高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全程規(guī)劃(新高考地區(qū)專用)考點(diǎn)03不等式(9種題型11個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn))專項(xiàng)練習(xí)(原卷版+解析)

考點(diǎn)03不等式（9種題型11個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn)）一一、真題多維細(xì)目表考題考點(diǎn)考向2022新高考2，第12題基本不等式利用基本不等式求最值2020新高考1，第11題不等式的概念和性質(zhì)比較大小二二、命題規(guī)律與備考策略本專題在高考題中多作為載體考查其他知識，例如結(jié)合不等式的解法考查集合間的關(guān)系與運(yùn)算、函數(shù)的定義域與值域、函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用等；或考查用基本不等式解決最值或恒成立問題。考題以中低檔為主。主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，分值為5分。對于不等式及其性質(zhì)內(nèi)容的復(fù)習(xí)，需要結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)、數(shù)列等知識綜合掌握。三三、2022真題搶先刷，考向提前知（多選）4．（2022?新高考Ⅱ）若x，y滿足x2+y2﹣xy＝1，則（）A．x+y≤1 B．x+y≥﹣2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1【分析】方法一：原等式可化為，（x﹣）2+＝1，進(jìn)行三角代換，令，則，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)分別求出x+y與x2+y2的取值范圍即可．方法二：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3，x2+y2﹣1＝xy，分別求出x+y與x2+y2的取值范圍即可．【解答】解：方法一：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x﹣）2+＝1，令，則，∴x+y＝＝2sin（）∈[﹣2，2]，故A錯(cuò)，B對，∵x2+y2＝＝＝∈[，2]，故C對，D錯(cuò)，方法二：對于A，B，由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3，即，∴（x+y）2≤4，∴﹣2≤x+y≤2，故A錯(cuò)，B對，對于C，D，由x2+y2﹣xy＝1得，x2+y2﹣1＝xy，∴x2+y2≤2，故C對；∵﹣xy≤，∴1＝x2+y2﹣xy≤x2+y2+＝，∴，故D錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)評】本題主要考查了三角代換求最值，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)考查了學(xué)生分析問題，轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．（多選）1．（2020?山東）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，則（）A．a(chǎn)2+b2≥ B．2a﹣b＞ C．log2a+log2b≥﹣2 D．+≤【分析】直接利用不等式的性質(zhì)的應(yīng)用和基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：①已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以（a+b）2≤2a2+2b2，則，故A正確．②利用分析法：要證，只需證明a﹣b＞﹣1即可，即a＞b﹣1，由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以：a＞0，﹣1＜b﹣1＜0，故B正確．③，故C錯(cuò)誤．④由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，利用分析法：要證成立，只需對關(guān)系式進(jìn)行平方，整理得，即，故＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)，等號成立．故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．四四、考點(diǎn)清單一.不等式的基本性質(zhì)①對稱性：a＞b?b＜a；②傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；③可加性：a＞b?a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d?a+c＞b+d；⑤可積性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；⑥同向整數(shù)可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；⑦平方法則：a＞b＞0?an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧開方法則：a＞b＞0?（n∈N，且n＞1）．二．不等關(guān)系與不等式①對任意的a，b，有a＞b?a﹣b＞0；a＝b?a﹣b＝0；a＜b?a﹣b＜0，這三條性質(zhì)是做差比較法的依據(jù)．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推論：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．三．不等式比較大小不等式大小比較的常用方法（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；（2）作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；（7）尋找中間量或放縮法；（8）圖象法．其中比較法（作差、作商）是最基本的方法．四．基本不等式及其應(yīng)用1、求最值2、利用基本不等式證明不等式3、基本不等式與恒成立問題4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用【解題方法點(diǎn)撥】技巧一：湊項(xiàng)技巧二：湊系數(shù)技巧三：分離技巧四：換元五．不等式的綜合1、不等式的性質(zhì)2、利用重要不等式求函數(shù)最值：“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”．3、常用不等式4、證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法．比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然后作出結(jié)論．常用的放縮技巧有：5．常系數(shù)一元二次不等式的解法：判別式﹣圖象法步驟：（1）化為一般形似：ax2+bx+c≥0，其中a＞0；（2）求根的情況：ax2+bx+c＝0△＞0（＝0，＜0）；（3）由圖寫解集：考慮y＝ax2+bx+c（a＞0）圖象得解．6．簡單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：（1）分解成若干個(gè)一次因式的積，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；（2）將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線（奇穿偶回）；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集．7．分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解．解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母．8、含參不等式的解法：通法是“定義域?yàn)榍疤?，函?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵．”注意：①解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是…”．②按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集．含參數(shù)的一元二次不等式的解法：三級討論法．一般地，設(shè)關(guān)于x的含參數(shù)a的一元二次形式的不等式為：．（1）第一級討論：討論二次項(xiàng)系數(shù)f（a）是否為零；（2）第二級討論：若f（a）≠0時(shí)，先觀察其左邊能否因式分解，否則討論△的符號；（3）第三級討論：若f（a）≠0時(shí)，△＞0時(shí)，先觀察兩根x1，x2大小是否確定，否則討論兩根的大?。⒁猓好恳患壍挠懻撝?，都有三種情況可能出現(xiàn)，即“＞”，“＝”，“＜”，應(yīng)做到不重不漏．9．不等式的恒成立、能成立、恰成立等問題常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法．1）恒成立問題若不等式f（x）＞A在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上f（x）min＞A，若不等式f（x）＜B在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上f（x）max＜B．六．指、對數(shù)不等式的解法【概述】指、對數(shù)不等式的解法其實(shí)最主要的就是兩點(diǎn)，第一點(diǎn)是判斷指、對數(shù)的單調(diào)性，第二點(diǎn)就是學(xué)會指數(shù)和指數(shù)，對數(shù)和對數(shù)之間的運(yùn)算，下面以例題為講解．七．二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象【二次函數(shù)】二次函數(shù)相對于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個(gè)自變量，因變量隨著自變量的變化而變化．它的一般表達(dá)式為：y＝ax2+bx+c（a≠0）【二次函數(shù)的性質(zhì)】二次函數(shù)是一個(gè)很重要的知識點(diǎn)，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有可能出題，其性質(zhì)主要有初中學(xué)的開口方向、對稱性、最值、幾個(gè)根的判定、韋達(dá)定理以及高中學(xué)的拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線和曲線的平移．這里面略談一下他的一些性質(zhì)．①開口、對稱軸、最值與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)a＞0（＜0）時(shí)，圖象開口向上（向下）；對稱軸x＝﹣；最值為：f（﹣）；判別式△＝b2﹣4ac，當(dāng)△＝0時(shí)，函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；△＞0時(shí)，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)△＜0時(shí)無交點(diǎn)．②根與系數(shù)的關(guān)系．若△≥0，且x1、x2為方程y＝ax2+bx+c的兩根，則有x1+x2＝﹣，x1?x2＝；③二次函數(shù)其實(shí)也就是拋物線，所以x2＝2py的焦點(diǎn)為（0，），準(zhǔn)線方程為y＝﹣，含義為拋物線上的點(diǎn)到到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離．④平移：當(dāng)y＝a（x+b）2+c向右平移一個(gè)單位時(shí)，函數(shù)變成y＝a（x﹣1+b）2+c；【命題方向】熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)，會畫出拋物線的準(zhǔn)確形狀，特別是注意拋物線焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的關(guān)系，拋物線最值得取得，這也是一個(gè)?？键c(diǎn)．八．一元二次不等式及其應(yīng)用【概念】含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是實(shí)數(shù)域內(nèi)的二次三項(xiàng)式．【特征】當(dāng)△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）（x﹣x2）當(dāng)△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝0僅有一個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）2．當(dāng)△＝b2﹣4ac＜0時(shí)．一元二次方程ax2+bx+c＝0沒有實(shí)根，那么ax2+bx+c與x軸沒有交點(diǎn)．【一元二次不等式的常見應(yīng)用類型】①一元二次不等式恒成立問題：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等價(jià)條件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等價(jià)條件是：a＜0且△＜0．②分式不等式問題：＞0?f（x）?g（x）＞0；＜0?f（x）?g（x）＜0；≥0?；≤0?．九．一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系【概述】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系其實(shí)可以用一個(gè)式子來表達(dá)，即當(dāng)ax2+bx+c＝0（a≠0）有解時(shí)，不妨設(shè)它的解為x1，x2，那么這個(gè)方程可以寫成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1?x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1?x2＝0．它表示根與系數(shù)有如下關(guān)系：x1+x2＝﹣，x1?x2＝．五五、題型方法一．等式與不等式的性質(zhì)（共1小題）1．（2023?豐臺區(qū)一模）設(shè)a，b，c∈R，且a＞b，則（）A．a(chǎn)c＞bc B．＜ C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)﹣c＞b﹣c二．不等關(guān)系與不等式（共6小題）2．（2023?重慶一模）設(shè)x，y∈R，且0＜x＜y＜1，則（）A．x2＞y2 B．tanx＞tany C．4x＞2y D．3．（2023?吉林模擬）已知，則下列不等式不一定成立的是（）A．a(chǎn)＜b B． C． D．ln（b﹣a）＞04．（2023?南昌縣校級二模）已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0 B． C．sinx﹣x＞0 D．cosx+x＞05．（2023?武漢模擬）下列不等式正確的是（）A．若ac2≥bc2，則a≥b B．若，則a＜b C．若a+b＞0，c﹣b＞0，則a＞c D．若a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，則6．（2023?宣威市校級模擬）某學(xué)生月考數(shù)學(xué)成績x不低于100分，英語成績y和語文成績z的總成績高于200分且低于240分，用不等式組表示為（）A． B． C． D．7．（2023?天津一模）設(shè)，則（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a(chǎn)＜b＜c D．a(chǎn)＜c＜b三．不等式比較大?。ü?小題）8．（2023?江寧區(qū)校級模擬）三個(gè)數(shù)a＝，b＝（）3，c＝log3的大小順序?yàn)椋ǎ〢．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a四．基本不等式及其應(yīng)用（共5小題）9．（2023?安慶模擬）已知函數(shù)f（x）＝log2（ax+b）（a＞0，b＞0）恒過定點(diǎn)（2，0），則的最小值為（）A． B． C．3 D．10．（2023?拉薩一模）已知實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y＝2，則9x+2×3y的最小值為（）A． B． C． D．11．（2023?滁州二模）若a，b，c均為正數(shù)，且滿足a2+3ab+3ac+9bc＝18，則2a+3b+3c的最小值是（）A．6 B． C． D．12．（2023?文昌模擬）設(shè)x、y＞1，z＞0，若z2＝x?y，則的最小值為（）A． B． C． D．13．（2023?陜西模擬）已知a，b，c為正實(shí)數(shù)且a+2b+3c＝5．（1）求a2+b2+c2的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，求a+b+c的值．五．不等式的綜合（共1小題）14．（2022?沙河口區(qū)校級一模）一般認(rèn)為，民用住宅窗戶面積a與地板面積b的比應(yīng)不小于10%，即，而且比值越大采光效果越好，若窗戶面積與地板面積同時(shí)增加m，采光效果變好還是變壞？請將你的判斷用不等式表示．六．指、對數(shù)不等式的解法（共4小題）15．（2023?瀘縣校級模擬）若loga3＜logb3＜0，則（）A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1 C．a(chǎn)＞b＞1 D．b＞a＞116．（2023?北京模擬）已知函數(shù)，則不等式f（x）＜0的解集為（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B．（0，1）∪（2，+∞） C．（1，2） D．（1，+∞）17．（2023?海淀區(qū)校級模擬）不等式2log3x﹣（x﹣1）（x﹣2）＞0的解集為．18．（2023?銀川模擬）關(guān)于x的不等式ax≥logax（a＞0且a≠1）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．七．二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象（共7小題）19．（2023?和平區(qū)校級一模）若函數(shù)f（x）＝x2﹣4x+4在區(qū)間[a，a+1]上的最小值為4，則a的取值集合為．20．（2023?海淀區(qū)一模）已知二次函數(shù)f（x），對任意的x∈R，有f（2x）＜2f（x），則f（x）的圖象可能是（）A． B． C． D．21．（2023?寧波一模）若函數(shù)f（x）＝x2+mx+n在區(qū)間（﹣1，1）上有兩個(gè)零點(diǎn)，則n2﹣m2+2n+1的取值范圍是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（0，4） D．（1，4）22．（2023?會澤縣模擬）已知二次函數(shù)f（x）＝ax2﹣4x+c的值域?yàn)閇0，+∞），則ac的值是；的最大值是．23．（2023?宛城區(qū)校級模擬）已知二次函數(shù)f（x）＝mx2﹣2x+n（m，n∈R），若函數(shù)f（x）的值域是[0，+∞），且f（1）≤2，則的取值范圍是（）A．[0，12] B．[1，13] C．[2，12] D．[3，13]24．（2023?溫州模擬）已知f（x）＝x2﹣ax，|f（f（x））|≤2在[1，2]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為．25．（2023?和平區(qū)校級一模）在①f（4）＝﹣1，f（3）＝2，②當(dāng)x＝2時(shí)，f（x）取得最大值3，③f（x+2）＝f（2﹣x），f（0）＝﹣1這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答．問題：已知函數(shù)f（x）＝﹣x2﹣2ax+b，且_______．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域?yàn)閇3m﹣2，3n﹣2]，求m+n的值．八．一元二次不等式及其應(yīng)用（共4小題）26．（2023?青羊區(qū)校級模擬）不等式（x﹣1）2＜x+5的解集為（）A．{x|1＜x＜4} B．{x|﹣1＜x＜4} C．{x|﹣4＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜3}27．（2023?南昌縣校級二模）已知關(guān)于x的不等式mx2+nx+6m＞0的解集為{x|2＜x＜3}，則mx＜n的解集為．?28．（2023?道里區(qū)校級一模）已知x+y＝4，且x＞y＞0，則的最小值為．29．（2023?武侯區(qū)校級模擬）已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|（x﹣6）（x﹣3）≥0}，則（）A．2∈A∩B B．3∈A∩B C．4∈A∪B D．5∈A∪B九．一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系（共1小題）30．（2022?河北區(qū)校級模擬）若存在正實(shí)數(shù)y，使得，則實(shí)數(shù)x的最大值為（）A． B． C．1 D．4六六、易錯(cuò)分析易錯(cuò)點(diǎn)1：忽視字母的取值范圍而致錯(cuò)1．(多選)對于任意實(shí)數(shù)，，，，下列四個(gè)命題中，其中真命題的是（）A．若，，則； B．若，則；C．若，則； D．若，，則.易錯(cuò)點(diǎn)2：多次運(yùn)用不等式性質(zhì)而致錯(cuò)2、已知，，求的取值范圍.易錯(cuò)點(diǎn)3：忽視不等式中高次項(xiàng)的系數(shù)3．若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x對任意x都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－2,2) B．(2，＋∞)C．(－2,2] D．[－2,2]易錯(cuò)點(diǎn)4：應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，忽略不等式成立的三個(gè)條件，4．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是()A.B.C.D.5.已知遞增等差數(shù)列中，，則的（）A．最大值為B．最小值為4 C．最小值為 D．最大值為4或易錯(cuò)點(diǎn)5：忽視一元二次不等式中兩根大小而致錯(cuò)6．已知集合，集合，命題：，命題：，若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.易錯(cuò)點(diǎn)6：忽視分式不等式中的分母不能為零致錯(cuò)7．不等式eq\f(2,x＋1)≤1的解集是________．易錯(cuò)點(diǎn)7：忽視一元二次不等式中的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零致錯(cuò)8.若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x對任意x都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－2,2) B．(2，＋∞)C．(－2,2] D．[－2,2]易錯(cuò)點(diǎn)8：忽視口訣：大于取兩邊，小于取中間的使用條件致錯(cuò)．9．不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))C．{x|x≤eq\f(3,2)或x≥2}． D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))易錯(cuò)點(diǎn)9：一元二次不等式恒成立問題中忽視區(qū)間的開閉致錯(cuò)10．當(dāng)1≤x≤3時(shí)，關(guān)于x的不等式ax2＋x－1<0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－eq\f(1,4)] B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))易錯(cuò)點(diǎn)10：有關(guān)一元二次方程根的分布條件列不全致錯(cuò)11．若方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的兩根都大于2，則m的取值范圍是________．易錯(cuò)點(diǎn)11：解一元二次不等式時(shí)忽視兩根大小而致錯(cuò)12．解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．七七、刷基礎(chǔ)一．選擇題（共14小題）1．（2023?東城區(qū)校級模擬）如果a＞b＞0，那么下列不等式一定成立的是（）A．|a|＜|b| B． C． D．lna＞lnb2．（2023?江寧區(qū)校級模擬）三個(gè)數(shù)a＝，b＝（）3，c＝log3的大小順序?yàn)椋ǎ〢．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a3．（2023?吉林模擬）已知，則下列不等式不一定成立的是（）A．a(chǎn)＜b B． C． D．ln（b﹣a）＞04．（2023?河南模擬）已知a＝，b＝，c＝，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞a＞b C．a(chǎn)＞c＞b D．c＞b＞a5．（2023?朝陽區(qū)一模）若a＞0＞b，則（）A．a(chǎn)3＞b3 B．|a|＞|b| C． D．ln（a﹣b）＞06．（2023?臨高縣模擬）給定下列四個(gè)命題：命題①a＞b，c＞d?a﹣c＞b﹣d；命題②：a＞b?（）a＜（）b；命題③：?；命題④：a＜b＜0?＜．其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2023?黃浦區(qū)模擬）已知x∈R，下列不等式中正確的是（）A． B． C． D．8．（2023?河南模擬）已知正實(shí)數(shù)a，b，點(diǎn)M（1，4）在直線上，則a+b的最小值為（）A．4 B．6 C．9 D．129．（2023?河南模擬）已知正實(shí)數(shù)a，b，滿足，則a+b的最小值為（）A．5 B． C． D．10．（2023?北京模擬）已知函數(shù)，則不等式f（x）＜0的解集為（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B．（0，1）∪（2，+∞） C．（1，2） D．（1，+∞）11．（2023?云南模擬）設(shè)x1，x2是關(guān)于x的方程x2+（a﹣1）x+a+2＝0的根．若﹣1＜x1＜1，1＜x2＜2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）12．（2023?海淀區(qū)一模）已知二次函數(shù)f（x），對任意的x∈R，有f（2x）＜2f（x），則f（x）的圖象可能是（）A． B． C． D．13．（2023?柳州模擬）若a＞0，b＞0，a+b＝2，則的最小值為（）A． B． C．1 D．214．（2023?順義區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）＝log2（x+1）﹣x，則不等式f（x）＞0的解集是（）A．（1，+∞） B．（0，+∞） C．（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）二．多選題（共1小題）（多選）15．（2023?濰坊二模）已知實(shí)數(shù)a＞b＞0，則（）A． B． C．a(chǎn)b＞ba D．三．填空題（共1小題）16．（2023?青浦區(qū)二模）已知函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖像如圖所示，則不等式（ax+b）（bx+c）（cx+a）＜0的解集是．八.八.刷易錯(cuò)一．選擇題（共3小題）1．（2023?西固區(qū)校級模擬）若x，y是正數(shù)，則+的最小值是（）A．3 B． C．4 D．2．（2022?河西區(qū)模擬）已知a∈R，則“a（1+a）＞0”是“0＜a＜1”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2022?岳陽二模）已知關(guān)于x的不等式ax2+2bx+4＜0的解集為，其中m＜0，則的最小值為（）A．﹣2 B．1 C．2 D．8二．多選題（共1小題）（多選）4．（2022?丹東模擬）如果關(guān)于x的不等式x2﹣2ax+b﹣1＞0的解集為{x|x≠a}，那么下列數(shù)值中，b可取到的數(shù)為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2三．填空題（共3小題）5．（2023?楊浦區(qū)二模）由函數(shù)的觀點(diǎn)，不等式3x+lgx≤3的解集是．6．（2023?吉林模擬）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為．7．（2023?瓊中縣模擬）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足xy+2x+y＝4，則x+y的最小值為，xy的最大值為．考點(diǎn)03不等式（9種題型11個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn)）一一、真題多維細(xì)目表考題考點(diǎn)考向2022新高考2，第12題基本不等式利用基本不等式求最值2020新高考1，第11題不等式的概念和性質(zhì)比較大小二二、命題規(guī)律與備考策略本專題在高考題中多作為載體考查其他知識，例如結(jié)合不等式的解法考查集合間的關(guān)系與運(yùn)算、函數(shù)的定義域與值域、函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用等；或考查用基本不等式解決最值或恒成立問題?？碱}以中低檔為主。主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，分值為5分。對于不等式及其性質(zhì)內(nèi)容的復(fù)習(xí)，需要結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)、數(shù)列等知識綜合掌握。三三、2022真題搶先刷，考向提前知（多選）4．（2022?新高考Ⅱ）若x，y滿足x2+y2﹣xy＝1，則（）A．x+y≤1 B．x+y≥﹣2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1【分析】方法一：原等式可化為，（x﹣）2+＝1，進(jìn)行三角代換，令，則，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)分別求出x+y與x2+y2的取值范圍即可．方法二：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3，x2+y2﹣1＝xy，分別求出x+y與x2+y2的取值范圍即可．【解答】解：方法一：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x﹣）2+＝1，令，則，∴x+y＝＝2sin（）∈[﹣2，2]，故A錯(cuò)，B對，∵x2+y2＝＝＝∈[，2]，故C對，D錯(cuò)，方法二：對于A，B，由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3，即，∴（x+y）2≤4，∴﹣2≤x+y≤2，故A錯(cuò)，B對，對于C，D，由x2+y2﹣xy＝1得，x2+y2﹣1＝xy，∴x2+y2≤2，故C對；∵﹣xy≤，∴1＝x2+y2﹣xy≤x2+y2+＝，∴，故D錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)評】本題主要考查了三角代換求最值，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)考查了學(xué)生分析問題，轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．（多選）1．（2020?山東）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，則（）A．a(chǎn)2+b2≥ B．2a﹣b＞ C．log2a+log2b≥﹣2 D．+≤【分析】直接利用不等式的性質(zhì)的應(yīng)用和基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：①已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以（a+b）2≤2a2+2b2，則，故A正確．②利用分析法：要證，只需證明a﹣b＞﹣1即可，即a＞b﹣1，由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以：a＞0，﹣1＜b﹣1＜0，故B正確．③，故C錯(cuò)誤．④由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，利用分析法：要證成立，只需對關(guān)系式進(jìn)行平方，整理得，即，故＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)，等號成立．故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．四四、考點(diǎn)清單一.不等式的基本性質(zhì)①對稱性：a＞b?b＜a；②傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；③可加性：a＞b?a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d?a+c＞b+d；⑤可積性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；⑥同向整數(shù)可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；⑦平方法則：a＞b＞0?an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧開方法則：a＞b＞0?（n∈N，且n＞1）．二．不等關(guān)系與不等式①對任意的a，b，有a＞b?a﹣b＞0；a＝b?a﹣b＝0；a＜b?a﹣b＜0，這三條性質(zhì)是做差比較法的依據(jù)．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推論：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．三．不等式比較大小不等式大小比較的常用方法（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；（2）作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；（7）尋找中間量或放縮法；（8）圖象法．其中比較法（作差、作商）是最基本的方法．四．基本不等式及其應(yīng)用1、求最值2、利用基本不等式證明不等式3、基本不等式與恒成立問題4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用【解題方法點(diǎn)撥】技巧一：湊項(xiàng)技巧二：湊系數(shù)技巧三：分離技巧四：換元五．不等式的綜合1、不等式的性質(zhì)2、利用重要不等式求函數(shù)最值：“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”．3、常用不等式4、證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法．比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然后作出結(jié)論．常用的放縮技巧有：5．常系數(shù)一元二次不等式的解法：判別式﹣圖象法步驟：（1）化為一般形似：ax2+bx+c≥0，其中a＞0；（2）求根的情況：ax2+bx+c＝0△＞0（＝0，＜0）；（3）由圖寫解集：考慮y＝ax2+bx+c（a＞0）圖象得解．6．簡單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：（1）分解成若干個(gè)一次因式的積，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；（2）將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線（奇穿偶回）；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集．7．分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解．解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母．8、含參不等式的解法：通法是“定義域?yàn)榍疤?，函?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵．”注意：①解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是…”．②按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集．含參數(shù)的一元二次不等式的解法：三級討論法．一般地，設(shè)關(guān)于x的含參數(shù)a的一元二次形式的不等式為：．（1）第一級討論：討論二次項(xiàng)系數(shù)f（a）是否為零；（2）第二級討論：若f（a）≠0時(shí)，先觀察其左邊能否因式分解，否則討論△的符號；（3）第三級討論：若f（a）≠0時(shí)，△＞0時(shí)，先觀察兩根x1，x2大小是否確定，否則討論兩根的大小．注意：每一級的討論中，都有三種情況可能出現(xiàn)，即“＞”，“＝”，“＜”，應(yīng)做到不重不漏．9．不等式的恒成立、能成立、恰成立等問題常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法．1）恒成立問題若不等式f（x）＞A在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上f（x）min＞A，若不等式f（x）＜B在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上f（x）max＜B．六．指、對數(shù)不等式的解法【概述】指、對數(shù)不等式的解法其實(shí)最主要的就是兩點(diǎn)，第一點(diǎn)是判斷指、對數(shù)的單調(diào)性，第二點(diǎn)就是學(xué)會指數(shù)和指數(shù)，對數(shù)和對數(shù)之間的運(yùn)算，下面以例題為講解．七．二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象【二次函數(shù)】二次函數(shù)相對于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個(gè)自變量，因變量隨著自變量的變化而變化．它的一般表達(dá)式為：y＝ax2+bx+c（a≠0）【二次函數(shù)的性質(zhì)】二次函數(shù)是一個(gè)很重要的知識點(diǎn)，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有可能出題，其性質(zhì)主要有初中學(xué)的開口方向、對稱性、最值、幾個(gè)根的判定、韋達(dá)定理以及高中學(xué)的拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線和曲線的平移．這里面略談一下他的一些性質(zhì)．①開口、對稱軸、最值與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)a＞0（＜0）時(shí)，圖象開口向上（向下）；對稱軸x＝﹣；最值為：f（﹣）；判別式△＝b2﹣4ac，當(dāng)△＝0時(shí)，函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；△＞0時(shí)，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)△＜0時(shí)無交點(diǎn)．②根與系數(shù)的關(guān)系．若△≥0，且x1、x2為方程y＝ax2+bx+c的兩根，則有x1+x2＝﹣，x1?x2＝；③二次函數(shù)其實(shí)也就是拋物線，所以x2＝2py的焦點(diǎn)為（0，），準(zhǔn)線方程為y＝﹣，含義為拋物線上的點(diǎn)到到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離．④平移：當(dāng)y＝a（x+b）2+c向右平移一個(gè)單位時(shí)，函數(shù)變成y＝a（x﹣1+b）2+c；【命題方向】熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)，會畫出拋物線的準(zhǔn)確形狀，特別是注意拋物線焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的關(guān)系，拋物線最值得取得，這也是一個(gè)?？键c(diǎn)．八．一元二次不等式及其應(yīng)用【概念】含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是實(shí)數(shù)域內(nèi)的二次三項(xiàng)式．【特征】當(dāng)△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）（x﹣x2）當(dāng)△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝0僅有一個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）2．當(dāng)△＝b2﹣4ac＜0時(shí)．一元二次方程ax2+bx+c＝0沒有實(shí)根，那么ax2+bx+c與x軸沒有交點(diǎn)．【一元二次不等式的常見應(yīng)用類型】①一元二次不等式恒成立問題：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等價(jià)條件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等價(jià)條件是：a＜0且△＜0．②分式不等式問題：＞0?f（x）?g（x）＞0；＜0?f（x）?g（x）＜0；≥0?；≤0?．九．一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系【概述】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系其實(shí)可以用一個(gè)式子來表達(dá)，即當(dāng)ax2+bx+c＝0（a≠0）有解時(shí)，不妨設(shè)它的解為x1，x2，那么這個(gè)方程可以寫成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1?x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1?x2＝0．它表示根與系數(shù)有如下關(guān)系：x1+x2＝﹣，x1?x2＝．五五、題型方法一．等式與不等式的性質(zhì)（共1小題）1．（2023?豐臺區(qū)一模）設(shè)a，b，c∈R，且a＞b，則（）A．a(chǎn)c＞bc B．＜ C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)﹣c＞b﹣c【分析】利用不等式的基本性質(zhì)即可判斷出結(jié)論．【解答】解：∵a＞b，∴a﹣c＞b﹣c，因此D正確．c≤0時(shí)，A不正確；a＞0＞b時(shí)，B不正確；取a＝﹣1，b＝﹣2，C不正確．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二．不等關(guān)系與不等式（共6小題）2．（2023?重慶一模）設(shè)x，y∈R，且0＜x＜y＜1，則（）A．x2＞y2 B．tanx＞tany C．4x＞2y D．【分析】對選項(xiàng)進(jìn)行逐個(gè)分析，即可解出．【解答】解：令x＝，y＝則x2＜y2，tanx＜tany，故選AB錯(cuò)誤；令x＝，y＝，則4x＝2y，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，x+＞2＝2，y（2﹣y）＝2y﹣y2＜2y＜2，故x+＞y（2﹣y），故選D正確，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了不等式的性質(zhì)，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（2023?吉林模擬）已知，則下列不等式不一定成立的是（）A．a(chǎn)＜b B． C． D．ln（b﹣a）＞0【分析】A選項(xiàng)，由不等式基本性質(zhì)得到A正確；B選項(xiàng)，利用基本不等式求出；C選項(xiàng)，作差法比較出大小關(guān)系；D選項(xiàng)，舉出反例即可．【解答】解：A選項(xiàng)，，故a＜0，b＜0，所以ab＞0，兩邊同乘以ab得，a＜b，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)閍＜b＜0，所以，且，由基本不等式得，故B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)閍＜b＜0，所以，故，所以，C正確；D選項(xiàng)，不妨取a＝﹣2，b＝﹣1，滿足a＜b＜0，此時(shí)ln（b﹣a）＝ln1＝0，故D錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．（2023?南昌縣校級二模）已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0 B． C．sinx﹣x＞0 D．cosx+x＞0【分析】根據(jù)x＜﹣1，利用函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)論．【解答】解：∵x＜﹣1，∴x2﹣1＞0，x+＜﹣2，又∵sinx，cosx∈[﹣1，1]，∴sinx﹣x＞0，cosx+x＜0．可得：ABC成立，D不成立．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（2023?武漢模擬）下列不等式正確的是（）A．若ac2≥bc2，則a≥b B．若，則a＜b C．若a+b＞0，c﹣b＞0，則a＞c D．若a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，則【分析】利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)分析各個(gè)選項(xiàng)即可．【解答】解：對于A，若ac2≥bc2，當(dāng)c＝0時(shí)，a與b的大小關(guān)系無法確定，故A錯(cuò)誤，對于B，取a＝1，c＝1，b＝﹣1，則滿足，但不滿足a＜b，故B錯(cuò)誤；對于C，取a＝﹣1，b＝2，c＝3，則滿足a+b＞0，c﹣b＞0，但不滿足a＞c，故C錯(cuò)誤；對于D，若a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，則b﹣a＞0，所以﹣＝＝＞0，即，故D正確．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，考查了作差法比較大小，屬于基礎(chǔ)題6．（2023?宣威市校級模擬）某學(xué)生月考數(shù)學(xué)成績x不低于100分，英語成績y和語文成績z的總成績高于200分且低于240分，用不等式組表示為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題目條件直接列出不等式組即可．【解答】解：數(shù)學(xué)成績x不低于100分表示為x≥100，英語成績y和語文成績z的總成績高于200分且低于240分表示為200＜y+z＜240，即．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了不等式的實(shí)際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7．（2023?天津一模）設(shè)，則（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a(chǎn)＜b＜c D．a(chǎn)＜c＜b【分析】根據(jù)指數(shù)冪和對數(shù)的取值，分別判斷a，b，c的取值范圍，然后比較大?。窘獯稹拷猓海?，∵log34＞1，∴，即0＜a＜1，b＞1，c＜0，∴c＜a＜b．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查對數(shù)值和指數(shù)值的大小比較，利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷范圍是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．三．不等式比較大?。ü?小題）8．（2023?江寧區(qū)校級模擬）三個(gè)數(shù)a＝，b＝（）3，c＝log3的大小順序?yàn)椋ǎ〢．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】根據(jù)所給的三個(gè)式子和1，和0的關(guān)系，把a(bǔ)與30進(jìn)行比較，把b與進(jìn)行比較，把c同log31進(jìn)行比較，得到三個(gè)數(shù)字的大小關(guān)系．【解答】解：∵＞30＝1＝1＝0∴a＞b＞c故選：D．【點(diǎn)評】本題考查不等式比較大小，本題解題的關(guān)鍵是看出需要找兩個(gè)中間量，把三個(gè)數(shù)字分成三個(gè)層次，本題是考查指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)．四．基本不等式及其應(yīng)用（共5小題）9．（2023?安慶模擬）已知函數(shù)f（x）＝log2（ax+b）（a＞0，b＞0）恒過定點(diǎn)（2，0），則的最小值為（）A． B． C．3 D．【分析】利用基本不等式常數(shù)“1”的代換即可求出結(jié)果．【解答】解：由題意可知2a+b＝1，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，的最小值為，故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10．（2023?拉薩一模）已知實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y＝2，則9x+2×3y的最小值為（）A． B． C． D．【分析】直接根據(jù)基本不等式求解即可．【解答】解：∵實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y＝2，∴9x+2×3y＝32x+2×3y≥2＝2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11．（2023?滁州二模）若a，b，c均為正數(shù)，且滿足a2+3ab+3ac+9bc＝18，則2a+3b+3c的最小值是（）A．6 B． C． D．【分析】利用因式分解法，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可．【解答】解：a2+3ab+3ac+9bc＝18?a（a+3b）+3c（a+3b）＝18?（a+3b）（a+3c）＝18，因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)a+3b＝a+3c時(shí)取等號，即時(shí)取等號，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．（2023?文昌模擬）設(shè)x、y＞1，z＞0，若z2＝x?y，則的最小值為（）A． B． C． D．【分析】由已知變形可得出2lgz＝lgx+lgy，可得出，利用基本不等式可求得的最小值．【解答】解：因?yàn)閤、y＞1，z＞0，z2＝x?y，則lgz2＝lg（xy），即2lgz＝lgx+lgy，由題意可得lgx＞0，lgy＞0，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，故的最小值為．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13．（2023?陜西模擬）已知a，b，c為正實(shí)數(shù)且a+2b+3c＝5．（1）求a2+b2+c2的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，求a+b+c的值．【分析】（1）由已知條件，應(yīng)用三元柯西不等式求目標(biāo)式的最小值，注意等號成立條件；（2）由基本不等式可得++≤5，結(jié)合條件得++＝5，從而求a、b、c的值，即可得a+b+c的值．【解答】解：（1）由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（12+22+32）≥（a+2b+3c）2＝25，故a2+b2+c2≥；當(dāng)且僅當(dāng)＝＝，即a＝，b＝，c＝時(shí)，等號成立；故a2+b2+c2的最小值為；（2）由基本不等式可得，a+2b≥2，a+3c≥2，2b+3c≥，故2（a+2b+3c）≥2（++），故++≤5，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝3c，且a+2b+3c＝5，即a＝，b＝，c＝時(shí)，等號成立，又∵，∴++＝5，即a＝，b＝，c＝，a+b+c＝．【點(diǎn)評】本題考查了三元柯西不等式及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．五．不等式的綜合（共1小題）14．（2022?沙河口區(qū)校級一模）一般認(rèn)為，民用住宅窗戶面積a與地板面積b的比應(yīng)不小于10%，即，而且比值越大采光效果越好，若窗戶面積與地板面積同時(shí)增加m，采光效果變好還是變壞？請將你的判斷用不等式表示采光效果變好，＞．【分析】根據(jù)題意，設(shè)窗戶和地板同時(shí)增加m平方米，利用作差法分析和的大小，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)窗戶和地板同時(shí)增加m平方米，有，則有﹣＝＝，又由a＜b，則﹣＞0，即＞，故采光效果變好，不等式表示為＞，故答案為：采光效果變好，＞．【點(diǎn)評】本題考查不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及不等式大小的比較，屬于基礎(chǔ)題．六．指、對數(shù)不等式的解法（共4小題）15．（2023?瀘縣校級模擬）若loga3＜logb3＜0，則（）A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1 C．a(chǎn)＞b＞1 D．b＞a＞1【分析】化loga3＜logb3＜0為log3b＜log3a＜0，利用函數(shù)的單調(diào)性求解．【解答】解：∵loga3＜logb3＜0，∴＜＜0，即log3b＜log3a＜0，故0＜b＜a＜1，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了對數(shù)的運(yùn)算及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的利用，屬于基礎(chǔ)題．16．（2023?北京模擬）已知函數(shù)，則不等式f（x）＜0的解集為（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B．（0，1）∪（2，+∞） C．（1，2） D．（1，+∞）【分析】令f（x）＝0求得x的值，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出對應(yīng)函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求出不等式f（x）＜0的解集．【解答】解：令＝0，得log2x＝（x﹣1）2，得x＝1或x＝2；在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y＝log2x與y＝（x﹣1）2的圖象，如圖所示，則不等式f（x）＜0的解集為（0，1）∪（2，+∞）．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)圖象與性質(zhì)應(yīng)用問題，也考查了結(jié)合函數(shù)圖象求不等式解集的問題，是基礎(chǔ)題．17．（2023?海淀區(qū)校級模擬）不等式2log3x﹣（x﹣1）（x﹣2）＞0的解集為{x|1＜x＜3}．【分析】利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象進(jìn)行求解即可．【解答】解：由，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象如下圖所示：因?yàn)閒（3）＝g（3）＝1，所以由函數(shù)的圖象可知：當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，有f（x）＞g（x），故答案為：{x|1＜x＜3}．【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．18．（2023?銀川模擬）關(guān)于x的不等式ax≥logax（a＞0且a≠1）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[，+∞）．【分析】ax≥logax（a＞0且a≠1）等價(jià)于，即，令，對f（x）求導(dǎo)，得出f（x）的單調(diào)性，即可得出答案．【解答】解：因?yàn)椴坏仁絘x≥logax（a＞0且a≠1）恒成立，可知a＞1，lna＞0，由ax≥logax（a＞0且a≠1）可得，則xlna?exlna≥xlnx＝elnx?lnx，令h（t）＝tet，h′（t）＝et（t+1），令h′（t）＞0，解得：t＞﹣1；令h′（t）＜0，解得：t＜﹣1，所以h（t）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，在（﹣∞，1）上單調(diào)遞減，當(dāng)t＜0時(shí)，h（t）＝tet＜0，當(dāng)t＞0時(shí)，h（t）＝tet＞0，因?yàn)閤＞0，lna＞0，所以xlna＞0，所以要使xlna?exlna≥xlnx＝elnx?lnx，故只需xlna≥lnx即可，故即可，令，解得：x＝e，令f′（x）＞0解得：0＜x＜e；令f′（x）＜0解得：x＞e，所以f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，所以，所以，即，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故答案為：[e，+∞）．【點(diǎn)評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．七．二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象（共7小題）19．（2023?和平區(qū)校級一模）若函數(shù)f（x）＝x2﹣4x+4在區(qū)間[a，a+1]上的最小值為4，則a的取值集合為{﹣1，4}．【分析】函數(shù)f（x）＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，對稱軸為x＝2，再對a分類討論，即可求解．【解答】解：函數(shù)f（x）＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，對稱軸為x＝2，當(dāng)a+1≤2，即a≤1時(shí)，f（x）min＝f（a+1）＝4，即（a+1）2﹣4（a+1）+4＝4，解得a＝﹣1或a＝3（舍去），故a＝﹣1，當(dāng)a＜2＜a+1，即1＜a＜2時(shí)，f（x）min＝f（2）＝0，不符合題意，舍去，當(dāng)a≥2時(shí)，f（x）min＝f（a）＝4，即a2﹣4a+4＝4，解得a＝4或a＝0（舍去），故a的取值集合為{﹣1，4}．【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象，屬于基礎(chǔ)題．20．（2023?海淀區(qū)一模）已知二次函數(shù)f（x），對任意的x∈R，有f（2x）＜2f（x），則f（x）的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】由題意可得f（0）＞0，所以CD都不可能，對于B，由圖象可知f（﹣）＞0，與x＝﹣時(shí)，f（2x）＝f（﹣）＜2f（﹣）＜0相矛盾，所以B不可能．【解答】解：二次函數(shù)f（x），對任意的x∈R，有f（2x）＜2f（x），令x＝0得，f（0）＜2f（0），即f（0）＞0，故CD都不可能，對于B，二次函數(shù)的對稱軸方程為x＝﹣，由圖象可知f（﹣）＜0，設(shè)f（x）的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為x1，x2，且0＜x1＜x2，則x1+x2＝﹣＞0，所以0＜，所以f（﹣）＞0，當(dāng)x＝﹣時(shí)，f（2x）＝f（﹣）＜2f（﹣）＜0，兩者相矛盾，故B不可能．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．21．（2023?寧波一模）若函數(shù)f（x）＝x2+mx+n在區(qū)間（﹣1，1）上有兩個(gè)零點(diǎn)，則n2﹣m2+2n+1的取值范圍是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（0，4） D．（1，4）【分析】由已知結(jié)合二次方程實(shí)根分布及不等式性質(zhì)即可求解．【解答】解：由題意得，所以n2﹣m2+2n+1＝（n+1）2﹣m2＝（n+1+m）（n+1﹣m）＞0，設(shè)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)為x1，x2，則f（x）＝（x﹣x1）（x﹣x2），所以（n+1+m）（n+1﹣m）＝f（1）?f（﹣1）＝（1﹣）（1﹣x22）＜1．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次方程實(shí)根分布及不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．22．（2023?會澤縣模擬）已知二次函數(shù)f（x）＝ax2﹣4x+c的值域?yàn)閇0，+∞），則ac的值是4；的最大值是6﹣2．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知a＞0，Δ＝0，然后通過變形利用基本不等式即得．【解答】解：由題意知：a＞0，f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），∴Δ＝16﹣4ac＝0，則ac＝4，c＞0，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即．故答案為：4；．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題．23．（2023?宛城區(qū)校級模擬）已知二次函數(shù)f（x）＝mx2﹣2x+n（m，n∈R），若函數(shù)f（x）的值域是[0，+∞），且f（1）≤2，則的取值范圍是（）A．[0，12] B．[1，13] C．[2，12] D．[3，13]【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得mn＝1，且m＞0，又因?yàn)閒（1）≤2，所以m+≤4，再結(jié)合基本不等式求解即可．【解答】解：∵二次函數(shù)f（x）＝mx2﹣2x+n（m，n∈R）的值域是[0，+∞），∴Δ＝4﹣4mn＝0，解得mn＝1，且m＞0，又∵f（1）＝m﹣2+n≤2，n＝，∴m+≤4，∴＝＝+＝＝＝，由m+≤4，m＞0，可得2≤≤14，∴1≤≤13，即的取值范圍是[1，13]．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．24．（2023?溫州模擬）已知f（x）＝x2﹣ax，|f（f（x））|≤2在[1，2]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為．【分析】代入x＝1，2的值得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．【解答】解：∵|f（f（x））|≤2在[1，2]上恒成立，∴|f（f（1））|≤2，即|f（1﹣a）|≤2，故|2a2﹣3a+1|≤2，解得：≤a≤，同理，|f（f（2））|≤2，解得：1≤a≤，故1≤a≤，當(dāng)a＝時(shí)，設(shè)t＝f（x），此時(shí)＜1，∵x∈[1，2]，∴t＝f（x）在[1，2]遞增，故t∈[1﹣a，4﹣2a]，此時(shí)﹣（4﹣2a）＝a﹣4＞0，故y＝f（t）在[1﹣a，4﹣2a]遞減，故|f（t）|≤2在[1﹣a，4﹣2a]上恒成立，只需，故amax＝．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查解絕對值不等式問題，是一道中檔題．25．（2023?和平區(qū)校級一模）在①f（4）＝﹣1，f（3）＝2，②當(dāng)x＝2時(shí)，f（x）取得最大值3，③f（x+2）＝f（2﹣x），f（0）＝﹣1這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答．問題：已知函數(shù)f（x）＝﹣x2﹣2ax+b，且_______．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域?yàn)閇3m﹣2，3n﹣2]，求m+n的值．【分析】（1）分別選①②③，得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可求出f（x）的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)的值域以及二次函數(shù)的性質(zhì)求出m+n的值即可．【解答】解：（1）若選①，由題意可得解得a＝﹣2，b＝﹣1，故f（x）＝﹣x2+4x﹣1；若選②，由題意可得解得a＝﹣2，b＝﹣1，故f（x）＝﹣x2+4x﹣1；若選③，因?yàn)閒（x+2）＝f（2﹣x），所以f（x）圖象的對稱軸方程為x＝2，則﹣a＝2，即a＝﹣2，因?yàn)閒（0）＝﹣1，所以b＝﹣1，故f（x）＝﹣x2+4x﹣1．（2）因?yàn)閒（x）＝﹣x2+4x﹣1在R上的值域?yàn)椋ī仭蓿?]，所以3n﹣2≤3，即，因?yàn)閒（x）圖象的對稱軸方程為x＝2，且，所以f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增，則整理得n2﹣m2+m﹣n＝0，即（n﹣m）（n+m﹣1）＝0，因?yàn)閚﹣m≠0，所以n+m﹣1＝0，即n+m＝1．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．八．一元二次不等式及其應(yīng)用（共4小題）26．（2023?青羊區(qū)校級模擬）不等式（x﹣1）2＜x+5的解集為（）A．{x|1＜x＜4} B．{x|﹣1＜x＜4} C．{x|﹣4＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜3}【分析】把不等式化為x2﹣3x﹣4＜0，求出解集即可．【解答】解：不等式（x﹣1）2＜x+5可化為x2﹣3x﹣4＜0，即（x﹣4）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜4，所以不等式的解集為{x|﹣1＜x＜4}．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．27．（2023?南昌縣校級二模）已知關(guān)于x的不等式mx2+nx+6m＞0的解集為{x|2＜x＜3}，則mx＜n的解集為{x|x＞﹣5}．?【分析】由題意可知2，3是方程mx2+nx+6m＝0的兩根，然后利用韋達(dá)定理得出m，n的關(guān)系以及m的符號，由此即可求出所求不等式的解集．【解答】解：由題意可知2，3是方程mx2+nx+6m＝0的兩根，則由韋達(dá)定理可得：，且m＜0，所以n＝﹣5m＞0，則mx＜n化簡為：mx＜﹣5m，解得x＞﹣5，所以不等式的解集為{x|x＞﹣5}．故答案為：{x|x＞﹣5}．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．28．（2023?道里區(qū)校級一模）已知x+y＝4，且x＞y＞0，則的最小值為2．【分析】根據(jù)已知條件，將原式進(jìn)行變形，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：∵x+y＝4，且x＞y＞0，∴＝＝＝，令g（y）＝﹣y2+2y，g（y）＝﹣y2+2y＝﹣（y﹣1）2+1，當(dāng)y＝1時(shí)，g（y）max＝1，當(dāng)y＝1，則x＝4﹣y＝3，滿足x＞y＞0，符合題意，故的最小值為．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．29．（2023?武侯區(qū)校級模擬）已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|（x﹣6）（x﹣3）≥0}，則（）A．2∈A∩B B．3∈A∩B C．4∈A∪B D．5∈A∪B【分析】求解集合B，然后求解交集與并集，即可判斷元素與集合的關(guān)系，得到正確的選項(xiàng)．【解答】解：集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|（x﹣6）（x﹣3）≥0}＝{x|x≤3或x≥6}，A∩B＝{x|2＜x≤3}，所以3∈A∩B，所以B正確；A不正確；A∪B＝{x＜4或x≥6}，所以C、D不正確；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查二次不等式的解法，交集以及并集的元素，運(yùn)算與集合的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．九．一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系（共1小題）30．（2022?河北區(qū)校級模擬）若存在正實(shí)數(shù)y，使得，則實(shí)數(shù)x的最大值為（）A． B． C．1 D．4【分析】由已知可轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次方程的實(shí)根分布，結(jié)合二次方程根的存在條件及根的分布求解．【解答】解：由，得4xy2+（5x2﹣1）y+x＝0有正根，易得x≠0，則Δ＝（5x2﹣1）2﹣16x2≥0，解得x≤﹣1或或x≥1，設(shè)方程的根分別為y1，y2，則y1?y2＝＞0，y1+y2＝＞0，解得x＜﹣或0＜x＜，綜上，x≤﹣1或0＜x，所以x的最大值為．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次方程的實(shí)根分布，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想和方程思想，屬于中檔題．六六、易錯(cuò)分析易錯(cuò)點(diǎn)1：忽視字母的取值范圍而致錯(cuò)1．(多選)對于任意實(shí)數(shù)，，，，下列四個(gè)命題中，其中真命題的是（）A．若，，則； B．若，則；C．若，則； D．若，，則.【錯(cuò)解】對于A，若，當(dāng)時(shí)，則，故A錯(cuò)誤；對于B，若，則；故B對；對于C，若，可得，所以，故C正確；對于D，若，，則，故D正確.所以選BCD?！惧e(cuò)因】選項(xiàng)B是錯(cuò)的，忽略了的情況?！菊狻緾D【解析】對于A，若，當(dāng)時(shí)，則，故A錯(cuò)誤；對于B，若，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對于C，若，可得，所以，故C正確；對于D，若，，則，故D正確.易錯(cuò)點(diǎn)2：多次運(yùn)用不等式性質(zhì)而致錯(cuò)2、已知，，求的取值范圍.【錯(cuò)解】因?yàn)?，，兩式相加得，所以，因?yàn)?，，兩式相加得，所以，所以，即?！惧e(cuò)因】根據(jù)已知條件單獨(dú)求出a,b各自的范圍，會導(dǎo)致它們的范圍變大?！菊狻俊窘馕觥苛?∴,解得,∴.∵，∴.,又，∴.故的取值范圍為.易錯(cuò)點(diǎn)3：忽視不等式中高次項(xiàng)的系數(shù)3．若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x對任意x都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－2,2) B．(2，＋∞)C．(－2,2] D．[－2,2]【錯(cuò)解】原不等式可整理為(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.由題意知必須滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－m＞0，,4－2m2－4×42－m＜0，))解得－2＜m＜2.綜上知實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－2,2）．選A【錯(cuò)因】沒有對二次項(xiàng)系數(shù)2－m討論?！菊狻緾【解析】原不等式可整理為(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.當(dāng)m＝2時(shí)，不等式為4＞0，該不等式恒成立；當(dāng)m≠2時(shí)，必須滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－m＞0，,4－2m2－4×42－m＜0，))解得－2＜m＜2.綜上知實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－2,2]．易錯(cuò)點(diǎn)4：應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，忽略不等式成立的三個(gè)條件，4．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是()A.B.C.D.【錯(cuò)解】當(dāng)時(shí)，由得.，.，故選B?！惧e(cuò)因】令，即，而，所以不成立，即使用基本不等式求最值時(shí)，沒有考慮等號問題。【正解】A【解析】當(dāng)時(shí)，由得.令，則易知在上是減函數(shù)，所以時(shí)，則∴.5.已知遞增等差數(shù)列中，，則的（）A．最大值為B．最小值為4 C．最小值為 D．最大值為4或【錯(cuò)解】因?yàn)?，由等差?shù)列通項(xiàng)公式,設(shè)公差為,可得，變形可得，而由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號，所以的最大值為4，選A?！惧e(cuò)因】因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列,所以，由已知得，則，而錯(cuò)解中把當(dāng)成正值?！菊狻緽【解析】因?yàn)?，由等差?shù)列通項(xiàng)公式,設(shè)公差為,可得，變形可得，因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列,所以，即，而由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可知，由,結(jié)合基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號，所以的最小值為4。易錯(cuò)點(diǎn)5：忽視一元二次不等式中兩根大小而致錯(cuò)6．已知集合，集合，命題：，命題：，若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【錯(cuò)解】因?yàn)?，，若是的充分條件，則．因?yàn)閯t，，，解得．實(shí)數(shù)的取值范圍是．【錯(cuò)因】因?yàn)閰?shù)a的范圍不定，所以a與2a-1的大小關(guān)系不定，故需對兩根大小分類討論?！菊狻?【詳解】，，若是的充分條件，則．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，顯然成立；當(dāng)時(shí)，，，，解得；當(dāng)時(shí)，，，，解得．實(shí)數(shù)的取值范圍是．易錯(cuò)點(diǎn)6：忽視分式不等式中的分母不能為零致錯(cuò)7．不等式eq\f(2,x＋1)≤1的解集是________．【錯(cuò)解】由eq\f(2,x＋1)≤1得eq\f(2,x＋1)－1≤0，得eq\f(2－x－1,x＋1)≤0，得eq\f(x－1,x＋1)≥0，得(x－1)(x＋1)≥0，得x≤－1或x≥1，所以原不等式的解集為{x|xx≤－1或x≥1}．【錯(cuò)因】因?yàn)閤＋1為分母，所以x＋1不等于零?！菊狻坑蒭q\f(2,x＋1)≤1得eq\f(2,x＋1)－1≤0，得eq\f(2－x－1,x＋1)≤0，得eq\f(x－1,x＋1)≥0，得x－1＝0或(x－1)(x＋1)>0，得x＝1或x<－1或x>1，得x<－1或x≥1，所以原不等式的解集為{x|x<－1或x≥1}．易錯(cuò)點(diǎn)7：忽視一元二次不等式中的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零致錯(cuò)8.若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x對任意x都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－2,2) B．(2，＋∞)C．(－2,2] D．[－2,2]【錯(cuò)解】原不等式可整理為(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.若該不等式恒成立，必須滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－m＞0，,4－2m2－4×42－m＜0，))解得－2＜m＜2.綜上知實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－2,2)，選A．【錯(cuò)因】沒有對二次項(xiàng)系數(shù)m討論?！菊狻吭坏仁娇烧頌?2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.當(dāng)m＝2時(shí)，不等式為4＞0，該不等式恒成立；當(dāng)m≠2時(shí)，必須滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－m＞0，,4－2m2－4×42－m＜0，))解得－2＜m＜2.綜上知實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－2,2]．選C易錯(cuò)點(diǎn)8：忽視口訣：大于取兩邊，小于取中間的使用條件致錯(cuò)．9．不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))C．{x|x≤eq\f(3,2)或x≥2}． D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))【錯(cuò)解】由(x－2)(3－2x)≥0解得x≤eq\f(3,2)或x≥2，故不等式的解集為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)).選C【錯(cuò)因】“大于號取兩邊，小于號取中間”使用的前提條件是二次項(xiàng)系數(shù)大于零，【正解】由(x－2)(3－2x)≥0得(x－2)(2x－3)≤0，解得eq\f(3,2)≤x≤2，故不等式的解集為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)).選B易錯(cuò)點(diǎn)9：一元二次不等式恒成立問題中忽視區(qū)間的開閉致錯(cuò)10．當(dāng)1≤x≤3時(shí)，關(guān)于x的不等式ax2＋x－1<0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－eq\f(1,4)] B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))【錯(cuò)解】當(dāng)1≤x≤3時(shí)，由ax2＋x－1<0恒成立可得，a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2－eq\f(1,x)恒成立，令f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2－eq\f(1,x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)，則當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)min＝－eq\f(1,4)，所以a≤－eq\f(1,4),選A?！惧e(cuò)因】因?yàn)?≤x≤3，即x可以取到端點(diǎn)值，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2－eq\f(1,x)可以取到－eq\f(1,4)，則a<－eq\f(1,4)，不能取等號?！菊狻慨?dāng)1≤x≤3時(shí)，由ax2＋x－1<0恒成立可得，a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2－eq\f(1,x)恒成立，令f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2－eq\f(1,x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)，則當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)min＝－eq\f(1,4)，所以a<－eq\f(1,4).選B。易錯(cuò)點(diǎn)10：有關(guān)一元二次方程根的分布條件列不全致錯(cuò)11．若方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的兩根都大于2，則m的取值范圍是________．【錯(cuò)解】設(shè)方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的兩根為則，則，即，即解得m<－4，故m的取值范圍是(－∞，－4)．【錯(cuò)因】條件不能推出，例如時(shí)，滿足，但。【正解】令f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m，其對稱軸方程為x＝eq\f(2－m,2)，由題意得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2－m,2)>2，,f2>0，,Δ≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2－m,2)>2，,4＋2m－4＋5－m>0，,m－22－45－m≥0，))解得－5<m≤－4，故m的取值范圍是(－5，－4]．答案：(－5，－4]易錯(cuò)點(diǎn)11：解一元二次不等式時(shí)忽視兩根大小而致錯(cuò)12．解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．【錯(cuò)解】原不等式可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－eq\f(1,a)))(x－1)<0(a>0).解得eq\f(1,a)<x<1，則該不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<1)))).【錯(cuò)因】沒有考慮eq\f(1,a)與1的大小關(guān)系，【正解】由a>0，知原不等式等價(jià)于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－eq\f(1,a)))(x－1)<0.①當(dāng)a＝1時(shí)，eq\f(1,a)＝1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－eq\f(1,a)))(x－1)<0無解；②當(dāng)a>1時(shí)，eq\f(1,a)<1，得eq\f(1,a)<x<1；③當(dāng)0<a<1時(shí)，eq\f(1,a)>1，得1<x<eq\f(1,a).綜上，當(dāng)0<a<1時(shí)，不等式解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<\f(1,a)))))；當(dāng)a＝1時(shí)，不等式解集為?；當(dāng)a>1時(shí)，不等式解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<1)))).七七、刷基礎(chǔ)一．選擇題（共14小題）1．（2023?東城區(qū)校級模擬）如果a＞b＞0，那么下列不等式一定成立的是（）A．|a|＜|b| B． C． D．lna＞lnb【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得a＞b＞0，lna＞lnb，即可得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得a＞b＞0，lna＞lnb，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查不等式的性質(zhì)，考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，比較基礎(chǔ)．2．（2023?江寧區(qū)校級模擬）三個(gè)數(shù)a＝，b＝（）3，c＝log3的大小順序?yàn)椋ǎ〢．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】根據(jù)所給的三個(gè)式子和1，和0的關(guān)系，把a(bǔ)與30進(jìn)行比較，把b與進(jìn)行比較，把c同log31進(jìn)行比較，得到三個(gè)數(shù)字的大小關(guān)系．【解答】解：∵＞30＝1＝1＝0∴a＞b＞c故選：D．【點(diǎn)評】本題考查不等式比較大小，本題解題的關(guān)鍵是看出需要找兩個(gè)中間量，把三個(gè)數(shù)字分成三個(gè)層次，本題是考查指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)．3．（2023?吉林模擬）已知，則下列不等式不一定成立的是（）A．a(chǎn)＜b B． C． D．ln（b﹣a）＞0【分析】A選項(xiàng)，由不等式基本性質(zhì)得到A正確；B選項(xiàng)，利用基本不等式求出；C選項(xiàng)，作差法比較出大小關(guān)系；D選項(xiàng)，舉出反例即可．【解答】解：A選項(xiàng)，，故a＜0，b＜0，所以