb.「c

②sinA=——,sinB=——,sinC=——；

2R2R2R

?（2:Z7:c=sinA:sinB:sinC;

ca+b+cabc

④--------------------=------=-----=------.

sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC

3、三角形面積公式：S^c=gbcsinA=gabsinC=gacsinB.

4、余弦定理：在AABC中，有〃2="+c?-2bccosA,b1=a1+C1-2^ccosB,

c2=a2+b2-2abeosC.

人…由“…人Ab2+c2-a2__a2+c2-b1_a1+Z?2-c1

5、余弦定理的推論：cosA=----------,cosB=----------,cosC=----------.

2bclaclab

6、設(shè)〃、b、。是AABC的角A、B、C的對(duì)邊，則：①若。2+〃=c2,則。=90；

②若"+b2>c2,則c<9。；③若〃+/<，，則。>90.

7、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù).8、數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù).

9、有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列.10、無窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列.

11、遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.

12、遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.

13、常數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列.

14、擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.

15、數(shù)列的通項(xiàng)公式：表示數(shù)列｛〃〃｝的第〃項(xiàng)與序號(hào)"之間的關(guān)系的公式.

16、數(shù)列的遞推公式：表示任一項(xiàng)為與它的前一項(xiàng)%_］（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系的公式.

17、如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)

稱為等差數(shù)列的公差.

18、由三個(gè)數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，則A稱為〃與Z?的等差中項(xiàng).若

b=-----,則稱b為〃與。的等差中項(xiàng).

2

19、若等差數(shù)列｛4〃｝的首項(xiàng)是對(duì),公差是d,則為=q

20、通項(xiàng)公式的變形：@an^am+（n-m）d.②q=q一（八-l）d；③d=%~?；

〃一1

④，—+1;⑤

dn-m

21、若｛〃〃｝是等差數(shù)列，且m+〃=夕+“（加、n、p、GN*）,則冊(cè)+〃“=〃p+〃q；若｛〃〃｝是等差數(shù)列，

且2〃=p+^（〃、p、qGN：i：）,則=〃p+〃g.

c”（q+幻cn（n-l）,

22、等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和的公式：①3“=---------；②S,=嗎+、）d.

乙乙

23、等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和的性質(zhì)：①若項(xiàng)數(shù)為￡N*）,則S2n—“（4+為+i）,且S偶一S奇二就，

S奇二冊(cè)

S偶4+1

S

②若項(xiàng)數(shù)為wN"）,則S2M=（2〃-1）4,且S奇一S偶=。“，—=—^―（其中3奇=九%,