數(shù)學基礎知識-平面向量（矢量）

平面向量（矢量）

I教學要求

1.理解向量的相關概念.

2.掌握向量的加法、減法與數(shù)乘向量的運算.

3.理解與一個非零向量共線的向量的條件.

4.理解平面向量的直角坐標的概念.

5.掌握用坐標進行向量的加法、減法與數(shù)乘運算.掌握向量的坐標與點的坐標之間的

關系.

6.理解向量的內積的概念及其基本性質.

7.掌握用直角坐標計算向量的內積的公式.會利用向量的內積判斷兩個向量是否垂直.

II教材分析

本章內容介紹

向量是中學數(shù)學里新增加的內容.為什么在中學數(shù)學里要學習向量？首先，客觀世界

中存在既有大小又有方向的量，例如，速度，加速度，力，位移等.因此需要有研究這種

量的統(tǒng)一的數(shù)學模型一一向量.其次，由于向量兼有直觀性強，又易于計算這兩方面的優(yōu)

點，因此在許多數(shù)學分支的研究中都可以利用向量這一模型，或者借助向量的語言.例如，

平移是平面上（或空間里）每一個點都按照同一個方向移動相同的距離，這完全可以由一

個向量。來決定：a的方向表示移動方向，a的大小表示移動的距離.又如，一條直線可以

看成是由一個點和一個方向決定的，向量正好可以用來描述直線的方向，從而可以利用向

量的工具來研究解析幾何里有關直線和平面的問題.再如，研究線性方程組的解的情況和

解的結構時，借助向量的語言，把一個"元有序數(shù)組（q,外，…，耳）稱為〃維向量，這樣

就可以把研究線性方程組的解的情況和解的結構問題，歸納為研究n維向量空間的子空間

-12-

的結構問題，使本來是代數(shù)的問題“幾何化”，使之直觀、易懂.

本章主要講向量的概念，向量的運算，向量的表示以及向量的內積.

向量是既有大小又有方向的量.

向量有兩種表示方式：（1）幾何表示.用有向線段而表示一個向量d長度相等并且

方向相同的有向線段表示相等的向量.（2）坐標表示.在講了向量的加法與數(shù)乘運算后，

可以得到平面向量分解定理，進而引進向量的坐標的概念.向量的這兩種表示使得向量兼

有直觀性強，又易于計算兩方面的優(yōu)點，從而使向量非常有用.例如，求線段的中點，求

直線的方程以及兩條直線平行的條件等方面發(fā)揮著很大的作用.

向量有加法、減法以及數(shù)乘運算.它們統(tǒng)稱為向量的線性運算.有兩種方式進行向量

的線性運算.（1）用有向線段進行運算.向量的加法有三角形法則，對于不共線的兩個向

量的加法還有平行四邊形法則.向量的減法通過加法來定義：a-b^a+（-*）.數(shù)乘向

量分別對其長度，方向作出規(guī)定.（2）用坐標進行運算.兩個向量的和（差）的坐標等于

它們的坐標的和（差）.實數(shù)％與向量a的乘積的坐標等于k乘以a的坐標.向量的加法

與數(shù)乘運算滿足8條運算法則.這8條運算法則使得在向量的線性運算中可以使用實數(shù)運

算的去括號，合并同類項，移項等法則.

向量的內積使得可以利用向量統(tǒng)一地研究有關長度，角度，垂直等度量問題.向量的

內積的定義是

a?bdgf|。|網(wǎng)cos<a,b>.

利用直角坐標可以很容易計算兩個向量Q（q,%），》（瓦,4）的內積：

a,b=afy+a2b2.

利用向量的內積可以計算向量的長度、兩點間的距離、兩個非零向量的夾角，判斷兩

個向量是否垂直，從而可以利用向量的內積研究兩條直線垂直的條件、兩條直線的夾角、

點到直線的距離等.

本章教學重點

1.向量的幾何表示（用有向線段表示向量）.

2.向量的加法、減法、數(shù)乘運算.

3.平面向量的直角坐標；用坐標作向量的線性運算；平面向量的坐標與點的坐標的關系.

4.向量的內積的概念；用直角坐標計算向量的內積；兩個向量是否垂直的判定.

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本章教學難點

1.向量的減法運算.

2.與一個非零向量共線的向量的條件.

3.向量的內積的概念.

本章學時安排如下（僅供參考）

7.1平面向量的概念約1學時

7.2平面向量的運算約3學時

7.3平面向量的坐標表示約3學時

7.4平面向量的內積約2學時

本章小結與復習約1學時

III教學建議和習題答案

7.1平面向量的概念

1.教材中通過貓追老鼠的例子，讓學生體會現(xiàn)實生活中存在既有大小又有方向的量，

由此引出向量的概念.這使學生初步認識到學習向量的必要性.

2.我們用帶有一個箭頭的線段（稱為有向線段）來直觀地表示向量，其中線段的長度

表示向量的大小，箭頭的指向表示向量的方向.這是向量的幾何表示.我們把有向線段A8

記作AB,其中端點A叫做起點，端點B叫做終點，起點A往終點B的方向就是AB的方

向.我們把有向線段而就叫做向量而.

由于向量只有大小和方向兩個要素，因此很自然地把大小相等且方向相同的向量叫做相

等的向量.從而長度相等并且方向相同的有向線段表示的向量是相等的向量.例如，把有向

?，，?■,?，?

線段平行移動得到CD,由于它們的長度相等且方向相同，因此向量A8與向量CD相等.

注意，作為向量，A8=C。.但是作為有向線段，AB與CD顯然是不同的有向線段.因此本

書是注意區(qū)分向量與有向線段這兩個不同概念的，不要混為一談.每一條有向線段是一個向

量（因為有向線段也是既有大小又有方向的量）.一個向量?？梢杂靡粭l有向線段Q來表

示，并且與Q長度相等并且方向相同的有向線段都可以表示向量a.因此一個向量“在幾

-14-

何上對應于由長度相等(都等于a的大小)且方向相同(都表示a的方向)的所有有向線段

組成的一個集合.這個集合里的任何一條有向線段都可以作為向量”的一個代表.

3.一組向量如果用同一起點的有向線段表示后，這些有向線段在同一條直線上.則稱

這組向量是共線的，也稱這組向量是平行的.

4.教材中“回憶時刻”答案：只有大小沒有方向的量叫做數(shù)量.

5.教材中例2,向量碗與還不相等，向量而與善也不相等.

課堂練習答案

1.圓.

2.與向量而相等的非零向量為近、FC;

與向量而相反的非零向量為訪、CF.而；

與向量而共線的非零向量為正、FC.ED.CF＞而和W.

習題7.1答案

1.與向量而相等的向量為反；

向量的負向量為朋，CD.

2,與向量而共線的非零向量為死和有.

3.(1)不正確，向量有大小和方向，大小相等，方向不同，向量也不同.

(2)正確，向量1與2的大小方向都相同.

(3)不正確，向量5與Z的大小相同，但是方向相反，向量也不同.

*--?

(4)正確，|A8|=|DC|且方向相同.

4.相同

5.與向量為相等的向量為瓦，DC；

與向量而共線的非零向量為瓦，DC,80,OA,CD;

向量費的負向量為蘇，CD,BO.

7.2平面向量的運算

1.從飛機在天空中飛行的位移的實際例子，自然地引出向量的加法運算.這使學生感

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到向量的加法運算不是生硬規(guī)定的，而是從實際問題中抽象出來的，從而使學生受到數(shù)學

的思維方式的熏陶.

2.向量的加法運算的定義要點是：以第丁條有向線段的冬卓作為第三條有向線段的超

，卓，則從第二條有向線段的舉京到第三條有向線段的孥點的有向線段就表示和回簞.

3.不難證明，向量。與6的和，與初始起點的選擇無關.如圖7-1所示，如果任選

點P,作有向線段而表示向量a，接著作有向線段而表示向量"則有向線段而必

然與教材中圖7—10的有向線段正表示同一個向量，把這個向量稱為"和b的和.

證明的思路是：由于有向線段而與通都表示向量a,因此可以把有向線段而平行

移動到A8,這時點P移到了點A處，點。移到了點8處，由于QM與BC表示同一個向

量兒因此，點M移到了點C處.從而有向線段南移到了而，因此向量麗=元.

4.從向量加法的三角形法則得出的向量等式

AC=AB+BC

很有用.從右到左地使用，可以求出和向量；從左到右地使用，可以把一個向量分解成兩

個向量的和.在使用此公式時，要注意第一個向量的終點與第二個向量的起點是同一個點,

才能用這個公式.

5.向量的加法滿足4條運算法則，其證明如下：

1°情形1a與b不共線.

從同一起點。作海、加分別表示a、瓦然后以OA、OB為邊作平行四邊形OACB,

如圖7-2所示.據(jù)平行四邊形法則，得

a+b=OC.

由于前二海二〃，因此據(jù)三角形法則，得

b+a=OB+BC=OC.

從而得出a+b=b-^a.

-16-

BC

圖7?2

情形2〃與b共線.這時分為三種情況：Q與b中有一個是0；僅與?的方向相同；a

與b的方向相反.對于每一種情況都容易證明a+b=b+a.

2°作有向線段屬、OB.前分別表示a、b、c,如圖7-3所示.則

(a+b)+c=OB+BC=OC,

a+S+c)=OA+AC=OC.

圖7-3

因此(a+b)+c=a+S+c).

3°作有向線段而表示a,則

a+0=AB+BB=AB=a.

據(jù)交換律，得

0+a=a+0=a.

4°作有向線段Q表示小則一。二一通二詼.

從而

a+(—a)=AB+BA=AA=0.

據(jù)交換律，得

(-a)+。=。+(-a)=0.

6.向量的減法運算的定義是

a-bdgfa+(~b).

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特別要注意：起點相同的兩個向量的差等于減向量的終點到被減向量的終點形成的向量.

在畫圖時不要畫錯.

7.例4是用不共線的兩個向量表示圖形中的其他向量，這是重要的基本功.這為平面

向量分解定理（平面上每一個向量都可表示成給定的不共線的兩個向量的線性組合，并且

表示方法惟一）作了鋪墊.

8.數(shù)乘向量的定義分別從長度、方向來規(guī)定.注意，在規(guī)定方向時，有一個前提條件:

至于|/U|=0時，從/la的長度的定義中知道，止匕時必有4=0或a=0.對于這兩種

特殊情形.從長度的定義和零向量的定義立即得出

0a=0,20=0.

9.數(shù)乘向量滿足的4條運算法則，其證明思路是：先證等號兩邊的向量的長度相等，

然后當它們的長度不為0時，去證它們的方向相同.現(xiàn)在寫出證明過程，但是不用給學生

講，僅供教師參考.

5°la=a.

證明若a關0.因為a|二|a|,且la與。同向，所以la=a.若。=0,則10=0.

604（〃。）=（4〃）a

證明|2（〃砌二|A||Pa|=|4||JU||a|=|?〃||〃|二|（一〃）a|.

當4>0且〃>0時，，/〃>0,容易看出，4（與（4〃）a都與。同向，從而它們

的方向相同.

其余三種情況也可證明與（4〃）。的方向相同.

綜上所述，得入（Pd）=（4〃）a.

7°（4+〃）久。+

證明若。=0或者心〃中有一個為零時，結論顯然成立.下面設心〃都不為零，

且aWO.

情形1若4，〃同號，則4a與〃〃方向相同.且〃。與（4+〃）。方向相同，

此時有

|Ua\=\/1。|+||二|*|a|+|

=（I川+|〃|）⑷，

又有

|(4+〃)a|=|入+〃||a|=(|川+|〃|)⑷,

-18-

所以

（久+〃）。=〃〃.

情形2若大,〃異號，由于4和〃的地位對稱，因此不妨設4>0,〃<0.又分以下

三種情形：

2.1）若1+〃=0,則（4+〃）a=0a=0f

Ua=（一4）。=（-1）（4。）

=XQ+（一4。）=0.

從而（大+〃）。=人。+Pa.

2.2）若4+〃>0,則4十〃與一〃同號，從而由情形1得

［（1+〃）+（―〃）］a=（4+〃）。+（一〃）。，

即4。二（4+〃）。+（一.

從而（4+〃）Q=4〃+〃。.

2.3）若4+〃<0,此時力+〃與一4同號，由情形1得

［（4+〃）+（—A）］a-（4+〃）a+（—4）a.

從而（4+〃）。=

8°ACa+b）=Aa+^b.

證明若4=0,或者Q、力中有一個為0,則結論顯然成立.下面設XW0且0、力都

不為0.

若。與力平行，則容易看出，有實數(shù)〃，使人〃a從而

4（a+b）=八=4［（1+〃）a］

=（4+/l〃）a=A?+（4〃）a

=Aa+=Aa+^b.

若Q與萬不平行，那么當兒>0時，作OA、A8分別表示。、h.于是。5表示a+力.再

作區(qū)、麗分別表示4a、Ab.則△OABs/iOCD從而。必在直線03上，于是而表

示4（a+b）.又歷表示所以有

4（a+力）=A?+46.

4<0時可以作類似討論.

10.向量的加法與數(shù)乘向量滿足8條運算法則，它們在形式上很像實數(shù)加法與乘法滿

足的運算法則（但是數(shù)乘向量與實數(shù)乘法在本質上不同），于是自然可以猜想實數(shù)運算中

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的去括號、合并同類項、移項等法則，在形式上可以搬到向量的加法與數(shù)乘向量中來.這

是可以證明的.例如，去括號法則，以下述為例：

—(3。一》)=~3a+b.

理由如下：從數(shù)乘向量的定義容易得出，(-1)a=-a.于是

一(3a—b)-(-1)[3a+(-b)]=(—1)(3a)+(-1)(一b)

=[(-1)X3]a+(-1)[(-1)b]

=(一3)a+[(-1)(-1)]b

=~~ia+\b

=—3a+b.

今后我們可以在向量運算中直接使用去括號、合并同類項、移項等法則，不必像剛才

那樣寫出詳細推導過程.

課堂練習7.2.1答案

\.a+b=~2,方向水平向左.

2.AC.

3.略

4.(1)而；(2)AB.

5.60°

課堂練習722答案

1.(1)CB,圖略；(2)~MP,圖略.

2.CA=-AB-7J5;DB=^AB-AD.

課堂練習7.2.3答案

1.

-20-

2.(1)5(a+b)—7(。-3b)=5a+55-7a+21b=—2。+266

(2)12(a—2b+c)—2(6。+力-3c)=12Q—24b+12c—12。-25+6c

=—26》+18c.

3.AO=-(AB+BC\OD=-(BC—AB).

22

4.AB=-(AC+DB),AD=-(AC+BD).

22

習題7.2答案

1.赤+麗=沆~PM+~MQ=~PQy

施+布=版AC+CB=AB.

2.略

3.=MP,^B-AC=CB,~EF-~FD=~DE,

4.BC=AC-AB,CB=AB-AC.

5.⑴6a+32;(2)a-7/7-11c.

一1~~

6.DE=-(AC-AB)

2

.I...I...I...，.,

7.AD=-(AC+AB),BE=-AC-AB,CF=-AB-AC,AD+BE+CF^O

8.略

7.3平面向量的坐標表示

1.用有向線段表示向量(稱為向量的幾何表示)具有直觀性強的優(yōu)點，但是用有向線

段進行向量的加法、減法和數(shù)乘運算比較麻煩.為了簡化運算需要引進向量的坐標表示，

利用向量的坐標進行向量的線性運算要簡便得多.

2.平面上取定一個直角坐標系［。；勺、e2］后，兩個向量相等當且僅當它們的坐標相

等.于是平面上所有向量組成的集合與所有有序實數(shù)對組成的集合之間有一個一一對應：

每個向量對應于它的坐標.用坐標來表示向量，是向量的代數(shù)表示.用有向線段表示向量

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是向量的幾何表示.

3.向量的坐標表示使得向量的加法、減法、數(shù)乘運算歸結為數(shù)的運算，從而容易進行.

4.在講兩個向量的和(差)的坐標，數(shù)乘向量的坐標之前，應當先在所有有序實數(shù)對

組成的集合中規(guī)定加法、減法以及數(shù)乘運算.這樣就可以得出：

(1)兩個向量的和(差)的坐標等于它們的坐標的和(差)；

(2)數(shù)乘向量的坐標等于這個數(shù)乘以該向量的坐標.

向量的坐標求出后，這個向量就確定了.因此上述結論使我們可以利用向量的坐標進

行向量的運算.

5.同一個向量在不同的坐標系中的坐標是不相等的，向量的坐標依賴于坐標系的選取.

即使取定一個坐標系，雖然平面向量的集合與有序實數(shù)對的集合之間存在一一對應，并且

這個對應保持加法和數(shù)乘運算，從而這兩個集合作為向量空間是同構的，但由于這個同構

對應依賴于坐標系的選擇，因此不是自然同構，從而向量。與它的坐標(x,y)不能等同.

6.利用向量的坐標判斷兩向量是否平行，是教學重點，應要求學生熟練掌握.

教材由平行向量基本定理，將其用直角坐標表示得到兩個向量平行的充要條件是，相

應坐標成比例.從而將向量平行的條件數(shù)量化.有了用坐標表示的兩個向量平行的充要條

件，可以使相應的幾何問題轉化為數(shù)量的運算；判斷向量平行(共線)的問題轉化成看數(shù)

量關系.對于學生普遍感到比較大的難題一一幾何證明題，又有了一種新的證題工具.

7.用向量平行的充要條件可以證明幾何中的三點共線和兩直線平行的問題.教學時，

要注意到向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括重合的情況，向量平行包括共線.

8.本小節(jié)應用向量平行的充要條件的習題有以下幾個類型：

(1)已知兩向量的坐標(或向量的起點、終點坐標)，證明(或判斷)它們平行(或不

平行)，如7.3.3課堂練習第2題.

(2)證明三點共線，如7.3.3節(jié)中例6.

(3)已知兩向量平行，求其中一個向量的某一個坐標.如7.3.3節(jié)中例5和7.3.3課堂

練習第1題.

課堂練習731答案

1.(1)(-1,3)；(2)(2,-4)；(3)(3,0)；(4)(0,-2).

2.(1)(5,I)；(2)(-1,-7)；(3)(3)-13)；(4)(5,18).

-22-

課堂練習7.3.2答案

1.AB=(-5,7),84=(5,—7)

2.(5,-6)

3.AB=(-5,2),3C=(—1,—1),G4=(6,—l).

課堂練習7.33答案

1.-12

2.證明:因為點A(O,1),3(1,0),。(1,2),0(2,1)

所以而=(L-1),而=(L-1)

又因為1x(—1)-(-l)xl=0

所以而與而平行

所以CD

習題7.3答案

1.m=5,n=0

2.a+b=[4,-6)+(-7,3=(-3,-2),

212

113

a—Z>=(4,—6)—(-7,-)=(11,-y)

127

2a—3加2(4,—6)-3(-7,-)=(29,一爹),

11「1〃c1,r1、/1525

-?--A=-(4,-6)--(-7,-)=(—,―--

2424248

3.a+b+c=(2,3)+(—1,0)+(—7,8)=(-6,11),

a~b+c-(2,3)一(—1,0)+(—7,8)=(,11),

2a+5b~6c=2(2,3)+5(—1,0)—6(-7,8)=(41,-42).

4.因為(5a),所以。的坐標為g(20,-5)=(4,—1).

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5.(1)AB=(—4,7)一(—1,2)=(-3,5)；

BA=-AB=(3,-5).

⑵通=(7,：)一(6,1)=(1,0);

BA=-AB=(-1,0).

—*1111

(3)AB=(--,0)-(0,彳)；

2222

(4)AB=(-1,-1)-(1,1)=(-2,-2)；

礪=一而=(2,2).

6.設點8的坐標為(x,y),則由

AB=Cx,y)—(-1>3)=(2,15).

得

[y-3=-5.

解得x=l,y=-2.即8點坐標為(1,一2).

7.設M,N的坐標分別為(陽，M)、(巧，為)，則由

---1—?f1

AM=-AB,(*,y,)-(-9,3)=-[(3,12)-(-9,3)J=(4,3),

J_K"

―*2―*2

AN=^AB.(x2,y2)-(-9,3)=-[(3,12)-(-9,3)]=(8,6).

所以(X],y1)=(4,3)+(—9,3)=(—5,6),

(x2,%)=(8，6)+(—9,3)=(—1,9).

即M、N的坐標分別為(-5,6)、(—1,9).

8.設8的坐標為(x,y),依題設有

麗=方+而=厲+反=(4,-2)+(2,5)=(6,3).

即(x,y)=(6,3).

9.當2x(-6)-3x=0H寸，。與b共線，即尢=-4時，〃與辦共線.

10.(1)由于而=(一3-1,-4-2)=(-4,-6),

AC=(2-l,3.5-2)=(1,1.5).

-24-

又(T)xl.5-(-6)xl=0,

所以AB//AC.

又直線A3、直線AC有公共點A.

所以A、B、C三點共線.

(2)由于而=(0.5-(-1),0-2)=(1.5,-2),

方=(5-(-1),-6-2)=(6,-8).

又(-8)xl.5-6x(-2)=0,

所以~PQ//Tk.

又直線PQ、直線PR有公共點P.

所以P、。、R三點共線.

7.4平面向量的內積

1.向量的加法、減法與數(shù)乘運算不能解決有關長度、角度、垂直等度量問題，為此需

要引進向量的內積的概念.

2.我們從一個人拉小車做的功出發(fā)，自然地引出了向量的內積的定義：

a-bdef\a\\Z>|cos<a,b>,

其中表示向量a與b的夾角.當“WO,時，作有向線段瓦麗分別表示

a,b，射線0A與08組成的不大于兀的那個角叫做“與》的夾角.0與每一個向量a的夾

角可以是任意一個角.

3.由于向量的內積的概念中涉及長度、角度的概念，因此可以利用向量的內積來計算

向量的長度、兩個非零向量的夾角，以及判定兩個向量是否垂直：

Ia|=y/aa,

a±b<^>a-b-Q.

向量的內積的概念可以統(tǒng)一處理長度、角度、垂直等問題，這表明向量的內積是非常有用

的概念.

4,計算向量a在方向b上的分量，可以取a的起點0,方向b上的單位向量與，建立

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一個直角坐標系[0；e,,e2],a在方向Z>上的分量就是a在勺方向上的分量，而這等于a

的橫坐標，這又等于|a|cos(a,b).因此，。與非零向量6的內積等于a在方向〃上的分量

與b的長度的乘積.利用這個結論可以證明內積的線性性質.

5.向量的內積有4條基本性質：

(1)對稱性ab=ba

(2)線性性之一

(3)線性性之二(a+c)/=a/+cl

(4)正定性aa^O,等號成立當且僅當。=0

性質(1)和(4)的證明都是容易的；而性質(2)和(3)的證明需要利用向量的內積等于

a在方向8上的分量與向的乘積，而a在方向8上的分量實質上是a的橫坐標，再利用坐

標作向量的運算，便可證出性質(2)和(3).

由于向量的內積不是向量的代數(shù)運算，因此我們在教材中沒有把向量的內積的對稱性

說成交換律，等等.

6.已知向量”=(4，/)，b=(瓦也),利用向量的內積的性質，可以很容易推導出用向

量的直角坐標計算它們的內積的公式：

ab=。也+a2b2.

7.有了用向量的直角坐標計算內積的公式，就可以很容易解決有關長度，距離，角度，

垂直等度量問題.教材中分別講了用向量的直角坐標計算向量的長度公式，兩點間距離公

式，兩個非零向量的夾角的余弦公式，判斷兩個向量垂直的充分必要條件.這些在以后學

習平面解析幾何的內容時都要用上，應當讓學生掌握.

課堂練習7.4.1答案

1.(1)a?Z?=|a||Z>|cos<a,b>=3X2Xcos60°=3;

27C

(2)a-b=\a\\*|cos<?,ft>=4X7Xcos—=-14;

3

(3)a?b=\a\\&|cos<a,b>=1X10Xcos兀=-10.

4o

2.(1)因為a5=1412=：,所以|a|=4；

255

-26-

(2)ila?b=\a\\Z>|cos<a,b>,得|a|=-------------=--------=2.

出|cos<a,>>3XCOS2[

4

課堂練習742答案

1.(1)a?b=2x(-4)+3x\=-5;

21

(2)c?rf=(-5)x-+-x8=2.

2.(1)\a|=7O?=V32+42=5;

(2)也1=歷=q(廚+(一阿2=7.

3.(1)|AB|=7(V2-2V2)2+(-l-5)2=738;

(2)|CD|=^(-|-1)2+(7-5)2=2^/5.

—

4Aa,by[ix(—3)+(1)xy/3

4.cos<a,b>=----=_I'=-1,

I。IIbl7(V3)2+(-D2xJ(-3>+(揚2

又由于b>〈7i,因止匕<a,b>=n.

習題7.4答案

\.a9b=\a\\Z>|cos<a,b>=3X1Xcos;

(2a+b)-b=2a-b+b-b=2a-b+\b\1=2x^-+\2=3>/3+\;

2

\a+b\1=(a+b)-(a+b)=aa+ab+ba+bb

=|a|2+2n-*+|*|2

=3?+2x迪+/

2

=10+373

數(shù)學（基礎模塊）下冊教學參考書

所以|a+川=J10+36

2.b,a=\b\\a|cos<b,a>=2X6Xcos—=-65/2；

4

(3萬-2a)?a=3b?a-2a?a=3b,a-2|a|2

=3x(-6^)-2x62

=-18應-72;

\a-b\2=(a-b)(a-b)=aa-ab-ba+bb

=\a\2-2ab+\b^

=62-2X(-6A/2)+22

=40+12行

所以|a叫=)40+12后=240+3也

CLa?b—2V2

3.(I)cos<a,b>=-----=------=因此<a.h>~

|〃||川2x224

5rr

1-J3

小、.ab9

(2)cos<〃，b>=-----=~~~f==—,因止匕<a.b>=—.

HUM5x7323

4.(1)a,b=(―1)x(—3)+3x(―1)=0,因此。與〃垂直；

(2)cd=0x(-28)+7x2=14^0,因止匕c與d不垂直；

(3)e/=(2+V2)x(-l)+lx(2+V2)=0,因此e與罐直.

5.||="(1_6f+(4_-6=V106.

解得機=-5或w=13.

6.因為|而|=|。|>0,|衣|=傳|>0.

(I)cos<a,b>=ab<0,所以<a,b?-,此時△ABC為鈍角三角形.

l?IIb\