高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容復(fù)習(xí)(13)-探索性問題

高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容復(fù)習(xí)（15）—探索性問題

一、選擇題（本題每小題5分，共60分）

1.集合A={a,b,c},集合B={-1,0,1},/是A到B的映射，且滿足條件/（a）+/（b）+/（c）=0,

這樣的映射共有（）

A.6個B.7個C.8個D.9個

2.在AABC中，sinA>sinB是A>B成立的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

22

3.直線2+工=1與橢圓二+工

A、B兩點,該橢圓上點P,使得4APB的面積

43169

等于3,這樣的點P共有)

A.1個B.2個C.3個D.4個

f31

4.設(shè)數(shù)集M=\xm<x<m+—>,N=xn——<x<n,,且M、N都是集合{.r|0<x<

43

的子集，如果把。一〃叫做集合的“長度”，那么集合McN的“長度”的

最小值是（）

1215

A.-B.-C.—D.—

331212

5.PQ是異面直線a"的公垂線，a_L。，Aea,Be。，C在線段PQ上（異于P,Q）,則AABC

的形狀是()

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.三角形不定

6.用一張鋼板制作一容積為4加3的無蓋長方體水箱，可用的長方形鋼板有四種不同的規(guī)格（長

X寬的尺寸如各選項所示，單位均為m）,若既要夠用，又要所剩最少，則應(yīng)選鋼板的規(guī)

格是（）

A.2X5B.2X5.5C.2X6.1D.3X5

7.計算機是將信息轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)進行處理的，二進制即“逢2進1”，如（1101）2表示二

進制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進制形式是1X23+1X22+0X21+1X2J13,那么將二進制數(shù)（11…11）

2（2004個1）轉(zhuǎn)換成十進制形式是（）

A.22004?2B.22。。3-2C.22004?1D.22003-1

8.數(shù)列122,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000項的值是（）

A.42B.45C.48D.51

9.在（1+切2+（1+切6+。+淤7的展開式中，含上項的系數(shù)是等差數(shù)列昕3n?1。的（）

A.第2項B.第11項C.第20項D.第24項

10.已知集合A二{XF—ZX—BAOLBRXF+OX+匕WO},若AUB二R,AOB=（3,4]則有（）

A.a=3,b=4B.a=3,b=—4C.a=~3,b=4D.a=-3,b=—4

11.不等式J。？-/<2x+a（a>0）的解集是（）

,v5a

A.{A|A>0或xv.[a}B.{x|--<x<ai

C.{A|0<A^a}D.{M-a<x<?*a或0</e}

4

22

12.橢圓二+乙=1的長軸為A1A2,短軸為B1B2,將坐標平面沿y軸折成一個二面角，使

43

Ai點的平面B1A2B2上的射影恰好是該橢圓的右焦點，則此二面角的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

二、填空題（本題每小題4分，共16分）

22

13.已知定點A（-2,百）,F是橢圓,+*=1的右焦點，點M在橢圓上移動，則當|AM|+

2|MF|取最小值時，點M的坐標是

14.若（*——戶的展開式中含x的項為第6項，設(shè)（1-x+2*）n=ao+aix+即日…+的肥1廁

X

&+/+/+3+^2n=.

15.定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么

這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列{?！皚是等和數(shù)列，且

為=2,公和為5,那么的值為,這個數(shù)列的前n項和5“的計算公式

為.

16.定義集合A和B的運算：A*8={xkeA,且xe6}.試寫出含有集合運算符號“*”、

“u”、“n”，并對任意集合A和B都成立的一個等式：.

三、解答題(本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)：

17.(本小題滿分12分)已知函數(shù)/(幻=獷/+#+2億eZ),且/⑵(/⑶

(1)求攵的值；

(2)試判斷是否存在正數(shù)p,使函數(shù)g(x)=1-p"(x)+(2〃—l)x在區(qū)間［-1,2］上的值

域為—4,117.若存在，求出這個〃的值；若不存在，說明理由.

18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)/(x)=(x—a)(x—b)(x—c).

(1)求證：f(x)=(x-a)(x—b)+(x—a)(x—c)+(x-b)(x—c)；

(2)若/(x)是R上的增函數(shù)，是否存在點P,使/(x)的圖像關(guān)于點P中心對稱？如果存在,

請求出點P坐標，并給出證明；如果不存在，請說明理由.

19.(本小題滿分12分)已知奇函數(shù)/(X)的定義域為全體實數(shù)，且當尤20時，f(x)>0,

問是否存在這樣的實數(shù)丸，使得〃cos2e—3)+〃4/l—2/lcose)〉,f(0)對所有的

TT

3e0,-均成立？若存在，則求出所有適合條件的實數(shù)幾；若不存在，試說明理由.

2

20.(本小題滿分12分)在aABC中，ZA,NB,NC的對邊分別為a,b,c,且b,a,c成等差數(shù)

列,b>c,已知B(—l,0),C(l,0)。

(1)求頂點A的軌跡L；

(2)是否存在直線m,使m過點B并與曲線L交于不同的兩點P、Q,且|PQ|恰好等于

原點到直線m的距離的倒數(shù)？若存在，求出m的方程，若不存在，說明理由.

21.(本小題滿分12分)如圖，在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中，ZABC=60°,PA=AC=a,

PB=PD=Ml,點E在PD上，且PE:ED=2:1.

(1)證明PAJ_平面ABCD；

(2)求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角。的大??；

(3)在棱PC上是否存在一點F,使BF〃平面AEC?證明你的結(jié)論.

D

BC

4〃——2

22.（本小題滿分14分）已知數(shù)列｛為｝中，0=4,j-，是否存在這樣的數(shù)列｛6｝,

4+1

b后B4+C,其中人、B、C為實常數(shù)，使得｛、｝是等比數(shù)列而不是等差數(shù)列？證明你

凡+A

的結(jié)論，并求｛所｝的取值范圍.

答案

一、選擇題(每小題5分，共60分)：

(1).B(2).C(3).B(4).C(5).C(6).D(7).C(8).B(9).C(10).D(ll).C(12).C

二、填空題(每小題4分，共16分)

(13).(2A/3,V3);(14).255；

(15).3當n為偶數(shù)時，S?=-?；當n為奇數(shù)時，S?=-n--

"222

(16).A*(AnB)=(AU8)*8；8*(AnB)=(AUB)*A；

(AUB)*(AnB)=(A*8)U(B*A)；…

三、解答題(共74分，按步驟得分)

17.解：(1)V/(2)</(3),：.-k2+k+2>0,即二一女一2<0,

,：k&Z,：.k=0或1

(2)/(x)=x2,g(x)=]一夕)2+(2.-1)尤=_2,_1]+4勺產(chǎn)

當女人G[—1,2],即pe；,+ooj時,

2P

4-P~+117C/A[

--------=—，P=2,g(-l)=-4,g(2)=-l

4P8

當“二le(2,+8)時，.?.這樣的〃不存在。

2P

當即>寸，g(—l)=?,g(2)=-4,這樣的p不存在。

綜上得，〃=2

18.解:(1)V/(x)=(x-a)(x-b)(x-c)

=X3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ac)x-abc

f'(x)=3x2—2(a+b+c)x+(ab+bc+ac)

=[x2—(a+b)x+ab]+[x2—(a+c)x+ac]+[x2—(b+c)x+be]

=(x—a)(x—b)+(x—a)(x—c)+(x—b)(x—c).

(2)?.?/(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，???/'(x)20,對x￡R恒成立，

即3x2—2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)^0對x￡R恒成立.

.1△WO,4(a+b+c)2—12(ab+bc+ca)WO,

?'?(a-b)2+(a—c)2+(b-c)2^O,a=b=c.

:./(x)=(x—a)3,，/%)關(guān)于點(a,0)對稱.

證明如下:設(shè)點P(x,y)是Hx)=(x—a/圖像上的任意一點，y=(x—a)3,

點P關(guān)于點(o,0)對稱的點P'(2a—x,—y),

V(2a-x-a)3=(2a-x)3=—(x-2a)3=-y,

???點P'在函數(shù)Hx)=(x-a)3的圖像上,即函數(shù)/(x)=(x—a)3關(guān)于點(a,0)對稱.

19.解：因為/'(x)在R上為奇函數(shù)，又在[0,+8)上是增函數(shù)

所以〃尤)在R上也是增函數(shù),且"0)=0

因為〃cos2e-3)+〃44-2；lcos8)>〃0)=0

所以“cos2。-3)〉-f(4/1-2/1cose)=〃22cos9-42)

故cos2。-3>2Acos0-4Acos?0一Acos0+2丸一2>0

TT~\2—cos2Q

要使不等式對任意9e0,-恒成立，只要X大于函數(shù)y=一的最大值即可。

2-2-cos。

'—產(chǎn)

令f=cosee[0,l],則求函數(shù)y=的最大值,

2—Z

.,分口、(2-t2'\t2-At+2八

方法1(求導(dǎo))y=------=----------=0

(2—)2

解得：/=2±V2,因re[0,l]nr=2-0

當0Wf<2—痣，El寸，y>0；當l?f〉2-亞時，y<0

故k=4-2立因此九€（4-2a,+8）

方法2（判別式）把函數(shù)變形為「一"+2y—2=0

設(shè)g(f)=r—W+2y—2,即g(f)=0在[0,1]上有解

g(0)<0

當y<0時:必須,,、ny>1且y<1,矛盾;

[g⑴>。

g(o)>og⑵NO

當04y?2時，<或<

A=/-8J+8>0A=/-8y+8>0

g⑼NO

或卜(2)20ny?4-2后或yN4+2a此時=4-2及；

A=/-8j+8>0

g(0)>0

當y>2時，必須<,、ny>1且y<1,矛盾；

Uo)<°

2-t2_6-4f-(2Ty_

方法3（不等式）y4-(2-r)+^—

2-t2-t、)2-t

<4-272,此時2—rnf=2—&e[0,l]

20.解：（1）由題設(shè)知b+c=2a,|BC|=2,;.|AB|+|AC|=b+c=2a=2|BC|=4,又b>c,

故由橢圓的定義知，點A的軌跡L是左半個橢圓（去掉左頂點），

尤2V2

軌跡方程為：一+—=1（-2<xS0\

43

（2）假設(shè)存在直線m滿足題意，

①當m斜率存在時，設(shè)m的方程為y=k（x+1），把它代入橢圓方程，

消去y得（4k2+3）〃+8k2x-12+4k2=0o

8公4/72

設(shè)P(xi,yi)Q(檢y2),則為+及=-—、——，XvX=——1——

4左2+324公+3

X/X1<O,A^<O,即必儂0,.*223，.二

|PQ|=J(l+[2)](X]+々)2—4占々]=+；，

^TK十D

設(shè)原點0到直線m的距離為d,則d=,1A'1,

7F7T

,.IPOI=1,i2(P+i)_VFTi，得k2”53+回⑶

-11I,??0

d4公+3m32

這與k2N3矛盾，表明直線m不存在。

②當斜率不存在時，m的方程為A=-1,此時|PQ|=|yi-y2|=3,d=1,|PQ|*-,

d

所以不滿足題設(shè)。綜上，滿足題設(shè)的條件不存在。

21.證明：因為底面ABCD是菱形，/ABC=60”,

所以AB=AD=AC=a,在4PAB中，

由PA2+AB2=2O2=PB2知PA±AB.

同理，PA1AD,所以PAJ_平面ABCD.

(H)解作EG〃PA交AD于G,

由PAJ_平面ABCD.

知EGJ_平面ABCD.作GHJ_AC于H,連結(jié)EH,

則EH1.AC,/EHG即為二面角。的平面角.

12/0

又PE:ED=2:1,所以EG=-a,AG=-a,GH=AGsin60°=—a.

333

從而tan6>=—=—,9=3()。.

GH3

(III)解法一以A為坐標原點，直線AD、AP分別為y軸、z軸，過A點垂直平面PAD

的直線為x軸，建立空間直角坐標系如圖.由題設(shè)條件，相關(guān)各點的坐標分別為

FJ11

A(0,0,0),B(—a,一—a,0),C(—a,-a,0).

2222

0(0,a,0),P(0,0,a),E(O,ga,%).

—*21——?Gi

所以AE=(0,-a,-a\AC=(^-67,-^,O).

AP=(0,0,a),正=(#a,；a-a).

-"A/31

BP=(-—a-a,a).

22

—*—?1

設(shè)點F是棱PC上的點，PF=APC=(—<2<1,則

22

而=而+而=(一#a,ga,a)+(#a%；aA,-aA)

-v/31--?--------*1--------?

=+2),a(l-A)).令BF=AtAC+A2AE得

二-a(A-1)=——,

222-1=4,

1124

<-ci(l+A)——+-a429即<1+4=4+—"

3-

[一丸二g幾2?

u(l-A)=-a4.

1131—-1—-3—*

解得4=—,4=一一,A=-.即；1=—時，BF=一一AC+-AE.

2'222222

亦即，F(xiàn)是PC的中點H寸，BF,AC.族共面.

又BF（Z平面AEC,所以當F是棱PC的中點時，BF〃平面AEC.

解法二當F是棱PC的中點時，BF〃平面AEC,證明如下，

證法一取PE的中點M,連結(jié)FM,則FM〃CE.①

由EM=，PE=E￡）,知E是MD的中點.

2

連結(jié)BM、BD,設(shè)BDCAC=O,則。為BD的中點.

所以BM//OE.②

由①、②知，平面BFM〃平面AEC.

又BFU平面BFM,所以BF〃平面AEC.

證法二

因為'BF=BC+-CP=AD+-（CD+DP）