初中數(shù)學(xué)定理、公式匯編

初中數(shù)學(xué)定理、公式匯編

一、數(shù)與代數(shù)

1.數(shù)與式

(1)實(shí)數(shù)

實(shí)數(shù)的性質(zhì)：

①實(shí)數(shù)。的相反數(shù)是一。，實(shí)數(shù)。的倒數(shù)是上(aWO)；

a

②實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值：

a(a>0)

時(shí)=<0(〃=0)

-a(a<0)

③正數(shù)大于0,負(fù)數(shù)小于0,兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。

二次根式：

①積與商的方根的運(yùn)算性質(zhì)：

y[ab=y[a-4b(〃20,8三0)；

[a_4a

(cz^O,Z?>0)；

②二次根式的性質(zhì):

a(a>0)

-a(a<0)

(2)整式與分式

①同底數(shù)暴的乘法法則：同底數(shù)累相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即am-an=am+n

(加、〃為正整數(shù))；

②同底數(shù)卷的除法法則：同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即

a"'an=amn(aWO,力為正整數(shù)，rri>n)i

③毒的乘方法則：幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即(a份"=a"〃"為正

整數(shù))；

④零指數(shù)：?°=1(aWO);

⑤負(fù)整數(shù)指數(shù)：G(4=0,W為正整數(shù))；

an

⑥平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方，即

(a+b)(a—b)=a—b~；

⑦完全平方公式：兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)

它們的積的2倍，即(a±b)2

分式

①分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整

式，分式的值不變，即@=絲絲；@="絲，其中根是不等于零的代數(shù)式；

bbxmbb+m

②分式的乘法法則：

bdbd

③分式的除法法則：4+￡=Q.2=H(CWO)；

bdbcbe

④分式的乘方法則：$(w為正整數(shù))；

⑤同分母分式加減法則：-+-=^;

CCC

八e八一工、4工巾a,dab±cd

⑥異分母分式加減法則：一±'=-；

cbbe

2.方程與不等式

①一元二次方程a^+bx+c=Q)(aWO)的求根公式：

x=-b+8-4ac2_4aC。)

2a

②一元二次方程根的判別式：A=b2-4ac叫做一元二次方程

ax2+bx+c=Q(aWO)的根的判別式:

△>0o方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

△=0O方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

△<0o方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；

③一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：設(shè)X］、9是方程。三+。*+。=0（”#0）

bc

的兩個(gè)根，那么了1+x=——，X］龍產(chǎn)一；

2aa

不等式的基本性質(zhì):

①不等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變;

②不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；

③不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變；

3.函數(shù)

一次函數(shù)的圖象：函數(shù)產(chǎn)乙+從院后是常數(shù)，4W0）的圖象是過(guò)點(diǎn)（0,b）且與

直線y=kx平行的一條直線；

一次函數(shù)的性質(zhì)：設(shè)y-kx+bMW0）,則當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)

k<0,y隨x的增大而減小；

正比例函數(shù)的圖象：函數(shù)丁=日的圖象是過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn)（1,k）的一條直線。

正比例函數(shù)的性質(zhì)：設(shè),=履（左。0）,貝！J：

①當(dāng)《>0時(shí)，y隨x的增大而增大；

②當(dāng)歡0時(shí)，y隨x的增大而減??；

反比例函數(shù)的圖象：函數(shù)>='（4#0）是雙曲線；

X

反比例函數(shù)性質(zhì)：設(shè)y=&（20）,如果左>0,則當(dāng)x>0時(shí)或水0時(shí)，y分另I」

x

隨比的增大而減??；如果歡0,則當(dāng)x>0時(shí)或水0時(shí)，y分別隨x的增大而增大；

二次函數(shù)的圖象：函數(shù)y=a無(wú)2+Z?x+c（a#o）的圖象是對(duì)稱軸平行于7軸

的拋物線；

①開(kāi)口方向：當(dāng)。>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，當(dāng)水0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下；

b

②對(duì)稱軸：直線x=----；

2a

h4-CIC—fl2

③頂點(diǎn)坐標(biāo),）；

2a4〃

bb

④增減性：當(dāng)〃>0時(shí)，如果xV——,則y隨工的增大而減小，如果——，則

2a2a

b

y隨x的增大而增大；當(dāng)Q<0時(shí)，如果xW———,則y隨X的增大而增大，如果

2a

b

x>———,則y隨工的增大而減小；

2a

二、空間與圖形

1.圖形的認(rèn)識(shí)

⑴角

角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，角的內(nèi)部到兩邊距離相等

的點(diǎn)在角平分線上。

（2）相交線與平行線

同角或等角的補(bǔ)角相等，同角或等角的余角相等；

對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等

垂線的性質(zhì)：

線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，到線段

兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線；

平行線的定義：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線；

平行線的判定：

①同位角相等，兩直線平行；

②內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；

③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；

平行線的特征：

①兩直線平行，同位角相等；

②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；

③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；

平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線平行于已知直線。

⑶三角形

三角形的三邊關(guān)系定理及推論：三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三

邊；

三角形的外角和定理：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)的和；

三角形的外角和定理推理：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角；

三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)（內(nèi)心）；

三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)（外心）；

三角形中位線定理：三角形兩邊中點(diǎn)的連線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半;

全等三角形的判定：

①邊角邊公理（SAS）②角邊角公理CASA）

③角角邊定理（AAS）④邊邊邊公理（SSS）

⑤斜邊、直角邊公理（HL）

等腰三角形的性質(zhì)：

①等腰三角形的兩個(gè)底角相等；

②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（三線合一）

直角三角形的性質(zhì)：

①直角三角形的兩個(gè)銳角互為余角；

②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

③直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）；

④直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；

直角三角形的判定：

①有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；

②如果三角形的三邊長(zhǎng)“、5、C有下面關(guān)系/+/=。2,那么這個(gè)三角形是直角

三角形（勾股定理的逆定理）。

⑷四邊形

多邊形的內(nèi)角和定理：”邊形的內(nèi)角和等于（〃-2>180°（"N3,〃是正整數(shù)）；

平行四邊形的性質(zhì)：

①平行四邊形的對(duì)邊相等；

②平行四邊形的對(duì)角相等；

③平行四邊形的對(duì)角線互相平分；

平行四邊形的判定：

①兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；

②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

③對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

④一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

矩形的性質(zhì)：（除具有平行四邊形所有性質(zhì)外）

①矩形的四個(gè)角都是直角；

②矩形的對(duì)角線相等；

矩形的判定：

①有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；

②對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；

菱形的特征：（除具有平行四邊形所有性質(zhì)外

①菱形的四邊相等；

②菱形的對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

菱形的判定：

四邊相等的四邊形是菱形；

正方形的特征：

①正方形的四邊相等；

②正方形的四個(gè)角都是直角；

③正方形的兩條對(duì)角線相等，且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

正方形的判定：

①有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；

②有一組鄰邊相等的矩形是正方形。

⑸圓

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（設(shè)圓的半徑為廠，點(diǎn)尸到圓心。的距離為d）:

①點(diǎn)P在圓上，則大廠，反之也成立；

②點(diǎn)P在圓內(nèi)，則4G,反之也成立；

③點(diǎn)P在圓外，則4〉廠，反之也成立；

圓的確定：不在一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓；

垂徑定理（及垂徑定理的推論）：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧;

平行弦?jiàn)A等?。簣A的兩條平行弦所夾的弧相等；

圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)；

圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理及推論：在同圓或等圓中，相等的圓心角

所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦的弦心距相等；

圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半；

圓周角定理的推論：直徑所對(duì)的圓周角是直角，反過(guò)來(lái)，90°的圓周角所對(duì)的弦是

直徑；

切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；

切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；

切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，這一點(diǎn)到兩切點(diǎn)的線段相等，它與圓心

的連線平分兩切線的夾角；

弧長(zhǎng)計(jì)算公式：1=2（R為圓的半徑，〃是弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，/為弧長(zhǎng)）

180

H1

扇形面積：S扇形=,成2或S扇形=—出（R為半徑，”是扇形所對(duì)的圓心角的

3602

度數(shù)，/為扇形的弧長(zhǎng)）

弓形面積s弓形=S扇形土SA

（6）尺規(guī)作圖（基本作圖、利用基本圖形作三角形和圓）

作一條線段等于已知線段，作一個(gè)角等于已知角；作已知角的平分線；作線段的垂

直平分線；過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線；

2.圖形與變換

圖形的軸對(duì)稱

軸對(duì)稱的基本性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸平分；

等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓是軸對(duì)稱圖形；

圖形的平移

圖形平移的基本性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行且相等；

圖形的旋轉(zhuǎn)

圖形旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的距離相

等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等；

平行四邊形、矩形、菱形、正多邊形（邊數(shù)是偶數(shù)）、圓是中心對(duì)稱圖形；

圖形的相似

ncdC

比例的基本性質(zhì)：如果一=上，貝！Jad=6c,如果ad=6c,貝！）上=上（6wQ,d豐0）

bdbd

相似三角形的設(shè)別方法：①兩組角對(duì)應(yīng)相等；②兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等；

③三邊對(duì)應(yīng)成比例

相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等；②相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例；

③相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比；④相似三角形的面積比等于相似比的平方；

相似多邊形的性質(zhì)：

①相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等；②相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例；

③相似多邊形的面積之比等于相似比的平方；

圖形的位似與圖形相似的關(guān)系：兩個(gè)圖形相似不一定是位似圖形，兩個(gè)位似圖形一

定是相似圖形；

Rt/\ABC中，NC=90°,SinA=NA的對(duì)邊,cosA=NA的鄰邊,tanA=NA的對(duì)邊,

斜邊斜邊NA的鄰邊

口以=44的令口邊

NA白勺對(duì)邊

特殊角的三角函數(shù)值:

30"45°60°

￡V3

Sina亞

22~T

V3]_

Cosa也

~T2

V3

tana1V3

V

CotaV31

三、概率與統(tǒng)計(jì)

1.統(tǒng)計(jì)

數(shù)據(jù)收集方法、數(shù)據(jù)的表